Высшая математика для бакалавра. Практикум. Часть 1

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Г.С. ЖУКОВА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

ДЛЯ БАКАЛАВРА

ПРАКТИКУМ
В 2 ЧАСТЯХ

ЧАСТЬ 1 

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

Ж86

Утверждено на заседании Совета Департамента анализа данных, принятия решений 

и финансовых технологий Финансового университета при Правительстве 

Российской Федерации

А в т о р :

Жукова
Г.С., доктор физико-математических наук, профессор, профессор 

Департамента анализа данных, принятия решений и финансовых 
технологий 

Финансового
университета 
при 
Правительстве 
Российской 
Федерации 

(Финуниверситет), почетный работник высшего профессионального образования РФ, 
лауреат премии Правительства РФ в области образования, залуженный деятель науки РФ

Р е ц е н з е н т ы :

Лаптев Г.И., доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры 

прикладной математики Российского государственного социального университета;

Щербаков В.Н., доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой 

«Финансовый менеджмент» Московского политехнического университета

Жукова Г.С.

Ж86
Высшая математика для бакалавра. Практикум : учебное пособие :

в 2 частях. Часть 1 / Г.С. Жукова. — Москва : ИНФРА-М, 2019. — 223 с. —
(Высшее образование).

ISBN 978-5-16-108293-5 (online)

Книга содержит основные сведения и положения высшей математики, необходимую 

минимальную по объему математическую базу, позволяющую овладеть приемами и 
методами анализа практических задач. Предложено большое число примеров и упражнений 
с ответами, задания для самоподготовки и контроля полученных знаний с ответами, а многие 
— с анализом и решениями. В части 1 обсуждаются элементы теории множеств, векторной 
алгебры, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, линейной алгебры, 
дифференциального и интегрального исчисления функции одной переменной. По всем 
перечисленным 
разделам 
предложен 
цикл 
практических 
занятий, 
задания 
для 

самоподготовки, работы для самоконтроля качества полученных знаний. В качестве 
справочного материала даны в частности, свойства основных элементарных функций, 
кривых второго порядка, таблицы производных и интегралов.

Ориентировано на студентов бакалавриата нематематических направлений. Будет 

полезно при освоении основных образовательных программ, написании курсовых и 
выпускных квалификационных работ, в проведении исследований в рамках НИС.

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я73

ISBN 978-5-16-108293-5 (online)
© Жукова Г.С., 2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

О Г Л А В Л Е Н И Е

В в е д е и и е.............................................................................................  
4

§1. 
Элементы теории множеств.........................................................  
5

§ 2. 
Элементы векторной алгебры.......................................................  
13

§ 3. 
Комплексные числа........................................................................ 
25

§4. 
Уравнение прямой на плоскости.................................................. 
39

§5. 
Уравнения прямой и плоскости в пространстве.....................  
45

§ 6. 
Кривые второго порядка.............................................................. 
57

§ 7. 
Матрицы..........................................................................................  
68

§ 8. 
Определитель матрицы............................................................... 
78

§9. 
Системы линейных алгебраических уравнений..................... 
84

§10. 
Собственные значения, собственные векторы матрицы....... 
96

§11. 
Линейные векторные пространства. Базис.............................  
105

§12. 
Квадратичные формы...................................................................  
112

§ 13. 
Функция одной переменной. Предел функции.......................  
121

§ 14. 
Производная функции................................................................. 
134

§ 15. 
Исследование функции и построение графика......................  
143

§16. 
Неопределенный интеграл.......................................................... 
159

§ 17. 
Определенный интеграл. Несобственные интегралы........... 
172

§ 18. 
Варианты работ для самоконтроля............................................  
186

1. Тема: «Векторы»....................................................................... 186
2. Тема: «Прямая и плоскость».................................................  
186

3. Тема: «Комплексные числа. Разложение рациональной

дроби»....................................................................................... 
187

4. Тема: «Матрицы».................................................................. 
188

5. Тема: «Предел функции».....................................................  
190

6. Тема: «Дифференцирование функции»............................ 
190

7. Тема: «Исследование функции»......................................... 
191

8. Тема: «Интегрирование функции»....................................  
191

§19. 
Справочный материал.................................................................. 
192

Л и т е р а т у р а ..................................................................................... 
222

з

Требования к математической подготовке современного специалиста постоянно возрастают. Кроме хороших знаний по своей специальности ему необходимо уметь использовать в своей практической деятельности возможности 
вычислительной техники, современные математические методы, уметь выбирать наиболее подходящие к анализу его задачи комбинации существующих 
методов, уметь не только принимать решения, но обосновывать их правильность и оптимальность. Современный специалист должен быстро и качественно анализировать с помощью математических средств и методов огромные по 
объему массивы различного рода информации, необходимой для его успешной 
профессиональной работы. Поэтому математика прочно заняла место одного из 
главных средств познания проблем любой другой науки.

Основу пособия составили курсы лекций, практических занятий, которые 
автор проводил в различных московских вузах на протяжении многих лет. Соответствие федеральному государственному образовательному стандарту высшего 
образования, предназначенному для студентов направления подготовки «Экономика» (программа подготовки бакалавра), предопределило содержание, объем 
предлагаемого материала и характер его изложения. Основная цель -  помочь 
студентам нематематических направлений подготовки изучить основные положения высшей математики, дать необходимую базу, позволяющую устойчиво овладеть математическими приемами, методами анализа практических задач.

Мы излагаем «Высшую математику» как дисциплину, обучающую студентов определенным навыкам системного мышления, использования количественных методов анализа, необходимых им при изучении спецкурсов, написании курсовых и дипломных работ, умению не только осмыслить и высказать 
суждение по тому, или иному вопросу, но также проверить его правильность.

В части 1 обсуждаются элементы теории множеств, векторной алгебры, 
аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, линейной алгебры, 
дифференциального и интегрального исчисления функции одной переменной. 
Придерживаясь мнения, что математическими приемами и методами анализа различных задач можно устойчиво овладеть только, решая достаточное число аналогичных примеров, в книге по всем перечисленным разделам математики предложен цикл практических занятий, задания для самоподготовки и самоконтроля (с 
ответами, а некоторые -  с решениями).

Схема изложения материала каждого параграфа следующая: справочный 
теоретический материал, необходимый для успешного усвоения темы; разбор 
примеров (с анализом и решением); перечень задач и упражнений для самостоятельного решения; ответы. Нумерация формул, теорем, рисунков, таблиц, замечаний, примеров с решениями, примеров для самостоятельной работы в каждом 
параграфе самостоятельная.

В В Е Д Е Н И Е

4

§1.  ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

L МНОЖЕСТВА

О п р е д е л е н и е  1. Множество -  это любая совокупность объектов, 
называемых элементами множества.

Множества обозначают большими буквами: a , b , n „... Элементы множества обозначают малыми буквами: а, Ь, п.... Запись: аеА означает, что элемент

а есть элемент множества А. В противном случае пишут: а е А.

О п р е д е л е н и е  2. Множество считается заданнъш. если о любом 
объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.

О п р е д е л е н и е  3. Множество, не содержащее ни одного элемента, 

называется пустым и обозначается символом 0 .

О п р е д е л е н и е  4. Множество А называется конечным. если оно 
содержит конечное число п(А ) элементов.

О п р е д е л е н и е  5. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

О п р е д е л е н и е  6. Множество А называется подмножеством множества В, если любой элемент множества А является элементом множества В.

Используют запись: А с  В или ВгэА (отношения включения).

О п р е д е л е н и е  7. Множество А называется универсальным для 
данного рассуждения, если в ходе этого рассуждения участвуют только подмножества множества А.

З а м е ч а н и е  1. Чтобы наглядно изображать множества и отношения 
между ними, на плоскости рисуют геометрические фигуры (как правило, круги), которые находятся между собой в этих отношениях. Универсальные множества отождествляют с плоскостью, изображая обычно в виде квадрата, внутри которого рисуют все другие множества, участвующие в ходе этого рассуждения. Изображение множества с помощью геометрической фигуры называется 
диаграммой множества (или диаграммой Эйлера-Венна).

Способы задания множеств

1) С помощью перечисления его элементов: А = {а1,а2;...;ап };

2) Описанием характеристического свойства элементов множества: 

А = {х| р(х) }. Читают: множество всех таких элементов х, для которых имеет 

место условие Р(х).

5

1) ЛсЛ;
2)  Если В сЛ  и А а С , то Я сС ;
3 ) Если В сА  и А с  В, то А = В.

2. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

О п р е д е л е н и е  8. Числовыми множествами называются такие 
множества, все элементы которых являются числами.

Обозначение некоторых числовых множеств

N -  множество натуральных чисел: N = {l,2,3,..

Z -множество целых чисел: Z = {0;±1;±2;...};

R -  множество вещественных чисел: R=(- оо;-нх>);

(a; b) -  интервал: (а,Ь)=^с\а<х<ь\

[а;л]-отрезок: [a,b\=\x\a<x<b\,

(а;Л] и [а;b )-полуинтервалы:

(а;й] = \x\a<x<b}, 
[a;/>)= {х\а<х <b);

(a -s,a  + s)~ д -окрестность ТОЧКИ Х = а:

( а - д ; а  + б)={х\а-<5 < х < а  + д}.

Промежуток -  общее название для интервала, отрезка и полуинтервала.

3. ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Множества можно комбинировать друг с другом и получать другие множества. Для этого используются операции: объединение множеств, пересечение 
множеств, дополнение к подмножеству, разность множеств, прямое произведение множеств.

О п р е д е л е н и е  9. 
Объединением множеств А и В 
называется 

множество, обозначаемое A<j B (или А+В), состоящее из элементов, которые 
принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (рис. 1):

А ^>В = {дг| х 6 А или х е в}.

Свойства отношения включения

6

С в о й с т в а  объединения множеств:

1) Л иВ  = ВиЛ ,
2) (А B)c jC = A ^(B k jC),
3) Если Л с 5 ,т о  А^>В = В,
4) A k jA = A,
5) A c j0  = A.

О п р е д е л е н и е  10. Пересечением множеств А 
та В называется 
множество, обозначаемое А п В  (или АВ), состоящее из элементов, которые 
одновременно принадлежат и множеству А, и множеству В 
(рис. 2):

1) А п В  = В п А ,
2) (АъВ)г^С=Аг^(ВглС),
3 ) Если АсВ,т о А п В  = А,
4) А пА  = А,
5) Л о 0  = 0 .

Связь между операциями объединения и пересечения:

1) Ап(ВиС)=(АпВ)и(АпС),то есть А(В+С)=АВ+АС;

2) А^(Вг^С)=(А 
(Л иС );

3) п(А c jB) = п(А) + п(В) -  п(А о  В).

З а м е ч а н и е  2. При решении уравнений или неравенств, которые обозначим (а) и  (в ), если возникает необходимость в объединении или пересечении множеств их решений, для обозначения этого используют, соответственно, 
символику:

4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

А пВ  = {х|дге А ихеВ}.

Рис. 2

С в о й с т в а  пересечения множеств:

ГМ
_м

7

5. ДОПОЛНЕНИЕ К МНОЖЕСТВУ

О п р е д е л е н и е  11. Лополнение.м к множеству А во множестве V 
(если A<zV) называется множество А 
всех тех элементов V, которые не 
принадлежат А (рис. 3):

А = {х eV\x е а )

Рис. 3

С в о й с т в а  дополнения к множеству:

1) Аг\В<лАглВ = А, тоесть АВ + AB = А ;
2) A u A = v , тоесть А + А=У;

3) А п  А = 0 , то есть АА = 0 ;

4) п(У) = п(А) + п(А'), если A cV .

З а м е ч а н и е  3. Любые два подмножества А я В множества V разбивают множество V на четыре области (рис. 4):

Д  =АВ, D1=AB, D3=AB, Dt =AB.

Рис. 4

Законы двойственности:

1) Если A c V ,B c V , ТО А г\В = А'иВ \

2) Если A c V , BcV,TO А^)В = АслВ.

8

6. РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ

О п р е д  е л е н и е 12. Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое А \В , состоящее из тех элементов множества А, которые не 

принадлежат множеству в  (рис. 5): А\В = {х\хеА ихев}.

С в о й с т в а  разности множеств:

1) А\В = А\(А^В)-,

2) Если A c V  и V -  универсальное множество, то А = v \А ;

3) А\{Вп,С)={А\В) СЛ\С);

4) А\{ВсзС)=(А\В)гл{А\С).

1. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

О п р е д  е л е н и е 
13. Прямым произведением множеств А а В 
называется множество, обозначаемое Ах.В и состоящее из всех упорядоченных 

пар вида (a,b), где а еА , be В: 
АхВ = {(а;б)| ае А и b ев}.

8. ПРАВИЛА СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Пусть А и В -  два конечных непересекающихся множества, содержащие 

п(Л ) и п ( В ) элементов соответственно.

Правило с у м м ы . Число п(АсзВ) элементов множества A c jB вычисляется 

по формуле: 
п(Л со в ) = п( А) + п(В) -  п(А о  в ) .

Правило произведения. 
Число «(Л х в ) элементов множества Ах в  

вычисляется по формуле: п(А х В) = п( А ) - п( В) .

9. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

З а д а ч а  1. Найдите среди указанных множеств равные: 
А = {1; 5 },

Д = {5;1}, C = {l;5;l }, D = {{l;5}}.

Р е ш е н и е .  
1) А=В, так как эти множества состоят из одних и тех же 
элементов.

9

2) А* С, так как множество А содержит два элемента (1 и 5), а множество 

С содержит три элемента (1,1 и 5).

Так как А = В и Л *С ,то В ф С.
3) А *£>, так как множество А содержит два элемента (1 и 5), а множество 

D содержит один элемент (множество {1; 5 }).

Таккак А = В и A*D , то B*D.
4) C * d , так как множество С содержит три элемента (1, 1 и 5), а множество D содержит один элемент (множество {1; 5 }).

О т в е т :  А = В.

З а д а ч а  2. Опишите множество точек единичной окружности с 
центром в начале координат.

О т в е т :  { (лг; >■) | хей, y^R , х2 + у г =1 }.

З а д а ч а  3. В классе 25 человек. Из них хорошо знают математику 12 
человек, историю -  16 человек, не знают хорошо этих предметов -  4 человека. 
Определить, сколько учеников в классе

а) хорошо знают хотя бы один из предметов,

б) хорошо знают оба предмета.

Р е ш е н и е .  Обозначим: V - множество учеников класса (универсальное 
множество задачи), А -  множество учеников класса, хорошо знающих математику, В -  множество учеников класса, хорошо знающих историю.

Тогда АглВ -  множество учеников класса хорошо знающих и математику, 
и историю; A\ j B -  множество учеников класса, хорошо знающих хотя бы один 
из предметов; А -  множество учеников класса, не знающих математики; В -  
множество учеников класса не знающих истории; А гл в -  множество учеников 
класса, не знающих ни математики, ни истории.

По условию задачи

rt(v) = 25, п(А) = 12, /j(fi) = 16, п(Ап,В)= 4.

Тогда находим:

л( А) = n{V)- п(А) = 25 -12 = 13, 
п(В) = n(V)- п(В) = 25 -16 = 9.

а) По закону двойственности

А Г\В = А^иВ .

Следовательно, имеем:

n(A^jB) = n(v)-n(A l j В) = п(у)-п(А глВ) = 25 -  4 = 21.

ш