Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Г.С. ЖУКОВА

МАТЕМАТИКА

ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ
СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

В 2 ЧАСТЯХ

ЧАСТЬ 2

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК [51+33](075.8)
ББК 22.1:65я73

Ж86

Р е ц е н з е н т ы :

М.Г. 
Дмитриев,
доктор 
физико-математических 
наук, 

профессор Московского государственного социального университета;

А.X. Лившиц, доктор физико-математических наук, профессор 

Российского 
химико-технологического 
университета 
имени

Д.И. Менделеева

Жукова Г.С.

Ж86
Математика для студентов экономических специальностей : 

учебное пособие : в 2 частях. Часть 2 / Г.С. Жукова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2019. — 361 с. — (Высшее образование).

ISBN 978-5-16-108297-3 (online)

Цель книги — помочь студентам экономических специальностей 

изучить основные положения высшей математики, дать необходимую, 
но минимальную по объему математическую базу, позволяющую 
овладеть приемами, методами анализа большого круга практических 
задач.

В части 2 книги обсуждаются элементы теории функций не
скольких переменных, числовые и степенные ряды, ряды Тейлора и 
Маклорена, дифференциальные уравнения первого и второго порядков, элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической 
статистики.

Изложенный в книге теоретический материал, большое число 

задач с подробным анализом и решениями, цикл практических занятий по курсу «Математика», варианты самостоятельных работ будут 
полезны преподавателям, аспирантам и студентам вузов.

УДК [51+33](075.8)

ББК 22.1:65я73

ISBN 978-5-16-108297-3 (online)
© Жукова Г.С., 2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

В в е д е н и е
3

В В Е Д Е Н И Е

Требования к математической подготовке современного 

специалиста постоянно возрастают. Кроме хороших знаний 

по своей специальности ему необходимо уметь использовать 

в своей практической деятельности возможности вычислительной техники, современные математические методы, 

уметь выбирать наиболее подходящие к анализу его задачи 

комбинации существующих методов, уметь не только принимать решения, но обосновывать их правильность и оптимальность. Современный специалист должен уметь быстро и 

качественно анализировать с помощью математических 

средств и методов огромные по объему массивы различного 

рода информации, необходимой для его успешной профессиональной работы. Поэтому математика прочно заняла место 

одного из главных вспомогательных средств познания проблем любой другой науки.

Основу данной книги «Математика для студентов экономических специальностей» (в 2-х частях) составили курсы лекций 

и практических занятий, проводимых автором на протяжении 

многих лет в Московском государственном социальном университете и Российском химико-технологическом университете 

им. Д. И. Менделеева. Соответствие государственным стандартам высшего профессионального образования, предназначенным для студентов экономических специальностей, предопределило содержание книг, объем предлагаемого материала и 

характер его изложения.

В в е д е н и е

Основная цель этой книги -  помочь студентам изучить основные положения высшей математики, дать необходимую 

минимальную по объему математическую базу, позволяющую 

овладеть устойчиво математическими приемами, методами 

анализа большого круга задач, в частности, теории вероятностей и математической статистики, что нужно любому современному специалисту.

В 
части I 
книги обсуждаются элементы теории множеств, векторной алгебры, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления функции одной переменной. 

Кроме того, Вашему вниманию предложен краткий очерк истории математики. Весь этот материал студенты, как правило, 

изучают в первом семестре первого курса из расчета 6 аудиторных часов в неделю.

В части II книги обсуждаются элементы теории функций 

нескольких переменных, числовые и степенные ряды, ряды 

Тейлора и Маклорена, дифференциальные уравнения первого и 

второго порядков, элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Этот материал студенты, как правило, изучают во втором и частично в третьем 

семестрах из расчета 6 аудиторных часов в неделю.

Мы излагаем «Высшую математику» как дисциплину, обучающую студентов определенным навыкам логического мышления, использования количественных методов анализа, необходимых им при изучении спецкурсов, написании курсовых и дипломных работ, умению не только осмыслить и высказать су

В в е д е н и е
5

ждение по тому или иному вопросу, но проверить его правильность.

Придерживаясь мнения, что математическими приемами и 

методами анализа различных задач можно устойчиво овладеть, решая достаточное число аналогичных примеров, в книге по всем перечисленным выше разделам математики предложен цикл практических занятий и контрольных работ.

Схема изложения материала каждого параграфа следующая:

1. Справочный теоретический материал, необходимый для 

успешного усвоения темы;

2. Разбор примеров (с подробным их решением и анализом);

3. Перечень задач для самостоятельного решения;

4. Ответы ко всем задачам.

Нумерация формул, теорем, рисунков, таблиц, замечаний, 

примеров с решениями, примеров для самостоятельной работы в каждом параграфе самостоятельная.

Автор выражает искреннюю признательность профессору 

Дмитриеву Михаилу Гзннадьевичу, доцентам Рушайло Маргарите Федоровне и Рудаковской Елене Георгиевне за постоянное внимание к работе, полезные обсуждения и предложения, 

сделанные при написании книги.

Надеемся, что эта книга будет полезна преподавателям 

вузов и студентам экономических специальностей, желающим 

изучить математику.

§1. Понятие функции нескольких переменных

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. МНОЖЕСТВА В

О п р е д е л е н и е  1. Пространством R" называется 
множество упорядоченных групп (х,;...;хп) из п действительных чисел, п >  1. При этом число п называется размерностью 
пространства.

С геометрической точки зрения пространство R" отождествляют с множеством точек вида М (х ,;...;х п). 
При этом числа

х,,...,хи называют координатами точки М.

В пространстве R n определено расстояние \ М М {]\ между

любыми двумя точками М (х , ;...;хя). и М 0(х|°;...;х'’ ), например, по формуле:

О п р е д е л е н и е  2. 
Множеством в пространстве Rn 
называется любая часть этого пространства.

О п р е д е л е н и е  3. Открытым (замкнутым) шаром в 

R ” с центром в точке М t) е R n радиуса г >  0 называется

множество точек М  е R ", удовлетворяющих условию:

О п р е д е л е н и е  4. Окрестностью точки M (l е R n называется любой открытый шар с центром в этой точке. 
Обозначение: Vr( M 0), где г -  радиус шара.

| М М 0 |< г 
{\М М 0 \< г).

§1. Понятие функции нескольких переменных
7

О п р е д е л е н и е  5. Точка М 0 e D  a R "  называется

внутренней точкой множества D  из R " , если она входит в 
D  вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка М 0 g D c zR " называется граничной точкой множества D  из R " , если в любой ее окрестности есть точки, как принадлежащие D , так и не принадлежащие D .

О п р е д е л е н и е  6. Множество D a R " называется открытым. если все его точки -  внутренние. Множество D , полученное из D  присоединением всех его граничных точек, называется замкнутым.

О п р е д е л е н и е  7. Множество D a R "  называется ограниченным. если его можно заключить внутрь некоторого шара.

О п р е д е л е н и е  8. Множество D a R "  называется односвязным. если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат D.

О п р е д е л е н и е  9. Областью в пространстве R " называется любое односвязное открытое множество в R " . Замкнутой областью в пространстве R" называется замкнутое множество, полученное из области 
D  
присоединением всех ее 
граничных точек.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ 
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

О п р е д е л е н и е  
10. 
Если для любой точки 

M (x ,;...;x n) 
из множества 
D a R "  
по некоторому правилу 

или закону /  поставлено в соответствие число и из множества 

E a R , 
то говорят, что на множестве D  задана функция 

и = 
,агп) п переменных х],...,хп. При этом множест

§1. Понятие функции нескольких переменных

ваются, соответственно, областью определения функции /  
и 

множеством значений функции / .

Обозначают:

и = /( х ,,...,х „ )  
или и = f ( M ) , где М (уг,;.

О п р е д е л е н и е  11. 
Частным значением функции 

и = / ( х ,,...,х „ )  
в точке 
А /0 = А /0(х1° ;...;х п°) называется 

число

» 0 = / ( № о  
—

О п р е д е л е н и е  12. Графиком функции

*  = /( х  1,...,х и)

называется множество точек пространства Л ”+1, имеющих координаты

(х1;.. .; х „ ; / ( х 1,...,х л)), 
где 
(х ,;...;х „)е  / ) ( / )

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

О п р е д е л е н и е  13. Число /1 называется пределом 
функции 
м = / ( М ) ,  
где 
М  = М (х 1;...;х „), 
в 
точке

M 0 e D c z R n (при стремлении точки 
А /(х ,;...;х „) 
к точке 

М 0(х10;...;хл)), если для любого сколь угодно малого 
£ > 0  

найдется такое число £  = <?(£■ )> О, что для всех точек М  из 

D , 
удовлетворяющих условию М  е VS( M 0) \  
}, справедливо неравенство:

j/ ( M ) ~  А\<е.

Используют одно из обозначений:

А = J in? / (А/), 
А = lim / ( х , х „ ).
А/ -*А/0 
jcj

§ 1. Понятие функции нескольких переменных
9

О п р е д е л е н и е  14. Число А называется 
пределом 
функции м = / ( М ) ,  где М  = М ( х 1,...;хп), при М  —>оо, если для любого сколь угодно малого е > О найдется такое число 
А > 0, 
что 
при всех М  e D , 
удовлетворяющих условию 

| М О  |> А, справедливо неравенство:

\ / ( М ) - А \ < е .

Используют одно из обозначений:

А = lim f ( M ) ,  
А = lim

М —>со 
Xj —>со

О п р е д е л е н и е  15. Говорят, что функция и = f ( M )  , 

где М ( х 1;...;х„), 
имеет в точке 
М 0 предел, равный оо, 

если для любого сколь угодно большого N  > 0  найдется такое 
число 6  = 8 { N ) >  0, что при всех M e D ,  удовлетворяющих 

условию М  е VS( M 0) \  {Л^0}* справедливо неравенство:

\ f ( M ) \ > N .

Используют одно из обозначений:

J irV„ f  (М > = 00- 
Km / ( х , ....,х „) = оо.

М - * М 0 
I i ->х.

С в о й с т в а  
п р е д е л а :

1) Если функция 
и = /( Л / )  
имеет предел в точке М 0, то 

этот предел единственный;

2) Пусть функции / ( М )  и g ( M )  определены в некоторой 

окрестности точки М 0 и имеют конечные пределы в этой точке. 

Тогда в точке М 0 существуют пределы функций

§1. Понятие функции нескольких переменных

f ( M ) ± g ( M ) ,  
f ( M ) - g ( M ), 
f ( M ) / g ( M ) .

При этом имеют место равенства:

lim  ( f ( M ) ± g ( M ) ) =  Jim  f ( M ) ±  lim g(M ),

lim ( /( M )  g (M ))=  lim  f { M )  ■ lim  g{M ),
M—»M0 
M->M0

lim
M-+M„

f ( M )

g (M )

lim  f ( M ) 

lim  g ( M ) ’

если g ( M ) * 0  в D.

4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

О п р е д е л е н и е  
16. Функция и = f ( M ) ,  где 

М  = М {Х\\...\хп) , называется непрерывной в точке 

М 0 е D с  R ", 
если в этой точке существует предел функции

м = /( Л /) , равный числу / ( М 0):

lim  f ( M )  = f ( M 0) 
«
М —>Л/о
lim  /(х ,,...,х „) = / ( х |°,...,х°).
л, —>лг,

О п р е д е л е н и е  17. 
Функция 
м = / ( М ) ,  
где 

М  = A/ ( jc,
называется непрерывной в точке 

М 0 = 
;...;хп° ) , 
где 
M 0 e D c R " ,  
если бесконечно

малым приращениям аргументов 
Дх,,...,Дхн 
соответствует 

бесконечно малое приращение функции Дм, то есть выполняется 

равенство:

lim Дм = 0,
Лг, —>0
Д.г„ -*0