Геометрия и графика, 2019, № 3

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА – 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Меркулова Н.Б.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 590 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2019

Подписано в печать 25.09.2019.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Панчук К.Л., Любчинов Е.В.  
Циклографическая интерпретация и компьютерное 
решение одной системы алгебраических 
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Синицын С.А., Стребков Д.С., Панченко В.А.
Паркетирование поверхности параболического 
концентратора солнечного теплофотоэлектрического модуля по заданным 
дифференциально-геометрическим требованиям . . .15

Гирш А.Г., Короткий В.А.
Мнимые точки в декартовой системе координат  . . . .28

Антонова И.В., Беглов И.А., Соломонова Е.В.
Математическое описание вращения точки вокруг 
эллиптической оси в некоторых частных случаях . . . .36

Притыкин Ф.Н., Хомченко В.Г., Янишевская А.Г., 
Небритов В.И.
Визуализация линейных смещений узловых точек 
при реализации мгновенных состояний различных 
конфигураций руки андроидного робота . . . . . . . . . . . .51

Юрков В.Ю.
Аппроксимация множеств прямых на плоскости. . . . .60

Е Вин Тун, Маркин Л.В.
Обеспечение требований эргономики в 
автоматизированной компоновке оборудования . . . .70

2019. Том 7. Вып. 3
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
МИРЭА - Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2019. Vol. 7. Issue 3
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. 
Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия).
 
Russian Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named after 
A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский 
педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА – Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия). 

УДК 514.124                                                                                   
DOI: 10.12737/article_5dce5e528e4301.77886978

К.Л. Панчук
Д-р техн. наук, профессор,
Омский государственный технический университет,
Россия, 644050, г. Омск, пр. Мира, 11,

Е.В. Любчинов 
Аспирант,
Омский государственный технический университет,
Россия, 644050, г. Омск, пр. Мира, 11,
 

Циклографическая 
интерпретация и компьютерное 
решение одной системы 
алгебраических уравнений

Аннотация. Предметом исследования настоящей работы 
является алгебраическое уравнение одного вида и системы 
таких уравнений. Особенность предмета исследования состоит в том, что как уравнение, так и система уравнений, 
допускают циклографическую интерпретацию в операционном евклидовом пространстве, размерность которого на 
единицу больше размерности подпространства геометрических образов, описываемых исходными уравнениями или 
системой уравнений. В работе на примерах показаны преимущества циклографической интерпретации, как базы предлагаемых решений, а именно: она позволяет получить аналитические, т.е. точные решения полной системы уравнений 
рассматриваемого вида, независимо от размерности подпространства геометрических объектов, описываемых уравнениями системы; в геометрическом варианте решения системы (задачи Аполлония и Ферма) не требуется применения 
каких-либо преобразований (инверсии, кругового преобразования и др.) в отличие от множества существующих методов и подходов; конструктивное и аналитическое решения 
системы уравнений, взаимно дополняющие друг друга, реализуются доступными средствами графических САПР и 
компьютерной алгебры. Показана эффективность циклографической интерпретации при получении аналитического 
решения задачи Ферма с использованием системы компьютерной алгебры. Решение сводится к определению в операционном пространстве точек пересечения прямой линии и 
3-α-конуса вращения с полууглом α = 45° при его вершине. 
Циклографическими образами двух точек пересечения в 
операционном пространстве служат две искомые сферы в 
подпространстве заданных сфер. Выполнено обобщение 
предложенного алгоритма аналитического решения задачи 
Ферма для n заданных (n – 2)-сфер в (n – 1)-мерном подпространстве. Показано, что и в этом случае аналитическое 
решение задачи Ферма сводится к определению точек пересечения прямой линии и (n – 1)-α-конуса вращения в операционном n-мерном евклидовом пространстве.

Ключевые слова: система алгебраических уравнений, 
геометрическое моделирование, циклографическая интерпретация, задача Аполлония, задача Ферма.

K.L. Panchuk
Doctor of Engineering, Professor,
Omsk State Technical University,
11, Mira Av., Omsk, 644050, Russia
E.V. Lyubchinov 
Postgraduate Student,
Omsk State Technical University,
11, Mira Av., Omsk, 644050, Russia

Cyclographic Interpretation and Computer 
Solution of One System of Algebraic Equations 

Abstract. The subject of this study is an algebraic equation of 
one form and a system of such equations. The peculiarity of the 
subject of research is that both the equation and the system of 
equations admit a cyclographic interpretation in the operational 
Euclidean space, the dimension of which is one more than the 
dimension of the subspace of geometric images described by the 
original equations or system of equations. The examples illustrate 
the advantages of cyclographic interpretation as the basis of the 
proposed solutions, namely: it allows you to get analytical, i.e. 
exact solutions of the complete system of equations of the considered type, regardless of the dimension of the subspace of geometric 
objects described by the equations of the system; in the geometric 
version of the solution of the system (the Apollonius and Fermat 
problems), no application of any transformations (inversions, 
circular transforms, etc.) is required, unlike many existing methods 
and approaches; constructive and analytical solutions of the system 
of equations, mutually complementary, are implemented by available means of graphic CAD and computer algebra. The efficiency 
of cyclographic interpretation is shown in obtaining an analytical 
solution to the Fermat problem using a computer algebra system. 
The solution comes down to determining in the operational space 
the points of intersection of the straight line and the 3-α-rotation 
cone with the semi-angle α = 45° at its vertex. The cyclographic 
images of two intersection points in the operational space are the 
two desired spheres in the subspace of given spheres. A generalization of the proposed algorithm for the analytical solution of the 
Fermat problem for n given (n – 2)-spheres in (n – 1)-dimensional subspace. It is shown that in this case the analytical solution of 
the Fermat problem is reduced to determining the intersection 
points of the straight line and the (n – 1)-α-cone of rotation in the 
operational n-dimensional Euclidean space.
Keywords: system of algebraic equations, geometric modeling, 
cyclographic interpretation, Apollonius problem, Fermat problem.

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 3. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2019                                                              

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

1. Введение

Современный уровень развития CAD/CAM/CAE 
систем, обеспечивающих компьютерную поддержку 
проектированию изделия, его изготовлению и ин

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 3. 3–14

женерии, предъявляет к инженерной геометрии и ее 
методам геометрического моделирования новые требования качественного характера. Эти требования 
ориентируют, с одной стороны, на устранение наметившегося отставания теоретической базы инженерной геометрии от современного уровня существующих и потенциальных в будущем возможностей 
указанных систем компьютерной поддержки. С другой стороны, требования ориентируют на совершенствование имеющихся и разработку новых методов 
и алгоритмов практического геометрического моделирования в связи с появлением множества новых 
задач в самых разнообразных областях практической 
деятельности человека. На повестку дня встает вопрос 
о необходимости математической поддержки конструктивному методу геометрического моделирования с обоснованным привлечением соответствующего математического формализма в каждом конкретном случае моделирования. Только в этом случае 
возможна наиболее полная реализация конструктивного метода моделирования средствами той или иной 
компьютерной программы. Грамотное сочетание и 
грамотно управляемое взаимодействие аналитики 
(математического формализма) и геометрического, 
в том числе проекционного, конструктивизма в создаваемой геометрической модели дают наибольший 
эффект в достижении результатов геометрического 
моделирования. Достаточно убедительно этот тезис 
продемонстрирован примерами в работах [8; 9; 23]. 
Рациональное сочетание аналитики и геометрического конструктивизма в геометрическом моделировании и реализация его в таком сочетании средствами современных CAD-систем выводит геометрическое моделирование на новый уровень. Оно, по 
существу, становится компьютерным геометрическим. 
При этом необходимыми технологическими элементами процесса такого моделирования становятся 
геометрическая интерпретация и геометрический 
эксперимент. В настоящей работе в свете вышеизложенного исследуется возможность компьютерного геометрического моделирования решения системы алгебраических уравнений одного вида.

2. Постановка задачи

Ставится задача получения аналитического решения системы алгебраических уравнений второго 
порядка средствами компьютерных систем, при этом 
предметом исследования являются уравнения вида

 
F
x x
x
x
a
x
a

x
a

i
n
i
i

n
i n

2
1
2
1
1

2

2
2

2

1
1

2
,
,...,
...
(
) =
−
(
) +
−
(
) +
+

+
−
(
) −
−
−
 
x
a
n
in
−
(
) =
2
0,

а также системы таких уравнений, где ai1, … ain — 
вещественные коэффициенты, i = 1, 2, …, n. В качестве инструмента конструктивного решения системы 
предлагается использовать графическую САПР,  
а в качестве инструмента ее аналитического решения — программу компьютерной алгебры.

3. Теория

Исследуем возможность применения геометрических интерпретаций на основе циклографического метода для получения качественного решения 
поставленной задачи.
3.1. Геометрические интерпретации квадратного 
уравнения
Рассмотрим квадратное уравнение следующего 
вида:

F
x x x
x
a
x
a
x
a
1
2
1
2
3
1
1

2

2
2

2

3
3

2
0
,
,
.
(
) =
−
(
) +
−
(
) −
−
(
) =
(1)

Подобные уравнения довольно часто встречаются при решении различных задач теории и практики 
методами геометрических мест и биссекторов [4–6; 
28; 29; 32]. Геометрический смысл уравнения (1) 
понятен: коэффициенты ai определяют фиксированную окружность a на плоскости R2 (x3 = 0), при этом 
a1, a2 — координаты центра окружности, a3 — ее 
радиус; переменные xi описывают множество окружностей плоскости R2 (x3 = 0), касающихся заданной 
окружности a, при этом x1, x2 — координаты центра 
переменной окружности x, x3 — ее радиус. В зависимости от знаков элементов x3 и a3 в третьем члене 
уравнения (1) получаем на плоскости внешнее или 
внутреннее касание окружностей a и x. Очевидно, 
уравнение (1) описывает в плоскости двухпараметрическое множество окружностей x
{ }
∞2
,  касающихся заданной окружности. Дадим уравнению (1) 
циклографическую интерпретацию, опираясь на теоретические положения циклографического метода 
отображения пространства R3 на плоскость R2 (x3 = 0) 
[12; 14; 27; 29–33]. В этом случае уравнение (1) будет 
описывать фиксированный конус вращения с полууглом α = 45° при вершине (a1, a2, a3) и круговым 
основанием с координатами (a1, a2) его центра и 
радиусом a3  (рис. 1).
Такой конус называется α-конусом. Переменные 
xi описывают двухпараметрическое множество α-конусов, у каждого из которых (x1, x2, x3) — координаты вершины, (x1, x2) — координаты центра кругового основания, x3  — радиус этого основания. 
Ориентированную направлением окружность основания исходного α-конуса назовем циклом a . 
Направление цикла определяется знаком координаты z = a3 вершины конуса. Множество циклов x
{ }
∞2

на плоскости R2 (x3 = 0), сонаправленно касающихся цикла основания a , представляет собой множество 
циклографических проекций точек фиксированного 
α-конуса.

Рис. 1. Циклографическая интерпретация квадратного уравнения

3.2. Геометрические интерпретации и анализ решений системы двух квадратных уравнений
Рассмотрим теперь систему из двух квадратных 
уравнений, соответствующих уравнению (1):

F
x x x
x
a
x
a
x
a

F
x x x
x

1
2
1
2
3
1
1

2

2
2

2

3
3

2

2
2
1
2
3

0
,
,
,

,
,

(
) =
−
(
) +
−
(
) −
−
(
) =

(
) =
1
1

2

2
2

2

3
3

2
0
−
(
) +
−
(
) −
−
(
) =
b
x
b
x
b
.

(2)

Полагаем, что ai, bi — вещественные коэффициенты, i = 1, 2, 3. Очевидно, каждое из уравнений (2) 
описывает α-конус. Геометрически система (2) определяет линию пересечения двух α-конусов. Формально 
она представляет собой пространственную алгебраическую кривую четвертого порядка. Но ввиду особенностей расположения в пространстве образующих 
прямых α-конуса, принадлежащих специальному 
квадратичному комплексу Kα

2  α-прямых, все они 
пересекают бесконечно удаленную вещественную 
кривую второго порядка k∞

2 . В итоге линия пересечения двух α-конусов распадается на две кривые второго порядка, одна из которых и есть кривая k∞

2 . 
Заметим, что k∞

2  есть направляющая кривая комплекса Kα

2  [14]. Поэтому линией пересечения двух α-конусов (2) «физически» будет кривая второго порядка k2.
В обычной нециклографической интерпретации 
система (2), при фиксированных знаках в третьих членах уравнений, описывает в плоскости (x3 = 0) однопараметрическое множество x
{ }
∞1

окружностей, касающихся двух заданных окружностей a a a R
a
1
2
3
,
,
=
(
)  
и b b b R
b
1
2
3
, ,
=
(
). Как следует из изложенного выше, 
центры окружностей множества x
{ }
∞1

будут принадлежать ортогональной проекции k1
2  линии k2 на 
плоскости (x3 = 0).
Для полноты представления полезности геометрической интерпретации системы (2) рассмотрим 
возможные варианты решения этой системы в зависимости от значений коэффициентов ai, bi, i = 1, 2, 3. 

Выполним следующие алгебраические преобразования системы (2): раскроем каждое из ее уравнений, 
а затем вычтем второе уравнение из первого. Особенность квадратных уравнений системы (2) состоит в 
том, что члены второй степени, после раскрытия 
уравнений, входят в них в одинаковой комбинации. 
Это позволяет существенно упростить систему (2). 
В результате алгебраических преобразований получим систему уравнений, эквивалентную исходной 
системе (2):

F
x x x
x
a
x
a
x
a

Ax
Bx
Cx
D

1
2
1
2
3
1
1

2

2
2

2

3
3

2

1
2
3

0
,
,
;
(
) =
−
(
) +
−
(
) −
−
(
) =

=
+
+
+
∑
= 0,
 (3)

где 
=
−
∑ F
F
1
2
2
2,  а коэффициенты во втором уравнении системы (3) имеют следующий вид:

 
A
a
b
B
a
b
C
a
b

D
a
b
a
b
a

= −
−
(
)
= −
−
(
)
=
−
(
)

=
−
(
) +
−
(
) −

2
2
2
1
1
2
2
3
3

1
2
1
2
2
2
2
2

,
,
,

3
2
3
2
−
(
)
b .

  

Рассматривая пересечение плоскости Σ и α-конуса F1
2 , получаем кривую второго порядка k
F
2
1
2
=
∩
Σ
,  
уравнение которой имеет вид стандартного квадратного многочлена:

 
F
x x
a x
a x x
a x
a x

a x
a

1
2
1
2
11
1
2
12
1
2
22
2
2
13
1

23
2
33

2
2

2
0

,

,

(
) =
+
+
+
+

+
+
=

  (4)

где a
A
c
a
AB
C
a
B
C

a
A
C a
D
C

11

2

12
2
22

2

13
3

1
1
1
=
− =
−
=
− =
+
;
;
;

=
+
+

=
+
−
−
+
;
;

.

a
B
C a
D
C
a

a
a
a
a
D
C
D
C
a

23
3
2

33
1
2
2
2
3
2
3
2

 
Как известно, квадратный многочлен (4) имеет 
ортогональные инварианты, в зависимости от значений которых кривая второго порядка становится 
вполне определенной:

 
I
a
a
I
a
a
a
a
I
a
a
a
a
a
a
a
a
a

1
11
12
2
11
12

21
22
3

11
12
13

21
22
23

31
32
33

=
+
=
=
;
;
, 

При этом для случая эллипса характерны соотношения: I2 > 0; I1 ⋅ I3 < 0. Для гиперболы соотношения имеют вид: I2 < 0; I3 ≠ 0; для параболы они следующие: I2 = 0; I3 ≠ 0. Определим выражение для 
инварианта I2:

I
a a
a a
a
b
a
b
a
b

a
b

a

2
11
22
12
21
3
3

2

2
2

2

1
1

2

3
3

2

1
1

=
−
=
−
(
) −
−
(
) −
−
(
)

−
(
)
=

=
−
− b
a
b

a
b

1

2

2
2

2

3
3

2
(
) +
−
(
)

−
(
)
.

 

(5)

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 3. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2019                                                              

В случае I2 < 0 получаем, что вершина одного 
α-конуса находится вне поверхности другого α-конуса. Если же I2 > 0, то вершина одного из двух пересекающихся α-конусов находится внутри другого 
α-конуса. В частности, если пересекающиеся α-конусы соосны, то условие I2 > 0 сохраняется и получаем пересечение α-конусов по окружности. Если 
же I2 = 0, то получаем a
b
a
b
a
b
1
1

2

2
2

2

3
3

2
−
(
) +
−
(
) =
+
(
) ,  
что соответствует случаю касания α-конусов по их 
общей α-образующей. Очевидно, пересечение двух 
α-конусов по параболе в принципе невозможно, если 
не считать вырождение параболы в двойную прямую, 
по которой касаются α-конусы. 
Определим количество возможных циклографических вариантов взаимного расположения циклов 
a b
x
,
и
, где a
b
и
— циклы, соответствующие исходным уравнениям системы (2), а x — искомый 
цикл, сонаправленно касающийся циклов a
b
и
. 
Возможные варианты µ λ
i
i i
,
,
,...,
= 1
4  сонаправленного касательного расположения циклов a b
x
,
и
 
представлены в табл. 1. Из табл. 1 следуют возможные циклографические варианты решения систе- 
мы (2):

 
 
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ

µ
λ
µ
λ

1
1
1
4
2
2
2
3
3
2
3
3

4
1
4
4

−
−
−
−
−
−

−
−

;
;
;
;
;
;

;
.

Таблица 1 

Варианты расположения циклов

 

Очевидно, количество возможных вариантов сонаправленного касательного расположения циклов 
a b
x
,
и
 равно 8. Из табл. 1 следуют также 4 возможных варианта обычного касательного расположения 
окружностей a, b и x: (µ1 – λ1, µ2 – λ2); (µ1 – λ4, µ2 – λ3); 
(µ3 – λ2, µ4 – λ13); (µ3 – λ3, µ4 – λ4). 
3.3. Геометрические интерпретации и анализ решений системы трех квадратных уравнений
Рассмотрим теперь решение системы трех квадратных уравнений:

F
x x x
x
a
x
a
x
a

F
x x x
x

1
2
1
2
3
1
1

2

2
2

2

3
3

2

2
2
1
2
3

0
,
,
,

,
,

(
) =
−
(
) +
−
(
) −
−
(
) =

(
) =
1
1

2

2
2

2

3
3

2

3
2
1
2
3
1
1

2

2
2

0
−
(
) +
−
(
) −
−
(
) =

(
) =
−
(
) +
−
(

b
x
b
x
b

F
x x x
x
c
x
c

,

,
,
) −
−
(
) =
2

3
3

2
0
x
c
.

 

(6)

Полагаем, что ai, bi, ci — вещественные коэффициенты i = 1, 2, 3. В качестве ограничения на коэффициенты уравнений вводится геометрическое условие, что в декартовой системе координат Ox1x2x3 
точки A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3) и C(c1, c2, c3) должны 
определять единственную плоскость параллельного 
или наклонного расположения относительно плоскости (x3 = 0). Геометрическая интерпретация системы (6) и ее решений известны как задача Аполлония 
[1–3; 11; 15–22; 25; 26]. Система (6) при фиксированных знаках коэффициентов в третьих членах ее 
уравнений описывает счетное множество {x} окружностей, касающихся трех заданных окружностей: 
a a a R
a
1
2
3
,
,
,
=
(
)
b b b R
b
1
2
3
, ,
=
(
)  и c c c R
c
1
2
3
, ,
=
(
) в 
плоскости (x3 = 0). В циклографической интерпретации каждое из уравнений F
F
F
1
2
2
2
3
2
0
0
0
=
=
=
,
,
 
описывает α-конус в пространстве R3. Следовательно, 
решение системы (6) можно интерпретировать как 
результат пересечения трех α-конусов: F
F
F
1
2
2
2
3
2
,
.
и
 
Как и в предыдущем случае (см. пп. 3.2), достижение 
этого результата пересечения выполним наиболее 
коротким путем. Для этого воспользуемся алгоритмом, основанным на алгебраических преобразованиях системы (6). Вначале раскроем скобки во всех 
трех уравнениях системы, а затем вычтем последовательно второе и третье уравнения из первого уравнения. В результате преобразований получим:

F
F
x a
b
x
a
b
x a
b

a
b
a
b

1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
3
3
3

1
2
1
2
2
2
2
2
2
−
= −
−
(
) −
−
(
) +
−
(
) +

+
−
(
) +
−
2
2
3
2
3
2

1
2
3
2
1
1
1
2
2
2
3
3
3

0

2
2
2
(
) −
−
(
) =

−
= −
−
(
) −
−
(
) +
−
(

a
b

F
F
x a
c
x
a
c
x a
c

;

) +

+
−
(
) +
−
(
) −
−
(
) =
a
c
a
c
a
c
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
0.

 

В обобщенном виде каждое из полученных линейных уравнений можно представить следующим 
образом:

 
Σ

Σ

1 2
1
2
2
2
1 2
1
1 2
2
1 2
3
1 2

1 3
1
2
3
2
1 3

0
,
,
,
,
,

,
,

;
=
−
=
+
+
+
=

=
−
=

F
F
A x
B x
C x
D

F
F
A x
B x
C x
D
1
1 3
2
1 3
3
1 3
0
+
+
+
=
,
,
,
.

 

Очевидно, исходная система квадратных уравнений может быть заменена следующей эквивалентной 
системой:

 

F
x x x

x x x

x x x

1
2
1
2
3

1 2
1
2
3

1 3
1
2
3

0

0

0

,
,
;

,
,
;

,
,
.

,

,

(
) =

(
) =

(
) =

Σ

Σ

  
(7)

Таким образом, результат решения исходной системы (6) может быть получен как результат решения 
эквивалентной системы (7). То есть задача о пересечении трех α-конусов сводится к задаче о пересечении α-конуса и двух плоскостей, т.е. к задаче о пе
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 3. 3–14

ресечении α-конуса и прямой линии. Решением 
последней задачи являются две точки (x1, x2, x3) и 

x x x
1
2
3

*
*
*
,
,
.
(
)  Напомним, что каждое из уравнений системы (6) описывает α-конус F
x x x
i
i
2
1
2
3
0
1 2 3
,
,
,
, , .
(
) =
=
 
В п.п. 3.1 было показано, что моделью α-конуса на 
плоскости (x3 = 0) является цикл его основания и 
двухпараметрическое множество сонаправленных 
циклов плоскости, касающихся цикла основания.  
В таком случае общая точка (x1, x2, x3) трех α-конусов 
системы (6) моделируется в плоскости (x3 = 0) циклом 
x x x R
x
1
2
3
,
,
,
=
(
)  касательным к трем циклам 
a a a R
a
1
2
3
,
,
,
=
(
)

b b b R
b
1
2
3
, ,
=
(
)  и c c c R
c
1
2
3
, ,
,
=
(
)  
положенным в основу циклографических моделей 
α-конусов F
F
F
1
2
2
2
3
2
,
и
 соответственно. В циклографическом варианте решение системы (6) сводится к 
поиску множества циклов x
{ } , касательных к циклам 
a b
c
,
.
и
 Вычислим общее количество циклов множества x
{ } . Это удобно сделать, используя табличный 
граф (табл. 2).
Таблица 2 

Циклографические варианты решений системы (6)

 

Из табл. 2 следуют 16 циклографических вариантов µi, λi, τi, i = 1, …, 4 ориентированного касательного расположения четырех циклов — x a b
c
, ,
и
:

µ
λ
τ µ
λ
τ
µ
λ
τ
µ
λ
τ

µ
λ
τ
µ
λ
τ

1
1
1
2
2
2
1
1
4
2
2
3

1
4
4
2
3
3

−
−
−
−
(
)
−
−
−
−
(
)

−
−
−
−
(

,
;
,
;

,
)
−
−
−
−
(
)

−
−
−
−
(
)
−
−
−
−

;
,
;

,
;
,

µ
λ
τ µ
λ
τ

µ
λ
τ
µ
λ
τ
µ
λ
τ
µ
λ

1
4
1
2
3
2

3
2
2
4
1
1
3
2
3
4
1
τ

µ
λ
τ
µ
λ
τ
µ
λ
τ
µ
λ
τ

4

3
3
2
4
4
1
3
3
4
4
4
4

(
)

−
−
−
−
(
)
−
−
−
−
(
)

;

,
;
,
.

 

Из нее также следуют 8 обычных нециклографических вариантов расположения четверок касательных окружностей (заключены в скобках).
Необходимо заметить, что при оперировании 
алгебраическими фигурами — геометрическими интерпретантами алгебраических уравнений рассматриваемых систем, могут присутствовать мнимые 
фигуры (точки, линии, поверхности). В таких случаях для конструктивного оперирования мнимыми 

фигурами рекомендуется использовать разработанные 
для этих целей соответствующие инструментальные 
конструкции и алгоритмы [7].
3.4. Геометрические интерпретации и анализ решений системы четырех квадратных уравнений
Рассмотрим следующую систему квадратных уравнений:

 
F
x x x x
x
a
x
a

x
a
x
a

i
i
i

i
i

2
1
2
3
4
1
1

2

2
2

2

3
3

2

4
4

2
,
,
,
(
) =
−
(
) +
−
(
) +

+
−
(
) −
−
(
) = 0
1 2 3 4
,
, , , .
i =

  
(8)

Полагаем, как и прежде, что коэффициенты a
a
i
i
1
4
,...,

являются вещественными числами. На коэффициенты aij : i, j = 1, 2, 3, 4 вводится ограничение в виде 
геометрического условия, что в декартовой системе 
координат Ox1x2x3x4 пространства R4 точки A a
a
1
11
14
,...,
,
(
)

A a
a
2
21
24
,...,
,
(
)
A a
a
3
31
34
,...,
(
) и A a
a
4
41
44
,...,
(
)  определяют единственную гиперплоскость, вполне параллельную или наклонного расположения относительно гиперплоскости проекций R3(x4 = 0). 
Обычная геометрическая интерпретация системы 
(8) приводит к известной задаче Ферма о построении 
сферы, касательной к заданным четырем сферам в 
пространстве R3. О многочисленных подходах к ее 
решению изложено в работах [16; 24]. Особо следует 
отметить работу H. Stachel [34], в которой обозначена идея циклографического решения задачи Ферма 
и ее практической направленности.
Как и в предыдущих случаях (см. п.п. 3.2, 3.3), 
определим для системы (8) ей эквивалентную. Для 
этого вычтем последовательно каждое уравнение 
системы (8), начиная со второго, из первого уравнения F
x x x x
1
2
1
2
3
4
0
,
,
,
(
) =
. В результате получим эквивалентную систему уравнений

K
F
x x x x

P
F
F
x
x
x

1
2 3
1
2
1
2
3
4

1 2
3
1
2
2
2
11
1
12
2
13
3

0
,

,

:
,
,
,
,

:

(
) =

−
=
+
+
+
α
α
α
α14
4
15

1 3
3
1
2
3
2
21
1
22
2
23
3
24
4
25

1

0

0

x

P
F
F
x
x
x
x

P

+
=

−
=
+
+
+
+
=

α

α
α
α
α
α

,

:
,
,

, :
,
4
3
1
2
4
2
31
1
32
2
33
3
34
4
35
0
F
F
x
x
x
x
−
=
+
+
+
+
=
α
α
α
α
α

 

(9)

где 

α
α
α

α

11
21
11
12
22
12
13
23
13

14
24
14

2
2
2

2

=
−
(
)
=
−
(
)
=
−
(
)

= −
−

a
a
a
a
a
a

a
a

;
;
;

(
)

=
+
+
−
(
) −
+
+
−
(
)

=

;

,
α

α

15
11
2
12
2
13
2
14
2
21
2
22
2
23
2
24
2

21
2

a
a
a
a
a
a
a
a

a31
11
22
32
12
23
33
13

24
34
14

2

2
2

2

−
(
)
=
−
(
)
=
−
(
)

= −
−
(
)

a
a
a
a
a

a
a

;
;
;

;

α
α

α

α 5
11
2
12
2
13
2
14
2
31
2
32
2
33
2
34
2

31
41
1
2

=
+
+
−
(
) −
+
+
−
(
)

=
−

a
a
a
a
a
a
a
a

a
a

,

α
1
32
42
12
33
43
13

34
44
14

35
11

2
2

2
(
)
=
−
(
)
=
−
(
)

= −
−
(
)

=

;
;
;

;

α
α

α

α

a
a
a
a

a
a

a2
12
2
13
2
14
2
41
2
42
2
43
2
44
2
+
+
−
(
) −
+
+
−
(
)
a
a
a
a
a
a
a
.

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 3. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2019                                                              

Системе уравнений (9) можно дать следующую 
циклографическую интерпретацию в пространстве 
R4: первое уравнение системы описывает α-гиперконус K1

2 3
, , остальные три линейных уравнения описывают гиперплоскости P
P
P
1 2
3
1 3
3
1 4
3
,
,
,
,
,
. Определим вначале геометрический образ пересечения гиперплоскостей в операционном пространстве R4. Размерность 
этого образа определяется по известной формуле 
[10]:

r
P
n i
n
n
i
i

i
=
−
−
(
) =
−
(
) −
−
(
) =

=∑
1
3
1
3
1
1

1

 при n = 4.

Получаем пересечение трех гиперплоскостей в 
пространстве R4 по некоторой прямой линии e. 
Результатом решения системы (9), при фиксированных значениях коэффициентов aij, будут координаты 
двух точек (x1, x2, x3, x4) и x x x x
1
2
3
4
*
*
*
*
,
,
,
(
) , полученных 
в пересечении e
K
∩
1
2 3
, .

Следовательно, при фиксированных значениях 
коэффициентов aij : i, j = 1, 2, 3, 4 в уравнениях системы (9), получаем в пространстве R3 две сферы 
S
x x x R
x
x
2 2
1
2
3
4

,
,
,
,
=
(
) и S
x x x R
x
x*
,
*
*
*
*
,
,
,
2 2
1
2
3
4
=
(
) , касающиеся четырех заданных. 
Учитывая возможность существования знаков ± 
у неизвестной x4 и у коэффициента ai4, получаем  
24 = 16 обычных вариантов решения задачи Ферма. 
Циклографических вариантов решения, исходя из 
того, что каждому обычному варианту соответствует 
два циклографических, набирается 2 ⋅ 16 = 32 варианта. 
Практическое применение решения данной системы уравнений выполнено авторами настоящей 
работы при построении геометрической модели измерения псевдодальностей в спутниковых системах 
определения местоположения [13]. 
3.5. Геометрическая интерпретация и анализ решений системы n-квадратных уравнений
С целью обобщения исследуем систему n-квадратных уравнений рассматриваемого вида:

 
F
x x
x
x
a
x
a

x
a
x

i
n
i
i

n
in

2
1
2
1
1

2

2
2

2

1
1

2
,
,...,
...
(
) =
−
(
) +
−
(
) +
+

+
−
(
) −
−
−
n
in
a
i
n
−
(
) =
=
2
0
1 2
,
, ,..., .

  (10)

В обычной интерпретации система (10) описывает множество (n – 2)-сфер S
x x
R
x
x
n
n
2
2
1
2
,
,
,...,
−
=
(
) , 
касающихся конечного множества n заданных  
(n – 2)-сфер S
a a
a
R
a
i
n
i
i
i n
in
2
2
1
2
1
,
,
,
,...,
,
−
−
=
(
)в пространстве Rn–1. Для решения системы (10) выполним циклографическую интерпретацию каждого уравнения 
системы и ее решения в операционном пространстве 
Rn. Каждое уравнение системы (10) описывает  
(n – 1)-α-конус Ki
n
2
1
, −  в пространстве Rn. Формальным 
решением системы (10) является множество точек 
(x1, x2, …, xn), принадлежащих всем (n – 1)-α-конусам, 

образующим множество Ki
n
i

n
2
1
1
, −
=
{
}
. Для получения 

более простого алгоритма определения множества 
точек пересечения, преобразуем исходную систему 
(10) в эквивалентную ей систему уравнений:

 
K
F
x x
x

P
F
F

P
F

n
n

n

n

1
2
1
1
2
1
2

1 2
1
1
2
2
2

1 3
1
1
2

0

0

,

,

,

:
,
,...,
,

:
,

:

−

−

−

(
) =

−
=

− F

P
F
F
n
n
n

3
2

1
1
1
2
2

0

0

=

− − − − − − − − − −

−
=
−

,

:
.
,

  

(11)

Определим вначале множество пересечений  
(n – 1)-плоскостей P
P
P
n
n
n
n
1 2
1
1 3
1
1
1
,
,
,
...
−
−
−
∩
∩
∩
 в пространстве Rn. Подсчитаем размерность этого множества 
по приведенной в п.п. 3.4. формуле: 

 
r
P
n i
n
n
n n
i
i

i
=
−
−
(
) =
−
(
)
−
(
) −
−
(
) =

=∑
1
1
1
1
2
1. 

Следовательно, пересечение (n – 1)-плоскостей 
множества P
P
P
n
n
n
n
1 2
1
1 3
1
1
1
,
,
,
,
,...,
,
−
−
−  представляет собой некоторую прямую линию e. Множество же пересечений e
K
n
∩
−
1
2
1
,
 представляет собой ровно две точки 
(x1, x2, …, xn) и x x
xn
1
2
*
*
*
,
,...,
.
(
)  Этот факт можно подтвердить следующими выкладками. Запишем уравнение (n – 1)-квадрики пространства Rn:

 
a x x
b x
c
ij
i
j
i
j
+
+
=
2
0,   
(12)

где aij = aji. Для упрощения выкладок уравнение (12) 
преобразуем в векторную форму. Для этого выразим 
коэффициенты aij через симметрический оператор 
A
A
:
.
a
e
e
ij
i
j
=
 При этом A
A
=
T , что эквивалентно 
условию x y
y x
A
A
=
. Коэффициенты bi представим 
в виде скалярного произведения векторов b
b
e
i
i
=
⋅
. 
Тогда уравнение (12) преобразуется так:

 
x x
b
x
c
A
+
⋅
⋅
+
=
2
0.   
(13)

Запишем уравнение прямой линии пространства Rn:

 
x
x
m t
=
+
⋅
0
.  
(14)

Подставляя (14) в (13), получаем квадратное относительно t уравнение:

 
x
m t
x
m t
b x
m t
c
0
0
0
2
0
+
⋅
(
)
+
⋅
(
) +
+
⋅
(
) +
=
A
. 

После преобразований этого уравнения получаем 

 
m m t
x
b m t
x
x

b
x
c

A
A
A
(
)
+
+
(
)
⋅
+
+

+
⋅
⋅
+
=

2

0
0
0

0

2

2
0.

  
(15)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 3. 3–14

При условии m m
A
(
) ≠ 0  следует, что квадратное, 
относительно t, уравнение может иметь два вещественных, два совпадающих и два комплексно сопряженных корня. Этим корням соответствуют две 
вещественные, две совпадающие и две мнимосопряженные точки в пространстве Rn. Получение двух 
точек (x1, x2, …, xn) и x x
xn
1
2

*
*
*
,
,...,
(
)  в операционном 
пространстве Rn означает получение двух (n – 2)-сфер 
S
x x
R
x
x
n
n
2
2
1
2
,
,
,...,
−
=
(
) и S
x x
R
x
x
n
n
*
,
*
*
*
,
,...,
2
2
1
2
−
=
(
)  в координатной гиперплоскости Rn–1(xn = 0), касательных к 
n заданным (n – 2)-сферам S
a a
a
R
a
i
n
i
i
i n
in
2
2
1
2
1
,
,
,
,...,
,
−
−
=
(
)

в этой гиперплоскости. 
В завершение приведем алгоритм решения системы n квадратных уравнений рассматриваемого вида 
и соответствующие геометрические интерпретации, 
приводящие к решению системы и сопутствующей 
обобщенной задаче Аполлония (рис. 2).

 
Рис. 2. Алгоритм аналитического решения обобщенной задачи Аполлония 

4. Результаты эксперимента

Рассмотрим конструктивное решение системы 
(6) квадратных уравнений циклографическим методом. Исходные данные следующие:

 
a
a
a

b
b

1
2
3

1
2

49 339257
45 924583
13 223151

66 372736
45

=
=
=

=
=

,
;
,
;
,
;

,
;
,924583
42 427264

79 992846
81 856696
69 89277

3

1
2
3

;
,
;

,
;
,
;
,

b

c
c
c

=

=
=
=
5.

 

Данные позволяют выполнить изображения трех 
α-конусов средствами графической САПР на чертеже Монжа (рис. 3). Координаты вершин α-конусов 
такие: A(a1, a2, a3); B(b1, b2, b3); C(c1, c2, c3). На чертеже Монжа каждая вершина определяется парой сво
их проекций: A(A1, A2); B(B1, B2); C(C1, C2). Основания 
α-конусов представляют собой циклы a A RA
1,
,
(
)
b B RB
1,
(
)  и c C RC
1,
.
(
)  В текстовом виде алгоритм 
конструктивного циклографического решения задачи может быть следующим.
1. Определяются плоскости Σ1 2
1
2
2
2
0
, =
−
=
F
F
 и 

Σ1 3
1
2
3
2
0
,
.
=
−
=
F
F
 На рис. 3 первая плоскость имеет 
след Σ1 2
,
f  на плоскости проекций П2(x2 = 0), а вторая 
плоскость имеет след Σ1 2
,
h  на плоскости 
′
′ =
(
)
Π2
2
0
x
.

 

Рис. 3. Циклографическое решение системы трех квадратных уравнений

2. Определяется линия пересечения плоскостей 

Σ
Σ
1 2
1 3
1
2
,
,
,
∩
= (
)
e e e
. Для построения линии e(e1, e2) 
используется дополнительная плоскость проекций 

′
′
(
)
x x
1
3
,
. Для построения двух точек M(M1, M2) и N(N1, 
N2) линии e берутся две прямые m и n в плоскости 
Σ1,3 и определяются их точки пресечения с плоскостью 
Σ
Σ
Σ
1 2
1 2
1 2
,
,
,
:
,
.
M
m
N
n
=
∩
=
∩

3. Определяются точки пересечения S T
e
F
,
(
) =
∩
1
2  
прямой линии e с α-конусом F1
2 , который задан 
вершиной A и циклом a A RA
1,
(
)  основания. 
4. Полученные точки S(71,963929; 48,983960; 
36,053754) и T(43,322312; 47,071462; 19,348347) являются искомым решением системы (6).
Точкам S и T соответствуют циклы xS1  и xT1 , 
касательные к исходным циклам a A RA
1,
,
(
)

b B RB
1,
(
)  
и c C RC
1,
.
(
)  Для сравнения приведено решение системы (6) средствами компьютерной алгебры при тех 
же исходных данных. На рис. 4 и 5 показана компьютерная визуализация решения системы. На рис. 
4 представлена прямая линия e, как результат пересечения двух плоскостей Σ1,2 и Σ1,3, а на рис. 5 — искомые точки S и T. Координаты точек пересечения 
получены программой компьютерной алгебры MATLAB: 

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 3. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2019                                                              

S(71,963951; 48,983974; 36,053759) 
и T(43,322362; 47,071470; 19,348375).
 

Рис. 4. Компьютерная визуализация получения линии e = Σ1,2 ∩ Σ1,3 
 

Рис. 5. Компьютерная визуализация получения точек пересечения e
F
∩
1
2  

Рассмотрим решение системы квадратных уравнений (8) средствами компьютерной алгебры на основе 
циклографической интерпретации. Данная система 
моделирует четыре α-гиперконуса, а ее гео метрическая 
интерпретация, как говорилось в п. 3.4, приводит к 
известной задаче Ферма о построении сферы, касательной к заданны четырем сферам в пространстве R3. 
На рис. 6 приведены исходные данные для рассматриваемого примера, заимствованные из работы [24].
После всех необходимых вышеописанных преобразований эквивалентная система уравнений для 
системы (8) с подставленными числовыми значениями коэффициентов aij из таблицы на рис. 6 принимает следующий вид:

 F
x x x x
x
x
x

x

P

1
2
1
2
3
4
1

2

2

2

3

2

4

2

1 2

9
56
60

20

,
,
,

,

,

(
) =
−
(
) +
+
(
) +
−
(
) −

−
−
(
)

= −
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
+
=

=
⋅
+
⋅
−
⋅
−

30
212
60
10
3606
0

14
12
190

1
2
3
4

1 3
1
2
3

x
x
x
x

P
x
x
x

,

,
20
3336
0

214
92
36
30
7678
0

4

1 4
1
2
3
4

⋅
+
=

=
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=

x

P
x
x
x
x

,

.
,

 

Попарное пересечение гиперплоскостей P
P
1 2
1 3
,
,
∩
 
и P
P
1 2
1 4
,
,
∩
 образует плоскости Σ1 и Σ2 соответственно. Плоскости, пересекаясь, образуют прямую линию 
Σ
Σ
1
2
∩
= e.  В пересечении гиперплоскости P1,2 и 
α-гиперконуса F1
2  образуется α-конус F
P
K
1
2
1 2
1
2
∩
=
,
.  
Искомым результатом являются точки пересечения 
e
K
∩
1
2 :

x
x
x
x

x

1 1
2 1
3 1
4 1

1 2

36 557
7 036
24 687
46 361
( )
( )
( )
( )

( )

=
= −
=
= −
,
;
,
;
,
;
,
;

=
= −
=
=
( )
( )
( )
53 137
1 6
10 221
105 938
2 2
3 2
4 2
,
;
, ;
,
;
,
.
x
x
x

 

Полученные точки позволяют перейти к визуализации двух сфер, касательных к четырем заданным 
сферам (рис. 7). У этих сфер тройки чисел x
x
x
1 1
2 1
3 1
( )
( )
( )
(
)
,
,
 
и x
x
x
1 2
2 2
3 2
( )
( )
( )
(
)
,
,
 являются координатами их центров, 
а числа x4 1( )  и x4 2( )  — значениями их радиусов. Первая 
из полученных двух сфер имеет внешнее, а вторая — 
внутреннее касание относительно заданных сфер.
 

Рис. 7. Визуализация сфер в задаче Ферма

В работе [24, рис. 10] приведены некоторые метрические характеристики двух положений полученных сфер касания: расстояние между центрами искомой сферы и сферы S4 в первом случае и между центрами искомой сферы и сферы S2 во втором случае. 
В настоящей работе в результате вычислений в программе компьютерной алгебры MATLAB получено 
совпадение расстояний, соответствующих указанным, 
с точностью до четвертого знака после запятой.

Рис. 6. Исходные данные к задаче Ферма

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 3. 3–14

Литература

1. Волошинов Д.В. Алгоритм решения задачи Аполлония 
на основе построения ортогональных окружностей 
[Текст] / Д.В. Волошинов // ГРАФИКОН 2016. Труды 
26-й Международной научной конференции. — 2016. — 
С. 284–288.
2. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и 
графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — С. 23–46. — DOI: 
10.12737/article_5b559c70becf44.21848537.
3. Волошинов Д.В. Конструктивная геометрическая модель 
четырехмерного пространства как основа для решения 
задач зонирования и позиционирования при проектировании сетей мобильной связи [Текст] / Д.В. Волошинов // Труды учебных заведений связи. — 2018. — Т. 4. — 
№ 2. — C.44–60.
4. Вышнепольский 
В.И. 
Геометрические 
места 
точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский,  
Н.А. Сальков, Е.В. Заварихина // Геометрия и графи- 
ка. — 2017. — Т. 5. — № 3. — С. 21–35. — DOI:10/12737/
article_59fa3beb72932.73328568.
5. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. 
Часть 2 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, О.Л. Даллакян // Геометрия и графика. — 2017. —  
Т. 5. — № 4. — С. 15–23. — DOI: 10.12737/article_5a17f9
503d6f40.18070994.
6. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 3 
[Текст] / В.И. Вышнепольский, К.А. Киршанов, К.Т. Еги
азарян // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 4. —  
С. 3–19. — DOI: 10.12737/article_5c21f207bfd6e4.78537377.
7. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия: монография 
[Текст] / А.Г. Гирш. — М.: Маска, 2008. — 200 с.
8. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования 
свойств параметрически заданных кривых [Текст] /  
Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. —  
№ 3. — С. 3–6. — DOI: 10.12737/12163.
9. Иванов Г.С. Нелинейные формы в инженерной графике [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия 
и графика. — 2017. — Т. 5. — № 2. — С. 4–12. — DOI: 
10.12737/article_595f295744f77.58727642.
10.  Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 
1998. — 158 с.
11.  Короткий В.А. Задача Аполлония на экране компьютера [Текст] / В.А. Короткий, Е.П. Дубовикова // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и дизайна. — Саратов: 
СГТУ, 2013. — С. 5–9.
12.  Панчук К.Л. Геометрическая модель генерации семейства контурно-параллельных линий для автоматизированного расчета траектории режущего инструмента 
[Текст] / К.Л. Панчук, Т.М. Мясоедова, И.В. Крысова // 
Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 1. — С. 3–13. — 
DOI: 10.12737/article_5c92012c51bba1.17153893.
13.  Панчук К.Л. Геометрическая модель измерения псевдодальностей в спутниковых системах определения 
местоположения [Электронный ресурс] / К.Л. Панчук, 
А.А. Ляшков, Е.В. Любчинов // Метрология, стандартизация, качество: теория и практика: материалы Междунар. науч.-техн. конф. (Омск, 14–16 нояб. 2017 г.) / 
ОмГТУ. — Омск, 2017. — С. 138–142.

5. Обсуждение результатов

Результаты теоретических исследований и экспериментальная проверка этих результатов выявили следующие особенности решения поставленной задачи. 
1. Система из n алгебраических уравнений второго 
порядка рассматриваемого вида допускает циклографическую интерпретацию уравнений и алгоритма ее решения в операционном пространстве Rn. 
2. Циклографическая интерпретация исходных данных позволяет получить:
 
a) конструктивное, т.е графическое решение системы уравнений с использованием графической 
САПР;
 
b) аналитическое решение с использованием программы компьютерной алгебры. 
Оба решения достаточно просты, следуют из одной математической модели решения системы урав
нений и могут служить дополнением и проверкой 
одного другим. 

Заключение 

Предложены конструктивное и аналитическое 
решения системы квадратных уравнений одного вида 
с использованием графической САПР и программы 
компьютерной алгебры. Решения основаны на циклографической интерпретации и соответствующем 
алгоритме. Алгоритм без затруднений может быть 
обобщен на евклидово n-мерное операционное пространство для системы n уравнений, каждое из которых описывает (n–2)-сферу в (n–1)-мерном подпространстве. В нем отсутствуют геометрические 
преобразования, присущие многим существующим 
методам решений рассматриваемых задач, он прост 
и удобен в реализации.

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 3. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2019