Геометрия и графика, 2020, № 2

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА – 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Меркулова Н.Б.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 590 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2020

Подписано в печать 25.06.2020.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Волошинов Д.В.  
Алгоритмический комплекс для решения задач  
с квадриками с применением мнимых  
геометрических образов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Гирш А.Г.
О пользе мнимостей в геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Игнатьев С.А., Третьякова З.О., 
Воронина М.В.
Дополненная реальность в начертательной  
геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Игнатьев С.А., Третьякова З.О.,  
Воронина М.В.
Технологии дополненной реальности  
в проектной деятельности студентов . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Назарова О.Н.
Современные проблемы преподавания курса 
«Прикладная геометрия и инженерная графика»  
для эксплуатационных направлений  
авиационного вуза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

Бойков А.А.
Компьютерная проверка решений задач 
начертательной геометрии для инженернографического образования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

ОБЗОРЫ

Сальков Н.А., Кадыкова Н.С.
Отражение развития инженерной геометрии  
в журнале «Геометрия и графика»  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

2020. Том 8. Вып. 2
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
МИРЭА - Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2020. Vol. 8. Issue 2
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).
Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).
Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор,  
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).
Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications,  
St.-Petersburg (Russia).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия).
 
Russian Technological University (Russia).
Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).
Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).
Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).
Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
МИРЭА — Российский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).
Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).
Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).
Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named 
after A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow 
(Russia).
Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).
Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).
Плоский Виталий Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, 
президент Украинской ассоциации по прикладной геометрии, 
проректор по научной работе. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев (Украина). 
 
Kiev National University of Construction and Architecture, Kiev 
(Ukraine).
Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.
Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.
Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.
Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.
При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.
Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).
Согомонян Коля Амазаспович, д-р техн. наук, профессор. Армянский 
национальный политеxнический университет. Ереван (Армения).
 
Armenian National Polytechnic University, Yerevan (Armenia).
Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).
Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).
Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).
Толок Алексей Вячеславович, д-р техн. наук, профессор. Московский  
государственный технический университет «СТАНКИН» (Россия). 
STANKIN Moscow State Technical University, Moscow (Russia)
Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор. Московский государственный университет имени  
М.В. Ломоносова, Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).
Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).
Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА – Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).
Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
МИРЭА — Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия). 

Ефремов Алексей Вячеславович, преподаватель МИРЭА —  
Российский технологический университет (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 2. 3–32 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2020    

УДК 378.147:514.18
DOI: 10.12737/2308-4898-2020-3-32

Д.В. Волошинов 
Д-р техн. наук, профессор,
Санкт-Петербургский государственный университет 
телекоммуникаций,
Россия, 193232, Санкт-Петербург, пр. Большевиков д. 22, 
корп. 1

Алгоритмический комплекс  
для решения задач с квадриками 
с применением мнимых 
геометрических образов

Аннотация. Статья посвящена рассмотрению ряда вопросов, связанных с созданием алгоритмического комплекса, 
предназначенного для решения позиционных и метрических 
задач с квадриками на проекционной модели G2 2
3
, . Особенностью 
комплекса является активное применение геометрических 
схем и алгоритмов с участием мнимых геометрических образов. В статье приведено подробное описание конструктивных 
геометрических алгоритмов для построения коник, квадрик 
и сопутствующих им геометрических образов в системе конструктивного геометрического моделирования Симплекс. Все 
обсуждаемые алгоритмы доступны для самостоятельного 
повторения читателем. В статье представлены и реализованы 
в виде конструктивных геометрически схем алгоритмы построения коники по точке, поляре и трем точкам; построения 
коники по двум парам комплексно сопряженных точек и 
одной действительной точке, выделения точки на поверхности квадрики, задания квадрики по девяти точкам в трехмерном пространстве. Рассмотрен новый альтернативный репер 
квадрики, на основе которого решены задачи построения 
касательной и нормали к квадрике, нахождения линии пересечения произвольной плоскости с квадрикой, выполнения 
полярного и инверсионного преобразований относительно 
квадрики. Предложены алгоритмы построения автополярного тетраэдра относительно квадрики, построения коники по 
автополярному треугольнику и двум точкам. Рассмотрены 
задачи определения коллинеарного преобразования в трехмерном пространстве и управление посредством него квадрикой. Реализация рассмотренных в статье алгоритмов позволила сделать вывод о назревшей необходимости разработки 
инструментальных средств, предназначенных для моделирования мнимых коник, без наличия которых комплекс решения 
задач с квадриками не может считаться полным.
Ключевые слова: научная визуализация, конструктивное 
геометрическое моделирование, геометрический эксперимент, 
проективная геометрия, квадрика, мнимые геометрические 
образы.

D.V. Voloshinov
Doctor of Engineering, Professor,
The Bonch-Bruevich St.-Petersburg State University  
of Telecommunications,
22, bld. 1, Prospekt Bolshevikov, St.-Petersburg, 193232, Russia

Algorithmic Complex for Solving of Problems 
with Quadrics Using Imaginary Geometric 
Images

Abstract. The paper is devoted to the consideration of a number of issues related to the creation of an algorithmic complex 
designed to solve positional and metric problems with quadrics on 
a projection model G2 2
3
, . A feature of the complex is the active use 
of geometric schemes and algorithms involving imaginary geometric images. In the paper has been presented a detailed description 
of constructive geometric algorithms for constructing of conics, 
quadrics and associated geometric images in a system of constructive geometric modeling – Simplex. All the discussed algorithms 
are available for independent repetition by the reader. In the paper 
have been presented and implemented algorithms for constructing 
conic from a point, a polar, and three points; constructing conic 
from two pairs of complex conjugate points and one real point; 
determination of a point on a quadric’s surface; setting a quadric 
by nine points in three-dimensional space. A new alternative frame 
of the quadric has been considered, based on which have been 
solved problems of constructing a tangent and a normal to the 
quadric, finding an intersection line of an arbitrary plane with the 
quadric, and performing polar and inverse transformations with 
respect to the quadric. Have been proposed algorithms for constructing an autopolar tetrahedron with respect to the quadric, and 
for constructing a conic from an autopolar triangle and two points. 
Have been considered problems of determining a collinear transformation in three-dimensional space and control the quadric 
through it. The implementation of the algorithms considered in 
the paper allowed conclude that there is an urgent need to develop 
tools for modeling imaginary conics, without which the complex of 
solving problems with quadrics cannot be taken for the complete one.
Keywords: scientific visualization, constructive geometric modeling, geometric experiment, projective geometry, quadric, imaginary geometric images.

Основная цель предлагаемой вниманию читателей 
статьи — продемонстрировать возможности, которые 
открывают перед синтетической геометрией новые 
геометрические инструменты на примере решения 
комплекса информационно насыщенных и трудоемких задач. Объектом, вокруг которого разворачивается обсуждение, является квадрика. В последнее 
время этот геометрический образ привлекает внимание исследователей, с одной стороны, своей, если 
так можно выразиться, «простотой и лаконичностью», 
с другой стороны, — необъятным простором для 
творчества и новых открытий [3; 5; 6; 11; 19; 20; 32; 
33; 37; 39]. Квадрика — это благодатная почва для 
доказательства ранее неизвестных теорем, создания 
на их основе новых алгоритмов и решения с их помощью ранее недостижимых задач. На первый взгляд, 
может показаться, что квадрика, аналитически выражаемая всего лишь уравнением второй степени, 

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 2. 3–32

уже должна быть изучена «вдоль и поперек» и в ней 
нельзя найти ничего принципиально нового. Однако 
это впечатление крайне обманчиво. 
В настоящее время вокруг квадрики сконцентрировались самые передовые идеи современной синтетической геометрии [12; 13; 15; 17; 18; 22; 24–31; 
35; 36]. Это, прежде всего, начало активного использования мнимых геометрических образов в теории 
геометрических построений. До недавнего времени 
эта задача казалась практически невыполнимой имеющимися геометрическими инструментами, однако 
развитие вычислительной техники и разработка соответственных информационных средств и технологий позволили снять это чисто технологическое 
ограничение. 
Основная задача любого исследователя в области 
геометрии — это поиск наиболее общих закономерностей того или иного геометрического феномена. 
Как правило, этот процесс развивается в направлении 
от частного к общему, и зачастую на его преодоление 
затрачиваются годы и даже десятилетия скрупулезных 
изысканий. К большому сожалению, полученные в 
результате огромного труда результаты очень часто 
остаются недоступными для тех, кто хотел бы их 
изучить и тем более найти им практическое применение. Одна из причин сложившегося положения — 
это несоответствие уровня компетентности рядового потребителя геометрических моделей тем требованиям, которые предъявляет геометрическая наука 
в своих новейших достижениях. Безусловно, этот 
фактор является одной из важнейших причин сдерживания инноваций, в основе которых лежат геометрические методы. Устранению этой причины должно способствовать формирование принципиально 
нового отношения к геометро-графическому образованию в высших учебных заведениях страны [8; 
14; 23]. Геометрия уже давно переросла ту роль, которую ей традиционно отводили как инструменту 
исполнения чертежно-графических работ. В условиях информатизации общества и цифровизации экономики все это уже в прошлом. По существу, геометрическая наука является информационной со всеми 
присущими информатике атрибутами: источниками 
и приемниками информации, средствами представления и передачи сигналов, выраженных в интегрированной геометрической форме, их кодирования и 
декодирования [4], алгоритмами преобразования и 
хранения, многомерности [8; 34; 38; 40; 42] и многими другими аспектами. Поэтому одной из важнейших задач, которая становится актуальной на современном этапе, является раскрытие потенциала синтетической геометрии посредством создания информационных систем и разработки технологий, спо- 
собных ликвидировать ту историческую диспропор
цию, которая сложилась между теорией и практикой 
геометрического моделирования [9]. Требуется сделать геометрию столь же доступной для каждодневного практического применения в той же степени, 
насколько это позволили сделать, например, информационные средства поддержки аналитической ветви математики.
В настоящей статье будет рассмотрен алгоритмический комплекс, в состав которого вошли как известные, так и не рассматривавшиеся ранее алгоритмы и задачи. Разумеется, этот комплекс не может 
быть представлен полностью из-за ограниченного 
размера и без того достаточно объемной статьи. Более 
того, автор далек от мысли утверждать, что ком- 
плекс — это полностью завершенная разработка. 
Наоборот, статьей хотелось бы продемонстрировать 
тот необъятный объем работ, который связан с заявленной темой. В комплексе, помимо оригинальных 
алгоритмов, используются достижения многих уважаемых авторов, ссылки на работы которых приводятся в [1; 2; 4; 10; 12–16; 21–23; 25–31; 36; 40; 41].
Вопреки упомянутому ранее утверждению о том, 
что геометр должен искать наиболее общие решения, 
в статье большей частью будут приведены частные 
алгоритмы, причем некоторые из них, возможно, 
уже хорошо известны читателю. Причиной этого 
служат два обстоятельства. С одной стороны, это 
попытка продемонстрировать геометрическую суть 
некоторых важных для решения задач с кониками и 
квадриками алгоритмов с возможностью их самостоятельного повторения заинтересованным читателем. С другой стороны, такой подход позволяет 
более глубоко понять процесс разработки информационной среды, которая предназначается для обеспечения и поддержки геометрических построений. 
Такая среда включает в себя не только обобщенные 
функции, связанные собственно с геометрией, но и 
реализует соответственный геометро-графический 
интерфейс. И если геометрия как абстрактная наука 
работоспособна при любых корректно заданных 
условиях задачи, то соответствующая ей компьютерная модель действенной будет далеко не всегда. Именно 
для обеспечения работоспособности и устранения 
возможных отказов в работе системы процесс ее 
разработки сопровождается созданием множества 
специализированных отладочных средств, которые, 
как правило, не видны конечному пользователю, но 
позволяют разработчику производить диагностику 
вычислительных процессов и понимать причины 
отказов в случае их возникновения.
Материал статьи логически разделен на две части. 
В первой части описываются некоторые вспомогательные алгоритмы, предназначенные для работы с 
кониками — кривыми второго порядка. Вторая часть 

посвящена комплексному применению алгоритмов 
для решения ряда задач с квадриками на модели G2 2
3
,  
в частном ее исполнении — на эпюре Монжа. Основная 
особенность этих алгоритмов заключается в самом 
активном использовании инструментов, предназначенных для работы с мнимыми геометрическими 
образами. Следует заметить, что решение задач с 
квадриками на проекционных моделях с помощью 
средств автоматизации требует проведения научных 
изысканий в направлении исследования моделей с 
участием мнимых коник. Без решения этих проблем 
алгоритмический комплекс, безусловно, нельзя будет 
считать полным и универсально применимым.

Построение коники по точке, поляре и трем точкам

Алгоритм, содержание которого приводится ниже, 
исключительно прост и хорошо известен. Однако 
его появление здесь не случайно. Он служит основой 
для решения целого ряда проблем, которые присущи 
задачам автоматизации геометрических построений 
с применением коник. 
Одним из способов представления коники в системах автоматизации синтетической геометрии является сохранение информации о пяти точках, являющихся ее естественным репером. Такие точки 
служат базисом, на котором строятся не только многие вычислительные функции, но и выполняются 
операции визуализации конических кривых. В связи 
с этим желательно, чтобы такие точки имели действительные значения, поскольку алгоритмы визуализации относительно легко могут быть созданы на 
основе образов, имеющих действительные значения. 
При использовании же мнимых образов алгоритмы 
неоправданно усложняются. 
Коники как кривые второго порядка, пересекаясь 
с прямым или другими квадратичными образами, 
наряду с вещественными могут порождать точки с 
комплекснозначными значениями, которые с геометрической точки зрения полноправно могут быть 
использованы в качестве реперных точек. Описываемые 
в статье алгоритмы определения коник предназначены для реализации незаметной для пользователя 
эквивалентной подмены реперных точек, имеющих 
комплекснозначные значения, на вещественные 
точки, не нарушающие логику построений. Такой 
подход позволяет значительно упростить создание и 
обслуживание инструментов интерактивного интерфейса, предназначенного для отображения конических кривых и обеспечения взаимодействия пользователя с чертежом.
Пусть даны три вещественные точки B, C, D, инцидентные с коникой, точка полюс и прямая-поляра 
(рис. 1).

 
Рис. 1. Исходные данные к задаче

Проведем три прямые линии f = B é D, e = B é C 
и h = C é D. Найдем точки их пересечения с полярой 
a: F′ = f × a, H′ = h × a и E′ = E × a. Исходя из соблюдения условия гармонизма, определим геометрическое 
место точек E, F, H. Построим три прямые h″ = A é H, 
f″ = A é F и e″ = A é E. Найдем точки их пересечения 
с полярой a: H″ = h″ × a, F″ = f″ × a и E″ = e″   × a. 
Определим проективное соответствие двух точечных 

рядов, образовавшихся на поляре: ψ | ;
;
;
;
;
;
a E
F
H

a E F H
′′
′′
′′
′
′
′ . 

Построив двойные точки P и Q проективитета ψ 
получаем две недостающие реперные точки коники, 
которые в совокупности с точками B, C и D позволяют построить конику g, удовлетворяющую условию 
задачи (рис. 2).

Рис. 2. Схема определения дополнительных действительных точек  
для задания коники

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 2. 3–32 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2020    

В представленном на рисунке построении недостающие точки репера получились действительными, 
однако при ином взаимном расположении полюса 
и поляры полученный результат может стать комплекснозначным, что было бы нежелательно. Рассмотрим 
способ, посредством которого комплекснозначные 
точки могут быть заменены на эквивалентные действительные точки. Преобразуем чертеж таким образом, чтобы исходные данные породили второй 
«менее удобный» случай решения задачи.

Зная проективитет ψ | ;
;
;
;
;
;
a E
F
H

a E F H
′′
′′
′′
′
′
′ , найдем его 

двойные точки P и Q. В данном случае это будут 
комплекснозначные точки. Определим точку X, находящуюся посередине между точками P и Q. Поляра 
x, соответствующая точке X, будет проходить через 
точку A и иметь общую бесконечно удаленную точку 
с прямой-полярой a. Приняв точку X за новый полюс, 
а прямую x за новую поляру мы сводим задачу к 
предыдущему случаю, который позволил получить 
две действительные точки, дополняющие репер коники, что и решает обозначенную ранее проблему.
Пусть теперь известны две комплексно сопряженные и три действительные точки, через которые требуется провести конику (поляра и полюс не даны).
Перед решением основной задачи приведем обоснование вспомогательного геометрического построения, которое мы будем использовать в ней.
Рассмотрим частную схему построения четырехвершинника в целях его приложения к нахождению 
сторон произвольного автополярного треугольника 
для пучка коник. Пусть заданы четыре вершины 
четырехвершинника: A, B, C и D (рис. 3).

 
Рис. 3. Схема построения автополярного треугольника

Без потери общности будем считать, что две вершины A и B — комплексно сопряженные, а остальные — вещественные. Это значит, что прямая  
ab = A é B, проведенная через них, — действительная. 
Точка P пересечения диагоналей полного четырехвершинника, инцидентная с прямой ab и которую 
будем принимать за полюс, также действительна, 

поскольку является пересечением действительных 
прямых ab = A é B и cd = C é D: P = ab × cd. Тогда 
действительной должна быть и прямая-поляра p, 
соответствующая полюсу P. В силу того что точки A 
и B комплекснозначные, прямые линии bc = B é C, 
ac = A é C, ad = A é D и bd = B é D будут также комплекснозначными, причем комплекснозначные точки Q = ac × bd и R = bc × ad инцидентны с вещественной прямой p. Точки Q и R являются двойными точками инволюции, индуцируемой кониками пучка, 
которые могут иметь либо вещественные, либо комплексно сопряженные значения. Таким образом, при 
применении процедуры построения четырехвершинника для определения автополярного треугольника 
относительно коники, две вершины которых изначально выбраны комплексно сопряженными, а две 
вещественными, мы получим автополярный треугольник с одной действительной стороной p = R é Q 
и двумя комплекснозначными сторонами q = P é R 
и r = Q é P, причем прямая p будет являться полярой 
для полюса P, инцидентного с прямой ab = A é B.
Вернемся к основной задаче. Пусть заданы точки 
A1, A2, B, C, D; точки (A1 – A2) — комплексно сопряженные. Требуется построить конику g, проходящую 
через заданные точки, преобразовав ее репер к эквивалентному реперу, не содержащему комплекснозначных точек (рис. 4). Пару комплексно сопряженных точек определим, например, с помощью прямой 
p и окружности z: A1, A2 = p × z. 

 
Рис. 4. Исходные данные к условию задачи о построении коники  
по трем действительным и двум комплексно-сопряженным точкам

Опираясь на вспомогательную задачу, построим 
поляру dc точки A, инцидентной с прямой p = A1 é A2, 
выбрав в качестве вершин полного четырехвершинника центры пучка коник (A1, A2, D, C) (рис. 5). 
Построим еще одну поляру bd точки A, инцидентной 
с прямой p, выбрав в качестве вершин полного чертырехвершинника центры второго пучка коник (A1, 
A2, B, D). Два пучка коник с тремя общими точками-центрами всегда обладают парой коник, прохо
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 2. 3–32

дящих через произвольно заданную четвертую точку, 
вследствие чего для такой пары можно построить 
единый автополярный треугольник, т.е. три общие 
поляры при трех соответственных общих полюсах. 
Полюс, соответствующий прямой p, найдем как пересечение прямых: P = dc × bd. Любая точка, взятая 
на стороне автополярного треугольника, не совпадающая с инцидентными ей полюсами, порождает 
относительно двух различных пучков несовпадающие 
поляры, пересекающиеся в противолежащей исходной стороне вершине. Воспользовавшись этим свойством, опираясь на точку A, мы сводим исходную 
задачу к построению коники по трем действительным 
точкам, полюсу и поляре, решение которой было уже 
рассмотрено.

 
Рис. 5. Результат приведения задачи к известному виду

Построение коники по двум парам комплексно 
сопряженных точек и одной действительной точке

Пусть на плоскости заданы пять комплекснозначных точек. Две пары (A1 – A2), (B1 – B2) — комплексно сопряженные, одна точка C — вещественная. 
Требуется провести конику g через все заданные 
точки, заменив четыре комплексные точки в репере 
коники на четыре действительные точки.
Комплекснозначные точки (A1 – A2) образуют 
вещественную прямую a = A1 é A2; комплекснозначные точки (B1 – B2) образуют вещественную прямую 
b = B1 é B2. Построим первый автополярный треугольник ∆p1p2p3 на вершинах (A1 – A2), (B1 – B2) полного четырехугольника; его сторона p3 противолежит 
вершине P. Обозначим через W = p2 × p3 вершину 
автополярного треугольника. Проведем прямую линию d = C é P. Пусть S = p3 × d. Определим гармонически сопряженную с точкой C точку D в парах  
(P – S) – (D – C), инцидентных с прямой d. Найденная 
точка D является второй действительной точкой 
репера коники g. Проведем прямую e = C é W. Найдем 

точку V = e × p1. В парах точек (V – W) – (E – C), 
инцидентных с прямой e, определим точку E как 
гармонически сопряженную с точкой E. Найденная 
точка E является третьей действительной точкой 
репера коники g. Проведем прямую f = P é F. Построим 
прямую h = W é D и найдем точку F ее пересечения 
с прямой f: F = f × h — четвертую действительную 
точку репера коники g. Для завершения конструирования репера недостает одной точки. Для ее нахождения построим две вспомогательные точки, 
которые, обозначив через L и K, определим их как 
гармонически сопряженные в парах точек (D – C) –  
– (L – d∞) и (E – F) – (K – f∞). Исходя из определения гармонизма при условии, что одна из сопряженных точек пары бесконечно удаленная, точка L находится посередине хорды, определяемой точками 
D и C, а точка K посередине хорды, определяемой 
точками E и F. Определим точки AA и BB, построив 
их как центры окружностей, заданных на парах комплексно сопряженных точек (A1 – A2) и (B1 – B2), 
рассматриваемых в качестве диаметральных точек 
соответственных окружностей. По существу, точки 
AA и BB есть середины отрезков, построенных на 
парах комплексно сопряженных точек, в силу чего 
они являются вещественными и лежащими на прямых 
a и b соответственно. 
Через пять точек проведем вспомогательную конику v = P é AA é BB é K é L. Эта коника будет пересекаться с искомой коникой g на прямой линии p3 в 
точках, которые обозначим через P1 и P2. Эти точки 
определяют геометрическое место касания линий m1 
и m2, опущенных из вершины P на конику g. Имея в 
наличии шесть действительных точек, инцидентных 
с коникой g, и выбрав произвольные пять точек из 
этого множества, нетрудно построить саму искомую 
конику g. Поставленная задача решена.
Представленная геометрическая конструкция 
обладает рядом замечательных свойств. Нетрудно 
заметить, что коника v проходит через центр O коники g. Главные направления вспомогательной коники v и искомой коники g совпадают в парах. Совпадают также направления прямой p3 и n, проведенной 
через точку P касательно к конике v.

Проективное построение коники

Пусть имеются пять точек A, B, C, D и E. Выберем 
две из них в качестве центров двух пучков прямых: 
A, B, C, D, E (A): ae = A é E, ad = A é D, ac = A é C и 
(B): de = B é E, bd = B é D, bc = B é C. Установим 

проективное соответствие в пучках: ξ |
;
;
;
;
;
;
A ae ad ac
B be bd bc

. 

Указывая теперь произвольную прямую m ∼ (A) первого пучка, находим ее образ m′ = psi1(m) в проекти
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 2. 3–32 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2020    

витете; в пересечении прямой-образа и ее прообраза получаем точку M = m × m′. Известно, что в результате вращения прямой m вокруг центра A точка 
M очертит конику g. Таким образом, множество из 
пяти точек A, B, C, D и E однозначно задает кривую 
второго порядка, вследствие чего его рационально 
использовать в качестве универсального репера коники, а сама процедура построения точки M служит 
основой для вычерчивания кривой, в том числе в 
системах автоматизации проектирования (6). 

 
Рис. 6. Проективный способ нахождния точки на конике  
по известным пяти точкам

Обычно при демонстрации функциональности 
данной схемы предполагается, что все пять точек 
репера коники суть действительные точки. Однако 
в практике конструктивного моделирования реперные точки коники могут получать комплекснозначные значения, в результате чего типовые процедуры 
пересечения прямых, задействованные в алгоритме 
нахождения проективного преобразования, могут 
вызывать появление комплексного значения точки 
M, что не противоречит теории кривых второго порядка, но представляет определенное неудобство при 
реализации процедур компьютерной графики.  
В работе [31] рассматривается способ, позволяющий 
построить конику, невзирая на наличие в ее репере 
мнимых элементов. В системе Симплекс [9] используется иной подход, что связано со спецификой внутренней организации системы. В результате этого, 
например, унифицированная процедура вычерчивания коники может «отказать» в непредвиденный 
момент из-за сложившейся в исходных данных «нежелательной» комбинации значений точек, в то время как сама кривая по-прежнему остается действительной. Такую ситуацию можно было бы предупредить, выполняя анализ исходных данных и делая 

необходимые замены в репере коники комплекснозначных элементов на эквивалентные вещественные. 
Этим обстоятельством и обусловлена необходимость 
исследования вида геометрических конструкций и 
их интерпретаций при различных комбинациях исходных данных с последующей выработкой стратегии 
формальной замены «неудобных» данных на их вещественные аналоги. 
Для решения поставленной задачи будем придавать точкам репера вещественные и комплексные 
значения в различных комбинациях.
Предположим, что центры пучков A и B действительны, действительной является также точка E, а 
точки C и D образуют комплексно-сопряженную 
пару. Рассмотрим возникающую геометрическую 
схему на ее действительном аналоге (рис. 7). Вычертим 
в плоскости произвольную прямую x и найдем точки ее пересечения с известными лучами обоих пучков: C′ = ac × x, C″ = x × bc, D′ = ad × x, D″ = bd × x, 
E′ = ae × x, E″ = be × x. В результате этой операции 
на прямой x устанавливается проективное соответ
ствие χ, идентичное соответствию ξ: ξ
χ
=
′
′
′

′′
′′
′′
|
;
;
;

;
;
;
.
x C
D
E

x C
D
E

 

Выделим на чертеже точки и прямые, обладающие 
комплексными значениями. Среди них: C, C′, C″, D, 
D′, D″, ac, ad, bc, bd.

 
Рис. 7. Вариант построения коники по двум пучкам прямых

Прямые линии ae и be — действительные. Прямая 
x, пересекая две действительные прямые ae и be, 
образует две действительные точки E′ и E″, следовательно, она является действительной прямой. В силу 
того что в действительном случае точки C′, D′ и C″, 
D″ в парах образуют действительную прямую линию, 
в рассматриваемом случае C′, D′ образуют первую 
комплексно-сопряженную пару, а C″, D″ — вторую 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 2. 3–32

комплексно-сопряженную пару на действительной 
прямой x (рис. 8). Из представленного следует сделать 
вывод о том, что при наличии в репере двух комплексно-сопряженных точек, не являющихся центрами проективных пучков, рассматриваемая конструкция позволяет получить действительную точку 
M, очерчивающую конику g. Поскольку выбор центров двух пучков в репере коники произволен, то 
присутствие в нем двух комплексно-сопряженных 
точек при остальных действительных точках не является препятствием для определения произвольной 
действительной точки, инцидентной с искомой кривой. 

 
Рис. 8. Вариант построения коники по двум пучкам прямых

Пусть теперь две пары точек репера являются 
комплексно сопряженными (например, (C – D) и  
(B – E)), причем в одну пару включен центр одного 
из проективных пучков B (рис. 9). Обратим внимание 
на то, что в сопоставлении с только что рассмотренным случаем, позиционные отношения прямых  
ac = A é C, ad = A é D остались прежними, следовательно, точки C′, D′ являются комплексно сопряженными, а их принадлежность к разным прямым пучка (A) гарантирует действительность прямой x. Прямая 
m, проходящая через вещественные точки A и M′, — 
вещественная и, как несущая на себе точку очерка 
действительной коники g, должна образовывать в 
пересечении с мнимой прямой be действительную 
точку M.
Рассмотрим еще один случай. Пусть теперь оба 
центра пучков принадлежат одной комплексно-сопряженной паре. Остальные точки репера — вещественные (рис. 10).
В реализуемой геометрической схеме прямые  
ac = A é C, bc = B é C, ad = A é D, bd = B é D, ae = A é E 
и be = B é E — комплексные по причине наличия 
мнимых компонентов в координатах точек A и B. 
Поскольку координаты этих точек имеют одинаковые 
вещественные части, то (C′ – C″), (D′ – D″) и (E″ – E′) 
в парах имеют одинаковые вещественные части,  

а их принадлежность к единой прямой линии x объясняет их комплексную сопряженность. Тем самым 
подтверждается действительность прямой линии x. 
Тогда для обеспечения получения вещественной 
точки M в пучке (A) необходимо изначально выбрать 
такую комплекснозначную прямую, чтобы в пересечении с прямой x прямая m и ее образ m′ = ψ(m) 
породили комплексно сопряженные точки. В виду 
произвольности выбора прямой m такое требование 
представляет собой частный случай, возникновение 
которого диктуется дополнительными условиями и 
ограничениями выбора. Следовательно, в общем 
случае пересечение проективно соответствующих 
друг другу прямых m и m′ образует комплекснозначную точку M = m × m′.

Рис. 9. Вариант построения коники по двум пучкам прямых

 
Рис. 10. Построение коники по двум пучкам прямых с центрами,  
являющимися комплексно-сопряженной парой

Теперь даже без рассмотрения иных случаев соответствия вещественных и комплекснозначных 
точек центрам проективных пучков становится ясной 

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 2. 3–32 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2020    

причина того, что типовой алгоритм определения 
вещественной точки на конике может оказаться неработоспособным.
Единство геометрической природы исследованного построения не оставляет сомнений в том, что 
в последнем рассматриваемом случае мы получили 
мнимую точку, принадлежащую действительной конике. Как известно, мнимые точки, инцидентные с 
коникой, образуют комплексно сопряженные пары 
и, сформировав для полученной точки комплексно 
сопряженную точку, мы можем провести через них 
вещественную прямую, которую будем рассматривать 
как прямую-поляру. При знании реперных точек 
коники, не составит труда построить полюс, соответствующей этой прямой относительно самой коники. А в результате этого мы приходим к формулировке одной из задач о замене репера коники, которые уже обсуждались ранее в этой статье.

Моделирование квадрики по девяти точкам

Теоретические вопросы построения квадрики по 
девяти произвольно расположенным в трехмерном 
пространстве точкам подробно изложены В.А. Коротким 
в [25]. Материал, который будет представлен ниже, 
в некоторой степени перекликается с тем, что уже 
было рассмотрено в этой работе. По возможности, 
обозначения в тексте данной статьи и на чертежах 
сохранены с обозначениями, принятыми в статье 
[25], с целью упрощения их согласованного прочтения. В данной статье хотелось бы сделать акцент не 
столько на теоретических аспектах этой задачи, сколько на вопросах обеспечения «потребительских качеств» 
рассматриваемого алгоритма, хотя некоторые обнаруженные свойства квадрик, возможно, могут представлять самостоятельный интерес. 
При кажущейся простоте формулировки задачи 
о построении квадрики по девяти точкам и четком 
разбиении пусть даже на немногочисленные этапы 
последовательности действий, с помощью которых 
достигается ее решение, процесс ее практического 
исполнения в виде чертежей достаточно сложен. 
Можно с большой степенью уверенности предположить, что без наличия средств автоматизации этого 
процесса количество энтузиастов, пожелавших применять его для выполнения исследований или в целях проектирования вручную, будет очень мало.  
А ведь данный алгоритм имеет фундаментальное 
значение, поскольку служит основой для решения 
множества задач, связанных с управлением квадрикой, а также играет роль посредника во многих сопутствующих преобразованиях.
Ни для кого не является секретом тот факт, что 
для определения квадрик в трехмерном пространстве 

в основном применяются такие геометрические средства, которые способствуют образному представлению 
ее формы. В основном, это способы, основанные на 
вращении прямых или коник вокруг осей, аффинные 
преобразования и ряд других. Заранее представить 
себе форму квадрики по набору из девяти разрозненных точек трудно, несмотря на то, что соответствующая ему квадрика существует. Эта «трудность» 
непременно проявится и при выполнении геометрических построений, причем в самом нежелательном 
виде: при малейшем влиянии на исходные данные 
габариты чертежей будут непропорционально и непредсказуемо изменяться, форма получаемых кривых 
(в основном, вытянутых и «стремящихся к бесконечности» гипербол) будет крайне невыразительной. 
Разумеется, все перечисленное, — это не вопросы 
самой геометрии — все ее положения и законы будут 
справедливыми, и она будет честно «исполнять» свою 
работу. Однако ценность поставляемой ею модели 
из-за подобного ухудшения потребительских качеств 
становится спорной.
В связи с этим встают два аспекта алгоритмической 
разработки. Первый заключается в том, чтобы превратить данное преобразование в типовое, со скрытым от 
рядового пользователя принципом действия и выполняющее основную свою функцию — синтез квадрики 
с представлением информации о ее форме в несколько более удобном для восприятия виде, например,  
в виде трех конических сечений. Второй аспект заключается в использовании алгоритма в качестве «универсального» преобразователя, приводящего информацию о квадрике, задаваемую иными альтернативными способами к некоторому унифицированному 
виду, к которому могли бы обращаться другие алгоритмы, выполняющие операции с квадриками.
Такой подход позволяет в том числе говорить об 
альтернативной замене девятиточечного репера квадрики другим девятиточечным репером, практически 
более удобным и прогнозируемо управляемым, и, 
разумеется, эквивалентным исходному. Подтверждением 
актуальности данной задачи станут чертежи, которые 
будут представлены далее в статье. Часть из них будет выполнена на основе девятиточечного репера с 
произвольным расположением точек, в результате 
чего работа по приведению их к виду, пригодному 
для публикации, заняла многие часы даже с использованием средств автоматизации геометрических 
построений. Другая часть чертежей изначально выполнялась с использованием альтернативного репера, процесс сведения к которому будет рассмотрен 
ниже на примере использования проекционной модели G2 2
4
, .

Пусть на модели трехмерного пространства заданы девять точек A(A1, A2), B(B1, B2), …, I(I1, I2) 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 2. 3–32

(рис. 11). Требуется построить квадрику σ, проходящую через заданные точки. Все выполняемые на 
модели построения предполагают, что исходные 
данные могут быть любой природы: как вещественными, так и мнимыми.

 
Рис. 11. Точечный репер квадрики

В соответствии со стратегией, предложенной в 
[25], для решения поставленной задачи будем реализовывать алгоритм замены точек исходного репера на новый репер, в котором можно было бы выделить три группы по пять точек, лежащих в соответственных трех плоскостях, причем так, чтобы любые 
две группы имели бы по паре вновь определенных 
точек, одновременно принадлежащих обеим группам.
Без потери общности для проведения дальнейшего исследования выберем один из них: (A, B, C), 
(D, E, F) и (G, H, I).
Определим три плоскости на выделенных группах 
точек: α = A é B é C, β = D é E é F и γ = G é H é I 
(рис. 12). Пересекаясь с квадрикой, плоскости образуют три конические сечения: a = α × σ, b = β × σ и  
g = γ × σ. Пересекаясь друг с другом, плоскости α, β 
и γ определяют три прямые линии: lαβ = α × β, 
lαγ = α × γ и lβγ = β × γ. Коники, инцидентные смежным плоскостям, пересекаются в парах точек, инцидентных соответственным прямым: a × b = (Uαβ, 
Vαβ) ∼ lαβ, a × g = (Uαγ, Vαγ) ∼ lαγ, b × g = (Uβγ, Vβγ) ∼ lγβ. 
Отметим еще раз, что получаемые в плоскостях точки могут иметь как действительные, так и комплексные значения. Плоскости α, β и γ имеют одну общую 
точку P = α × β × γ.
На модели данная конструкция представлена тремя тройками реперных элементов плоскостей (A, B, C), 
(D, E, F) и (G, H, I), в каждой из которых проведены 
по две пересекающиеся прямые линии (рис. 13). На 

этом же чертеже найдены линии пересечения пар 
всех плоскостей — lαβ, lαγ и lβγ, представленные  
своими проекциями, а также проекции точки  
P = (P1, P2). Построения, соответствующие всем 
выполненным пересечениям, не приводятся. Они 
являются классическими алгоритмами начертательной геометрии и реализованы в виде стандартных 
функций обслуживания модели G2 2
4
, .

Рис. 12. Три плоскости, заданные на точечном репере квадрики

 
Рис. 13. Моделирование плоскостей и нахождение линий  
их пересечения на модели G2 2
3
,

Далее, в соответствии с методикой, изложенной 
в [25], рассмотрим одну пару плоскостей, скажем, α 
и β (рис. 14). Будем исходить из допущения, что, 
несмотря на то, что в настоящий момент истинное 
положение точек Uαβ и Vαβ неизвестно, эти точки уже 
найдены. Проанализируем образующуюся в этом 
случае геометрическую конструкцию в обеих выбранных плоскостях. Наличие пятерки точек (A, B, 
C, Uαβ, Vαβ) позволяет однозначно определить конику a = A é B é C é Uαβ é Vαβ, а наличие пятерки точек 

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 2. 3–32 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2020