Математическая статистика

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ





серия основана в 1 996 г.




Р.Ш. ХУСНУТДИНОВ





                МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА




УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ



Рекомендовано
              Учебно-методическим объединением по образованию в области статистики и математических методов в экономике в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика»




znanium.com


Москва ИНФРА-М 2019

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.172я73
      Х98

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Рецензенты:
Ф.Г. Мухлисов — профессор кафедры высшей математики и математического моделирования КФУ;
И.П. Семенов — профессор кафедры высшей математики КГАСУ






          Хуснутдинов Р.Ш.
Х98 Математическая статистика : учеб. пособие / Р.Ш. Хуснутдинов. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 205 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — www.dx.doi.org/10.12737/4555.
       ISBN 978-5-16-009520-2 (print)
       ISBN 978-5-16-100720-4 (online)
           Учебное пособие написано в соответствии с Государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования и содержит весь материал новой программы по курсу математической статистики.
           Предназначается для студентов вузов и лиц, использующих методы теории вероятностей и математической статистики при решении практических задач.

ББК 22.172я73



















ISBN 978-5-16-009520-2 (print)
ISBN 978-5-16-100720-4 (online)


© Хуснутдинов Р.Ш., 2015

ВВЕДЕНИЕ

   Математическая статистика, опираясь на результаты проводимых экспериментов (наблюдений), занимается изучением и установлением закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления.
   Одной из важнейших задач математической статистики является разработка методов сбора и обработки статистического материала, полученного в результате экспериментов и наблюдений за случайными процессами.
   Другой задачей математической статистики является разработка методов анализа собранного материала для получения научных и практических выводов с их дальнейшим приложением в различных областях человеческой деятельности. При этом, в частности, решаются следующие задачи:
♦ оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения и ее параметров;
♦ установление формы связи между случайными величинами и оценка тесноты этой связи;
♦ проверка статистических гипотез о параметрах распределения и о виде распределения, если оно неизвестно, и др.
   При решении вышеперечисленных задач математическая статистика широко использует теорию вероятностей и ее методы, при этом разрабатывая новые методы, характерные сугубо для этой науки.

з

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Рекомендуемая читателям книга написана на основе лекций, прочитанных автором в течение последних лет студентам Казанского национального исследовательского технологического университета по курсутеории вероятностей и математической статистики, и полностью соответствует новым Федеральным государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования по указанной математической дисциплине.
   Основная цель изучения дисциплины «Математическая статистика» заключается: в формировании у обучающихся математической культуры и мышления, их интеллектуального развития, которые необходимы для правильного и полноценного функционирования в современном обществе; в изучении математического аппарата, необходимого как при решении многих прикладных задач, так и при изучении других дисциплин.
   Дисциплина «Математическая статистика» входит в базовую часть математического и естественно-научного цикла и широко используется при изучении таких курсов, как «Теория вероятностей», «Статистика», «Основы математического моделирования социально-экономических процессов», «Эконометрика», «Экономическая теория», и многих других курсов.
   В результате освоения этой дисциплины обучающийся должен овладеть следующими общекультурными и профессиональными компетенциями:
   1)   знанием законов развития природы, общества, мышления и умением применять эти знания в своей профессиональной деятельности;
   2)   умением применять количественный и качественный анализ при теоретических и экспериментальных исследованиях.
   В результате освоения указанной выше дисциплины обучающийся должен:
♦ знать: основы выборочного метода, методы корреляционного и дисперсионного анализа, законы распределения случайных величин — и уметь проверять их достоверность статистическими методами;
♦ уметь: составлять вариационные ряды и проводить их анализ; находить и исследовать неизвестные законы распределения; решать задачи по корреляционному и дисперсионному анализу статистическими методами;
♦ владеть: навыками анализа и оценки технологических, экономических и социальных процессов; способностью применения математического аппарата к решению прикладных задач.

4

   Первая часть курса (курс по теории вероятности) подробно изложена в книге автора [9], вышедшей в2013г. Предлагаемая книга посвящена полному и систематическому изложению второй части этого курса — курса математической статистики и состоит из шести разделов. В первых двух разделах рассматриваются основные задачи выборочного метода: построение выборочных характеристик; оценка неизвестных параметров теоретического распределения; установление несмещенности, состоятельности построенных оценок и т.д.
   Третий и четвертый разделы посвящены изучению вопросов, касающихся статистической проверки статистических гипотез либо относительно неизвестных законов распределения, либо относительно неизвестных параметров распределения. Проверка статистических гипотез в обоих случаях осуществляется с помощью построения соответствующим образом подобранных случайных величин — критериев.
   В пятом разделе подробно изучаются вопросы корреляционной зависимости между случайными величинами. В частности, решается задача об аппроксимации функций регрессии функциями более простой структуры: линейными, полиномами второго порядка и т.д.
   Шестой раздел посвящен изложению дисперсионного анализа и приложению методов дисперсионного анализа к решению практических задач по статистике.
   С целью облегчения усвоения изложенного материала в книге многие теоретические выкладки сопровождаются решением и анализом типовых задач. Чтобы вызвать повышенный интерес к предлагаемому курсу, автор при составлении и подборе предлагаемых задач старался максимально приблизить их содержание к реальной действительности.
   В книге для краткости изложения используется общепринятая математическая символика. Нумерация разделов в книге — сквозная, а для определений, теорем, формул и т.д. — по разделам. Например, запись «формула (1.6)» означает, что это шестая формула из первого раздела.
   Автор выражает глубокую благодарность рецензентам — профессору кафедры высшей математики и математического моделирования Казанского (Приволжского) федерального университета Ф.Г. Мухлисову и профессору высшей математики Казанского государственного архитектурно-строительного университета И.П. Семенову, внимательно прочитавшим рукопись книги и сделавшим ряд ценных советов и замечаний, которые были учтены автором при окончательном редактировании книги.

1. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД




1.1. ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СОВОКУПНОСТИ.
    СПОСОБЫ ОТБОРА

Определение 1.1. Совокупность однородных объектов, объединенных по некоторому признаку (качественному или количественному), называется генеральной совокупностью.
   Например, если рассмотреть некоторую партию произведенных деталей как некоторую совокупность, то стандартность этих деталей будет характеризовать их качественный признак, а размер деталей — их количественный признак.
   Объекты, составляющие данную совокупность, часто будем называть членами этой совокупности.
   В общем случае генеральную совокупность, обладающую некоторым количественным признаком, можно рассматривать как множество значений некоторой случайной величины ^ (что в дальнейшем и будем делать), заданной на некотором вероятностном пространстве {□, Р}: {^(®)}юеП. При этом закон распределения вероятности и характеристики этой случайной величины (математическое ожидание, дисперсия и т.д.) будут служить законом распределения и характеристиками этого признака. В зависимости от того, является ли случайная величина ^ дискретной (конечной или счетной) или непрерывной, и генеральная совокупность {^(ю)}будет дискретной или непрерывной.
   При изучении генеральной совокупности относительно некоторого признака редко проводят сплошное обследование ее членов. Обычно ограничиваются изучением некоторой ее части.
Определение 1.2. Совокупность случайно отобранных членов из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью (или выборкой).
Определение 1.3. Число членов, составляющих генеральную (выборочную) совокупность, называется объемом генеральной (выборочной) совокупности.
   Например, если из партии 500 деталей отобрано для обследования 50, то объем генеральной совокупности N = 500, а объем выборки и = 50.
   Замечание 1.1. В дальнейшем объем генеральной совокупности будем обозначать через N, выборки — п .

6

   Различают два способа отбора в выборочную совокупность: повторный и бесповторный.
Определение 1.4. Если отобранный объект после его регистрации и обследования перед очередным отбором возвращается в генеральную совокупность, то такой отбор называется повторным.
   При бесповторном отборе отобранный и обследованный объект обратно в генеральную совокупность не возвращается.
   В соответствии с указанными выше способами отбора выборки подразделяют на повторные и бесповторные.
   Одним из важных требований к образованной выборке (повторной или бесповторной) является ее репрезентативность, т.е. представительность. Это означает, что отобранные в выборку члены должны хорошо представлять генеральную совокупность, т.е. чтобы данные выборки правильно и объективно отражали свойства изучаемого признака всей совокупности.
   Видимо, это важное требование отчасти будет удовлетворено, если отбор членов в выборочную совокупность будет осуществлен случайно. В этом случае согласно закону больших чисел все члены генеральной совокупности будут обладать равными возможностями (будут иметь одинаковую вероятность) попасть в выборочную совокупность. Такой отбор, удовлетворяющий вышеуказанным требованиям (условиям), называется собственно-случайным (простым случайным).
   Другим важным фактором, влияющим на репрезентативность выборки, является, очевидно, ее объем: чем больше членов будет отобрано в выборку, тем точнее и правильнее выборка будет представлять генеральную совокупность.
   При составлении выборочной совокупности обычно применяют «метод жеребьевки», т.е. поступают следующим образом: всем членам генеральной совокупности присваивают числовые номера и одновременно оформляют на них одинаковые по форме карточки с теми же номерами. Оформленные карточки тщательно перемешиваются, и затем организуют собственно-случайный отбор (повторный или бесповторный) уже этих карточек. Затем по образованной выборке карточек составляют идентичную выборку из генеральной совокупности.
   Если объем генеральной совокупности достаточно большой, то для организации выборки обычно пользуются готовыми таблицами «случайных чисел». С этой целью открывают любую страницу этой таблицы и выписывают подряд из таблицы столько чисел, каков должен быть объем выборки. Если при этом некоторые числа таблицы превышают номера членов генеральной совокупности, то их пропускают. При бесповторном отборе пропускают также те числа, которые

7

ранее уже встречались. В конце составляют выборочную совокупность. При этом номера членов выборки должны соответствовать числам, выписанным из таблицы «случайных чисел».
   Нередко при образовании выборок генеральную совокупность приходится разбивать на отдельные группы. Необходимость такой разбивки диктуется различными обстоятельствами, например либо генеральная совокупность имеет достаточно большой объем, либо изучаемый признак в генеральной совокупности слишком неоднороден. В соответствии с этим разбиением генеральной совокупности различают: а) типический отбор; б) серийный отбор; в) механический отбор.
   Типический отбор применяется, когда исследуемый признак заметно колеблется в различных частях генеральной совокупности, и состоит в следующем. Генеральную совокупность разбивают на несколько групп и, проведя собственно-случайный отбор в каждой «типической» группе, обследуют члены этой группы относительно интересующего признака.
   Если колебание исследуемого признака в генеральной совокупности незначительно, а объем совокупности достаточно большой, то при организации выборочной совокупности используется серийный отбор. При серийном отборе вся генеральная совокупность расчленяется на группы (серии) и затем уже среди полученных серий проводится собственно-случайный отбор. В полученной выборке, состоящей из серий, обследуется на интересующий признак каждый член серий.
   При механическом отборе генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, каков должен быть объем выборочной совокупности. Затем из каждой группы собственно-случайным отбором извлекают один объект. Эти отобранные объекты в дальнейшем и составляют выборочную совокупность.

1.2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ
   Пусть из генеральной совокупности объема N с целью изучения количественного признака ^ образована выборка объема п.
Определение 1.5. Выборочные значения признака ^ называются вариантами , а число, показывающее, сколько раз встречается в выборке каждая варианта, — ее частотой (или весом).
Определение 1.6. Отношение частоты варианты к объему выборки называется ее относительной частотой.

8

   По аналогии с определением распределения вероятности случайных величин и для выборок вводится схожее понятие — статистическое распределение.
Определение 1.7. Статистическимраспределением признака ^ выборочной совокупности называется перечень ее вариант с соответствующими им частотами (относительными частотами).
   Если выборка, кроме того, и упорядочена (в сторону уменьшения или увеличения ее членов), то таблица, составленная из значений выборки с соответствующими им частотами (относительными частотами), называется вариационным рядом. Общий вид дискретного статистического распределения (вариационного ряда) представлен втабл. 1.1.

Та бл и ца 1.1

варианта               х 1   Х2   ...   х   
                                        т   
Частота                п 1   п 2  ...   пт  
Относительная частота п 1/п п 2/п ... пт / п

   В этой таблице в первой строке помещены различные значения вариант, во второй — их частоты, в третьей — их относительные частоты.
   Для табличного изображения непрерывных выборок промежуток, содержащий выборочную совокупность, разбивают на частичные промежутки (интервалы) [а ₁, а₂), [а₂, а₃),..., [ат_₁, ат]и затемдля каждого из них подсчитывают сумму частот (относительных частот) вариант, попавших в этот промежуток. В первой строке таблицы помещают частичные интервалы, во второй — соответствующие им суммы частот. Общий вид непрерывного статистического распреде-лениязадантабл. 1.2.
Та бл и ца 1.2

Интервал [ а 1;а 2) [а2; а3) ... [ ат _1; ат]
Частота     п 1       п 2    ...      п      
                                      т      

   Итак, в этом случае непрерывное статистическое распределение выборки выражается интервальным вариационнымрядом, записанным ввидетабл. 1.2.
   Разности а₂ _ ар а₃ _ а₂,..., ат _ ат_₃ называются интервальными разностями. Наиболее простыми являются вариационные ряды с равными интервальными разностями. Примером такого ряда может служить распределение сотрудников предприятия по стажу работы, приведенноевтабл. 1.3.

9

Та бл и ца 1.3

Стажработы, лет  2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 22-26 26-30      
Числоработников, 4   8     17   30    19    12    10    Итого
      чел.                                               100 

   Часто при решении различных задач статистики возникает необходимость перехода от интервальных вариационных рядов к дискретным . Этот переход осуществляется следующим образом: в первой строке таблицы интервалы заменяют их средними значениями, а вторую строку оставляют без изменения. Например, интервальному вариационномуряду, заданномутабл. 1.3, будетсоответствовать сле-дующийдискретныйряд (табл. 1.4).

Таблица 1.4

Стажработы, лет  4    8     12  16  20   24   28       
Числоработников, 4    8     17  30  19   12   10  Итого
      чел.                                         100 
 Доляработников  0,04 0,08 0,17 0,3 0,19 0,12 0,1 Сумма
                                                    1  

   Замечание 1.2. Два смежных интервала имеют одну общую точку — точку их пересечения. При вычислительных работах эту точку относят только к одному из смежных интервалов. Например, в табл. 1.2 общие точки смежных интервалов отнесены к их левым концам.
   Замечание 1.3. Если крайние интервалы вариационного ряда с разными интервальными разностями неограничены, то при вычислениях их заменяют конечными интервалами с длинами, равными длине их смежных интервалов. Например, в вариационном ряду, выражающем распределение поселков городского типа по численности их населения (табл. 1.5),в качестве первого интервала берут интервал [1;3), апоследнего —[20; 30].

Та бл и ца 1.5

Число жителей,  Менее 3 От3до5 От 5до 10 От 10 до 20 Более 20      
 тыс. человек                                                      
Число поселков   1034    976     1251        422        51    Итого
городского типа                                               3734 
    Их доля      «0,28  «0,26    «0,33      «0,11      «0,2        

1.3. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОЛИГОН И ГИСТОГРАММА

   Статистическое распределение выборки, кроме табличного изображения, может иметь и другие представления, например геометри

ю