Геометрия и графика, 2020, № 1

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА – 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Меркулова Н.Б.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 590 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2020

Подписано в печать 25.03.2020.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Юрков В.Ю.  
Образы линейных условий на плоскости  
с прямоугольной метрикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Гирш А.Г.
Взаимные задачи с кониками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Плаксин А.М., Пушкарев С.А.
Геометрическое моделирование тепловых 
характеристик объектов функционально- 
воксельным методом  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Савельев Ю.А., Черкасова Е.Ю.
Вычислительная графика в решении  
нетрадиционных инженерных задач . . . . . . . . . . . . . . . . .34

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Турутина Т.Ф., Третьяков Д.В.
Применение информационных технологий  
в методике проверки графической грамотности 
будущих специалистов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Назарова О.Н.
Адаптация дисциплины «прикладная геометрия»  
к программам бакалавриата эксплуатационных 
направлений авиационного вуза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ 
И ПРОВЕДЕНИЯ ОЛИМПИАД

Мишуковская Ю.И., Усатая Т.В., Дерябина Л.В.
Развитие творческого потенциала студентов  
в рамках олимпиады по инженерной  
и компьютерной графике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

2020. Том 8. Вып. 1
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
МИРЭА - Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2020. Vol. 8. Issue 1
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).
Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).
Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор,  
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).
Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. 
Petersburg (Russia).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия).
 
Russian Technological University (Russia).
Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).
Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).
Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).
Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).
Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).
Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).
Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named after 
A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow (Russia).
Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).
Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).
Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).
Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow,  
(Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).
Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).
Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).
Толок Алексей Вячеславович, д-р техн. наук, профессор. Московский  
государственный технический университет «СТАНКИН» (Россия). 
STANKIN Moscow State Technical University, Moscow (Russia)
Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский  
педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).
Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).
Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА – Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).
Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия). 

Ефремов Алексей Вячеславович, преподаватель МИРЭА –  
Российский технологический университет (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 1. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2020    

УДК 519.17 + 514.76
DOI: 10.12737/2308-4898-2020-3-14

В.Ю. Юрков
Д-р техн. наук, профессор,
Омский государственный педагогический университет,
644099, г.Омск, наб. Тухачевского, 14
Образы линейных условий  
на плоскости с прямоугольной 
метрикой

Аннотация. В статье рассматриваются плоские точечные 
множества, порождаемые линейными условиями, которые 
реализуются в ортогональной метрике (метрике городских 
кварталов или манхэттенской метрике). Линейными условиями названы условия, выражающиеся конечной суммой произведений расстояний на числовые коэффициенты. В качестве 
фигур, определяющих линейные условия, рассматриваются 
конечные множества точек и прямых. Показано, что линейные 
условия могут быть определены относительно других плоских 
фигур: отрезков, многоугольников и т.п. Рассматриваются 
конструктивные решения следующей общей геометрической 
задачи: для заданного на плоскости с прямоугольной метрикой конечного множества фигур (точек, отрезков, много- 
угольников…), находящихся в общем положении, построить 
множества, удовлетворяющие какому-либо линейному условию. Подробно рассмотрены задачи, в которых заданные 
множества являются точечными и множествами отрезков,  
а линейные условия представляются в виде суммы или в виде 
отношений расстояний. Доказывается, что результатом решения могут быть изолированные точки, ломаные и области на 
плоскости. Множества ломаных, удовлетворяющих данным 
условиям, образуют семейства изолиний данного условия. 
Приведен алгоритм построения семейств изолиний. Алгоритм 
основан на построении решетки Ханана и поведения изолиний в каждом узле и каждой подобласти решетки. Для семейств 
изолиний, определенных условиями отношения расстояний, 
доказываются некоторые их свойства, позволяющие ускорить 
процесс их построения. В качестве примера применения 
описанной теории рассматривается задача разбиения плоскости на области, соответствующие заданному множеству точек, 
линий и других фигур. Задача является обобщением задачи 
построения диаграммы Вороного и рассматривается в общей 
постановке. Это означает следующее: 1) она рассматривается 
в прямоугольной метрике; 2) заданные точки могут быть 
объединены в различные фигуры — отдельные точки, отрезки, 
треугольники, четырехугольники и т.д.; 3) свойство близости 
диаграммы Вороного заменяется свойством пропорциональности. Приведены примеры разбиения плоскости на области, 
определяемые двухточечными множествами.
Ключевые слова: прямоугольная метрика, расстояние, 
линейные условия, решетка Ханана, семейства изолиний; 
разбиение плоскости, диаграмма Вороного.

V.Yu. Yurkov
Doctor of Engineering, Professor,
Omsk State Pedagogical University,
14, Tukhachevsky Emb., Omsk, 644099, Russia

Images of Linear Conditions on a Manhattan 
Plane

Abstract. In this paper are considered planar point sets generated by linear conditions, which are realized in rectangular or 
Manhattan metric. Linear conditions are those expressed by the 
finite sum of the products of distances by numerical coefficients. 
Finite sets of points and lines are considered as figures defining 
linear conditions. It has been shown that linear conditions can be 
defined relative to other planar figures: lines, polygons, etc. The 
design solutions of the following general geometric problem are 
considered: for a finite set of figures (points, line segments, polygons...) specified on a plane with a rectangular metric, which are 
in a common position, it is necessary to construct sets that satisfy 
any linear condition. The problems in which the given sets are point 
and segment ones have been considered in detail, and linear conditions are represented as a sum or as relations of distances. It is 
proved that solution result can be isolated points, broken lines, and 
areas on the plane. Sets of broken lines satisfying the given conditions form families of isolines for the given condition. An algorithm 
for building isoline families is presented. The algorithm is based on 
the Hanan lattice construction and the isolines behavior in each 
node and each sub-region of the lattice. For isoline families defined 
by conditions for relation of distances, some of their properties 
allowing accelerate their construction process are proved. As an 
example for application of the described theory, the problem of 
plane partition into regions corresponding to a given set of points, 
lines and other figures is considered. The problem is generalized 
problem of Voronoi diagram construction, and considered in general formulation. It means the next: 1) the problem is considered 
in rectangular metric; 2) all given points may be integrated in 
various figures – separate points, line segments, triangles, quadrangles etc.; 3) the Voronoi diagram’s property of proximity is 
changed for property of proportionality. Have been represented 
examples for plane partition into regions, determined by two-point 
sets.
Keywords: rectangular metric, distance, linear conditions, Hanan 
lattice, isolines family, plane partition, Voronoi diagram.

Введение

Геометрическое моделирование и визуализация в 
различных задачах анализа и синтеза структурированных систем во многих областях науки и техники 
часто основываются на конструктивных геометрических методах [14; 15; 19; 21; 22; 24; 30]. В качестве 
моделей чаще всего используются точечные и линейчатые множества, построенные по каким-либо 
условиям [1–5]. Из условий геометрического характера чаще используются условия инцидентности и 
метрические условия [23]. Множества кривых линий 
и множества других фигур на плоскости, множества 
поверхностей и фигур в пространстве реже выступают в качестве множеств, определяющих условия, 
если только это не определяется требованиями за
НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 1. 3–14

дачи. Чаще всего указывается их принадлежность 
пучку, связке, проекциям и т.п. 
Метрические условия, как правило, реализуются 
в пространствах параметров с евклидовой метрикой 
[6; 9; 16]. Однако выбор метрики, в которой осуществляется процесс моделирования, играет существенную роль [7; 13; 17]. Большим прикладным значением обладают задачи анализа и синтеза структурированных объектов в пространствах с прямоугольной 
метрикой. К таким задачам относятся, например, 
задачи оптимального размещения, известные как 
задачи Ролса или задачи посыльного [12; 25]. 
Класс прикладных задач, решаемых в прямоугольной метрике, достаточно широк и привлекает 
все большее внимание в связи с развитием процесса 
информатизации. К такому классу теперь относятся 
задачи проектирования систем управления, задачи 
размещения пунктов экстренной помощи, задачи размещения систем слежения и пожаротушения, задачи 
компоновки, задачи размещения элементов при проектировании электронных изделий и т.п. [11; 26; 28].
Одним из актуальных направлений применения 
задач данного класса является проектирование транспортных сетей в неоднородных пространствах (средах) [8; 10; 25]. Использование евклидовой метрики 
не всегда может обеспечить решение, если не учитывается неоднородность пространства. Геометрические 
модели таких систем в неевклидовой метрике допускают формализацию и формализованные алгоритмы решения при условии, что все объекты считаются точечными. Однако это допущение не всегда 
возможно и поэтому задача геометрического моделирования систем в пространствах с неевклидовой 
метрикой в последнее время становится все более 
актуальной.
В экономике и логистике, например, актуальна 
задача размещения функциональных центров в неоднородном операционном пространстве. При этом 
минимизируемый функционал должен учитывать 
заданную неоднородность пространства. Неоднородность 
пространства должна учитываться в некоторых задачах математической классификации, кластеризации 
и распознавания образов [18;, 20]. 
Существующее в настоящее время огромное количество работ, посвященных геометрическому моделированию решений указанных задач, характеризуется следующими особенностями: 
1) основная их масса рассматривает модели в пространствах с евклидовой метрикой; 
2) в абсолютном большинстве работ объекты пространства рассматриваются как точечные; 
3) в основном рассматриваются подходы к решению 
минимаксных задач размещения и проектирования (построение кратчайших деревьев Штейнера). 

Это дает основание утверждать, что разработка 
геометрических моделей систем и процессов в пространствах с неевклидовой или с неоднородной метрикой является актуальной, а инженерная геометрия 
может получить новое направление прикладных 
исследований, тесно связанное с современными 
информационными технологиями.

Предварительные сведения

В прямоугольной метрике расстояние между двумя точками A(xA, yA) и B(xB, yB) вычисляется по формуле

 
|AB| = d(AB) = |xA – xB| + |yA – yB|.

Конструктивно длина |AB| определяется суммой 
длин всех звеньев любой ломаной, соединяющей 
точки A и B, имеющей конечное число взаимно перпендикулярных звеньев и принадлежащей области 
прямоугольного замыкания точек A, B (в терминологии вычислительной геометрии [15]). 
Все множество прямых плоскости с ортогональной 
метрикой Port

 
L = {(x, y) ∈ Port : ax + by + c = 0}

удобно представить в виде L = LX ∪ LY ∪ LXY, 
где
LX = {(x, y) ∈ Port : ax + by + c = 0, |a| < |b|},
LY = {(x, y) ∈ Port : ax + by + c = 0, |a| > |b|},
LXY = {(x, y) ∈ Port : ax + by + c = 0, |a| = |b|}.
Тогда для данной точки A и любой прямой множества LX расстояние d(A) будет вычисляться по 
формуле

 
d(A) = |yA – (–axA – c) / b|,

для точки A и любой прямой множества LY — по 
формуле

 
d(A) = |xA – (–byA – c) / a|.

Для прямой множества LXY оба эти расстояния 
будут равны друг другу и равны расстоянию от A до 
любой точки отрезка данной прямой, заключенного 
между прямыми 

 
x = xA, y = yA.

Множество точек, удаленных от данной точки A 
на расстояние d(A), определяется уравнением

 
|x — xA| + |y — yA| = d(A)

и конструктивно представляет собой квадрат со сторонами длиной 2d(A), лежащими на прямых множества LXY. На прямой x = xA находятся вершины квадрата — точки B(xA, yA – d(A)) и C(xA, yA + d(A)), а на 
прямой y = yA расположены вершины D(xA – d(A), yA) 
и E(xA + d(A), yA). Множество прямых, удаленных от 
точки А на расстояние d(A), представляет собой четыре пучка прямых: (LB) ⊂ LX, (LC) ⊂ LX, (LD) ⊂ LY, 
(LE) ⊂ LY, имеющих четыре общие прямые, принадлежащие множеству LXY: BD, BE, CD, CE (рис. 1).

 
Рис. 1. Множество точек и прямых,  
удаленных от точки А на расстояние d(A)

Таким образом, любая точка А ∈ Port разбивает 
плоскость на четыре прямоугольные области: x > xA, 
y < yA (ЮВ), x < xA, y < yA (ЮЗ), x > xA, y > yA (СВ),  
x < xA, y > yA (СЗ). В каждой из них прямые, содержащие точки, равноудаленные от А, имеют уравнения 

ax – by + c = 0, –ax – by + c = 0, ax + by + c = 0,  
 
–ax + by + c = 0. 

Постановка задачи

Пусть на плоскости Port, в общем положении относительно друг друга, заданы n точек: A, B, C, … . 
Задачу можно сформулировать так: найти на плоскости Port множество точек, удовлетворяющих условию

 
F(d(A), d(B), d(C), …) = const. (1)

Например, для двух точек A, B можно задать следующие условия:

 
d(A) ± d(B) = const, d(A) / d(B) = const.

Для трех точек A, B, C — следующие:

 d(A) ± d(B) ± d(C) = const, d(A) / d(B) ± d(C) = const,
 
[d(A) ± d(B)] / d(C) = const, [d(A) ± d(B)] / 
 
[d(A) ± d(C)] = const.

И так далее.
Очевидно, что условия d(A) – d(B) = 0 или d(A) / 
d(B) = 1 определяют множество точек, равноудаленных от A и B.
Условие вида (1) назовем точечным условием.
Для заданного конечного множества прямых  
a, b, c, … задачу можно сформулировать так: найти 
на плоскости Port множество точек, удовлетворяющих 
условию F(d(a), d(b), d(c), …) = const. Такое условие 
назовем линейчатым. 
Для общей задачи условие имеет вид

 F(d(A), d(B), d(C), …, d(a), d(b), d(c), …) = const.

Такое условие назовем смешанным.
Условие (1) назовем простым условием, если каждое 
расстояние входит в него однократно. Условие вида

 
F(d(d(A), d(B)), d(d(C), d(D)), …) = const

назовем двукратным, если хотя бы одно расстояние 
входит в него дважды. Условие назовем k-кратным, 
если хотя бы одно расстояние в нем имеет кратность, 
равную k. 
Условие d(A) / d(B) ± d(C) = const является смешанным, так как d(A) / d(B) = const определяет множество линий, пропорционально удаленных от точек 
A и B, а полное условие определяет семейство линий 
как множества точек, удаленных от линий этого 
семейства и точки С. Условие [d(A) ± d(B)] / d(C) = const 
тоже является смешанным, так как числитель определяет множество линий, а полное условие определяет семейство линий как множества точек, пропорционально удаленных от линий этого семейства и 
точки С. Условие [d(A) ± d(B)] / [d(A) ± d(C)] = const 
является линейчатым, так как числитель и знаменатель задают множества линий, а общее условие определяет семейство линий как множества точек, пропорционально удаленных от двух линий этих семейств.
Условия, записанные в виде системы, трактуются 
как выполняемые одновременно. Например, условия

 
d(A) – d(B) = const1, d(A) – d(C) = const2

означают множество точек, удаленных от точки А 
и точки В по первому условию и удаленных от точки 
А и точки С по второму условию. Условие

 
2d(A) – d(B) – d(C) = const1 + const2

порождает множество, инцидентное первому. Можно 
утверждать, что множество, порожденное системой 
условий, является подмножеством множества, порожденного вторым условием. Условие

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 1. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2020    

d(d(A) – d(B) = const1) – d(C) = const2

порождает множество точек, удаленных от точки С 
и от множества точек, порожденного первым условием, т.е. от ломаной, состоящей из точек, равноудаленных от А и В.
Наконец, можно записать общее точечное линейное условие

 
a ⋅ d(A) ± b ⋅ d(B) ± c ⋅ d(C) ± … = const,

в котором каждое расстояние до точек А, В, С, … 
умножается на соответствующий коэффициент. 
Результатом выполнения такого условия является 
линия, каждая точка которой находится в таком же 
отношении к заданным точкам. 

Образы суммы условий

Пусть на плоскости Port заданы n точек A, B, C, … . 
Предположим, что среди них нет точек с совпадающими значениями координат, т.е. xA ≠ xB ≠ xC ≠ …,  
yA ≠ yB ≠ yC ≠ … . Проводя через данные точки прямые, 
параллельные осям координат, получим решетку 
Ханана [27], которая разделит всю плоскость на  
(n + 1)2 прямоугольных областей. 
Любое множество точек плоскости Port, в которых 
выполняется условие (1), назовем множеством, порожденным данным условием.
Теорема 1. Множество точек плоскости Port, порожденное условием (1), в общем случае представляет собой объединение конечного числа изолированных точек, бесконечного множества линий и 
конечного числа областей.
Доказательство. Существование изолированной 
точки легко видно из условия d(A) = d(B) = d(C) или 
d(d(A) – d(B)) – d(C) = 0 как точки, равноудаленной 
от трех данных точек.
Существование области, порожденной данным 
условием, можно доказать для четного числа n данных точек. Через любую точку плоскости проходят 
n линий, удаленных от данных точек на данные расстояния. Предположим, что четное число n/k линий 
относятся к множеству LXY одного направления,  
а другое четное число n/(n – k) линий — к множеству 
LXY перпендикулярного направления. Пусть из n/k 
точек половина лежит по одну сторону от линии LXY, 
а другая половина точек — по другую сторону. То же 
самое и для n/(n – k) точек. Тогда любое перемещение точки в этой области вызывает увеличение (уменьшение) суммы расстояний до одной части точек и 
равное уменьшение (увеличение) суммы расстояний 
до другой части точек. Следовательно, числовое значение исходного условия не меняется.

Линию, в каждой точке которой выполняется 
условие (1), назовем изолинией данного условия. 
Теорема 2. Изолинии данного простого условия 
(1) вне областей, порожденных данным условием, 
не имеют пересечений и представляют собой пучок 
ломаных.
Действительно, если предположить наличие точки пересечения двух изолиний, то необходимо предположить их изменения независимыми друг от друга. Тогда точка пересечения будет принадлежать 
области, порожденной данным условием, что исключено. При согласованном изменении изолиний точка пересечения будет смещаться вдоль некоторой 
третьей линии и, следовательно, две исходные линии 
не являются изолиниями. Следовательно, изолинии 
не пересекаются.
Теорема 3. В каждой прямоугольной области решетки Ханана, образованной n точками A, B, C, … , 
изолинии множества, подчиняющегося простому 
условию 

 
 d(A) ± d(B) ± d(C) ± … = const, (2)

или не существуют или являются параллельными 
прямыми.
Доказательство. Выберем какую-нибудь прямоугольную область решетки Ханана. Через любую 
точку этой области проходят n прямых множества 
LXY: d(A) = const, d(B) = const, … с уравнениями  
|a|x + |b|y + c = 0. Возможны следующие случаи.
1. Для всех прямых |a| = |b| и a > 0, b > 0 или  
a < 0, b < 0, или a > 0, b < 0, или a < 0, b > 0. Тогда 
любое перемещение точки вдоль такой прямой не 
изменяет числового значения условия (2). Следовательно, изолинии являются прямыми множества 
LXY.
2. Для n1 прямых имеет место соотношение a = b > 0, 
для n2 прямых — соотношение a = b < 0, для n3 прямых — соотношение a < 0, b > 0 и для n4 прямых — 
соотношение a > 0, b < 0. Здесь n1 + n2 + n3 + n4 = n. 
Пусть n1 > n2, n3 > n4. Тогда при любом перемещении 
точки в этой области n2 изменений значений расстояний компенсируют друг друга и n4 изменений значений расстояний тоже компенсируют друг друга. 
Изменения значений, оставшихся n1 – n2 расстояний 
должно компенсироваться изменениями оставшихся n3 – n4 значений расстояний. Поскольку для любой 
точки данной области эти соотношения постоянны, 
то и направление изолиний — постоянно.
3. Для n/2 прямых имеет место соотношение  
a = b > 0 и для n/2 прямых — соотношение a < 0, b > 0. 
Или для n/2 прямых — соотношение a = b < 0 и для 
n/2 прямых — соотношение a < 0, b > 0. Или для n/2 
прямых — соотношение a = b > 0 и для n/2 прямых — 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 1. 3–14

соотношение a > 0, b < 0. Или для n/2 прямых —  
соотношение a = b < 0 и для n/2 прямых — соотношение a > 0, b < 0. Тогда изменения значений расстояний для первых n/2 прямых компенсируется 
таким же изменением значений расстояний для вторых n/2 прямых. Следовательно, изолинии будут 
параллельными оси Ox или оси Oy.
4. Для n/2 прямых имеет место соотношение  
|a| = |b|, но для одних n/4 из них a = b > 0, а для других n/4 прямых a = b < 0. Тогда изменение расстояний до первых n/4 точек компенсируется такими же 
изменениями расстояний до вторых n/4 точек. Для 
других n/2 прямых |a| = |b|, но для одних n/4 из них 
a < 0, b > 0, а для других n/4 прямых a > 0, b < 0. 
Происходит аналогичная взаимная компенсация 
расстояний. Следовательно, в этой области все точки удовлетворяют условию (2). Любая прямая в этой 
области является изолинией, или можно сказать, что 
изолинии в этой области отсутствуют.
В качестве примера рассмотрим рисунки 2 и 3. 
Даны две точки A, B и условие d(A) + d(B) = const ≥ 
≥ d(AB) (рис. 2). Определим направления изолиний 
в каждой прямоугольной области решетки Ханана 
и построим несколько изолиний. Векторы показывают направления изменения расстояний от данных 
точек. Так, в области «В» увеличение расстояния до 
точки B компенсируется таким же уменьшением 
расстояния до точки A. В центральной области изолиний нет.
Условие –d(AB) ≤ d(A) — d(B) ≤ d(AB) показано на 
рис. 3. В областях «СВ», «СЗ», «ЮВ» и «ЮЗ» изолиний нет. Любая их точка удовлетворяет данному 
условию с одним и тем же значением. Числовые 
значения в таких областях обведены прямоугольником.
Следствие 1. Для условия d(A) + d(B) + d(C) + … = 
= const все изолинии являются замкнутыми ломаными, ограничивающими выпуклую область.

 
Рис. 2. Множество изолиний с условием d(A) + d(B) = const ≥ d(AB)

Рис. 3. Множество изолиний с условием –d(AB) ≤ d(A) – d(B) ≤ d(AB)

Следствие 2. Для четного числа точек будут существовать области, в каждой точке которых значение 
условия (2) постоянно и изолинии отсутствуют.
Следствие 3. Для любого числа точек в областях 
«СВ», «СЗ», «ЮВ» и «ЮЗ» решетки Ханана направление изолиний либо постоянно и совпадает с направлениями биссектрис координатных углов, либо 
отсутствует. 
Следствие 4. На прямых решетки Ханана изменение числового значения данного условия происходит 
равномерно.
Алгоритм построения изолиний для условия (2) 
следующий.
1. На множестве заданных точек строится решетка 
Ханана.
2. В каждом узле решетки вычисляются значения 
условия (2).
3. В каждой прямоугольной области решетки определяются направления изолиний, или на прямых 
решетки строятся равномерные шкалы значений 
условия.
Для построения всей изолинии достаточно найти 
одну ее точку.
Пример построения изолиний для четырех точек 
A, B, C, D с условием d(A) + d(B) + d(C) + d(D) = const 
показан на рис. 4. Пример множества изолиний для 
условия d(A) + d(B) + d(C) – d(D) = const показан на 
рис. 5, для условия d(A) + d(B) – d(C) – d(D) = const –  
на рис. 6, для условия d(A) – d(B) – d(C) – d(D) =  
= const — на рис. 7.
Рассмотрим следующую задачу: найти множество 
точек, равноудаленных от точек А, В, С. В общем 
случае такое множество состоит из одной точки, но 
в частном случае этим множеством может быть линия. 
Можно утверждать следующее.
1. Если точки А, В, С образуют треугольник со сторонами на прямых LX и LY, то искомое множество 
состоит из одной точки — центра квадрата, проходящего через данные точки.

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 1. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2020    

Рис. 4. Множество изолиний с условием d(A) + d(B) + d(C) + d(D) = const

 
Рис. 5. Множество изолиний с условием d(A) + d(B) + d(C) – d(D) = const

 
Рис. 6. Множество изолиний с условием d(A) + d(B) – d(C) – d(D) = const

 
Рис. 7. Множество изолиний с условием d(A) – d(B) – d(C) – d(D) = const

2. Если одна из сторон треугольника АВС лежит на 
прямой LXY, то искомое множество есть отрезок 
или луч.
3. Если две стороны треугольника АВС лежат на 
прямых LXY, то искомое множество есть двухзвенная ломаная. 
Условно эту задачу можно записать в виде системы условий

 
d(A) – d(C) = 0, d(A) – d(B) =0.

Аналитически

|x – x A| + |y – y A| – |x – x C| – |y – y C| = 0,  
 
|x – xA| + |y – yA| – |x – xB| – |y – yB| = 0.

Решая эту систему, найдем искомое множество.
Алгоритм графического решения прост.
1. Определяется множество точек, равноудаленных 
от А и С.
2. Определяется множество точек, равноудаленных 
от А и В.
3. Определяется множество пересечения этих множеств.
Соответствующие чертежи приведены на рис. 8, 
9 и 10. Кроме того, построены множества, определенные условием 2d(A) – d(B) – d(C) = 0. Они представляют собой линии, равноудаленные от точек А, 
В, С. При этом точка А может рассматриваться как 
двойная или как точка с весовым коэффициентом, 
равным 2.

 
Рис. 8. Точка О, равноудаленная от точек А, В, С, и изолиния,  
построенная по условию 2d(A) – d(B) – d(C) = 0

 

Рис. 9. Множество, равноудаленное от точек А, В, С, AB ∈ LXY, BC ∉ LXY

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 1. 3–14

Рис. 10. Множество, равноудаленное от точек А, В, С, AB ∈ LXY, BC ∈ LXY

Образы отношений условий

Рассмотрим теперь изолинии, определенные  
условием

 
 0 < d(A) / d(B) = const < ∞. (3)

Пусть на плоскости Port даны точки А и В, с несовпадающими значениями одноименных координат 
и не лежащие на прямой семейства LXY. Построим 
решетку Ханана и прямоугольное замыкание точек 
А, В. Кроме того построим прямоугольник AO1BO2 
с диагональю АВ и сторонами на прямых LXY. Очевидно, что у обоих прямоугольников будет общий 
центр — точка О. При этом d(AO) = d(BO) = d(OO1) = 
= d(OO2) (рис. 11).
Теорема 4. Для двух точек общего положения на 
плоскости Port и условия (3) множество изолиний в 
областях «Ю» и «В» представляет собой пучок прямых 
с центром О1 в области «С», а множество изолиний 
в областях «С» и «З» — пучок прямых с центром О2 
в области «Ю». Все множество изолиний центрально 
симметрично относительно точки О.
Доказательство. Очевидно, что d(AB) = d(O1O2) = 
d(BO1) = d(AO2). Следовательно, прямая О1О2 несет 
на себе две изолинии: в области «С» изолинию  
d(A) / d(B) = d(AO1) / d(BO1) = 1/k, в области «Ю» 
изолинию d(A) / d(B) = d(AO2) / d(BO2) = k. Множество 
точек, равноудаленных от любых точек отрезков АО1 
и ВО2, представляет собой диагональ квадрата, общего для двух квадратов, построенных на отрезках 
ВО1 и АО2 как на диагоналях. Следовательно, ветви 
изолинии d(A) / d(B) = 1 при своем продолжении 
пройдут через точки О1 и О2. Таким образом, точки 
О1 и О2 являются точками пересечения двух изолиний 
со значениями 1, 1/k и 1, k. Следовательно, они 
являются центрами двух пучков изолиний.
Рассматривая два условия 

 
d(A) / d(B) = const1, d(В) / d(С) = const2

как систему, получим множество, удовлетворяющее 
двум условиям одновременно. Этим множеством 
может быть конечное число точек, конечное число 
точек и отрезков или конечное число точек и ломаная. Что именно получится в конкретном случае 
зависит от расположения точек А, В, С.

Рис. 11. Множество изолиний с условием 0 < d(A) / d(B) = const < ∞
Произведение этих условий

 
[d(A) / d(B)] ⋅ [d(В) / d(С)] = d(A) / d(C) =  
 
= const1 ⋅ const2

определяет множество, для которого решение системы условий является подмножеством. Пример показан на рис. 12. Построено множество, определенное условием d(A) / d(В) = 2. Оно представляет собой 
неправильный шестиугольник вокруг точки В, три 
несмежные стороны которого лежат на прямых LXY, 
две стороны проходят через точку О1 и одна сторона — 
через точку О2. Построено множество, определенное 
условием d(В) / d(C) = 2. Оно представляет собой 
трапецию вокруг точки С, боковые стороны которой 
проходят через точку О3. Пересечение шестиугольника и трапеции есть точка D и отрезок.

 

Рис. 12. Множество, построенное по условию  
[d(A) / d(B)] ⋅ [d(В) / d(С)] = d(A) / d(C) = const1 ⋅ const2

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 1. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2020    

Аналогично построено множество, определенное 
условием d(В) / d(C) = 1/2. Оно представляет собой 
трапецию, центрально симметричную предыдущей. Ее 
пересечение с шестиугольником есть две точки E и F.
Множество, определенное условием d(A) / d(C) = 4, 
представляет собой неправильный шестиугольник, 
две стороны которого при своем продолжении проходят через точку О5, а одна — через точку О6. При 
этом полученные ранее точка D и отрезок лежат на 
сторонах этого шестиугольника.
Множество, определенное условием d(A) / d(C) = 1 
представляет собой трехзвенную ломаную, проходящую через точки B, E, F. 

Задача разбиения плоскости на области

В классической постановке задача построения на 
плоскости многоугольников близости заданных множеств формулируется следующим образом. На плоскости задано множество N, содержащее n точек. 
Требуется выделить области, связанные с этими точками и обладающие некоторым заранее заданным 
свойством. Если: 1) задача решается в евклидовой 
метрике; 2) каждой точке множества N соответствует единственная область; 3) для каждой точки области, соответствующей заданной точке множества N, 
расстояние до заданной точки множества N меньше, 
чем до любой другой точки множества N (свойство 
близости), то получаемая область называется многоугольником Вороного, а все области образуют разбиение плоскости сетью, называемой диаграммой 
Вороного. Свойства диаграммы Вороного и алгоритм 
построения хорошо известны и широко представлены в литературе [15]. 
Построение такого разбиения плоскости в прямоугольной метрике тоже встречалось в опубликованных работах. Например, в [29].
Задачу разбиения плоскости на области, соответствующие заданному множеству точек, линий и других фигур, можно рассматривать в более общей постановке. Во-первых, будем рассматривать ее в прямоугольной метрике. Во-вторых, откажемся от  
условия, согласно которому каждой точке множества 
N соответствует своя область. Точки могут быть 
объединены в различные фигуры — отдельные точки, отрезки, треугольники, четырехугольники и т.д. 
В-третьих, свойство близости d(Ai) – d(Aj) = 0 или 
d(Ai) / d(Aj) = 1, где Ai, Aj — две соседние точки множества N, можно заменить свойством d(Ai) – d(Aj) = 
= constij. Значение constij может быть как равным, так 
и не равным нулю (больше или меньше нуля). Можно 
поставить более общее условие d(Фi) – d(Фj) = constij, 
где Фi, Фj — две соседние различные фигуры из множества точек N.

Однако последние условия в данной статье рассматриваться не будут ввиду ограниченности объема. 
Заметим только, что значения constij, не равные нулю, 
не могут задаваться произвольно, а должны вычисляться по определенным правилам.
Поэтому задачу, обсуждаемую в данной работе, 
сформулируем следующим образом. На плоскости 
Port задано множество n точек: N = {A1, …, An}, разбитое на подмножества N1, …, Nk, k ≤ n, каждое из которых содержит n1, …, nk точек. То есть N = N1 ∪ … ∪ Nk, 
n = n1 + … + nk. Это означает, что каждая точка Ai 
должна принадлежать только одному подмножеству 
Nj. Каждое подмножество Nj образует ломаную линию — фигуру Фj. Требуется построить разбиение 
плоскости на области, соответствующие Ф1, …, Фk, 
чтобы для каждой точки области выполнялось условие d(Фi) = d(Фj).
Решением задачи будет построенная на плоскости 
сеть, обладающая свойством d(Фi) – d(Фj) = 0 или 
d(Фi) / d(Фj) = 1. Построение сети опирается на результаты, описанные выше.
Пусть сначала каждое подмножество Ni будет одноточечным. Тогда получим аналог диаграммы Вороного для случая прямоугольной метрики (рис. 13). 
Граница каждой области представляет собой объединение изолиний, построенных по условиям

 
d(A) – d(B) = d(A) – d(C) = d(A) – d(D) = 0,
 
d(B) – d(C) = d(B) – d(F) = 0, …

Обратим внимание, что узлы сети и изменение 
направления линий границ соответствуют линиям 
решетки Ханана. 

 
Рис. 13. Аналог диаграммы Вороного в прямоугольной метрике

Пусть каждое подмножество Ni будет двухточечным, образуя разбиение всего множества N на пары. 
Каждая пара точек образует отрезок Фi. Тогда следует рассматривать случаи принадлежности отрезков 
линиям LX, LY или LXY. Случай когда [AB] ∈ LY, 
[CD] ∈ LY показан на рис. 14.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 1. 3–14

Ломаная, построенная по условию d([AB]) –  
– d([CD]) = 0, имеет число звеньев, равное числу 
пересекаемых ею областей решетки Ханана. Направления звеньев в каждой области различное, но в 
частных случаях возможно совпадение направлений. 
Ломаная проходит через две точки E и F, где точка E 
определена условиями d(A) – d(C) = d(B) – d(D) = 0, 
а точка F — условиями d(B) – d(C) = d(A) – d(D) = 0. 
 

Рис. 14. Разделение отрезков [AB] ∈ LY, [CD] ∈ LY

Случай, когда [AB] ∈ LY, [CD] ∈ LX показан на 
рис. 15. Ломаная построена по тому же условию, 
пересекает семь областей решетки Ханана и имеет 
семь звеньев. Направления звеньев можно определить 
по точкам пересечения с линиями решетки. Для 
этого необходимо рассчитать разности расстояний 
d([AB]) – d ([CD]) в каждом узле решетки и найти 
нулевые точки на тех отрезках решетки, на которых 
разность d([AB]) – d ([CD]) меняет знак.
 

Рис. 15. Разделение отрезков [AB] ∈ LY, [CD] ∈ LX

На рис. 15 построены изолинии, соответствующие 
условиям 

d([AB]) – d ([CD]) = –4,
d([AB]) – d ([CD]) = –2,
d([AB]) – d ([CD]) = 0,
d([AB]) – d ([CD]) = 5.

При разбиении плоскости на области, соответствующие отрезкам, граница каждой области будет 
представлять собой объединение таких ломаных. 
Построение разбиения плоскости, соответствующее 
треугольникам, четырехугольникам и т.д., а также 
фигурам, образованным разным числом точек, теоретических сложностей не представляет.

Заключение и выводы

Анализ научной литературы по данной теме показал, что в основной массе работ, посвященных 
конструктивному и аналитическому исследованию 
образов совокупности линейных условий, рассмотрение образов осуществляется в пространствах с 
евклидовой метрикой. Работ, в которых геометрические образы изучаются в прямоугольной метрике, 
мало. В основном это работы, связанные с проблемами многопараметрической классификации и минимаксными задачами. Это позволяет сделать вывод, 
что разработка геометрических методов и алгоритмов 
анализа и синтеза геометрических образов в пространствах с неевклидовой или с неоднородной метрикой является актуальной, а инженерная геометрия 
может получить новое направление прикладных 
исследований, тесно связанное с современными 
информационными технологиями.
 Материал данной статьи может рассматриваться 
как начало изучения геометрии пространств с прямоугольной метрикой. В частности, предложена 
классификация метрических условий и даны определения линейных и нелинейных, точечных и линейчатых, простых и кратных условий. Линейные 
фигуры — точки, отрезки, многоугольники могут 
рассматриваться как определяющие фигуры линейных условий. Алгоритмы построения образов данных 
условий, приведенные в статье, отличаются относительной простотой и имеют очевидные обобщения 
на пространства большей размерности.

Литература

1. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. 
Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков, 

Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. — 2017. —  
Т. 5. — № 3. — С. 21–35. — DOI: https://doi.org/10.12737/
article_59bfa3beb72932.73328568.
2. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фи
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 1. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2020    

гур. Часть 2: геометрические места точек, равноудаленных от точки и конической поверхности [Текст] / 
В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, О.Л. Далла- 
кян // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 4. —  
С. 15–23. — DOI: https://doi.org/10.12737/article_5a17f9
503d6f40.18070994.
3. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. 
Часть 3 [Текст] / В.И. Вышнепольский, К.А. Киршанов, 
К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — 
№ 4. — С. 3–19. — DOI: https://doi.org/10.12737/article_
5c21f207bfd6e4.78537377.
4. Глоговский В.В. Аналоги коник в метрике Lp [Текст] / 
В.В. Глоговский // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1978. — Вып. 25. — С. 34–37.
5. Глоговский В.В. Аналоги коник в метрике Lp (Часть II) 
[Текст] / В.В. Глоговский // Прикладная геометрия и 
инженерная графика. — 1978. — Вып. 26. — С. 78–82.
6. Графский О.А. Геометрия электростатических полей [Текст] / О.А. Графский, Ю.В. Пономарчук, 
А.А. Холодилов // Геометрия и графика. — 2018. — 
Т. 6. — № 1. — С. 10–19. — DOI: doi.org/10.12737/
article_5ad085a6d75bb5.99078854
7. Гусейнов Х.Г. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем [Текст] / Х.Г. Гусейнов,  
А.Н. Моисеев, В.Н. Ушаков // ПММ. — 1998. — Т. 62. — 
№ 2. — С. 179–187. 
8. Зикратова И.А. Оптимизация зоны покрытия сети сотовой связи на основе математического программирования [Текст]/ И.А. Зикратова, Ф.Н. Шаго, А.В. Гуртов, 
И.И. Иванинская // Науч.-техн. вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2015. — Т. 15. — 
№ 2. — С. 313–321.
9. Зиновьев В.Г. Структурно-дескриптивный метод контурной обработки оптических изображений [Текст] / 
В.Г. Зиновьев // Оптический журнал. — 2000. — Т. 67. — 
№ 7. — С. 33–37.
10. Казаков А.Л. Вопросы сегментации логистических платформ в условиях становления региональной логистики 
[Текст] / А.Л. Казаков, М.А. Журавская, А.А. Лемперт // 
Транспорт Урала. — 2010. — № 4. — С. 17–20.
11. Казаков А.Л. К вопросу о сегментации логистических 
зон для обслуживания непрерывно распределенных 
потребителей [Текст]/ А.Л. Казаков, А.А. Лемперт,  
Д.С. Бухаров // АиТ. — 2013. — № 6. — С. 87–100.
12. Кривулин Н.К. Об алгебраическом решении задачи Ролса о размещении на плоскости с прямоугольной метрикой / Н.К. Кривулин, П.В. Плотников // Вестник 
Санкт-Петербургского университета. Серия 1 «Математика, Механика. Астрономия». — 2015. — Т. 2. —  
№ 2. — С. 194–201.
13. Лигун А.А. Идентификация сложных плоских контуров 
деталей в условиях автоматизированного производства 
[Текст] / А.А. Лигун, А.А. Шумейко, В.С. Коротков // 
Наука — производству. — Киев, 1991. — С. 306–311.

14. Панчук К.Л. Геометрическая модель генерации семейства контурно-параллельных линий для автоматизированного расчета траектории режущего инструмента 
[Текст] / К.Л. Панчук, Т.М. Мясоедова, И.В. Крысова // 
Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 1. — С. 3–13. — 
DOI: 10.12737/article_5c92012c51bba1.17153893.
15. Препарата Ф. Вычислительная геометрия: Введение 
[Текст]: пер. с англ. / Ф. Препарата, М. Шеймос. — М.: 
Мир, 1989. — 478 с.
16. Романова В.А. Визуализация правильных многогранников в процессе их визуализации [Текст] / В.А. Романо- 
ва // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 1. —  
С. 
55–67. 
— 
DOI: 
10.12737/article_5c91ffd091
6d52.90296375. 
17. Сосов Е.Н. Об аппроксимативных свойствах множеств 
в специальном метрическом пространстве [Текст] /  
Е.Н. Сосов // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 6. — 
С. 81–84. 
18.  Старовойтов В.В. Локальные геометрические методы 
цифровой обработки и анализа изображений [Текст] / 
В.В. Старовойтов. — Минск: Институт технической кибернетики НАН Беларуси, 1997. — 282 с.
19. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве [Текст]: пер. с англ. /  
А. Фокс, М. Пратт. — М.: Мир, 1982. — 304 с.
20. Фу К. Структурные методы в распознавании образов 
[Текст] / К. Фу. — М.: Мир, 1977. — 320 с.
21. Шенен П. Математика и САПР [Текст]: пер. с франц. В 2 
кн. Кн. 1 / П. Шенен, М. Коснар, И. Гардан и др. — М.: 
Мир, 1988. — 204 с.
22. Шенен П. Математика и САПР [Текст]: пер. с франц. В 2 
кн. Кн. 2 / П. Шенен, М. Коснар, И. Гардан и др. — М.: 
Мир, 1988. — 264 с.
23. Юрков В.Ю. Формальное представление условий инцидентности в многомерных проективных пространствах 
[Текст] / В.Ю. Юрков // Геометрия и графика. — 2016. —  
Т. 4. — № 4. — С. 3–13. — DOI https://doi.org/10.12737/22838.
24. Edelsbrunner H. Current open problems in discrete and computational geometry [Текст] / H. Edelsbrunner, A. Ivanov,  
R. Karasev // Моделирование и анализ информационных 
систем. — 2012. — Т. 19. — № 5. — С. 5–17.
25. Francis R.L. A geometrical solution procedure for a rectilinear distance minimax location problem [Текст] / R.L. Francis // 
AIIE Trans. — 1972. — V. 4. — № 4. — P. 328–332.
26. Garey M.R. The Complexity of Computing Steiner Minimal 
Trees [Текст] / M.R. Garey, R.L. Graham, D.S. Johnson // 
SIAM J. Appl. Math. — 1977. — V. 32. — No. 4. — P. 835–
859. DOI: 10.1137/0012072.
27. Hanan M. On Steiner’s problem with rectilinear distance 
[Текст] / M. Hanan // SIAM J. Appl. Math. — 1966. —  
V. 14. — № 2. — P. 255–265. DOI: 10.1137/0114025.
28. Krivulin N.K. On an algebraic solution of the Rawls location problem in the plane with rectilinear metric [Текст] /  
N.K. Krivulin, P.V. Plotnikov // Vestnik St. Petersburg 
University: Mathematics. — 2015. — Vol. 48. — № 2. —  
P. 75–81.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 1. 3–14