Методы теории катастроф в феноменологии фазовых переходов
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Физика твердого тела. Кристаллография
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Автор:
Павлов Сергей Васильевич
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 176
Дополнительно
Вид издания:
Монография
Уровень образования:
Дополнительное профессиональное образование
ISBN: 978-5-16-014798-7
ISBN-онлайн: 978-5-16-107303-2
Артикул: 700766.01.01
К покупке доступен более свежий выпуск
Перейти
Монография посвящена изложению методов теории катастроф и построению на основе этих методов феноменологических моделей фазовых переходов в твердых телах. Изложены методы построения структурно устойчивых нормальных форм функций, в том числе функций, на которые наложены условия симметрии. Проведена классификация феноменологических моделей фазовых переходов для двух взаимодействующих однокомпонентных параметров порядка, двухкомпонентных и трехкомпонентных параметров порядка по числу управляющих параметров, варьируемых в эксперименте. Теоретические зависимости аномалий физических свойств моделей сопоставляются с экспериментальными данными в сегнетоэлектриках, магнетиках, твердых растворах редкоземельных металлов, мультиферроиках и других твердых телах, испытывающих фазовые переходы.
Для специалистов в области физики твердого тела и фазовых переходов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 04.03.02: Химия, физика и механика материалов
- ВО - Магистратура
- 01.04.04: Прикладная математика
- 03.04.02: Физика
- Аспирантура
- 01.06.01: Математика и механика
- 03.06.01: Физика и астрономия
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
МЕТОДЫ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ В ФЕНОМЕНОЛОГИИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ С.В. ПАВЛОВ Москва ИНФРА-М 2020 МОНОГРАФИЯ
УДК 537.9(075.4) ББК 22.317 П12 Павлов С.В. П12 Методы теории катастроф в феноменологии фазовых переходов : монография / С.В. Павлов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 176 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/1004276. ISBN 978-5-16-014798-7 (print) ISBN 978-5-16-107303-2 (online) Монография посвящена изложению методов теории катастроф и построению на основе этих методов феноменологических моделей фазовых переходов в твердых телах. Изложены методы построения структурно устойчивых нормальных форм функций, в том числе функций, на которые наложены условия симметрии. Проведена классификация феноменологических моделей фазовых переходов для двух взаимодействующих однокомпонентных параметров порядка, двухкомпонентных и трехкомпонентных параметров порядка по числу управляющих параметров, варьируемых в эксперименте. Теоретические зависимости аномалий физических свойств моделей сопоставляются с экспериментальными данными в сегнетоэлектриках, магнетиках, твердых растворах редкоземельных металлов, мультиферроиках и других твердых телах, испытывающих фазовые переходы. Для специалистов в области физики твердого тела и фазовых переходов. УДК 537.9(075.4) ББК 22.317 Р е ц е н з е н т ы: Максимов А.В., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики Череповецкого государственного университета; Широков В.Б., доктор физико-математических наук, профессор Южного федерального университета, ведущий научный сотрудник Южного научного центра Российской академии наук ISBN 978-5-16-014798-7 (print) ISBN 978-5-16-107303-2 (online) © Павлов С.В., 2020 © Павлов С.В., иллюстрация на обложке, 2020
Введение В 1955 году американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу «Об отображениях плоскости на плоскость», заложившую основу новой математической теории – теории особенностей дифференцируемых отображений [1]. Она стала одной из областей математики, связывающей фундаментальные разделы математики (алгебраическую и дифференциальную геометрию, теорию групп, порожденных отражениями, теорию комплексных пространств, коммутативную алгебру и так далее) с прикладными (теория устойчивости движения динамических систем, теория бифуркаций положений равновесия, геометрическая и волновая оптика и так далее). Сам термин «катастрофа» был введен французским математиком Рене Томом [2] для обозначения качественного скачкообразного изменения объекта при плавном изменении параметров, от которых он зависит. Этот термин, заменивший использовавшиеся до него термины «бифуркация», «перестройка», «метаморфоза», завоевал широкую популярность после того, как Зиман [3] предложил употреблять название «теория катастроф» для объединения теории особенностей дифференцируемых отображений, теории бифуркаций и их приложений. О таком, казалось бы, громком названии хорошо сказал академик Д.В. Аносов [4]: «По инициативе Р. Тома вместо бифуркаций говорят о “катастрофах’’. Это слово тоже не надо понимать буквально. Приведу примеры, действительно серьезно рассматривавшиеся в работах по “теории катастроф’’: если нарушается устойчивость упругой конструкции, то это, скорее всего, катастрофа, но, если солнечные лучи, преломляясь в воде, образуют на дне ручья яркие линии – это едва ли кого-нибудь волнует, кроме разве детей, видящих это впервые. Как возможный (но не доведенный до математической модели) пример “катастрофы’’ упоминают о резком изменении в течении болезни, после которого больной почти на глазах начинает поправляться; это если и катастрофа, то только для бактерий. Если катастрофа – синоним бифуркации, то можно спросить, какой термин удачнее. Как ясно из сказанного, ни тот, ни другой не приходится понимать буквально. Но “катастрофа’’ – слово обычного (литературного и разговорного) языка, имеющее определенный и притом весьма эмоционально окрашенный смысл, а о первоначальном значении слова “бифуркация’’ знает намного меньше людей, и даже у них с ним едва ли связаны какие-то эмоции. Поэтому для науки более подходит нейтральное слово “бифуркация’’, а для массовых изданий – “катастрофа’’». Тем не менее термин «теория катастроф» прочно укоренился в современной науке.
Одним из создателей теории особенностей является российский математик академик В.И. Арнольд. Работы Арнольда [5–11] по классификации нормальных форм функций вблизи критических точек легли в основу современной теории особенностей и теории катастроф, которая в наиболее систематическом виде изложена в монографиях [12–14]. Теория особенностей (теория катастроф) успешно применяется в оптике [15–19], в теории упругости [15, 16, 20], для построения феноменологических моделей фазовых переходов в различных веществах [21–32]. Более полное применение теории катастроф к феноменологическим исследованиям фазовых переходов можно найти в работах [25, 33–37]. Цель данной книги – изложить основные идеи и методы теории катастроф в конструктивной форме, позволяющей использовать эту теорию в построении феноменологических моделей фазовых переходов, но, самое главное, начало классификации феноменологических моделей методами эквивариантной теории катастроф с различным числом параметров, зависящих от внешних условий, варьируемых в эксперименте – температуры, давления, химпотенциалов примесей и т.д. При этом необходимо решать задачи по нахождению эквивариантных векторных полей и построению на их основе феноменологических моделей с многокомпонентными и взаимодействующими параметрами порядка. До сих пор не проводилась систематическая классификация феноменологических моделей в постановке задачи, изложенной в первой главе, а именно, только исходя из симметрии параметров порядка и числа управляющих параметров, зависящих от внешних условий – температуры, давления, химпотенциалов примесей и др. Монография состоит из трех глав. В первой главе формулируется постановка задачи, а также показывается, что традиционное построение феноменологических моделей фазовых переходов, основанное на разложении термодинамического потенциала в ряд по малому параметру, которым является параметр порядка, необоснованно. Зачастую исследование свойств такого термодинамического потенциала приводит к ошибочным, нефизичным результатам. Для построения феноменологических моделей, адекватно описывающих физические свойства термодинамической системы вблизи точек фазовых переходов, необходимо применение методов теории катастроф. При построении таких моделей исходными данными являются число и трансформационные свойства параметров порядка (причем не обязательно малых), которые однозначно определяются из теоретико-группового анализа, а также количество управляющих параметров, зависящих от внешних условий, варьируемых в эксперименте (темпе
ратура, давление и т.п.). Приводится пример теоретико-группового анализа для конкретной пространственной группы и на его основе обсуждается понятие группы симметрии параметров порядка, так называемой L-группы, и целого рационального базиса инвариантов, важных для построения эквивариантных векторных полей и феноменологических моделей фазовых переходов. В последнем параграфе главы приведен краткой обзор классической теории Ландау фазовых переходов, а также работ, в которых теория катастроф использовалась для построения феноменологических моделей фазовых переходов. Вторая глава посвящена изложению математических методов теории катастроф, необходимых для построения феноменологических моделей фазовых переходов. Здесь кратко приведены основные леммы и теоремы элементарной теории катастроф и показано, что их недостаточно при построении моделей для систем с симметрией. Далее излагаются такие методы и алгоритмы, как техника «разгадывания кроссвордов», приведение функций к нормальной форме с помощью метода спектральной последовательности комплекса Кошуля как для функций без симметрии, так и в присутствии симметрии. Пользуясь этими алгоритмами, можно, исходя из числа управляющих параметров, варьируемых в эксперименте, определить конкретный вид термодинамического потенциала, адекватно описывающего физические свойства системы для данного числа управляющих параметров. Изменение числа управляющих параметров, а также их приоритета приводит к изменению вида термодинамического потенциала. Описание основных алгоритмов иллюстрируется примерами как построения нормальных форм функций без симметрии, так и феноменологических моделей фазовых переходов в присутствии симметрии. Кроме того, сформулирован алгоритм Бухбергера, позволяющий рассчитывать базисы Грёбнера, которые играют немаловажную роль в построении нормальных форм структурно устойчивых функций и феноменологических моделей. В третьей главе методы теории катастроф применяются для построения феноменологических моделей фазовых переходов для однокомпонентного параметра порядка, для двух взаимодействующих однокомпонентных параметров порядка, а также для двухкомпонентных и трехкомпонентных параметров порядка в различных термодинамических системах: слоистых сегнетоэлектриках висмутсодержащих соединений, твердых растворах на основе титаната-цирконата свинца, сегнетоэластиках, магнетиках, сверхпроводниках, сплавах и мультиферроиках. С помощью этих моделей рассчитаны температурные зависимости аномалий физических свойств, которые сопоставляются с имеющимися в литературе
экспериментальными данными. Центральное место в этой главе занимает классификация феноменологических моделей для двух- и трехкомпонентных параметров порядка, а также двух взаимодействующих однокомпонентных параметров порядка, проведенная по числу управляющих параметров.
Глава 1 МЕСТО И РОЛЬ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ В ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ Выпадение любых элементов симметрии не оз нача ет исчезновения симметрии вообще, а указывает лишь на необходимость выявления ее новых форм, и следует придать особое значение исчезнувшим элементам симметрии объекта, так как для творения нового явления необходимо, чтобы некоторые элементы симметрии отсутствовали. П. Кюри. О симметрии в физических явлениях 1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Общая постановка задачи в феноменологической теории фазовых переходов в кристаллах следующая: дана высокосимметричная пространственная группа кристалла G0 и экспериментальное подтверждение того, что в кристалле с данной симметрией происходят или могут происходить фазовые переходы. (Феноменологическая теория не может предсказывать наличие фазовых переходов, а лишь описывает уже существующие.) На основе математических методов нужно установить, в какие подгруппы этой группы могут происходить фазовые переходы, то есть группы низкосимметричных фаз, а также возможную физическую реализацию параметра или параметров порядка, и какие физические свойства появляются в результате фазовых переходов. Эти задачи решаются математически точно с применением методов теории групп и теории инвариантов. Но для построения фазовых диаграмм и нахождения в области точек фазовых переходов зависимостей физических свойств от внешних воздействий – температуры, давления и т.п. необходимо знать конкретный вид термодинамического потенциала, то есть переходить к построению и исследованию феноменологических моделей. Как известно, любая физическая модель есть упрощенная версия физической системы, сохраняющая ее основные и главные черты. А каковы основные черты термодинамической системы, испытывающей фазовые переходы? Это глобальная минимальность и структурная устойчивость. Для обеспечения термодинамической устойчивости системы в целом описывающий ее термодинамический потенциал не должен
допускать бесконечно больших флуктуаций параметров порядка, приводящих к бесконечному выигрышу в энергии. Для этого требуется его глобальная минимальность, т.е. термодинамический потенциал должен всегда иметь глобальный минимум при конечных значениях параметров порядка. Понятие структурной устойчивости для феноменологии фазовых переходов является одним из важнейших. Дело в том, что в разряд физических явлений можно отнести лишь те, которые обладают достаточной повторяемостью в эксперименте, т.е. когда эксперимент в условиях, которые почти не отличаются друг от друга, дает с некоторой точностью один и тот же исход. Другими словами, небольшое изменение внешних управляющих параметров не должно сильно изменять свойства термодинамической системы. Значит, феноменологическая модель, описывающая свойства такой системы, должна быть структурно устойчива, то есть термодинамический потенциал должен быть структурно устойчивой функцией. Явный вид термодинамического потенциала согласно теории Ландау задается в виде конечного отрезка разложения в степенной ряд по инвариантным комбинациям параметров порядка. Глобальная минимальность обеспечивается тем, что члены высших степеней в разложении имеют четные степени и положительные коэффициенты. Более строгое понятие глобальной минимальности в терминах теории катастроф будет дано в параграфе 2.6 после развития соответствующей техники. А вот условие структурной устойчивости при простом разложении в ряд по степеням параметра порядка до 2n-ной степени всегда выполняется лишь для одного однокомпонентного параметра порядка. В случае нескольких взаимодействующих или многокомпонентных параметров порядка структурную устойчивость обеспечить удается далеко не всегда. Только применение методов теории катастроф делает возможным построение структурно устойчивой феноменологической модели. Этому вопросу и посвящена настоящая монография. 1.2. ПРИМЕР ТЕОРЕТИКОГРУППОВОГО АНАЛИЗА Рассмотрим на простом примере, как, зная группу высокосимметричной фазы кристалла, определить группы симметрии низкотемпературных фаз, возможные физические реализации параметров порядка и инвариантные комбинации параметров порядка, от которых зависит равновесный термодинамический потенциал. Пусть G0=P4/mmm (D4h 1) – группа, принадлежащая тетрагональной сингонии. Эта группа содержит только элементы точечной группы 4/ mmm (D4h) и чистые трансляции.
Для решения поставленной задачи необходимо построить неприводимые представления этой группы. Процедура нахождения неприводимых представлений подробно описана во многих монографиях и учебных пособиях, например в [38–41], поэтому мы на ней останавливаться не будем. Отметим лишь, что при построении неприводимых представлений нужно учитывать изменения объема элементарной ячейки кристалла при фазовом переходе. Дело в том, что при удвоении, утроении и т.д., то есть при мультипликации элементарной ячейки в результате фазового перехода неприводимые представления могут быть различными. Также обратим внимание на то, что для теоретико-группового анализа нам нужны не таблицы характеров неприводимых представлений, а таблицы матриц неприводимых представлений. Рассмотрим наиболее простой случай, когда фазовый переход происходит без мультипликации элементарной ячейки кристалла. Тогда для теоретико-группового анализа можно использовать таблицу неприводимых представлений точечной группы, то есть в данном случае это 4/mmm (D4h) (табл. 1.1). Точечная группа симметрии 4/mmm (D4h) содержит инверсионную ось четвертого порядка, четыре перпендикулярных ей осей второго порядка, четыре плоскости зеркального отражения, проходящие через ось четвертого порядка, плоскость, перпендикулярную оси 4 и центр инверсии. Каждое неприводимое представление содержит полную информацию о симметрии низкотемпературной фазы, трансформационных свойствах параметра порядка, то есть Таблица 1.1 Неприводимые представления группы P4/mmm (D4h 1) 1 42 4 4–1 2y 2x 2xy 2xy 1 + Γ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − Γ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + Γ 1 1 –1 –1 1 1 –1 –1 2 − Γ 1 1 –1 –1 1 1 –1 –1 3 + Γ 1 1 1 1 –1 –1 –1 –1 3 − Γ 1 1 1 1 –1 –1 –1 –1 4 + Γ 1 1 –1 –1 –1 –1 1 1 4 − Γ 1 1 –1 –1 –1 –1 1 1 5 + Γ 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 5 − Γ 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠
его симметрии и возможной физической реализации. Рассмотрим, как извлечь эту информацию. Из табл. 1.1 видно, что группа 4/mmm (D4h) имеет восемь одномерных неприводимых представлений и два двумерных. Одномерные представления состоят из +1 и –1, двумерные – квадратные матрицы размером 2 × 2. Размерность представления определяет число компонент параметра порядка. По одномерным представлениям происходит фазовый переход с однокомпонентными параметрами порядка, по двумерным – с двухкомпонентным. Группы низкосимметричных фаз опреде Продолжение табл. 1.1 1 m⊥ 4 1 4− my mx mxy xy m 1 + Γ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − Γ –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 2 + Γ 1 1 –1 –1 1 1 –1 –1 2 − Γ –1 –1 1 1 –1 –1 1 1 3 + Γ 1 1 1 1 –1 –1 –1 –1 3 − Γ –1 –1 –1 –1 1 1 1 1 4 + Γ 1 1 –1 –1 –1 –1 1 1 4 − Γ –1 –1 1 1 1 1 –1 –1 5 + Γ 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 5 − Γ 1 0 0 1 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ Окончание табл. 1.1 Ядро гомоморфизма Базисные функции L-группа 1 + Γ P4/mmm (D4h 1) x2+y2, z2 1 (C1) 1 − Γ P422 (D4 1) 2 (Cs) 2 + Γ Pmmm (D2h 1) x2–y2 2 (Cs) 2 − Γ P42m (D4d 1) xy 2 (Cs) 3 + Γ P4/m (C4h 1) Jz 2 (Cs) 3 − Γ P4mm (C4v 1) z 2 (Cs) 4 + Γ Cmmm (D2h 19) 2 (Cs) 4 − Γ P4m2 (D4d 5) 2 (Cs) 5 + Γ P1 (Ci 1) (Jx, Jy) (xz, yz) 4mm (C4v) 5 − Γ Pm (Cs 1) (x, y) 4mm (C4v)
К покупке доступен более свежий выпуск
Перейти