Аналитическая геометрия. Векторная и линейная алгебра

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Г.С. ЖУКОВА
М.Ф. РУШАЙЛО

АНАЛИТИЧЕСКАЯ 

ГЕОМЕТРИЯ 

ВЕКТОРНАЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебное пособие

Рекомендовано

Учебно-методическим объединением по образованию

в области химической технологии и биотехнологии

в качестве учебного пособия для студентов 

высших учебных заведений, обучающихся 

по химико-технологическим направлениям и биотехнологии

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

Ж86

Р е ц е н з е н т ы :

А.И. Бояринов, доктор технических наук, профессор Российского 

государственного социального университета;

Л.С. Гордеев, доктор технических наук, профессор Российского 

химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева

Жукова Г.С.

Ж86
Аналитическая геометрия. Векторная и линейная алгебра : 

учебное пособие / Г.С. Жукова, М.Ф. Рушайло. — Москва : ИНФРАМ, 2019. — 415 с. — (Высшее образование).

ISBN 978-5-16-108299-7 (online)

Предложен цикл практических занятий для овладения навыками 

решения примеров и задач следующих разделов математики: векторная 
алгебра, аналитическая геометрия на плоскости, аналитическая 
геометрия в пространстве, комплексные числа, линейная алгебра; 
квадратичные формы.

Даны с решениями и анализом варианты самостоятельных работ по 

указанным темам. Предложен перечень контрольных вопросов по 
теории.

Рекомендуется студентам вузов, изучающим высшую математику.

УДК 51(075.8)

ББК
22.1я73

ISBN 978-5-16-108299-7 (online)
© Жукова Г.С., Рушайло М.Ф., 

2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

В в е д е н и е
3

В В Е Д Е Н И Е

Согласно государственным образовательным стандартам курс 
математики преподается в вузах нашей стр ты студентам практически всех специальностей, как технически, так и гуманитарных. Такое 
уважительное отношение к математике, лестное нам, ее педагогам, 
объясняется очень просто: все, что нас окружает, поддается анализу и 
изучению с помощью математических методов.

Поэтому современный специалист кроме хороших знаний по своей 
специальности должен обладать определенной математической культурой и четкими математическими знаниями. Ему необходимо в достаточной степени владеть как классическими, так и современными математическими методами анализа задач, возникающих в его практической деятельности, использовать возможности вычислительной техники, уметь выбирать наиболее подходящие к анализу его задачи комбинации различных известных методов, знать их сравнительные характеристики и т.п. Эти обстоятельства предъявляют повышенные требования к качеству математической подготовки в вузах.

В процессе обучения в высшем учебном заведении у  выпускника появляется то, что обычно и называют математической культурой. Выпускник вуза должен знать теорию и овладеть навыками решения задач по 
основным разделам математики, уметь изложить их основы на четком 
алгоритмическом языке, знать преимущества и недостатки того или 
иного метода решения.

Уровень математической культуры после завершения обучения в 
вузе должен обеспечить умение разбираться в математических методах, необходимых для работы по выбранной специальности, умение читать нужную справочную литературу, умение самостоятельно продолжить свое математическое образование.

Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математическими 
знаниями, будет уверенно двигаться дальше, и математика станет в 
его руках послушным инструментом для решения задач, возникающих в 
сфере его профессиональной деятельности.

В в е д е н и е

Изучение математики совершенствует общую культуру мышления, 
дисциплинирует ее, приучает человека логически рассуждать, воспитывает у  него точность и обстоятельность аргументации. Математика 
учит не загромождать исследование проблемы ненужными подробностями, не влияющими на сущность дела. И наоборот, математика помогает определить и не пренебрегать тем, что имеет принципиальное 
значение для cyufecmea изучаемого вопроса.

Конечно же, в вузе студенты разных специальностей изучают 
«разную» математику. Математика, читаемая будущим математикам, информатикам, экономистам, социологам, психологам, политологам, лингвистам, юристам, журналистам, отличается в первую очередь 
перечнем включенных в него дидактических единиц этой дисциплины, а 
значит, и объемом часов, и содержанием курса. Однако разделы математики, которые анализируются в этой книге, считаются базисными, 
основополагающими в формировании математической культуры и входят в программу курса математики студентов любой специальности.

При написании этой книги авторы стремились изложить основные 
понятия следующих разделов высшей математики:

• векторная алгебра;

• 
аналитическая геометрия на плоскости;

• аналитическая геометрия в пространстве',

• линейная алгебра.

В книге на большом количеству систематически подобранных примеров раскрывается содержание основных понятий и теорем указанных 
разделов математики. Предложен цикл практических занятий для овладения навыками решения подобных примеров и задач. Для самостоятельной проверки качества полученных знаний даны шесть контрольных 
работ и перечень контрольных вопросов по теории.

При изложении материала мы руководствовались тезисом: кратко, 
но четко, чтобы было доступно вчерашнему школьнику. Схема изложения материала каждого параграфа следующая:

В в е д е н и е
5

1. Справочный теоретический материал, необходимый для 
успешного усвоения темы;

2. Разбор примеров (с подробным их решением и анализом);
3. Перечень задач для самостоятельного решения;
4. Ответы ко всем задачам.

Нумерация теорем, формул, рисунков и примеров с решениями в каждом параграфе самостоятельная. Нумерация задач для самостоятельного решения и ответов к ним начинается с указания номера параграфа.

Преподавателям вузов, ведущим практические занятия по линейной 
алгебре, можно было бы посоветовать следующий порядок изложения 
материала, включенного в книгу:

1. 
Определители второго и третьего порядков. Решение систем линейных алгебраических уравнений с двумя и тремя 
неизвестными (§ 2).

2. 
Векторы. Операции над векторами. Разложение вектора по 
векторам (§ 1-2).

3. 
Скалярное произведение двух векторов. Векторное произведение двух векторов (§ 3-4).

4. 
Смешанное произведение трех векторов (§ 5).
Контрольная работа 1.

5. 
Уравнение прямой на плоскости. Кривые второго порядка 
(§6-7).

6. 
Уравнение плоскости. Прямая и плоскость в пространстве 
(§6-7).

7. 
Поверхности второго порядка (§ 6-7).

8. 
Контрольная работа 2.

9. 
Комплексные числа. Операции над ними (§ 6).

10. 
Разложение многочлена на множители. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей (§ 7).

11. 
Матрицы. Операции над матрицами (§8).

12. 
Приведение матрицы к ступенчатому виду и виду Гаусса. 
Ранг матрицы. Ранг системы векторов (§ 9).

В в е д е н и е

13. 
Контрольная работа 3.

14. 
Определитель и его свойства. Обратная матрица. Решение 
матричных уравнений (§ 10).

15. 
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (§ 11 -12).

16. 
Системы линейных однородных алгебраических уравнений. 
Фундаментальная система решений (§ 11-12).

17. 
Контрольная работа 4.

18-19. 
Собственные значения, собственные и присоединенные векторы матрицы (§ 13).

20. 
Линейные векторные пространства. Базис в пространстве. 
Разложение вектора по базису. Процесс ортогонализации 
базиса (§ 14).

21. 
Квадратичные формы (§15).

22. 
Контрольная работа 5.

Настоящее пособие может быть использовано студентами и аспирантами вузов как для работы под руководством преподавателя, так и 
для самостоятельного изучения основ векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры. Этому способствуют полный анализ и решение большого числа примеров, а также краткое изложение 
теории.

Рекомендуется преподавателям вузов, ведущим занятия по курсу 
высшей математики. Оно включает более 600 примеров для самостоятельного решения, рассчитанных на студентов со средним уровнем начальной математической подготовки.

§ 1. Векторы. Линейные операции над векторами
7

Г л а в а  
I

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§ 1 . ВЕКТОРЫ .

ЛИНЕЙНЫ Е ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМ И

1. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

О п р е д е л е н и е  1. Вектором АВ называется направленный 
отрезок с началом в точке А и концом в точке В.

О п р е д е л е н и е  2. 
Вектор, у которого начальная и конечная 
точки совпадают, называется нулевым вектором и обозначается символом: 0.

О п р е д е л е н и е  3. Длиной вектора АВ (или модуле.»') называется длина отрезка АВ. Используется обозначение: \АВ\.

Из определения 3, в частности, следует, что |о| = 0.

О п р е д е л е н и е  4. Два вектора а 
и Ь называются равными. если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых 
(коллинеарны) и направлены в одну сторону (сонаправлены):

Гл. I. Векторная алгебра

О п р е д е л е н и е  5. Проекиией вектора а на ось Ои называется число, обозначаемое П р0и а , вычисляемое по формуле:

Из определений 3 и 5, в частности, следует, что проекция нулевого 
вектора на любую ось равна нулю.

О п р е д е л е н и е  6. Направляющими углами вектора а Ф О 

называются углы между ним и координатными осями О х^,
О хп .

Например, если вектор а Ф О задан на плоскости Оху, то он имеет два направляющих угла:

Если вектор а Ф 0 
задан в пространстве Оху2, то он имеет три 
направляющих угла:

О п р е д е л е н и е  7. Косинусы направляющих углов называются 
направляющими косинусами вектора.

О п р е д е л е н и е  8. 
Ортом оси Ои называется единичный 
вектор, сонаправленный с этой осью и выходящий из точки О .

На плоскости О ху орты координатных осей О х и О у обозначают, соответственно: 
i, j . В пространстве O xyz орты координатных

осей Ох, О у и O z обозначают, соответственно: i , j , k .

О п р е д е л е н и е  9. Проекции вектора а на координатные оси 

О
х
О
х
п называются координатами вектора а .

Используют, соответственно, обозначения: а 
а г .
Д1

§ 1. Векторы. Линейные операции над векторами
9

На плоскости О ху координаты вектора а 
обычно обозначают: 

а х, а у . В пространстве O xyz координаты вектора а обычно обозначают: а х , а у , а г.

Из определений 5 и 8, в частности, следует, что все координаты нулевого вектора равны нулю.

З а м е ч а н и е  1. Орт ik координатной оси Ох к в пространстве OjCj ... х п имеет координаты:

Оу'-ДиОу-мО
*-1 
п-к

З а м е ч а н и е  2. 
Точка 
А ( а г ;...; а ) 
является конечной
•*1 
■*«

точкой вектора а , если его начальная точка совпадает с началом координат.

З а м е ч а н и е  3. Все свойства и правила действия с векторами, 
приводимые ниже в этом параграфе, не зависят от числа координат 
фигурирующих векторов. Поэтому, чтобы избежать громоздких обозначений, ограничимся рассмотрением векторов с тремя координатами 
а х , а  , а 2. Случай вектора, расположенного на плоскости Оху, не

будет выпадать из обсуждения, если для него считать: a z = 0.

Т е о р е м а  1. 
В пространстве Oxyz для любого вектора а 
верно равенство:

a = a x -i + a y - j  + a , - k , 
(1)

где /, j ,  к  
орты координатных осей Ox, Оу, Oz .

З а м е ч а н и е  4. Равенство (1) называют разложением вектора 
по ортам координатных осей.

Гл. 1. Векторная алгебра

Равенство (1) сокращенно записывают следующим образом: 

а 
(ах9 ^  у 1 
)*

Этим отождествляют вектор 
а 
сточкой 
А ( а х;ау ; а . ), которая

является конечной точкой того единственного вектора ОА , равного 
вектору а и выходящего из начала координат.

Т е о р е м а  2. В пространстве O xyz для любого ненулевого вектора а — [ах \а у ‘,а : ) справедливы равенства:

а х
cosar = т 4 ,

а

COS f i  = y 2j .
а .
cos у  =-г-т

а
а
а

cos2 а  + co s2 р  + co s2 у  = 1.

Т е о р е м а  3. У равных векторов равны соответствующие координаты:

а = 6<=> а х =Ъх , а у = Ь у , а : = Ь , .

Т е о р е м а  4. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны:

a ll Ъ
о,

Ъг

= к.

Причем, если коэффициент пропорциональности к > 0 , то векторы 

а и Ъ сонагтравлены £ t T  Ъ) ; 
если к < 0, то векторы а и Ъ

противоположно направлены
(a Т4- b \