Высшая математика I: линейная алгебра и аналитическая геометрия

С.В. РЖЕВСКИЙ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА I
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ 

ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК [512.64+514.74](075.8)
ББК 22.143:22.151я73

Р48

Ржевский С.В.

Р48
Высшая математика I: линейная алгебра и аналитическая 

геометрия : учебное пособие / С.В. Ржевский. — Москва : 
ИНФРА-М, 2019. — 211 с.

ISBN 978-5-16-108269-0 (online)

Изложены все темы разделов линейной алгебры и аналитической 

геометрии типовых учебных программ курса «Высшая математика», 
рекомендуемых Министерством образования и науки Российской 
Федерации для подготовки бакалавров экономики, менеджмента и других 
направлений специализации. Особое внимание уделено иллюстрации 
применения основных утверждений указанных разделов математики, 
примерам типичных задач и подробному объяснению методов их 
решения.

Предназначено для студентов вузов, а также для практиков, 

деятельность которых предполагает применение инструментария высшей 
математики.

УДК [512.64+514.74](075.8)

ББК
22.143:22.151я73

ISBN 978-5-16-108269-0 (online)
© Ржевский С.В., 2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
В наше время никакой нетривиальный прогноз развития какой бы то 
ни было реальной социально-экономической системы без применения 
математики уже не считается научно обоснованным, никакое предложение, 
касающееся управления такой системой, без его предварительно проведенного всестороннего математического анализа не воспринимается как серьезное – ведь последствия управления должны соответствовать желаемым! 
Накопленный человечеством опыт свидетельствует, что именно математика, 
помимо того, что содержит в себе мощный инструментарий для проведения 
количественных расчетов и решения прикладных задач самой разной природы, также является универсальным языком науки, образцом исследования четко поставленных проблем. 
В соответствии с программой курса «Высшая математика» предусмотрено изучение нескольких базовых разделов математики. Предполагается, что усвоение этих разделов должно быть таким, чтобы студенты, вопервых, правильно воспринимали другие нормативные и выборочные 
учебные дисциплины и, во-вторых, понимали постановки, методы исследования и методы решения типичных задач, возникающих в их будущей 
профессиональной деятельности. 
Вся программа курса «Высшей математики» представлена в 4-х книгах, стиль и форма изложения материала в которых ориентированы как на 
изначально неискушенных в математике студентов, так и на студентов, 
имеющих повышенный уровень математической подготовки. Для этого в 
каждую книгу включены наглядные иллюстрации большинства определяемых математических объектов и действий с такими объектами, а также 
включены примеры задач разной сложности с подробными объяснениями 
рекомендуемых методов их решения. В завершение каждой главы каждой 
книги приведены вопросы и задачи, предназначенные для самопроверки 
степени понимания изученного материала. 
В книге 1 изложены разделы линейной алгебры и аналитической геометрии, включенные в программу курса высшей математики. Основной 
части представленного здесь материала предшествует небольшой раздел, 
в котором рассматриваются ключевые понятия теории множеств, вводятся 
базовые операции (действия) над множествами и объясняется их смысл. В 
этом разделе  некотором введении в формализованный язык математики  
даны самые простые иллюстрации абстрактных математических объектов 
и операций над ними. 

 
3

В части «Линейная алгебра» этой книги центральным понятием 
является система линейных алгебраических уравнений – естественное 
обобщение линейного алгебраического уравнения с одним неизвестным на 
случай нескольких неизвестных, «линейно связанных» в нескольких 
алгебраических уравнениях. Многочисленные применения систем линейных алгебраических уравнений предопределяют необходимость изучения 
как свойств этих систем, так и методов отыскания их решений. 
Остальной понятийный аппарат курса линейной алгебры, включенный в книгу 1, в основном играет вспомогательную роль при изучении 
систем линейных алгебраических уравнений. Например, любая такая система уравнений может быть задана в терминах соответствующей числовой 
матрицы. По некоторым свойствам этой матрицы можно сделать вывод о 
наличии или отсутствии одного или бесконечного числа решений у 
системы уравнений, а также о возможных способах их отыскания. Кроме 
того, особенности структуры этой матрицы, помимо применимости выбранного метода отыскания решения (или решений) системы уравнений, 
предопределяют и его эффективность. 
Основное назначение части «Аналитическая геометрия» состоит в 
иллюстрации возможности характеризации свойств геометрических объектов 
аналитическими методами. Применение таких методов стало возможным 
благодаря предложенному Декартом 1 методу координат – фундаментальному методу описания геометрических объектов в терминах координат 
точек, составляющих эти объекты.  
В части аналитической геометрии программы курса высшей математики предусмотрено изучение нескольких геометрических объектов в двух- 
и трехмерных пространствах: прямой, эллипса, гиперболы, параболы, плоскости. Кроме различных способов задания этих объектов и исследования 
их свойств подробно рассматриваются задачи, обычно возникающие в 
приложениях: вычисление расстояния от заданной точки до заданной 
прямой, вычисление угла между заданными прямыми и др. 
В книге 2 представлен один из основных разделов математического 
анализа – дифференциальное исчисление функций одной и нескольких 
переменных. 
Тематика этого раздела включает необходимый минимум сведений о 
соответствующем понятийном аппарате математики, основных ее утверждениях, методах дифференцирования элементарных функций одной и нескольких переменных – неотъемлемой составляющей инструментария математики, назначение и возможности которого должен хорошо понимать 
каждый современный специалист достаточно широкого профиля. Здесь 
особое внимание уделено основным определениям и ключевым утверждениям теории дифференциального исчисления, иллюстративным примерам 

                                                 
1 Декарт Рене (1596-1650) – французский математик и философ.  

 
4

типичных задач и подробному объяснению рекомендуемых методов их 
решения. 
 
В книге 3 представлен материал теории интегрального исчисления, 
необходимый для изучения согласно программе курса высшей математики. Она включает: 
 основные сведения о неопределенных, определенных, кратных и несобственных интегралах, а также об интегралах, зависящих от параметров; 
 основные утверждения об интегралах; 
 методы интегрирования элементарных функций одной и двух переменных.  
В этой же книге приведены примеры практического применения 
интегрального исчисления при решении задач, возникающих, в частности, 
в технике, экономике и социологии. 
В книге 4 представлены сведения о числовых и функциональных 
рядах, даются необходимые понятия и формулируются основные утверждения об обыкновенных дифференциальных уравнениях и системах таких 
уравнений. 
В части «Числовые и функциональные ряды» изучаются суммы действительных чисел и функций, содержащие бесконечные количества слагаемых. Кроме того, что такие математические объекты имеют самостоятельное значение в многочисленных приложениях, они также используются как 
вспомогательные при проведении соответствующих вычислений (например, 
при приближенном вычислении определенных интегралов).  
В части «Обыкновенные дифференциальные уравнения» рассматриваются классы дифференциальных уравнений, наиболее часто встречающихся в экономической науке – обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, нормальные системы дифференциальных уравнений первого порядка,  а также описываются аналитические 
методы отыскания решений уравнений из этих классов и приводятся примеры их применения. 
В Приложение включены: список принятых обозначений, греческий 
и латинский алфавиты, некоторые определения, утверждения и формулы 
из курса математики средней школы. 
После изучения каждого относительно независимого раздела курса 
высшей математики рекомендуется изучить возможности и особенности 
применения специализированного программного обеспечения персонального компьютера, разработанного для отыскания решений соответствующих задач (табличный процессор Excel, пакеты Mathcad, Mathlab, Maple и 
др.). Именно при таком сочетании изучения теории и современного вспомогательного инструментария можно научиться понимать, формулировать и эффективно решать практические задачи умеренной сложности. 

 
5

Необходимо обратить внимание студентов, которые только еще начинают углубленное и систематизированное изучение математики, на такую 
особенность всех ее утверждений. Структура каждого из них может быть 
описана одним из двух способов: или 
A    B, 
 
 
 
 
 
(0.1) 
или 
A    B,  
 
 
 
 
(0.2) 
где буквами A и B обозначены некоторые совокупности свойств рассматриваемого математического объекта («условия A» и «условия B»), знак 
  называют знаком логической импликации или логического следования, а 
знак    – знаком эквивалентности. 
 
Утверждения в форме (0.1) и (0.2) следует понимать таким образом.  
 
В записи (0.1) знак    означает, что выполнение условий A влечет за 
собой выполнение условий B (читается: «при выполнении условий A 
выполняются условия B», или – «из условий A следуют условия B»). Ввиду 
этого условия A называют достаточными условиями выполнения условий B, 
а условия B – необходимыми условиями выполнения условий A. 
Причина таких названий характера отношений между условиями A и B 
обусловлена следующим. 
Если выполняются условия A, то при правильном утверждении (0.1) 
обязательно выполняются и условия B (выполнения условий A достаточно 
для выполнения условий B). Обоснование правильности утверждения A    B 
собственно и состоит в доказательстве именно такого отношения, имеющегося 
между условиями A и B. 
Формально, при невыполнении условий A условия B могут как 
выполняться, так и не выполняться, а при выполнении условий B условия A 
могут как выполняться, так и не выполняться. Для правильного же 
утверждения (0.1) если условия B не выполняются, то очевидно, что и 
условия A не выполняются (если бы условия A выполнялись, то в силу 
утверждения (0.1) выполнялись бы и условия B). 
Значит, для правильного утверждения (0.1) выполнение условий B 
необходимо для выполнения условий A. Кроме того, утверждение (0.1) 
равносильно (эквивалентно) утверждению 

B    A ,  
 
 
 
 
 (0.1′) 
где A  и B  обозначения условий, состоящих в невыполнении соответственно условий A и B. 
 
Равносильность утверждений (0.1) и (0.1′) следует понимать так: 
правильность любого из этих утверждений обусловливает правильность 
второго утверждения; если же какое-либо из этих утверждений неправильное 
(не выполняется), то неправильное (не выполняется) и второе утверждение. 

 
6

Утверждение (0.1′) называют двойственным утверждению (0.1), а 
утверждение (0.1)  двойственным утверждению (0.1′); утверждения (0.1) 
и (0.1′) называют взаимодвойственными утверждениями. 
 
В записи (0.2) знак    означает эквивалентность условий A и B: 
условия A являются достаточными условиями выполнения условий B 
(A    B), а значит, условия B являются необходимыми условиями 
выполнения условий А; кроме того, условия B являются достаточными 
условиями выполнения условий A (B    A или, что то же самое, A    B), 
а значит, условия А являются необходимыми условиями выполнения 
условий В. Другими словами, условия A являются необходимыми и 
достаточными условиями выполнения условий B (или, что то же самое, 
условия B являются необходимыми и достаточными условиями выполнения условий A). Запись (0.2) читают так: «условия A выполняются тогда 
и только тогда, когда выполняются условия B», или «условия A необходимы и достаточны для выполнения условий B», или «условия B необходимы и достаточны для выполнения условий A», или коротко  «условия 
A и B эквивалентны». 
Для иллюстрации утверждений типа (0.1) и (0.2) приведем примеры. 
 
Пусть n  некоторое целое число и условие A состоит в том, что это 
число можно разделить на 6 без остатка, а условие B  это число можно 
разделить на 3 без остатка. 
 
В данном случае A    B, но поскольку утверждение B    A не 
является правильным (например, число 9 без остатка делится на 3, а на 6 – 
нет), то условия A и B не эквивалентны. 
 
Вместе с тем условие C: «целое число n без остатка делится и на 2, и на 
3» – эквивалентно условию A (A    C). Это утверждение – известный из 
арифметики признак делимости целого числа на 6 («целое число без остатка 
делится на 6 тогда и только тогда, когда оно без остатка делится и на 2, и на 
3»). 

При подготовке этого курса высшей математики автор пользовался как 
классическими учебниками и учебными пособиями, так и современными 
специализированными изданиями (см. список литературы, приведенный в 
конце книги). Бóльшую часть привлекательных особенностей каждой из 
отмеченных книг он пытался сохранить и в предлагаемом курсе, творчески 
дополняя их собственными наработками. Насколько удачными оказались 
все приложенные для этого усилия – судить читателю. 

Автор 

 
 
 
 
 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 

1.1. Интуитивное понятие множества 
 
Множество – это совокупность объектов любой природы, имеющих 
некоторые одинаковые свойства. 1 Объекты, составляющие множество, 
называют его элементами. 
 
Рассмотрим два примера множеств.  
 
Пример 1. Множество предметов, сейчас находящихся на второй полке 
некоторого конкретного книжного шкафа. 
 
Этими предметами могут быть книги, альбомы, тетради, фотографии, 
статуэтки и прочее – по своей природе самые разные объекты. Общее 
свойство, присущее всем этим предметам и ввиду которого они отнесены 
к одному множеству, – их нахождение именно сейчас и именно на второй 
полке данного книжного шкафа. 
 
Пример 2. Множество книг, сейчас находящихся на второй полке 
книжного шкафа, выбранного для примера 1, и содержащих произведения 
А.С. Пушкина2 (стихотворения, поэмы, романы, повести, рассказы, сказки, 
заметки и пр.). 
Конкретизировать это множество достаточно просто: нужно из элементов, составляющих множество из примера 1, учесть только те, которые 
представляют собой книги с произведениями А.С. Пушкина. При этом таких 
книг может и не оказаться.3  
 
С тем, чтобы ссылаться на различные множества, их принято как-то 
обозначать. Например, большими буквами латинского или греческого алфавитов: A, B, C, …, 
, , 
, … (см. Приложение).  


Элементы множеств тоже обозначают. Обычно для этого применяют 
маленькие буквы: a, b, c, x, y, z, , ,  и др. 

                                                 
1 Основателем теории множеств является Кантор Георг (1845-1918) – немецкий 
математик.  
2 Пушкин Александр Сергеевич (1799-1837) – национальный русский поэт, 
драматург, прозаик, создатель современного русского литературного языка. 
3 Разумеется, в семье, имеющей книжный шкаф, конечно же, есть книги, содержащие по крайней мере стихотворения или сказки А.С. Пушкина. Эти книги 
могут находиться не на второй, а на первой полке этого же книжного шкафа 
или в других местах квартиры (книжных шкафах, стеллажах, этажерках, тумбочках, отдельных книжных полках). Впрочем, в жизни всякое бывает, а что-то, 
увы, довольно часто…  

 
8

 
Факт принадлежности элемента c множеству A принято обозначать 
так: cA (читается: «c принадлежит A» или «c является элементом множества A»). Если же объект z не является элементом множества A, то это 
обозначают следующим образом: zA («z не принадлежит A» или «z не 
является элементом множества A»). 

1.2. Способы задания множеств 
Каждое множество представляется естественным задавать указанием 
всех его элементов. Однако для очень большого или бесконечного числа 
элементов множества такой способ его задания может оказаться неудобным 
или даже невозможным. 
Самый общий способ задания множества, пусть, для определенности, 
это множество обозначено буквой A, состоит в следующем: 
A  { a: P(a) },4 
 
 
 
     (1.1) 
где a – обозначение произвольного элемента множества A из некоторого 
известного множества  (если из контекста понятно, о каком именно 
множестве  идет речь, то запись (1.1) несколько упрощают: пишут 
A  { a: P(a) }), 
P(a) – совокупность свойств, наличие которых у элемента a множества  
является необходимым и достаточным условием отнесения этого 
элемента к множеству A (читается: «множество A составляют те и 
только те элементы множества , у которых имеются свойства P»).  
Пусть O и B – обозначения множеств, рассмотренных соответственно 
в примерах 1 и 2 (O и B – первые рукописные заглавные буквы английских 
слов objects (объекты) и books (книги) соответственно).  
В случае задания множества O под множеством  естественно понимать 
все предметы, сейчас находящиеся на второй полке данного книжного шкафа 
(собственно все эти предметы и составляют множество O). 
Если же в качестве множества  принять множество более емкое, чем 
множество O (т.е. множество, содержащее помимо элементов множества 
O еще какие-либо другие элементы), то для построения множества O 
необходимо еще конкретизировать свойства, присущие только элементам 
множества O, и которых нет ни у каких других элементов множества . 

                                                 
4 Знак  называют знаком тождественного равенства. Обычно этот знак применяют вместо знака равенства = в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что выражение, находящееся слева от знака «  », равно по определению 
выражению, находящемуся справа от этого знака (когда не требуется обосновывать правильность утверждения о равенстве этих выражений, поскольку они 
равны одно другому по определению). Если же из контекста записи понятен 
смысл отношения равенства между соответствующими выражениями, то 
применяется обычный знак равенства =.  

 
9

В примере 2 при определении множества B под множеством  
естественно понимать множество O из примера 1, т.е.   O: из предметов, 
сейчас находящихся на второй полке данного книжного шкафа – 
множества O – следует учесть только книги, содержащие произведения 
А.С.Пушкина – свойство, которое присуще только элементам множества B 
и которого нет ни у какого другого элемента множества O.  
Может оказаться, что условия P, которым должен удовлетворять 
каждый элемент множества A, противоречивы, т.е. ни один элемент a из  
этим условиям не удовлетворяет. В таком случае множество A называют 
пустым множеством. Пустое множество принято обозначать специальным символом . Утверждение о том, что множество A пусто записывают так: A = . 
Следует отметить, что иногда выяснение факта существования элементов множества , имеющих признак (свойства) P, может составлять 
весьма сложную проблему.  
 
Итак, по определению, пустое множество не содержит ни одного 
элемента. 
 
Множество O из примера 1 будет пустым, если сейчас на второй 
полке данного книжного шкафа нет никаких предметов (в таком случае и 
множество B из примера 2 также пусто). Если же множество O не пусто, то 
множество B пусто в том случае, если сейчас на второй книжной полке 
данного книжного шкафа нет ни одной книги, содержащей какое-либо 
произведение А.С. Пушкина.  
 
Применение специальных символов – квантора всеобщности  и 
квантора существования  – позволяет сократить некоторые математические записи, сделать их более удобными для восприятия. 
Так запись « a …» нужно понимать так: «для любого a …», а запись 
« a …»  –  «для некоторого a …» или «найдется a …». 
Например, утверждение о том, что множество A (1.1) не пусто (что 
обозначают A ≠ ) эквивалентно существованию по крайней мере одного 
элемента a  , имеющего свойства P(a). В принятых обозначениях это 
можно записать таким образом: 
A ≠                a: P(a). 
 
Пусть V и W – некоторые множества. 
Если каждый элемент множества V также является элементом множества W, то множество V называют подмножеством множества W. В 
таком случае множество V называют содержащимся в множестве W, а 
множество W – содержащим множество V. Такое отношение между 
множествами обозначают либо V  W, если не исключается нахождение в 
множестве W элементов, не принадлежащих множеству V, либо V  W, 
если не исключается принадлежность каждого элемента множества W 
множеству V (т.е. множество W является подмножеством множества V). 

 
10