Высшая математика II: дифференциальное исчисление

С.В. РЖЕВСКИЙ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161.1я73

Р48

Ржевский С.В.

Р48
Высшая математика II: дифференциальное исчисление : учебное 

пособие / С.В. Ржевский. — Москва : ИНФРА-М, 2019. — 257 с.

ISBN 978-5-16-108266-9 (online)

Изложены все темы раздела «Дифференциальное исчисление» типо
вых учебных программ курса «Высшая математика», рекомендуемых 
Министерством образования и науки Российской Федерации для подготовки бакалавров экономики, менеджмента и других направлений специализации. Особое внимание уделено иллюстрации применения основных 
утверждений указанного раздела математики, примерам типичных задач и 
подробному объяснению методов их решения.

Предназначено для студентов вузов, а также для практиков, 

деятельность которых предполагает применение инструментария высшей 
математики.

УДК 517.2(075.8)
ББК
22.161.1я73

ISBN 978-5-16-108266-9 (online)
© Ржевский С.В., 2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

 
 
 
 
 
Предисловие 
В этой книге представлен один из основных разделов математического анализа – дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. Его тематика включает необходимый минимум 
сведений о соответствующем понятийном аппарате математики, основных 
ее утверждениях, методах дифференцирования элементарных функций 
одной и нескольких переменных – неотъемлемой составляющей инструментария математики, назначение и возможности которого должен хорошо 
понимать каждый современный специалист достаточно широкого профиля. 
Здесь особое внимание уделено основным определениям и ключевым 
утверждениям теории дифференциального исчисления, иллюстративным 
примерам типичных задач и подробному объяснению рекомендуемых 
методов их решения. 

 
 

Автор 

 
3

 
 
 
 
 
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 
 
 
 
 

8. МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 
8.1. Действительные числа 
Понимание сути действительных чисел как одних из основных объектов математики и умение применять эти числа при решении как отдельных 
вопросов повседневной жизни, так и при решении самой разной сложности 
задач естественных наук формируется у человека с детства, в частности, 
во время изучения в средней школе курса элементарной математики – 
арифметики, геометрии, алгебры и тригонометрии. 
Известно, что любое действительное число является или натуральным числом, т.е. принадлежит множеству натуральных чисел 
N  {1, 2, 3, 4, 5, …}, 
или целым неотрицательным числом – принадлежит множеству целых 
неотрицательных чисел 
}
,
5
,
4
,
3
,
2
,1
,
0
{
0


N
, 
или целым числом – принадлежит множеству целых чисел 
Z  {0, 1,  1, 2,  2, 3,  3, 4,  4, 5,  5, …}, 
или рациональным числом – принадлежит множеству рациональных чисел 







N
n
Z
m
n
m
Q
,
:
 

(может быть представлено в виде отношения целого и натурального чисел), 
или иррациональным числом – числом, которое не может быть представлено в виде отношения целого и натурального чисел или, что эквивалентно, структура которого имеет вид 
,...
,
3
2
1



a
  
 
 
 
 (8.1) 
где a – некоторое целое число, 

 
4

i
  – одна из 10 цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, i = 1, 2, 3, … , причем ни для 
 одного натурального числа k не найдется такое натуральное число l, 
 что для произвольного j = 1, 2, 3, … выполняются равенства 

1
1






lj
k
k
, 

2
2






lj
k
k
, 
 
 
l
lj
k
l
k






; 
или иначе, в обозначениях  

1
1




k
,    
2
2




k
,   
   

l
k
l




, 
l  натуральное число,  
иррациональное число (8.1) нельзя представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби 
.
.
.
.
.
.
,
2
1
2
1
2
1
3
2
1
l
l
l
k
a

















    (8.2) 

 
В частности, рациональными числами являются числа: 

,
123
123
123
21
,9
,
974
,4
,
3
7
,
2
,
2
1
,
0
,
2111
,0
,
31
,0
,
7
4
,3






 

а иррациональными – 

,
3
,
2
,
3
2
,
2
3


 

 – частное от деления длины произвольной окружности на диаметр этой 
окружности (  3,14 15 926 535), 
e – постоянная (константа, число) Эйлера 1 – основание натуральных логарифмов (e  2,7 1828 1828 4)2. 
Итак, множество действительных чисел R составляют лишь указанные 5 типов чисел, между множествами которых имеется такая связь: 
R
Q
Z
N
N




0
. 
 
Множество иррациональных чисел составляют элементы множества 
R\Q, т.е. действительные числа, не являющиеся рациональными числами. 

                                                 
1 Эйлер Леонард (1707-1783) – швейцарский, немецкий и российский математик, 
механик, физик. 
2 Поможет запомнить цифры со 2-го по 9-й разряды после запятой в записи числа e 
знание года рождения 3-х известнейших писателей: 
Верн Жюль (1828-1905) – французский географ и писатель, один из основоположников научной фантастики, 
Чернышевский Николай Гаврилович (1828-1889) – русский писатель, публицист, 
литературный критик, 
Толстой Лев Николаевич (1828-1910) – русский писатель, просветитель, мыслитель, публицист. 

l цифр 
l цифр 
l цифр 

 
5

Для любых действительного числа r и положительного действительного числа  имеются такие рациональные числа  и ,  < , что 
 < r < ,          < . 
Или, что то же самое, для любого действительного числа r (в частности, 
иррационального) всегда найдется рациональное число, отличающееся от r 
не более, чем на заданную величину . Более того, для фиксированного  
найдется сколь угодно много таких рациональных чисел. 
 
Из определений типов действительных чисел следует, что множества 
N, 
 Z, Q, а значит, и R содержат бесконечные количества элементов. 
,
0
N

В математике применяется специальный способ сравнения между 
собой количеств элементов бесконечных множеств, т.е. множеств, содержащих бесконечные количества элементов. Суть этого способа состоит в 
следующем. 
Пусть A и B – некоторые множества. Говорят, что между элементами 
этих множеств установлено взаимно однозначное соответствие, если 
каждому элементу aA по некоторому правилу сопоставлен (поставлен в 
соответствие) элемент bB, причем, во-первых, разным элементам a′A и 
a″A сопоставлены разные элементы b′B и b″B, а во-вторых, каждый 
элемент bB поставлен в соответствие некоторому элементу aA. 
Равномощными называют множества A и B, между элементами 
которых можно установить взаимно однозначное соответствие. Равномощные множества также называют множествами, содержащими одинаковые 
количества элементов (элементов множества может быть как конечное, так 
и бесконечное количество). 
Согласно этому определению равномощными являются множество 
натуральных чисел N и его подмножество четных чисел (взаимно однозначное соответствие между этими множествами состоит, например, в 
сопоставление каждому натуральному числу n четного числа 2n, n = 1, 2, …). 
Счетным называют множество, равномощное множеству натуральных чисел.  
Кроме множества четных чисел счетными являются также множества 
нечетных, неотрицательных целых, целых и рациональных чисел. 
Основные утверждения о счетных множествах: 
1. Любое подмножество счетного множества конечное или счетное. 
2. Объединение конечного или счетного множества счетных множеств является счетным множеством. 
3. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество. 
Несчетным называют бесконечное множество, не являющееся счетным. 

 
6

Оказывается, множество R всех действительных чисел является несчетным. Мощность этого множества называют мощностью континуум. 
Из счетности множества Q рациональных чисел, утверждения 2 и 
того, что 
 следует несчетность множества R\Q иррациональных чисел.  
)
\
(
Q
R
Q
R



В частности, множество действительных чисел, находящихся между 
0 и 1, имеет мощность континуум (это множество равномощно множеству 
всех действительных чисел). 
При исследовании и решении некоторых математических задач часто 
оказывается удобно давать наглядные образы действительным числам, 
связывая их с точками некоторой прямой линии. Эту прямую называют 
или числовой прямой, или числовой осью. Взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и их геометрическими 
образами – множеством точек прямой линии – устанавливается, напомним, 
таким образом.  
Пусть имеется прямая линия, на которой выбраны некоторая точка 
отсчета O, положительное направление отсчета от O и эталонный отрезок 
OE единичной длины. Тогда каждой точке X этой прямой линии ставится 
в соответствие некоторое действительное число x. Это число равно или 
длине отрезка OX, если точка X расположена в положительном направлении отсчета от O, или длине этого отрезка со знаком минус – в противоположном направлении. Точке отсчета O ставится в соответствие число 0. 
Такое сопоставление точкам прямой линии действительных чисел 
очевидно является взаимно однозначным: каждой точке прямой линии 
ставится в соответствие единственное действительное число и, наоборот, 
для каждого действительного числа найдется единственная точка на прямой 
линии, для которой это число указанным способом поставлено в соответствие. 
Итак, действительные числа можно изображать на прямой линии 
(см. рис. 8.1). 
 
 
 
 
 
 

 
8.2. Абсолютная величина (модуль) действительного числа 
 
Абсолютной величиной или модулем действительного числа x называется действительное число, обозначаемое | x | и вычисляемое по формуле 

x 
2

 1 
1 

E 
O 
X 

0 

Рис. 8.1 

 
7









.0
если
,

,
0
если
,
|
|
x
x

x
x
x
 
 
 
 
 (8.3) 

Свойства модуля действительного числа 

.o
1  Модуль (действительного) числа является неотрицательным числом: 
| x | ≥ 0    xR. 

.o
2  Число не превосходит свой модуль: 
x  | x |    xR. 

.o
3  У противоположных чисел одинаковые модули: 
|x | = | x |    xR. 

.o
4  У одинаковых чисел одинаковые модули: 
x = y          | x | = | y |    x, yR. 

.o
5  Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму их модулей: 
| x + y |  | x | + | y |    x, yR. 

.o
6  Модуль разности двух чисел не меньше разности их модулей: 
| x  y | ≥ | x |  | y |    x, yR. 

.o
7  Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей: 
| xy | = | x |  | y |    x, yR. 

.o
8  Модуль частного двух чисел равен частному модулей делимого и делителя: 
| x/y | = | x |/| y |    x, yR,  y  0. 

.o
9  Для произвольного a ≥ 0 неравенства  | x |  a  и  a  x  a эквивалентны: 
| x |  a          a  x  a    a ≥ 0. 

.o
10  Для произвольного a ≥ 0 неравенство | x | ≥ a эквивалентно тому, что 
либо x  a,  либо x ≥ a: 
| x | ≥ a          или  x  a,  или  x ≥ a    a ≥ 0. 

Рассмотрим примеры постановок и решения задач с применением 
модулей чисел. 
1. Изобразить на числовой прямой множество A = {xR: | x  1 |  2}. 

Ввиду свойства 
 модуля числа неравенство | x  1 |  2 эквивалентно 
выполнению двух неравенств 2  x  1  2, из которых следует, что 
1  x  3. 

o
9

 
Значит, A = {x: 1  x  3} и вид этого множества на числовой прямой 
представлен на рис. 8.2 

 
8

A 
 
 
 
 
 
2. Найти все действительные корни уравнения  x | x |  8x  9 = 0. 
Из определения (8.3) модуля действительного числа следует, что все 
неотрицательные корни данного уравнения также являются неотрицательными корнями квадратного уравнения 

0
9
8
2


 x
x
,  
 
 
 
 (8.4) 

а все отрицательные корни – отрицательными корнями квадратного 
уравнения 

0
9
8
2




x
x
,  
 
 
 
 (8.5) 

эквивалентного уравнению 

0
9
8
2


 x
x
  
 
 
 
 (8.5') 

(при x ≥ 0 исходное уравнение принимает вид уравнения (8.4), а при x < 0 
– уравнения (8.5)). 
У уравнения (8.4) есть два действительных корня: 9 и 1 (однако 1 
не может быть корнем исходного уравнения, поскольку является отрицательным числом); у уравнения (8.5) оба корня 
7
4 

 и 
7
4 

 отрицательны. 
 
Значит, у исходного уравнения есть три корня: 
,
7
4
,9
2
1




x
x
 

.
7
4
3



x
 

3. Найти все действительные корни уравнения 
 .0
9
|
|
8
2



x
x

 
1-й способ решения задачи. Из определения (8.3) модуля действительного числа следует, что все неотрицательные корни исходного уравнения являются также неотрицательными корнями квадратного уравнения 

,
0
9
8
2


 x
x
  
 
 
 
 
 (8.6) 

а все отрицательные корни – отрицательными корнями квадратного 
уравнения 

.0
9
8
2


 x
x
  
 
 
 
 
 (8.7) 

 
У уравнения (8.6) есть два действительных корня 1 и 9; у уравнения 
(8.7) корнями являются 9 и 1. 
 
Итак, у исходного уравнения есть два корня: 
.9
,9
2
1



x
x
  

x
1 
3 

Рис. 8.2

 
9

2-й способ решения задачи. Пусть y = | x |. Поскольку 
, исходное уравнение можно переписать в терминах неотрицательного неизвестного y в виде 

2
2
x
y


.0
9
8
2


 y
y
  
 
 
 
 
 (8.8) 

 
У уравнения (8.8) есть два действительных корня 
 и 
1
1


y
9
2 
y
, 
из которых только корень 
9
2 
y
 удовлетворяет требование неотрицательности. 
 
Итак, корни исходного уравнения удовлетворяют равенству | x | = 9, 
из чего следует, что у этого уравнения есть два корня: 
 .9
,9
2
1



x
x

 
8.3. Числовые промежутки: отрезки, интервалы, полуинтервалы 
 
Пусть a и b – некоторые заданные действительные числа и R – 
множество всех действительных чисел. 
 
Отрезком и интервалом называют соответственно множества 
{xR: a  x  b}  
 
 
 
 
   (8.9) 
и 
{xR: a < x < b},  
 
 
 
 
 (8.10) 
а полуинтервалом – каждое из двух множеств: 
{xR: a  x < b}  
 
 
 
 
 (8.11) 
или 
{xR: a < x  b}.  
 
 
 
 
 (8.12) 

 
Множества (8.9)-(8.12) обозначают соответственно, [a; b], (a; b), [a; b) 
и (a; b]; их вид на числовой прямой изображен на рис. 8.3-8.6. 
 
 
[a; b] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 8.3 

x
b 




a 



(a; b) 









 
 
b 
a 
x

Рис. 8.4 

 
10