Высшая математика III: интегральное исчисление

С.В. РЖЕВСКИЙ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА III
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК 517.3(075.8)
ББК 22.161.1я73

Р48

Ржевский С.В.

Р48
Высшая математика III: интегральное исчисление : учебное 

пособие / С.В. Ржевский. — Москва : ИНФРА-М, 2019. — 262 с.

ISBN 978-5-16-108267-6 (online)

Изложены все темы раздела «Интегральное исчисление» типовых 

учебных 
программ 
курса 
«Высшая 
математика», 
рекомендуемых 

Министерством образования и науки Российской Федерации для 
подготовки бакалавров экономики, менеджмента и других направлений 
специализации. Особое внимание уделено иллюстрации применения 
основных утверждений указанного раздела математики, примерам 
типичных задач и подробному объяснению методов их решения.

Предназначено для студентов вузов, а также для практиков, 

деятельность которых предполагает применение инструментария высшей 
математики.

УДК 517.3(075.8)
ББК
22.161.1я73

ISBN 978-5-16-108267-6 (online)
© Ржевский С.В., 2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

 
 
 
 
 
Предисловие 
 
В этой книге представлен материал теории интегрального исчисления, 
необходимый для изучения согласно программе курса высшей математики. Она включает: 
 основные сведения о неопределенных, определенных, кратных и несобственных интегралах, а также об интегралах, зависящих от параметров; 
 основные утверждения об интегралах; 
 методы интегрирования элементарных функций одной и двух переменных.  
Здесь же приведены примеры практического применения интегрального исчисления при решении задач, возникающих, в частности, в технике, 
экономике и социологии. 

Автор 

 
3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
 
 

19. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ 
ИНТЕГРАЛ 

19.1. Первообразная функция 
 
Пусть X – промежуток (интервал, полуинтервал или отрезок), на 
котором определена некоторая функция f: X → R. 
 
Первообразной функцией (или просто первообразной) функции f на 
промежутке X называют такую дифференцируемую на этом промежутке 
функцию F: X → R, что 
F'(x) = f(x)      xX 
(в каждой точке x промежутка X функция F имеет производную F'(x), 
значение которой равно f(x); если при этом точка x является граничной точкой промежутка X, то под F'(x) понимают соответствующую одностороннюю производную функции F). 
 
Основные вопросы о существовании и об отыскании первообразной 
для заданных функции f и промежутка X такие: 
 при каких условиях существует первообразная функция F? 
 сколько первообразных может быть у данной функции? 
 если у функции может быть несколько первообразных, то имеется ли 
между ними какая-либо связь и если имеется, то какая? 
 как находить (вычислять) первообразные функции?  
 
Ответы на часть этих вопросов даны в следующих теоремах. 
 
Теорема 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом 
отрезке у нее есть первообразная. 
 
Итак, непрерывность функции на отрезке является достаточным 
условием существования на этом отрезке ее первообразной. Однако и у 
разрывных функций могут быть первообразные. 

 
4

 
Например, функция 












,0
если
,0

,0
если
,
1
cos
1
sin
2
)
(
x

x
x
x
x
x
f
  
 
 (19.1) 

в точке 
 разрывна, хотя на любом отрезке, даже если он содержит 
, у этой функции первообразной является 
0
0 
x

0
x











.0
если
,0

,0
если
,
1
sin
)
(

2

x

x
x
x
x
F
  
 
 
 (19.2) 

 
Вместе с тем для некоторых разрывных функций можно утверждать 
об отсутствии у них первообразных. Некоторый источник построения 
соответствующих примеров дает теорема Дарбу1. 
 
Теорема 19.2 (Дарбу). Пусть функция Ф имеет конечную производную в каждой точке отрезка [a; b]. Тогда производная Ф' в точках 
этого отрезка принимает каждое промежуточное значение между Ф'(a) 
и Ф'(b):  
для любого числа y, находящегося между числами Ф'(a) и Ф'(b), 
найдется такая точка c[a; b], что y = Ф'(c). 
 
В этой теореме 













)
(
)
(
lim
)
(
0
a
a
a
   и   











)
(
)
(
lim
)
(
0
b
b
b
 

 право- и левосторонние производные функции Ф соответственно в точках 
x = a и x = b. 
 
Отсюда, если бы, например, для функции 









0
если
,1
,0
если
,1
)
(
x
x
x
x
x
f
 

существовала первообразная F на некотором отрезке [a; b], для которого 
0(a; b), то ее производная F' – функция f – согласно теореме Дарбу 
принимала бы значения между f(a) = a  1 и f(b) = b + 1. Однако ни в одной 
точке такого отрезка [a; b] функция f не принимает значения из множества 
(1; 1], содержащегося в отрезке [a  1; b + 1] (см. рис. 19.1). 
 
Пусть некоторая функция f: X → R непрерывна на множестве X  R. 
Тогда эта функция также непрерывна на любом отрезке, содержащимся в X. 
Поэтому в силу теоремы 19.1 на таком отрезке у функции f имеется первообразная. 
                                                 
1 Дарбу Жан Гастон (1842-1917) – французский математик. 

 
5

Также очевидно, если F  первообразная функции f на промежутке X, 
то F также является первообразной функции f и для произвольного промежутка Y, содержащегося в X. 
 
Теорема 19.3. Пусть X – промежуток, на котором определена функция f: X → R. 
 
Если на промежутке X у функции f имеется первообразная, то у 
этой функции на промежутке X имеется несчетное число первообразных. 
 
Если 
 и 
 – первообразные функции f на промежутке X, то для 
некоторого действительного числа C выполняется равенство 
1
F
2
F

.
)
(
)
(
2
1
X
x
C
x
F
x
F




 

Итак, первые утверждения о первообразных функциях: 
 каждая первообразная функции 
f всегда дифференцируема на 
данном промежутке X (если 
некоторая функция Ф: X → R в 
некоторой точке 
X
x 
0
 недифференцируема, в частности, разрывна, то ни для одной функции φ: X  R функция Ф не 
может быть первообразной); 

f 

1 

0 
a 

 непрерывность функции f на 
отрезке является достаточным 
условием существования у нее 
первообразной на этом отрезке; 
 если у функции на промежутке 
имеется хотя бы одна первообразная, то на этом промежутке 
у этой функции имеется бесконечное число первообразных; 
 для отыскания всех первообразных функции достаточно найти любую 
одну из них: каждая другая первообразная функция отличается от 
найденной первообразной на некоторую константу. 

 
19.2 Неопределенный интеграл и его свойства 
 
Пусть X – промежуток, на котором определена функция f: X → R. 
 
Неопределенным интегралом от функции f на X называют множество 
всех первообразных функций функции f на X, которое обозначают 

,
)
(

dx
x
f
  
 
 
 
 
 (19.3) 

b 
x 

1 

Рис. 19.1 

 
6

где 
 – знак интеграла, 

x – переменная интегрирования, 
f(x) – подинтегральная функция, 
d x – дифференциал переменной x, 
f(x)d x – подинтегральное выражение. 
 
Если F – некоторая первообразная функции f на X, то это обычно 
записывают в виде 

C
x
F
dx
x
f



)
(
)
(
,  
 
 
 
 (19.4) 

где C – обозначение (произвольного) действительного числа, хотя, формально, правильно было бы писать 



R
C
C
x
F
dx
x
f




:
)
(
)
(
 

(ведь неопределенный интеграл является множеством функций, а не некоторой одной функцией, записанной для каждого фиксированного действительного числа C в правой части равенства (19.4)). 
 
Итак, под правой частью в записи (19.4) понимают как множество 
функций (множество всех первообразных функции f на некотором промежутке), так и каждый отдельный элемент этого множества, т.е. любую 
первообразную функции f. Следует помнить, что равенство, в обеих частях 
которого записаны неопределенные интегралы, является равенством между 
множествами. 
 
В формулах (19.3) и (19.4) подинтегральное выражение f(x)d x очевидно является дифференциалом dF(x) любой из первообразных F функции f: 
dF(x) = F'(x)dx = f(x)d x      xX.  
 
 (19.5) 

Основные свойства неопределенного интеграла 

.
1o    
 
 
 
 
 
 
   (19.6) 



C
x
F
x
dF
)
(
)
(

(неопределенный интеграл от дифференциала первообразной функции 
совпадает с множеством всех первообразных этой функции).  
 
Это равенство непосредственно следует из определения неопределенного интеграла и утверждения (19.5). 

.
2o  
 
 
 


dx
x
f
dx
x
f
d
)
(
)
(
 
 
 
 
   (19.7) 

(дифференциал неопределенного интеграла совпадает с подинтегральным 
выражением). 

.
3o  
 
 
 


)
(
)
(
x
f
dx
x
f



 
 
 
 
   (19.8) 

(производная неопределенного интеграла совпадает с подинтегральной 
функцией). 

 
7

 
В случаях (19.7) и (19.8) под записью 
dx
x
f
)
(
 следует понимать 
любую первообразную F функции f. 
.
4o  Если у заданных на промежутке X функций 
 и 
 есть первообразные, то и у функции 
1f
2f

2
1
f
f 
 на этом промежутке есть первообразная, причем 



dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f






)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
. 
 
 (19.9) 

 
Итак, если 
 и 
 – соответствующие первообразные функций 
 и 
, то первообразной функции 
)
(
1 x
F
)
(
2 x
F
)
(
1 x
f
)
(
2 x
f
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f

 является каждая 
функция 
, где C – произвольное фиксированное действительное число, т.е. 
C
x
F
)
(
2
x
F
)
(
1










C
x
F
x
F
dx
x
f
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
.  
 
 (19.9') 

 
Свойство интеграла, выраженное в формуле (19.8), называют аддитивностью интеграла относительно функций. 
.
5o  Если у заданной на промежутке X функции f есть первообразная, 
то и для произвольного постоянного действительного числа c у функции 
cf(x) также есть первообразная, причем 



x
d
x
f
c
x
d
x
f
c
)
(
)
(
  
 
 
 (19.10) 

(постоянный множитель перед подинтегральной функцией можно выносить за знак интеграла). 
19.3. Таблица неопределенных интегралов  
 
Интегрированием функции называют операцию отыскания ее неопределенного интеграла. 
Операции интегрирования и дифференцирования функций являются 
взаимно обратными операциями: утверждение о том, что некоторая функция 
f(x) является производной функции F(x) равносильно утверждению о том, 
что функция F(x) является первообразной функции f(x) (см. определения 
первообразной и неопределенного интеграла). Поэтому для нескольких функций их неопределенные интегралы можно получить непосредственным применением таблицы производных основных элементарных функций. Именно 
на этом и основан метод построения таблицы неопределенных интегралов 
(см. таблицу 19.1). 
Следует отметить, если некоторые подинтегральные функции таблицы 
неопределенных интегралов при некоторых значениях аргумента не определены, то записанные формулы являются правильными лишь для тех промежутков интегрирования, которые не содержат эти значения аргумента 
(например, функция 
 не определена при x = 0; поэтому согласно записи 
во второй строке таблицы неопределенных интегралов ее первообразной 
является функция 

2

x

C
x

1

 на неограниченных интервалах (; 0) и (0; +). 

 
8

 

Таблица 19.1 
Таблица неопределенных интегралов 
№ 
п/п 
Подинтегральная функция  
f(x) 
Неопределенный интеграл 
 

dx
x
f
)
(

1. 
0 
C 

2. 
,
a
x
 a – действительное число, a ≠ 1 
C
a
xa





1

1
 

3. 
x
1  
ln| x | + C 

4. 
1
,
0
,


a
a
ax
   
C
a
ax

ln
 

5. 
ex,  e – константа Эйлера 
(e ≈ 2,7 1828 1828) 
ex + С 

6. 
sin x 
cos x + C 

7. 
cos x 
sin x + C 

8. 
,
1

2
2
x
a 
   a > 0,    a < x < a 
C
a
x 
sin
arc
 

9. 
,
1
2
2
a
x 
   a ≠ 0 
C
a
x
a

tg
arc
1
 

10. 
,
1
2
2
a
x

   a ≠ 0 
C
a
x
a
x
a



ln
2
1
 

11. 
,
1

2
a
x 
   a ≠ 0 
C
a
x
x



2
ln
 

12. 

x
2
cos

1
 
C
x 
tg
 

13. 

x
2
sin

1
 
C
x 
 ctg
 

 
9

 

Вычислив производные функций, записанных в правом столбце таблицы неопределенных интегралов, легко убедиться, что все эти функции 
являются первообразными соответствующих функций, записанных в левом 
столбце этой таблицы. 

 
19.4. Примеры решения задач 
 
Рассмотрим сначала случаи, когда для вычисления неопределенных 
интегралов некоторых функций можно непосредственно применить табличные интегралы – интегралы функций, записанные в таблице неопределенных интегралов. 
 
Способ вычисления первых трех неопределенных интегралов состоит в применении второй строки таблицы неопределенных интегралов. 

1.     
.
4

1
4
1
5
4

4
1
5
5
5
C
x
C
x
C
x
dx
x
x

dx

















 

2.     


dx
x
5
.
6
5
6
5

5
6
1
5
1

5
5
6
5
6
1
5
1

5
1
C
x
x
C
x
C
x
C
x
dx
x












 

3.     
.
2
3

3
2
1
3
1

3
2
3
2
1
3
1

3
1

3
C
x
C
x
C
x
dx
x
x
dx














 

 
Для вычисления следующего неопределенного интеграла применяется четвертая строка таблицы неопределенных интегралов. 

4.     




.
3
ln
3

1

3
3
ln
1
ln

1

3
1
ln

3
1

3
1

3
C
C
C
dx
dx
x
x

x

x

x



















 

 
В примерах 5, 6, 7, 8 и 9 применяются соответственно 4-я, 8-я, 9-я, 
10-я и 11-я строки таблицы неопределенных интегралов и учитывается их 
свойство (19.10). 

5.     

 dx
x 1
3
2





dx
dx
dx
x
x
x

2
8
2
)
2
(
2
2
3
3
 



dx
x
8
2
1
 

.
2
ln
3
2

2
ln

)
2
(
2
1
8
ln
8
2
1
1
3

3

3
C
C
C
x
x
x









 
10