Теория управления в примерах и задачах

А.В. ПАНТЕЛЕЕВ
А.С. БОРТАКОВСКИЙ
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
2-е издание, стереотипное
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации
по образованию в области авиации, ракетостроения
и космоса в качестве учебного пособия для студентов
высших технических учебных заведений
Москва
ИНФРА-М
2020

УДК [62-50+517.97](075.8)
ББК 22.161я73
 
П16
А в т о р ы:
Пантелеев А.В., доктор физико-математических наук;
Бортаковский А.С., доктор физико-математических наук
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра «Теория динамических систем» Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (заведующий кафедрой академик Российской академии наук Аносов Д.В.); 
Баранов В.Н., доктор технических наук, профессор
Пантелеев А.В.
П16  
Теория управления в примерах и задачах : учебное пособие / 
А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский. — 2-е изд., стер. — Москва : 
ИНФРА-М, 2020. — 584 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). 
ISBN 978-5-16-011862-8 (print)
ISBN 978-5-16-104158-1 (online)
Изложены методы решения задач описания, анализа и синтеза линейных и нелинейных систем управления. Приведены примеры решения задач анализа выходных процессов, устойчивости, управляемости 
и наблюдаемости линейных непрерывных систем с использованием всех 
четырех форм математического описания систем: дифференциальными 
уравнениями, переходными функциями, интегральными и спектральными 
преобразованиями. Рассмотрены методы описания и анализа дискретных 
линейных систем с помощью разностных уравнений и z-преобразования. 
Описаны алгоритмы исследования нелинейных систем управления методами фазовой плоскости, гармонической и статистической линеаризации. 
Изложены задачи синтеза оптимальных непрерывных, дискретных, непрерывно-дискретных детерминированных и стохастических систем, задачи 
совместного оценивания и управления.
Для студентов, аспирантов технических вузов и университетов, изучающих теорию управления и регулирования.
УДК [62-50+517.97](075.8)
ББК 22.161я73
ISBN 978-5-16-011862-8 (print)
ISBN 978-5-16-104158-1 (online)
© Пантелеев А.В., 
Бортаковский А.С., 2016

 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие................................................................................................................................. 9 
Введение..................................................................................................................................... 10 
 
Часть I. ЛИНЕЙНЫЕ  СИСТЕМЫ  УПРАВЛЕНИЯ ...................................................... 16 
Глава 1. Описание и анализ непрерывных линейных систем с помощью  
                дифференциальных уравнений............................................................................. 16 
1.1. Одномерные системы при детерминированных воздействиях................................. 16 
   1.1.1.  Описание сигналов и систем ............................................................................. 16 
1.1.2. Связь структурной схемы с дифференциальным уравнением....................... 22 
1.1.3. Дифференциальные уравнения соединений .................................................... 25 
1.1.4. Связь вход-выход................................................................................................ 30 
   1.1.5.  Анализ выходных процессов............................................................................. 33 
1.2. Многомерные системы при детерминированных воздействиях............................... 40 
   1.2.1. Описание сигналов и систем .............................................................................. 40 
1.2.2. Уравнения состояния и выхода соединений .................................................... 42  
1.2.3. Связи вход-состояние и вход-выход................................................................. 47 
   1.2.4. Анализ выходных процессов.............................................................................. 49 
1.3. Линейные системы при случайных воздействиях.......................................... ............ 59 
   1.3.1. Описание сигналов и систем .............................................................................. 59 
1.3.2. Связи вход-выход ............................................................................................... 61  
1.3.3. Анализ выходных процессов............................................................................. 63 
1.4. Устойчивость, управляемость и наблюдаемость линейных 
        стационарных систем.................................................................................................... 67 
   1.4.1. Анализ устойчивости .......................................................................................... 67 
   1.4.2. Анализ управляемости и наблюдаемости ......................................................... 73 
Глава 2. Описание и анализ непрерывных линейных систем с помощью  
                переходных функций .............................................................................................. 79 
2.1. Одномерные системы при детерминированных воздействиях................................. 79 
   2.1.1. Описание сигналов и систем .............................................................................. 79 
2.1.2. Связи вход-выход ............................................................................................... 80 
2.1.3. Нахождение переходных функций ................................................................... 83 
2.1.4. Импульсные переходные функции соединений .............................................. 95 
   2.1.5. Анализ выходных процессов.............................................................................. 98 
2.2. Многомерные системы при детерминированных воздействиях............................. 101 
   2.2.1. Описание сигналов и систем ............................................................................ 101 
2.2.2. Связи вход-состояние и вход-выход............................................................... 102 
2.2.3. Нахождение импульсных переходных функций ........................................... 102 
2.2.4. Анализ выходных процессов........................................................................... 103 
2.3. Линейные системы при случайных воздействиях.. .................................................. 107 
  2.3.1. Описание сигналов и систем ............................................................................. 107 
  2.3.2. Связи вход-выход ............................................................................................... 107 
           2.3.3. Анализ выходных процессов............................................................................. 109 
 
3

Глава 3. Описание и анализ непрерывных линейных систем с помощью  
                интегральных преобразований........................................................................... 114 
3.1.  Одномерные стационарные системы при детерминированных  
       воздействиях. Применение преобразования Лапласа ............................................. 114 
    3.1.1.  Описание сигналов и систем .......................................................................... 114 
3.1.2. Связь вход-выход............................................................................................ 116  
3.1.3. Передаточные функции соединений............................................................. 117 
3.1.4. Анализ выходных процессов ......................................................................... 125 
3.1.5. Анализ устойчивости...................................................................................... 138 
3.1.6. Анализ чувствительности .............................................................................. 140 
3.2. Многомерные стационарные системы при детерминированных                  
воздействиях. Применение преобразования Лапласа............................................. 143 
    3.2.1. Описание сигналов и систем ........................................................................... 143 
3.2.2. Связи вход-состояние и вход-выход.............................................................. 144  
3.2.3. Анализ выходных процессов.......................................................................... 144 
3.3. Одномерные стационарные системы. Применение преобразования Фурье.......... 151 
3.3.1. Описание сигналов и систем........................................................................... 151 
    3.3.2. Анализ выходных процессов при случайных воздействиях........................ 164 
    3.3.3. Анализ устойчивости....................................................................................... 169 
   Глава 4. Описание и анализ непрерывных линейных систем с помощью  
 
 
     спектральных преобразований ........................................................................ 194 
4.1. Одномерные системы при детерминированных воздействиях ............................. 194 
    4.1.1. Описание сигналов и систем ........................................................................... 194 
4.1.2. Связь вход-выход............................................................................................. 201  
4.1.3. Двумерные нестационарные передаточные функции соединений............. 202 
4.1.4. Анализ выходных процессов.......................................................................... 204 
4.2.  Одномерные системы при случайных воздействиях............................................... 211 
    4.2.1. Описание сигналов и систем ........................................................................... 211 
4.2.2. Связи вход-выход ............................................................................................ 211
4.2.3. Анализ выходных процессов.......................................................................... 213 
Глава 5. Описание и анализ дискретных линейных систем с помощью  
 
 
  разностных уравнений.......................................................................................... 218 
5.1.  Одномерные системы при детерминированных воздействиях .............................. 218 
    5.1.1. Описание сигналов и систем ........................................................................... 218 
    5.1.2. Связь вход-выход ............................................................................................. 219 
    5.1.3. Анализ выходных процессов........................................................................... 222 
5.2.  Многомерные системы при детерминированных воздействиях............................ 230 
    5.2.1. Описание сигналов и систем........................................................................... 230 
 
5.2.2. Связи вход-состояние и вход-выход.............................................................. 230  
 
5.2.3. Анализ выходных процессов .......................................................................... 235 
5.3.  Одномерные системы при случайных воздействиях............................................... 241 
    5.3.1. Описание сигналов и систем ........................................................................... 241 
    5.3.2. Связи вход-выход ............................................................................................. 241  
    5.3.3. Анализ выходных процессов........................................................................... 243 
 
4 

5.4. Устойчивость линейных стационарных дискретных систем................................... 248 
   5.4.1. Анализ устойчивости одномерных систем ..................................................... 248 
   5.4.2. Анализ устойчивости многомерных систем................................................... 253  
Глава 6. Описание и анализ дискретных линейных систем с помощью  
 
          Z - преобразования................................................................................................. 257 
6.1. Одномерные стационарные системы при детерминированных  
 
 воздействиях................................................................................................................ 257 
   6.1.1. Описание сигналов и систем ............................................................................ 257 
   6.1.2. Связь вход-выход .............................................................................................. 261  
   6.1.3. Анализ выходных процессов............................................................................ 262 
6.2. Многомерные стационарные системы при детерминированных  
        воздействиях................................................................................................................ 267 
   6.2.1. Описание сигналов и систем ............................................................................ 267 
   6.2.2. Связи вход-состояние и вход-выход................................................................ 267  
            6.2.3. Анализ выходных процессов............................................................................ 268 
Часть II. НЕЛИНЕЙНЫЕ  СИСТЕМЫ  УПРАВЛЕНИЯ............................................. 275 
Глава 7. Формы математического описания нелинейных систем управления......... 275 
7.1. Описание нелинейных систем дифференциальными уравнениями........................ 275 
7.2. Нелинейные системы с одним нелинейным элементом........................................... 277 
7.3. Описание нелинейных систем стохастическими дифференциальными             
уравнениями................................................................................................................. 281 
7.4. Поведение нелинейных систем на фазовой плоскости............................................ 286 
 
Глава 8. Методы анализа нелинейных систем управления........................................... 301 
    8.1. Анализ выходных процессов методом линеаризации............................................... 301 
 
8.1.1. Постановка задачи ............................................................................................. 301 
 
8.1.2. Линеаризация нелинейных систем................................................................... 301 
 
8.1.3. Алгоритм анализа выходных процессов.......................................................... 304 
    8.2. Анализ автоколебаний методом гармонической линеаризации .............................. 307 
 
8.2.1. Постановка задачи ............................................................................................. 307 
 
8.2.2. Гармоническая линеаризация нелинейных элементов................................... 308 
 
8.2.3. Алгоритм анализа автоколебаний .................................................................... 312 
    8.3. Анализ абсолютной устойчивости.............................................................................. 318 
 
8.3.1. Постановка задачи ............................................................................................. 318 
 
8.3.2. Условия абсолютной устойчивости ................................................................. 318 
       8.3.3. Алгоритм анализа абсолютной устойчивости................................................. 320 
    8.4. Анализ выходных процессов при случайных воздействиях методом  
            статистической линеаризации.................................................................................... 325 
       8.4.1. Постановка задачи.............................................................................................. 325 
       8.4.2. Статистическая линеаризация нелинейных элементов.................................. 325 
       8.4.3. Алгоритм анализа выходных процессов.......................................................... 328 
 
 
5

Часть III. ОПТИМАЛЬНЫЕ  СИСТЕМЫ  УПРАВЛЕНИЯ........................................ 334 
 
 Глава 9. Синтез оптимальных непрерывных детерминированных систем.............. 334 
 9.1. Нахождение оптимального программного управления .......................................... 334 
    9.1.1. Постановка задачи............................................................................................ 334 
    9.1.2. Принцип максимума Понтрягина ................................................................... 336 
    9.1.3. Оптимальное управление линейными системами......................................... 364 
 9.2. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью...................... 366 
    9.2.1. Постановка задачи............................................................................................ 366 
    9.2.2. Уравнение Беллмана ........................................................................................ 367 
    9.2.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов ................................................ 379 
 9.3. Нахождение оптимального управления с неполной обратной связью.................. 388 
    9.3.1. Постановка задачи............................................................................................ 388 
    9.3.2. Соотношения для нахождения оптимального управления. ......................... 390 
Глава 10. Синтез оптимальных непрерывных стохастических систем ...................... 402 
10.1. Нахождение оптимального программного управления ......................................... 402 
    10.1.1. Постановка задачи.......................................................................................... 402 
    10.1.2. Принцип максимума....................................................................................... 403 
    10.1.3. Оптимальное управление линейными системами....................................... 404 
     10.2. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью .................... 408 
     10.2.1. Постановка задачи......................................................................................... 408 
     10.2.2. Уравнение Беллмана ..................................................................................... 409 
     10.2.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов ............................................. 412 
10.3.  Нахождение оптимального управления с неполной обратной связью................ 415 
10.3.1. Постановка задачи........................................................................................ 415 
10.3.2. Соотношения для нахождения оптимального управления....................... 417 
Глава 11. Синтез непрерывных линейных систем совместного оценивания            
                  и управления ........................................................................................................ 428 
 11.1. Оптимальное управление линейными непрерывными стохастическими                 
 системами с накоплением информации о состоянии........................................... 428 
    11.1.1. Постановка задачи.......................................................................................... 428 
    11.1.2. Теорема разделения........................................................................................ 429 
    11.1.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов .............................................. 429 
11.2. Управление линейными непрерывными детерминированными 
       системами с накоплением информации о состоянии........................................... 433 
    11.2.1. Постановка задачи.......................................................................................... 433 
    11.2.2. Синтез наблюдателей состояния................................................................... 435 
    11.2.3. Синтез линейных регуляторов ...................................................................... 437 
Глава 12. Синтез оптимальных дискретных детерминированных систем ................ 440 
12.1. Нахождение оптимального программного управления ......................................... 440 
    12.1.1. Постановка задачи.......................................................................................... 440 
    12.1.2. Принцип максимума....................................................................................... 441 
     
 
6 

12.2. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью..................... 452 
    12.2.1. Постановка задачи.......................................................................................... 452 
    12.2.2. Уравнение Беллмана ...................................................................................... 453 
    12.2.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов .............................................. 455 
Глава 13. Синтез оптимальных дискретных стохастических систем.......................... 461 
 13.1. Нахождение оптимального программного управления ........................................ 461 
    13.1.1. Постановка задачи.......................................................................................... 461 
    13.1.2. Принцип максимума....................................................................................... 462 
    13.1.3. Оптимальное управление линейными системами....................................... 463 
 13.2. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью.................... 464 
    13.2.1. Постановка задачи.......................................................................................... 464 
    13.2.2. Уравнение Беллмана ...................................................................................... 465 
    13.2.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов .............................................. 466 
Глава 14. Синтез дискретных линейных систем совместного оценивания            
                  и управления ........................................................................................................ 473 
14.1 
.  Оптимальное управление линейными дискретными стохастическими                    
 системами с накоплением информации о состоянии........................................... 473 
    14.1.1. Постановка задачи.......................................................................................... 473 
    14.1.2. Теорема разделения........................................................................................ 474 
    14.1.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов .............................................. 475 
14.2. Управление линейными дискретными детерминированными 
          системами с накоплением информации о состоянии........................................... 478 
    14.2.1. Постановка задачи.......................................................................................... 478 
    14.2.2. Синтез наблюдателей состояния................................................................... 480 
    14.2.3. Синтез линейных регуляторов ...................................................................... 482 
 Глава 15. Синтез оптимальных непрерывно-дискретных детерминированных   
                   систем.................................................................................................................... 487 
 15.1. Нахождение оптимального программного управления ........................................ 487 
    15.1.1. Постановка задачи.......................................................................................... 487 
    15.1.2. Необходимые условия оптимальности......................................................... 488 
15.2. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью..................... 491 
    15.2.1. Постановка задачи.......................................................................................... 491 
    15.2.2. Соотношения для нахождения оптимального управления ........................ 492 
             15.2.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов .............................................. 495 
Глава 16. Синтез оптимальных непрерывных детерминированных систем                             
                  в условиях параметрической неопределенности........................................... 501 
 16.1. Описание математической модели движения пучков траекторий....................... 501 
16.2. Нахождение оптимального гарантирующего управления.................................... 502 
       16.2.1. Постановка задачи.......................................................................................... 502 
    16.2.2. Необходимые условия оптимальности......................................................... 503 
    16.2.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов .............................................. 508 
 16.3. Нахождение оптимального в среднем управления................................................ 514 
     16.3.1. Постановка задачи......................................................................................... 514 
              16.3.2. Необходимые условия оптимальности........................................................ 515 
 
7

     16.3.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов ............................................. 517 
  
Глава 17. Синтез оптимальных непрерывных систем по минимаксному  
                  критерию............................................................................................................... 521 
 17.1. Нахождение оптимального программного управления ........................................ 521 
    17.1.1. Постановка задачи ......................................................................................... 521 
     17.1.2. Необходимые условия оптимальности........................................................ 523 
17.2. Нахождение оптимального позиционного управления.......................................... 527 
    17.2.1. Постановка задачи ......................................................................................... 527 
     17.2.2. Уравнение Айзекса ........................................................................................ 528 
 17.2.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов.............................................. 531 
Глава 18. Синтез оптимальных логико-динамических систем..................................... 535 
 18.1. Описание математической модели логико-динамической системы.................... 535 
18.2. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью ................... 536 
        18.2.1. Постановка задачи ......................................................................................... 536 
     18.2.2. Достаточные условия оптимальности.......................................................... 537 
 18.3. Нахождение оптимального программного управления ........................................ 540 
     18.3.1. Постановка задачи ......................................................................................... 540 
     18.3.2. Соотношения для нахождения оптимального управления........................ 540 
 18.4. Синтез автоматной части логико-динамической системы.................................... 543 
     18.4.1. Постановка задачи ......................................................................................... 543 
 18.4.2. Необходимые условия оптимальности........................................................ 544 
 18.4.3. Достаточные условия оптимальности.......................................................... 547 
Глава 19. Синтез оптимальных непрерывных детерминированных систем  
                  с дискретным управлением ............................................................................... 549 
19.1. Нахождение оптимального дискретного программного управления ................... 549 
     19.1.1. Постановка задачи ......................................................................................... 549 
     19.1.2. Соотношения для нахождения оптимального управления........................ 550 
19.2. Нахождение оптимального дискретного управления с полной                              
обратной связью......................................................................................................... 559 
     19.2.1. Постановка задачи......................................................................................... 559 
     19.2.2. Соотношения для нахождения оптимального управления ....................... 560 
 19.3. Нахождение оптимального дискретного управления с неполной                                       
обратной связью........................................................................................................ 564 
     19.3.1. Постановка задачи......................................................................................... 564 
     19.3.2. Соотношения для нахождения оптимального управления. ...................... 565 
 
Ответы ...................................................................................................................................... 572 
Литература................................................................................................................................ 581 
 
8 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Нашему учителю, профессору 
          
 
Виктору Владимировичу Семенову  
посвящается 
 
 
 
Книга включает методы решения задач описания, анализа и синтеза линейных и 
нелинейных непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных систем управления. 
Она состоит из трех частей, которые охватывают основные разделы курса “Теория управления”, читаемого на факультете “Прикладная математика и физика” Московского авиационного института (национального исследовательского университета). 
 
Первая  часть содержит методики и примеры решения задач анализа выходных 
процессов, устойчивости, чувствительности, управляемости и наблюдаемости линейных 
систем управления. При этом используются все известные формы математического описания непрерывных систем: дифференциальными уравнениями, переходными функциями, интегральными и спектральными преобразованиями, а также две формы описания 
дискретных систем: разностными уравнениями и Z - преобразованием. 
 
Вторая часть посвящена исследованию нелинейных систем управления, описываемых дифференциальными и разностными уравнениями, а также структурными схемами с 
одним нелинейным элементом. Рассматриваются задачи анализа выходных процессов 
при детерминированных и случайных воздействиях методами линеаризации в окрестности опорной траектории и статистической линеаризации, анализа автоколебаний методом 
гармонической линеаризации и анализа абсолютной устойчивости. 
 
В третьей части нашли отражение методики решения задач оптимального управления детерминированными и стохастическими системами при различной информированности о векторе состояния, а также алгоритмы синтеза систем  совместного оценивания и 
управления.  
Данная книга является обобщением ранее изданных учебных пособий [30, 35, 36, 
48, 49] и содержит результаты, приведенные в монографиях и учебниках авторов [30, 37, 
39, 40, 51–53]. Вопросы анализа линейных систем управления с помощью дифференциальных уравнений более подробно изложены в [40], решение задач синтеза оптимальных 
непрерывных систем при неполной информации, дискретных, непрерывно-дискретных и 
логико-динамических систем описано в [36]. 
 
Изложение построено по единой схеме, включающей краткое описание основных 
элементов постановок задач, алгоритмы решения и подробный анализ типовых и нетиповых примеров. Предлагаются задачи для самостоятельного решения, в том числе зависящие от параметров m  – номера учебной группы и n  – номера студента по списку группы. 
 
Книга может быть использована как для изучения под руководством преподавателя, так и при самостоятельном освоении курса, поскольку содержит весь необходимый 
теоретический материал и большое количество детально разобранных примеров и задач.  
 
9

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
 
В.1. Основные понятия и определения 
 
 
Система управления (СУ) – совокупность управляющего устройства (УУ) и объекта управления (ОУ), действия которой направлены на достижение некоторого результата – цели управления (рис. В.1). 
 
Целью управления могут быть: поддержание заданной высоты полета самолета, 
УУ 
ОУ 
СУ 
подъем самолета на заданную высоту по желаемой траектории, сближение самолета с 
мишенью, обеспечивающее минимальный промах и др. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. В.1 
 
 
Управляющее устройство реализует следующие функции: 
 
а) сбор информации; 
 
б) переработку информации; 
 
в) передачу информации; 
 
г) выработку команд управления. 
 
 
Функциональная схема системы управления, каждому блоку которой соответствуИнформация    
Устройство  
Исполнительное 
Объект       
о желаемом 
устройство 
управления 
движении      
переработки 
информации 
объекта 
Источник информации     
о текущем положении      
объекта
УУ 
ет определенное функциональное назначение, изображена на рис. В.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. В.2 
 
 
 
В зависимости от предметной области функциональная схема системы управления 
наполняется конкретным содержанием. Например, на рис. В.3 приведены схемы систем 
управления углом тангажа самолета, производством товара, процессом обучения. 
  
 
10