Математика

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Г.С. ЖУКОВА

МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Рекомендовано

Учебно-методическим объединением вузов России 

по образованию в области социальной работы 

Министерства образования Российской Федерации 

в качестве учебно-методического пособия 
для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по специальности «Социальная работа»

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

Ж86

Р е ц е н з е н т ы :

М.Г. Дмитриев, доктор физико-математических наук, профессор 

Московского государственного социального университета;

А.X. Лившиц, доктор физико-математических наук, профессор Российского 

химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева

Жукова Г.С.

Ж86
Математика : учебное пособие / Г.С. Жукова. — Москва : ИНФРА-М,      

2019. — 351 с. — (Высшее образование).

ISBN 978-5-16-108295-9 (online)

Цель книги — помочь студентам социальных и социально-гуманитарных 

специальностей изучить основные положения высшей математики, дать 
необходимую, 
но 
минимальную 
по 
объему 
математическую 
базу, 

позволяющую овладеть приемами, методами анализа большого круга задач, в 
частности, теории вероятностей и математической статистики, нужными 
любому современному специалисту. В книге представлены теоретический 
материал, большое число задач с подробным анализом и решениями, цикл 
практических занятий по курсу «Математика», варианты самостоятельных 
работ для контроля полученных знаний.

Будет 
полезно
студентам 
вузов, 
обучающимся 
по 
социально
гуманитарным специальностям и желающим знать математику.

УДК 51(075.8)

ББК
22.1я73

ISBN 978-5-16-108295-9 (online)
© Жукова Г.С., 2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

В В Е Д Е Н И Е

Математика давно признана одним из главных вспомогательных 
средств познания проблем любой другой науки. Требования к математической подготовке современного специалиста постоянно возрастаю. Кроме 
хороших знаний по своей специальности ему необходимо уметь использовать в своей практической деятельности возможности вычислительной 
техники, современные математические методы, уметь выбирать наиболее подходящие к анализу его задачи комбинации существующих методов, 
уметь не только принимать решения, но обосновывать их правильность и 
оптимальность.

Современный специалист должен уметь быстро и качественно анализировать с помощью математических средств и методов огромные по 
объему массивы различного рода информации (научно-технической, нормативно-правовой, уголовно-статистической, криминологической и т.п.), 
необходимой для его успешной профессиональной работы.

Это пособие написано на базе лекций и практических занятий по курсу 
«Математика», проводимых автором со студентами Московского государственного социального университета. Речь идет о студентах тех факультетов, которые математике предпочли совсем не технические, даже 
не экономические, а социально-гуманитарные специальности. Например, 
столь популярную сейчас юриспруденцию, различные направления социальной работы, политологию, социальную антропологию и т.п.

Не секрет, что многие из этих студентов объясняют выбор своей будущей профессии, якобы, полным отсутствием у них каких-либо математических способностей, а поэтому -  желанием в вузе «убежать» от математики.

Социологические опросы школьников показывают, что почти половина 
из решивших посвятить себя гуманитарным (в их понимании) профессиям, 
после принятия этого решения быстро перестали на уроках «понимать» 
математику, физику, химию. При возможности они даже переходят из 
общеобразовательных классов в различного рода «гуманитарные» классы, 
где вместо уроков математики изучают дополнительно, например, историю театра или занимаются ... бальными танцами. В результате, математическая подготовка такого школьника близка к нулю, а он сам свято 
верит в неспособность к математике.

Вот почему вдвойне сложно знакомить с элементами высшей математики студентов гуманитарных специальностей: отсутствует должная

В в е д е н и е

начальная математическая подготовка и очевиден психологический настрой «нелюбви» к этому предмету.

Многолетний опыт работы со студентами социально-гуманитарных 
специальностей привел в итоге к тому, что «Математика» излагается 
как дисциплина, обучающая студентов определенным навыкам использования количественных методов анализа, необходимым им при изучении 
спецкурсов, написании курсовых и дипломной работ, умению не только 
осмыслить и высказать суждение по тому или иному вопросу, но проверить правильность и оптимальность выдвинутой гипотезы. Курс лишен 
(в понятном математику смысле) стройности, последовательности и 
научной строгости изложения материала, обоснованности всех используемых методов и подходов. Читается "Математика", как правило, всего 
один семестр по 4 или максимум по 6 часов в неделю.

Основная цель книги -  помочь студентам изучить основные положения 
высшей математики, дать необходимую минимальную по объему математическую базу, позволяющую овладеть устойчиво математическими 
приемами, методами анализа большого круга задач, в частности, теории 
вероятностей и математической статистики, что нужно любому современному специалисту в какой бы области знаний он не работал. Этим 
диктуется выбор тех тем из разделов аналитической геометрии, линейной 
алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений, по которым в книге предложен цикл практических занятий и контрольных работ.

Схема изложения материала каждого занятия следующая:

1. Справочный теоретический материал, необходимый для успешного

усвоения темы;

2. Разбор примеров (с подробным их решением и анализом);
3. Перечень задач для самостоятельного решения;
4. Ответы ко всем задачам.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору Дмитриеву 
Михаилу Геннадьевичу и доценту Рушайло Маргарите Федоровне за постоянное внимание к работе, помощь в подборе задач, полезные обсуждения и 
предложения, сделанные при написании книги.

Рекомендуется преподавателям вузов и студентам гуманитарных и 
социально-гуманитарных специальностей.

§ 1. Элементы теории множеств
5

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

L МНОЖЕСТВА

О п р е д е л е н и е  1. Множество -  это любая совокупность объектов, 
называемых элементами множества.

Множества обозначают большими буквами: А, В, 
Элементы

множества обозначают малыми буквами: а ,Ь ,п ,.... Запись: а ^ А  означает, что элемент а есть элемент множества А. В противном случае пишут: а 
А .

О п р е д е л е н и е  2. Множество считается заданным, если о любом 
объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.

О п р е д е л е н и е  3. Множество, не содержащее ни одного элемента, 
называется пустым и обозначается символом 0 .

О п р е д е л е н и е  4. Множество А называется конечным, если оно 
содержит конечное число п(А ) элементов.

О п р е д е л е н и е  5. Два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

О п р е д е л е н и е  6. Множество А называется подмножеством множества В , если любой элемент множества А является элементом множества В .

Используют запись: А а  В  или В  Z) А (отношения включения).

О п р е д е л е н и е  7. Множество А называется универсальным множеством для данного рассуждения, если в ходе этого рассуждения участвуют только подмножества множества А.

З а м е ч а н и е  1. Чтобы наглядно изображать множества и отношения 
между ними, на плоскости рисуют геометрические фигуры (как правило, 
круги), которые находятся между собой в этих отношениях. Универсальные 
множества отождествляют с плоскостью, изображая обычно в виде квадрата, внутри которого рисуют все другие множества, участвующие в ходе этого рассуждения. Изображение множества с помощью геометрической фигуры называется диаграммой множества (или диаграммой Эйлера-Венна).

М а т е м а т и к а

Способы задания множеств

1) С помощью перечисления его элементов:

А = { а ,;а 2;...;ап };

2) Описанием характеристического свойства элементов множества:

Л =  { х |р ( х ) } .

Читают: множество всех таких элементов х , для которых имеет место условие р (х).

Свойства отношения включения

1) А а  А;
2) Если В с: А и A cz С , то В а  С ;

3) Если В а  А и А а. В , то А -  В .

2. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

О п р е д е л е н и е  8. Числовыми множествами называются такие 
множества, все элементы которых являются числами.

Обозначение некоторых числовых множеств

N  -  множество натуральных чисел: N  = {l;2;3;..

Z  — множество целых чисел: Z= {0;±1;±2;...};

R  — множество действительных (вещественных) чисел:
R = {~ °о;+со);

(а; Ь) — интервал: (а\ b) = |л:| а < х  < б};

[a;b \ - отрезок: [а ;б ]=  {х| а < x< b};

(а; Ь] и [а;Ъ) — полуинтервалы:

(а ;б ]=  {х| а < х < Ь }, 
[а;b ) -  {х| а < х<  b};

(a — S',a + S ) — 8  -окрестность точки X = а :

(а -  8 ;а  + 8 )=  {х| а -  5 < х<  а +

Промежуток -  общее название для интервала, отрезка и полуинтервала.

§ 1. Элементы теории множеств
7

3. ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Множества можно комбинировать друг с другом и получать другие множества. Для этого используются операции: объединение множеств, пересечение множеств, дополнение к подмножеству, разность множеств, прямое 
произведение множеств.

О п р е д е л е н и е  9. Объединением множеств А к В  
называется 
множество, обозначаемое А о  В  (или А + В ) и состоящее из элементов, 
которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В  
(рис. 1):

А ко В  -  {х| х е А или л: е в}.

Рис. 1

С в о й с т в а  объединения множеств

1)
А и  В =  В и  А ,
2) ( А и В ) и С =  А и ( В и С ) ,

3)
4)

Если А с :  В,  то А и  В -  В, 
A k j  А =  А,
5) А и 0  = А.

4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

О п р е д е л е н и е  10. Пересечением множеств А и В  называется 
множество, обозначаемое 
А г л В  
(или А В )  
и состоящее из элементов, которые одновременно принадлежат и множеству А , и множеству В 
(рис. 2):

А п  В =  {х| х  е А и л; € в}.

В

Рис. 2

С в о й с т в а  пересечения множеств

1) А п В  = В п А ,
2) (А п  В ) п С  = А п ( В п С ) ,

3) 
Если A cz В , то А п  В = А,

4) А п  А - А ,
5) А п 0  = 0 .

Связь между операциями объединения и пересечения

1) А п ( В и С )  = ( А п В ) и ( А п С ), то есть А(в + С)= АВ + АС2) А и ( В п С )  = (А и  В)п(АиС);
3) п(А и  В) = п(А) + п(В) -  п(А п  В).

З а м е ч а н и е  2. При решении уравнений или неравенств, которые 

обозначим (А ) и ( в) , если возникает необходимость в объединении или 
пересечении множеств их решений, для обозначения этого факта используют, соответственно, символику:

О п р е д е л е н и е  11. Пополнением к множеству А во множестве V 

(если A d  V) называется множество А всех тех элементов V, которые 
не принадлежат А (рис. 3):

ГМ

. м

5. ДОПОЛНЕНИЕ К МНОЖЕСТВУ

§ 1. Элементы теории множеств
9

С в о й с т в а  дополнения к множеству

1) A n B  и  А п В  = А, то есть А В + А В = А ;

2) А и А  = V , то есть А + А = V ;

3) А Г) А = 0 ,  то есть АА = 0  ,

4) 
п(У) = п(А) + п(А) , если A d  V.

З а м е ч а н и е  3. Любые два подмножества А и В множества V 
разбивают множество V на четыре области (рис. 4):

Dy = АВ , D2 =AB, 
D3=AB, 
Da =AB.

Законы двойственности

1) 
Если A d V ,  В  d V ,  то А п  В  = A d i  В ]

2) 
Если A d V ,  В  d  V, то А и  В  = А п  В  .

М а т е м а т и к а

6. РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ

О п р е д е л е н и е  12. Разностью множеств А и В называется 
множество, обозначаемое А \ В и состоящее из тех элементов множества 
А , которые не принадлежат множеству В (рис. 5):

А\ В = {х\хе А и х<£ в].

С в о й с т в а  разности множеств

1) 
А \ В =  А \ ( А п В ) ;

2) 
Если A d  V и V — универсальное множество, то A — V \ A \

3) 
A \ ( B n C ) = ( A \ B ) v ( A \ C ) - ,

4) 
А \ ( В и С )  = ( А \ В ) п ( А \ С ) .

7. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

О п р е д е л е н и е  13. Прямым произведением множеств А и В 
называется множество, обозначаемое Ах В и состоящее из всех упорядо­
ченных пар вида (а\Ь) где а € А, Ь е В :

Ах В = {(a; b)\a е. А и b е в \

8. ПРАВИЛА СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Пусть А и В -  два конечных множества, содержащих п(А) и п(В) 
элементов соответственно.

Правило суммы. Число п(А VJ В) элементов множества A^J В 

вычисляется по формуле: 
п(А <J В) = п(А) + п(В).

Правило произведения. 
Число 
п(АхВ) 
элементов множества 
Ах В 
вычисляется по формуле: 
п(А х В) = п(А) ■ п(В) .