Строительная механика плоских стержневых систем

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА 
ПЛОСКИХ 
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Под редакцией С.И. Трушина 

Второе издание

Москва
ИНФРА-М
2019

Рекомендовано Федеральным государственным 
бюджетным образовательным учреждением 
высшего профессионального образования 
«Московский государственный строительный университет» 
в качестве учебного пособия для студентов
обучающихся по направлению подготовки 
08.03.01 «Строительство»
(Рег. номер рецензии 1615 от 08.12.2011 г., МГУП) 

Л.Ю. СТУПИШИН
С.И. ТРУШИН

Ступишин Л.Ю.
Строительная механика плоских стержневых систем : учеб. 
пособие / Л.Ю. Ступишин, С.И. Трушин ; под ред. С.И. Трушина. — 
2-е изд. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 278 с. — (Высшее образование: 
Бакалавриат). — www.dx.doi.org/10.12737/1539.

ISBN 978-5-16-009451-9 (print)
ISBN 978-5-16-100575-0 (online)

Учебное пособие посвящено расчету плоских стержневых систем в упругой 
стадии работы материала на неподвижную и подвижную нагрузки. 
Рассматриваются вопросы расчета статически определимых и неопределимых 
систем в условиях статического нагружения. Приводятся основные теоремы 
строительной механики о работе внешних и внутренних сил. Изложены основы 
динамики и устойчивости плоских стержневых систем. Даются основы расчета 
стержневых систем на прочность, устойчивость и колебания методом конечных 
элементов. 
Приведены примеры решения задач, которые могут быть использованы студентами при выполнении расчетно-графических работ и в курсовом проектировании.
Для студентов, обучающихся по направлению «Строительство». Может 
быть полезно для студентов других направлений обучения, а также преподавателям инженерных дисциплин.

УДК 530.1:372.853(075.8)
ББК 38.112

C88

УДК 530.1:372.853(075.8)
ББК 38.112
 
C88

ISBN 978-5-16-009451-9 (print)
ISBN 978-5-16-100575-0 (online) 
 © Ступишин Л.Ю., Трушин С.И., 2014

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Курс строительной механики стержневых систем относится к 
курсам специальных дисциплин, читаемым студентам строительных 
специальностей. Он служит основой базового образования инженера-проектировщика, ведущего расчеты несущих конструкций зданий 
и сооружений, а также знакомит инженера-строителя с основными 
расчетными схемами, идеями и допущениями, на основе которых 
строятся методы расчета сложных систем.  
Многие рекомендации, имеющиеся в нормативной литературе и 
пособиях по проектированию строительных конструкций, невозможно понять, не зная расчетных моделей и методов строительной 
механики. Строительная механика служит теоретической основой 
методов конструирования железобетонных, металлических, деревянных и других видов конструкций. Следует отметить, что существует строительная механика корабля, самолета, машиностроительных конструкций, строительных конструкций. 
Объектом курса строительной механики стержневых систем, читаемого студентам строительного направления, являются несущие 
конструкции зданий и сооружений. Все их многообразие сводится к 
ряду типовых расчетных схем, для которых и строятся методы расчета. 
Расчетная схема – упрощенное представление конструкции или 
элемента конструкции, объективно отражающее основные особенности его работы на внешние нагрузки и позволяющее достаточно 
точно и просто определить перемещения и внутренние усилия.  
В инженерной практике вследствие типизации и унификации 
конструктивных элементов, а также благодаря тому, что каждая деталь или элемент конструкции выполняют вполне определенные 
функции, появилась возможность выделить различные физические 
модели поведения конструкции под нагрузкой. 
Физическая модель явления включает в себя расчетную схему 
конструкции, гипотезы о поведении материала и распределении усилий и деформаций в теле, а также формулировку условий (критериев), при которых конструкция перестает удовлетворять предъявляемым к ней требованиям. 
Чтобы проводить теоретические исследования поведения тела, 
необходимо построить математическую модель конструкции (совокупность формул, графиков, таблиц и определений, отражающих 
поведение конструкции). Опираясь на опыт изучения физики, можно 
выделить следующие стороны явления и соответствующие им группы уравнений, составляющих в общем случае математическую модель твердого деформируемого тела: 


статические или динамические уравнения состояния кон
струкции; 


геометрические уравнения, описывающие перемещения 

тела, возникающие вследствие его деформации; 


физические уравнения связи между параметрами, входя
щими в указанные выше две группы уравнений (например, между 
усилиями и деформациями); 


условия на поверхности тела, определяющие вид нагру
жения, а также условия опирания (закрепления) конструкции, которые можно отнести к граничным условиям. 

В курсе строительной механики в качестве физических уравне
ний используется закон Гука, а геометрические уравнения основаны 
на гипотезах сопротивления материалов, описывающих характер 
деформирования. В соответствии с этим подходом изложение материала начинается со знакомства с расчетными моделями статически 
определимых систем, а затем, после изучения энергетических теорем 
строительной механики, рассматриваются статически неопределимые системы. 

При изложении основных разделов курса частично использовано 

матричное исчисление, которое наиболее удобно для описания и 
реализации численных алгоритмов. 

 Освоение материала, представленного в данном учебном посо
бии, дает возможность получить необходимые знания в области расчета стержневых систем на прочность, устойчивость и колебания, 
выработать умение самостоятельно разрабатывать расчетные модели 
несущих конструкций сооружений и оценивать их напряженнодеформированное состояние, приобрести необходимые навыки решения задач строительной механики аналитическими и численными 
методами  с использованием современной вычислительной техники 
и специализированных приложений.  

 Работа над учебным пособием шла в постоянном обсуждении 

излагаемого материала и его объема. Главы 1-8 и 10-12 написаны 
кандидатом технических наук, профессором Л.Ю. Ступишиным, 
главы 9 и 13 – доктором технических наук, профессором С.И. Трушиным. 
Общая 
редакция 
учебного 
пособия 
выполнена 

С.И.Трушиным. 

ГЛАВА 1.  
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КУРСА СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ. 
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ  
 
1.1. ПРЕДМЕТ, ЗАДАЧИ И ЦЕЛИ КУРСА 
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ 
 
Строительная механика – наука о прочности, жесткости, устойчивости и колебаниях сооружений. 
Место, занимаемое строительной механикой среди других дисциплин, изучаемых студентами строительных специальностей, указано на рисунке 1.1. 
 

 
 
 
 
Физика 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
Механика 
 
 
 
 
 
 

Механика абсолютно твердого тела (теоретическая 
механика 

Механика деформируемого 
твердого тела 

 
Механика 
жидкостей и 
газов 

 
 
 

Сопротивление 
материалов и 
теория упругости 

 
 
Строительная 
механика 
стержневых 
систем 

 
Строительная механика 
тонкостенных систем 
(теория пластин и обо
лочек)

 
Механика 
грунтов и 
сыпучих тел 

 
Рис. 1.1.  
 
Предметом строительной механики служит поведение сооружений под воздействием различных нагрузок, при котором перемещения любых точек конструкций возможны лишь вследствие деформаций их элементов. 
Задачей строительной механики является изучение и построение 
методов расчета сооружений и конструкций. 
Цель строительной механики – определение внутренних усилий 
и перемещений, возникающих в элементах конструкции. 
 

1.2. СООРУЖЕНИЕ И ЕГО РАСЧЕТНАЯ СХЕМА

Сооружение – геометрически неизменяемая система конструк
тивных элементов, объединенных в одно целое в узлах, предназначенная для выполнения определенных функций (нести нагрузку, ограждать от различных воздействий, таких, как ветер, дождь и др., 
эстетические функции и пр.). 

Для исследования поведения сооружения под действием нагрузок 

используют его расчетную схему (физическую модель).

Расчетная схема – упрощенное представление сооружения, объ
ективно отражающее основные особенности его работы и позволяющее достаточно точно и просто определить усилия во всех элементах конструкции.

Приведем основные виды конструктивных элементов.
1. Стержневые элементы (рис. 1.2-1.4) имеют один из размеров 

намного больше, чем остальные ( >> b ~ h); различают брусья, балки 
и арки.

Брус – прямолинейный стержень, работающий на растяжение 

(сжатие) или кручение, в котором возникают продольные силы или 
крутящие моменты (рис. 1.2). Балка – прямолинейный стержень, работающий на изгиб (иногда учитывается сдвиг), в котором возникают изгибающие моменты и поперечные силы (рис. 1.3).

Рис. 1.2
Рис. 1.3

Арочный элемент – криволинейный стержень, работающий на 

изгиб, сдвиг и растяжение (сжатие), в котором возникают изгибающие моменты, поперечные и продольные силы (рис. 1.4). 

Рис. 1.4

2. Тонкостенные пространственные элементы (рис. 1.5-1.7) 

имеют один из размеров намного меньше, чем два других (h << , b, 
a).

Если срединная поверхность тонкостенного элемента представ
ляет собой плоскость (рис. 1.5), то такой элемент называется пластиной. 

Рис. 1.5

Если срединная поверхность тонкостенного элемента представ
ляет собой криволинейную поверхность (рис. 1.6, а) или набор таких 
поверхностей (рис. 1.6, б), то такой элемент называется оболочкой.  

а)
б)

Рис. 1.6

Для некоторых оболочек расчетные схемы имеют некоторые осо
бенности, связанные с их формой, например, тонкостенный стержень, показанный на рисунке 1.7.

Рис. 1.7

3. Массив – элемент (рис. 1.8), имеющий размеры одного порядка 

( ~ h ~ b ~ a). 

Рис. 1.8

Конструктивные элементы объединяются в конструкции посред
ством узловых соединений. Рассмотрим виды узлов, наиболее часто 
встречающиеся в строительной механике стержневых систем.

1. Жесткий узел (рис. 1.9) объединяет два и более элемента в од
ну конструкцию так, что эти элементы не могут перемещаться друг 
относительно друга как жесткое целое.

2. Упругоподатливый узел (рис. 1.10). Здесь угловые переме
щения элементов возможны лишь за счёт деформаций связей 
узла.

Рис. 1.9                                                     Рис. 1.10 

3. Шарнирный узел (шарнир), в котором возможно изменение угла между элементами без их деформации. Различают простой шарнирный узел (рис. 1.11, а), в котором сходятся два стержня, и сложный шарнирный узел (рис. 1.11, б), в котором сходятся n стержней. 
 

а)
б)

Рис. 1.11 

Например, на рисунке 1.11, б четыре стержня (n = 4) сходятся в 
шарнирном узле. 
Количество простых шарниров Ш в сложном шарнирном узле на 
единицу меньше, чем количество стержней, сходящихся в нём. 

Ш
n -1

. 
 
 
 
 
(1.1) 
Поэтому сложный шарнирный узел, изображенный на рисунке 
1.11, б, эквивалентен трем простым шарнирам. 

Стержневые системы соединяются с «землей» с помощью опорных 
связей (опорных стержней). Рассмотрим виды опор, наиболее часто 
используемые в строительной механике.  
1. Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.12) позволяет точке закрепления А конструкции перемещаться в направлении касательной к 
окружности, описываемой этой точкой, на бесконечно малое расстояние ε. Опора запрещает линейные перемещения в направлении 
опорного стержня. Вследствие этого при приложении к системе нагрузки возникает реактивное усилие вдоль оси стержня. 

Рис. 1.12                                         Рис. 1.13

2. Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.13) запрещает линейные 

перемещения закрепляемой точки А конструкции, но разрешает 
вращение относительно нее. 

Удобно спроектировать реактивное усилие R в опоре на два вза
имно перпендикулярных направления (например, вертикальное и 
горизонтальное) и говорить о двух проекциях реактивного усилия 
V и H (для краткости – реактивных усилиях).

3. Жесткое защемление запрещает два линейных и одно угловое 

перемещения в точке закрепления. Таким образом, при воздействии 
на систему внешней нагрузки в связях опоры возникает три неизвестных реактивных усилия. Исходя из количества неизвестных реакций, можно заключить, что жесткая заделка эквивалентна трехстержневой опоре (рис. 1.14).

Рис. 1.14

Здесь расстояние 
между параллельными связями, призванными 

воспринимать момент, стремится к нулю. Участок стержня между 
ними имеет бесконечно большую жесткость EJ (E – модуль упругости материала, J – момент инерции поперечного сечения стержня). 

4. Подвижное защемление (рис. 1.15) отличается от предыдущего 

случая тем, что отсутствует горизонтальная связь, а следовательно, и 
горизонтальное реактивное усилие.