Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Квантовая механика частиц со спином в магнитном поле

Покупка
Артикул: 729052.01.99
Доступ онлайн
591 ₽
В корзину
В монографии изложен тетрадный метод обобщения уравнений для частиц различных спинов, учитывающий не-евклидовую геометрию пространства-времени. В пространствах постоянной кривизны Лобачевского и Римана найдены точные решения уравнений Шредингера и Дирака во внешнем магнитном поле. На основе матричного формализма Даффина-Кеммера-Петье в пространстве Минковского найдены точные решения релятивистского уравнения для частицы со спином 1 во внешнем магнитном поле, выполнен анализ этой задачи также и в нерелятивистском приближении. В присутствии магнитного поля в пространстве Минковского построены точные решения обобщенных уравнений для скалярной и векторной частиц, несущих кроме электрического заряда дополнительную электромагнитную характеристику - поляризуемость. В пространстве Минковского в уравнении Дирака учтено дополнительное взаимодействие через аномальный магнитный момент частицы, построены точные решения этого обобщенного уравнения в присутствии однородных магнитного и электрического полей. Исследовано поведение частиц со спинами 0. 1/2 и 1 в магнитном поле при ограничении на 2-мерные плоскости Лобачевского и Римана. Во внешних электрическом и магнитном полях исследовано квантово-механическое поведение частицы Кокса - скалярной частицы с дополнительной внутренней структурой. Рассматриваются случаи всех трех геометрий пространства: Евклида, Лобачевского и Римана. Адресуется научным работникам, преподавателям высших учебных заведений, а также аспирантам и студентам, специализирующимся в области теоретической физики.
Овсинюк, Е. М. Квантовая механика частиц со спином в магнитном поле : монография / Е. М. Овсинюк [и др.]. - Минск : Беларуская навука, 2017. - 510 с. - ISBN 978-985-08-2132-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1067346 (дата обращения: 18.07.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ Институт физики имени Б. И. Степанова

Минск «Беларуская навука» 2017


�ДК 530.145:539.12



    Квантовая механика частиц со спином в магнитном поле / Е. М. Овсиюк [и др.] ; Нац. акад. наук Беларуси, Ин-т физики им. Б. И. Степанова. - Минск : Беларуская навука, 2017. - 509 с. : ил. -ISBN 978-985-08-2132-4.
    В монографии изложен тетрадный метод обобщения уравнений для частиц различных спинов, учитывающий неевклидовую геометрию пространства-времени. В пространствах постоянной кривизны Лобачевского и Римана найдены точные решения уравнений Шредингера и Дирака во внешнем магнитном поле. На основе матричного формализма Даффина-Кеммера-Петье в пространстве Минковского найдены точные решения релятивистского уравнения для частицы со спином 1 во внешнем магнитном поле, выполнен анализ этой задачи также и в нерелятивистском приближении. В присутствии магнитного поля в пространстве Минковского построены точные решения обобщенных уравнений для скалярной и векторной частиц, несущих кроме электрического заряда дополнительную электромагнитную характеристику - поляризуемость. В пространстве Минковского в уравнении Дирака учтено дополнительное взаимодействие через аномальный магнитный момент частицы, построены точные решения этого обобщенного уравнения в присутствии однородных магнитного и электрического полей. Исследовано поведение частиц со спинами 0, 1/2 и 1 в магнитном поле при ограничении на 2-мерные плоскости Лобачевского и Римана. Во внешних электрическом и магнитном полях исследовано квантово-механическое поведение частицы Кокса - скалярной частицы с дополнительной внутренней структурой. Рассматриваются случаи всех трех геометрий пространства: Евклида, Лобачевского и Римана.
    Адресуется научным работникам, преподавателям высших учебных заведений, а также аспирантам и студентам, специализирующимся в области теоретической физики.
    Ил. 21. Библиогр.: 176. назв.


Рекомендовано ученым советом ГНУ «Институт физики имени Б. И. Степанова Национальной академии наук Беларуси» (протокол от 31 мая 2016 г. № 4)

Авторы
Е. М. Овсиюк , О. В. Веко, Я. А. Войнова, В. В. Кисель, В. М. Редьков

Рецензенты
доктор физико-математических наук, профессор В. А. Плетюхов, доктор физико-математических наук, профессор В. В. Тихомиров
























ISBN 978-985-08-2132-4

                                                 © Оформление. РУП «Издательский дом «Беларуская навука», 2017


               Оглавление





Предисловие                                                                     9

1. Уравнение Дирака в римановом пространстве                                   11
   1.1. Тетрадный метод Тетроде-Вейля-Фока-Иваненко........................... 11
   1.2. О биспинорных вращениях в произвольном базисе......................... 14
   1.3. Нерелятивистский предел в уравнении Дирака............................ 16
   1.4. О калибровочной симметрии уравнения Паули............................. 21
   1.5. Уравнение Дирака в ортогональных координатах.......................... 24
   1.6. Майорановское спинорное поле в римановом пространстве................. 26

2. Уравнения Клейна-Фока-Гордона и Шредингера в гравитационных полях            27
   2.1. Уравнение Клейна-Фока-Гордона ........................................ 27
   2.2. Нерелятивистский предел на фоне римановой геометрии................... 28

3. Формализм Даффина-Кеммера в римановом пространстве-времени                   31
   3.1. Уравнение Даффина-Кеммера в гравитационном поле....................... 32

4. Моделирование потенциального барьера геометрией пространства Лобачевского 35
   4.1. Разделение переменных ................................................ 35
   4.2. Отражение частиц...................................................... 38

5. Об отражении фермионов средой, моделируемой геометрией Лобачевского          41
   5.1. Майорановское спинорное поле.......................................... 41
   5.2. Разделение переменных ................................................ 43
   5.3. Построение и анализ дираковских решений............................... 46
   5.4. Анализ решений уравнений Вейля........................................ 54
   5.5. Анализ решений уравнений Майораны..................................... 57

6. Частицы в электрическом поле в пространствах постоянной кривизны             59
   6.1. Уравнение Шредингера в электрическом поле в пространстве Лобачевского .... 59
   6.2. Частица в электрическом поле в сферическом пространстве............... 64
   6.3. Частица Дирака в электрическом поле на фоне пространства Лобачевского .... 66
   6.4. Анализ разделенных уравнений.......................................... 68

3



Е. М. Овсиюк, О. В. Веко, Я. А. Войнова, В. В. Кисель, В. М. Редьков

7. Частицы со спином 0 и 1/2 в двумерных пространствах Лобачевского и Римана 73
   7.1. Решения уравнения Шредингера во внешнем магнитном поле.................. 73
   7.2. Уравнение Дирака в магнитном поле в 2-мерном пространстве Лобачевского .... 78
   7.3. Задача Ландау для скалярной частицы в S₂, координаты (г, ф)............. 80
   7.4. Частица на плоскости S₂, комплексные координаты (x,y) .................. 82

8. Квантово-механическая частица в однородном магнитном поле на фоне пространств Лобачевского и Римана                                                            87
   8.1. Однородное магнитное поле в пространствах S₃ иН₃........................ 87
   8.2. Уравнение Шредингера, разделение переменных ............................ 89
   8.3. Решение радиального уравнения в пространстве Н₃......................... 90
   8.4. Анализ уравнения для Z(z) в пространстве Н3 ............................ 96
   8.5. Анализ радиального уравнения в пространстве S₃ ......................... 99
   8.6. Анализ уравнения для Z(z) в пространстве S₃.............................103

9. Электрон в магнитном поле, тетрадный формализм в плоском пространстве 105
   9.1. Уравнение Дирака в Eз, разделение переменных ...........................105
   9.2. Решение уравнений по г-переменной.......................................107
   9.3. Частица Дирака в магнитном поле, декартовые координаты .................108
   9.4. О связях между двумя способами решения уравнения Дирака во внешнем магнитном поле ...................................................................122

10. Электрон в однородном магнитном поле в пространстве Лобачевского             131
   10.1. Цилиндрические координаты и тетрада ...................................131
   10.2. Решение уравнений по z-переменной......................................134
   10.3. Решение уравнений по г-переменной......................................136

11. Электрон в однородном магнитном поле в пространстве Римана                   139
   11.1. Цилиндрические координаты и тетрада в пространстве S₃..................139
   11.2. Разделение переменных .................................................141
   11.3. Решение уравнений по z-переменной......................................143
   11.4. Решение уравнений по г-переменной......................................145

12. Частица со спином 1/2 в магнитном поле, нерелятивистский предел в пространствах Римана и Лобачевского                                                           147
   12.1. Разделение переменных в уравнении Дирака в S₃..........................147
   12.2. Нерелятивистское приближение в уравнениях по z-переменной..............148
   12.3. Об уравнении Паули в магнитном поле на фоне сферической геометрии......149
   12.4. Нерелятивистский предел в пространстве Лобачевского ...................151

13. Квантовая механика электрона в однородном магнитном поле, учет аномального магнитного момента                                                               155
   13.1. Учет аномального магнитного момента электрона, разделение переменных .... 155
   13.2. Нерелятивистское приближение...........................................157


�вантовая механика частиц со спином в магнитном поле

5

   13.3. Анализ релятивистской системы уравнений...............................159
   13.4. Дальнейший анализ решений.............................................164

14. Частица Дирака с аномальным магнитным моментом в однородном магнитном поле, метод проективных операторов                                                    167
   14.1. Выделение собственных состояний оператора Ез .........................167
   14.2. Решение радиальных уравнений..........................................173

15. Частица Дирака с аномальным магнитным моментом в однородном электрическом поле                                                                           177
   15.1. Разделение переменных.................................................177
   15.2. Построение решений....................................................178
   15.3. Сопоставление со случаем нулевого магнитного момента..................185
   15.4. Специальный случай нулевого электрического заряда.....................187

16. Анализ условия зануления тока дираковского поля в магнитном поле на границах области между двумя плоскостями                                                189
   16.1. Решения уравнения Дирака в магнитном поле.............................190
   16.2. Условие Jz = Она границах области между двумя плоскостями, общая формулировка 193
   16.3. Случай одной независимой фазы.........................................194
   16.4. Случай двух независимых фаз...........................................201
   16.5. Случай трех независимых фаз...........................................205
   16.6. Анализ общего случая четырех независимых фаз .........................211
   16.7. О ковариантизации условий обращения в нуль тока Jz ...................213
   16.8. Вейлевское нейтрино в области между двумя плоскостями ................220

17. Метод квадрирования, уравнения Дирака и Майораны                            223
   17.1. Метод квадрирования...................................................224
   17.2. Решения уравнения Дирака в базисе импульс-спиральность................226
   17.3. Связь между решениями в двух базисах .................................228
   17.4. Зависимость решений от выбора матриц Дирака, стандартный базис........232
   17.5. Метод квадрирования и базис Майораны .................................234
   17.6. Условие Jz = 0 в базисе решений из метода квадрирования...............239

18. О решениях уравнения для частицы со спином 1 в магнитном поле               241
   18.1. Разделение переменных ................................................242
   18.2. Общий анализ системы радиальных уравнений.............................243

19. О частице со спином 1 в магнитном поле, нерелятивистский предел             247
   19.1. Переход к нерелятивистским уравнениям ................................248

20. Частица со спином S = 1 во внешнем магнитном поле, проективные операторы 253
   20.1. Исходные обозначения..................................................253
   20.2. Учет магнитного поля, метод проективных операторов....................255



Е. М. Овсиюк, О. В. Веко, Я. А. Войнова, В. В. Кисель, В. М. Редьков

   20.3. Выделение трех компонент решения .....................................258
   20.4. Анализ основной компоненты f о(r), три серии уровней энергии..........260
   20.5. Определение компоненты f+(r)..........................................269
   20.6. Определение составляющих компоненты f-................................278

21. Заряженная скалярная частица с поляризуемостью в магнитном поле             285
   21.1. Основные обозначения..................................................285
   21.2. Разделение переменных ................................................287
   21.3. Решение радиального уравнения, спектр энергий.........................291

22. Векторная частица с поляризуемостью в магнитном поле                        295
   22.1. Основные обозначения..................................................295
   22.2. Разделение переменных ................................................297
   22.3. Решение радиальных уравнений .........................................298
   22.4. Исследование возможности получения физического спектра................306

23. Векторная частица с поляризуемостью в магнитном поле, нерелятивистский предел 315
   23.1. Основные обозначения..................................................315
   23.2. Нерелятивистское приближение..........................................316
   23.3. Решение радиальных уравнений..........................................319

24. Частица со спином 1 и квадрупольным моментом в магнитном поле               325
   24.1. Исходные обозначения..................................................325
   24.2. Разделение переменных.................................................327
   24.3. Анализ системы радиальных уравнений ..................................330
   24.4. Получение спектров энергии............................................343
   24.5. Случай электрически нейтральной частицы...............................346

25. Частица со спином 1 в магнитном поле в двумерных пространствах постоянной кривизны                                                                       349
   25.1. Постановка задачи.....................................................349
   25.2. Ограничение к 2-мерному случаю, разделение переменных ................350
   25.3. Переход к нерелятивистскому пределу...................................351
   25.4. Решение радиальных уравнений в релятивистском случае..................354
   25.5. Частица со спином 1 в магнитном поле на плоскости S₂..................357
   25.6. Переход к нерелятивистскому пределу...................................358
   25.7. Решение радиальных уравнений в релятивистском случае..................360

26. Векторная частица в магнитном поле в пространстве S₃                        363
   26.1. Разделение переменных ................................................363
   26.2. Нерелятивистское приближение .........................................365
   26.3. О разделении переменных (r, z) в паулиевских уравнениях...............367


�вантовая механика частиц со спином в магнитном поле

7

27. Частица со спином 1 и аномальным магнитным моментом во внешнем магнитном

   поле                                                                          371
   27.1. Исходные обозначения...................................................371
   27.2. Разделение переменных..................................................373
   27.3. Анализ системы радиальных уравнений ...................................376
   27.4. Получение спектров энергии.............................................389
   27.5. Нейтральная векторная частица в магнитном поле.........................392
   27.6. Построение решений.....................................................393


28. Векторная частица с аномальным магнитным моментом в однородном электрическом

   поле

395

   28.1. Исходные обозначения....................................................395
   28.2. Разделение переменных...................................................397
   28.3. Анализ системы уравнений, разделение переменных ........................401
   28.4. Ограничения на величину аномального магнитного момента..................417
   28.5. Анализ решений..........................................................420
   28.6. Структура тока .........................................................428
   28.7. Векторная частица с нулевым зарядом.....................................430


29. Скалярная частица с внутренней структурой в присутствии внешних магнитного и электрического полей                                                             433
   29.1. Частица Кокса в магнитном поле в пространстве Минковского................433
   29.2. Частица Кокса в магнитном поле в пространстве Лобачевского ..............435
   29.3. Анализ уравнения в переменной z .........................................436
   29.4. Обычная частица в пространстве Лобачевского..............................443
   29.5. Решение радиального уравнения............................................446
   29.6. Частица в электрическом поле в пространстве Минковского..................448
   29.7. Частица в электрическом поле в пространстве Лобачевского.................450

30. Классическая частица в магнитном поле в пространствах Лобачевского и Римана 457
   30.1. Второй закон Ньютона в пространстве Лобачевского.........................457
   30.2. Частица в однородном магнитном поле в пространстве H₃....................459
   30.3. Построение решений в пространстве Лобачевского ..........................462
   30.4. Интеграл движения - энергия в пространстве H₃............................465
   30.5. Лагранжев формализм в пространстве Hз ...................................467
   30.6. Все возможные решения в пространстве H₃..................................469
   30.7. Уравнение для траектории в форме F (r, z) = 0, мод ель Hз................475
   30.8. Уравнения траекторий, роль поперечных сдвигов в пространстве Лобачевского . . 476
   30.9. Частица в магнитном поле в сферическом пространстве .....................480
   30.10. Построение простейших решений в пространстве Римана.....................482
   30.11 .Интеграл движения - энергия в пространстве S₃ ..........................484
   30.12. Частица в магнитном поле и лагранжев формализм в S₃ ....................485
   30.13. Решения в сферическом пространстве sSO(4)-симметрия ....................488


           Е. М. Овсиюк, О. В. Веко, Я. А. Войнова, В. В. Кисель, В. М. Редьков

   30.14. 0 симметрии магнитного поля в пространстве H₃ ........................492
   30.15. 0 симметрии магнитного поля в сферическом пространстве................497

Список использованных источников                                                 503


               Предисловие





    Основная задача этой книги - познакомить читателей с некоторыми новыми теоретическими результатами в, казалось бы, устоявшейся области теоретической физики - квантовой механике частиц во внешнем магнитном поле. Первые результаты принадлежали И. А. Раби, Л. Д. Ландау и М. Плессету (см. [1-3]). В литературе наиболее известны и находят многочисленные применения решения уравнения Шредингера для частицы без спина и уравнений Паули и Дирака для частицы со спином 1 /2. В предлагаемой работе эта задача обобщается по нескольким направлениям.
   Первое обобщение и отчасти усовершенствование математических методов анализа состоит в том, что используется не обычная форма квантово-механических уравнений, изложенная в стандартных курсах квантовой механики, а форма представления этих уравнений, заимствованная из более общего формализма, развитого для описания поведения частиц в присутствии внешних гравитационных полей. Первые работы в этом направлении были выполнены в 1928-1932 гг. Г. Тетроде, Д. Д. Иваненко, В. А. Фоком, Г. Вейлем, Э. Шредингером. Использование такой более общей математической техники позволило поставить вопрос об обобщении задачи о частицах во внешнем магнитном поле: мы рассматриваем ее на фоне простейших искривленных моделей 3 -мерного физического пространства, т. е. пространства постоянной отрицательной кривизны - гиперболической модели Лобачевского H₃ и пространства постоянной положительной кривизны -сферической геометрии Римана S₃. Получены точные решения уравнений Шредингера, Паули, Дирака в обеих геометрических моделях - H₃ и S₃.
   Решено уравнение Дирака для спинорной частицы, несущей в дополнение к электрическому заряду и аномальный магнитный момент. Также построены решения для дираковской частицы с аномальным магнитным моментом во внешнем однородном электрическом поле. Проведен подробный анализ условий обращения в нуль тока дираковского поля во внешнем магнитном поле на границе области между двумя параллельными плоскостями; этот анализ может быть существенным для понимания эффекта Казимира.
   Следующее обобщение состоит в том, что задача Ландау решена точно в плоском пространстве для частицы со спином 1, при этом за основу выбран тетрадный матричный формализм в 10-мерном подходе Даффина-Кеммера. Решены релятивистское уравнение для векторной частицы и его нерелятивистский предел - уравнение типа Паули. Еще одно обобщение заключается в том, что найдены точные решения квантово-механических уравнений во внешнем магнитном поле для скалярной и векторной частиц, несущих помимо электрического заряда дополнительную электромагнитную характеристику - поляризуемость.
   Попытка обобщить анализ системы со спином 1, с тем чтобы учесть неевклидовый геометри

9


Е. М. Овсиюк, О. В. Веко, Я. А. Войнова, В. В. Кисель, В. М. Редьков

ческий фон, оказалась успешной лишь частично. Например, удается решить возникающие уравнения полностью только для двумерных геометрических моделей, а для трехмерных случаев решены только уравнения, описывающие движение в направлениях, перпендикулярных к магнитному полю.
   В плоском пространстве решены релятивистское уравнение для векторной частицы с аномальным магнитным моментом, в присутствии внешних однородных магнитного или электрического полей, уравнение для векторной частицы с квадрупольным моментом в однородном магнитном поле.
   Во внешних электрическом и магнитном полях исследовано квантово-механическое поведение частицы Кокса - скалярной частицы с внутренней структурой объемного распределения электрического заряда; рассматриваются случаи всех трех геометрий пространства: Евклида, Лобачевского, Римана.
   Наконец естественным было обратиться к исследованию классических механических уравнений движения частиц во внешнем магнитном поле в пространствах Лобачевского и Римана. Эта классическая задача оказывается намного более сложной, чем ее прототип в плоском пространстве. Уравнения движения решены точно. Выполнена классификация возможных типов траекторий частиц в магнитном поле в обоих пространствах на основе использования преобразований геометрических симметрий пространств постоянной кривизны: группы SO(3,1) в пространстве Hз и группы SO (4) в пространстве S₃. Показано, что введенные магнитные поля в пространствах постоянной кривизны действительно являются в определенном смысле однородными: поперечные полю сдвиги в пространстве не меняют магнитного поля, генерируя лишь специального вида калибровочные преобразования.
   Для удобства читателей укажем на некоторые проверенные временем руководства, к которым можно обращаться за дальнейшими сведениями по теории относительности и теории частиц на фоне присутствия гравитационных сил.
   Это работы В. Паули [4], А. С. Эддингтона [5], Г. Вейля [6], Р. Толмена [7], В. А. Фока [8], Э. Шредингера [9], Э. Шмутцера [10], Н. В. Мицкевича [11], С. Вайнберга [12], Р. Пенроуза [13], Г. Тредера [14], Ч. Мизнера, К. Торна, Дж. Уилера [15], С. Хокинга и Дж. Эллиса [16], Н. Биррелла и П. Дэвиса [17], Р. Пенроуза и В. Риндлера [18], Д. В. Гальцова [19], С. Чандрасекара [20], Б. С. Девитта [21], А. К. Горбацевича [22]. Мы старались придерживаться обозначений, используемых в книгах курса теоретической физики Л. Д. Ландау [23-25]. Для понимания некоторых деталей изложения можно порекомендовать обращаться за математическими справками к курсу Г. М. Фихтенгольца [27-29] и книгам Г. Бейтмена и А. Эрдейи [30, 31], а также к работам [32-34]. Изложение материала существенно базируется на содержании книг [35-38].
   Авторы выражают благодарность сотрудникам Института физики имени Б. И. Степанова Национальной академии наук Беларуси Л. М. Томильчику, Ю. А. Курочкину, Е. А. Толкачеву, Л. М. Левчуку, Ю. И. Выблому, В. В. Кудряшову, С. Ю. Саковичу; сотрудникам Белорусского государственного университета Г. Г. Крылову, Г. В. Грушевской и сотрудникам Мозырского государственного педагогического университета имени И. И. Шамякина И. И. Кралевич, И. И. Ковальчук, В. С. Савенко, В. В. Шепелевичу за поддержку и полезные советы в процессе подготовки рукописи к изданию, а также Белорусскому республиканскому фонду фундаментальных исследований за финансовую поддержку работ, на результатах которых основывается данная книга.


�лава 1





                Уравнение Дирака в римановом пространстве





            1.1. Тетрадный метод Тетроде-Вейля-Фока-Иваненко



       Исходное уравнение Дирака в плоском пространстве


(iYa dₐ — m) Ф(x) = 0


(1-1)

при наличии внешнего гравитационного поля записывается в обобщенном виде так (библиографию работ см. в [35]):


[ iYa(x)(да + га(x)) — m ] Ф(x) = 0 ,


(1-2)

где уа(x) = уa eaₐ)(x), eaₐ)(x) - тетрада, Га(x) = ¹ пab e₍eₐ) Va (e(b₎ₚ) - спинорная связность, Vₐ - символ общековариантной производной. В спинорном базисе [25]

4( x) =

y x) n( x)

Л'

П1
П2

, £(x) =

, n(x) =

, Y¹¹

0   бa
пa   0

где пa = (I, +пk), пa = (I, — пk) - матрицы Паули, уравнение (1.1) принимает вид двух уравнений:

       i па( x)[ д а + Sₐ( x)] £( x ) = m n( x) , io a( x)[ д a + S a( x)] n( x )= m £( x). (1.3)

В (1.3) использованы обозначения:


па⁽x) =пa eaa)⁽x), °a⁽x) = °a eaa)⁽x),


^a⁽ x) = 2^                  e (a) V a⁽ e (b )p) ,            ^a⁽ x) = ^ ^ e (\)) V a⁽ e (b )p) ,


s

ab

- ( oa пb — ob пa) , sab  = - ( пa ob — пb oa),
                          4                          4


Е. М. Овсиюк, О. В. Веко, Я. А. Войнова, В. В. Кисель, В. М. Редьков

                         где Sₐ(x) и Sₐ(x) - известные связности Инфельда-ван дер Вердена. Полагая m = 0, из (1.3) получаем уравнения Вейля для двухкомпонентных волновых функций нейтрино ц(x) и антинейтрино к⁽ x ).
   Обратимся к исследованию свойств симметрии уравнений (1.3). Для этого совершим над волновой функцией Ф(x) = (к(x), n(x)) локальное (зависящее от координат xa) спинорное преобразование:
                   к0(x) = B(k(x)) к(x), ц0(x) = B+(k(x)) n(x).                   (1.4)

Здесь B(k) - матрица из линейной группы SL(2, C) - спинорной накрывающей группы Лоренца. Будем использовать параметризацию группы с помощью 4-мерного комплексного вектора с дополнительным условием:
B (k) = oa kₐ, det B = k0 — kj = +1,
                   B⁺(k) = B(k*),   B- 1(k) = B(k), k = (kо, —kj).
После подстановки в уравнения (1.3) функций к0(x) иц0(x) получаем
iB(k)oaB(k) [да + B(k) SaB(к) + B(k)дₐB(к)] к0(x) = mn0(x),
iB (k )П a B (k*) [ д a + B (к * )k a B (k) * + B (к *) д ₐ B (k*)] n 0 (x) = m к 0 (x).

Если теперь воспользоваться соотношениями
           B(к*(x))oaB(к(x)) = оbLba(x), B(k(x))ka B(k*(x)) = кbL^(x),            (1.5)
где Lba (x) - 4-мерная матрица Лоренца, определяемая равенствами
Lba (x) = ₂S p [к ь B (к) na B (к) ] =

= 2 SP [ bb B(k(x))кa B(k*(x))] = Lba(k(x), k*(x)),            (1.6)
то приходим к уравнениям
i o'a(x) [ дa + S0a(x) + Aa(x)] к0(x) = m n0(x) , io'a(x)[дa + s0ₐ(x) + Aa(x) n0(x) = m к0(x).                   (1.7)
Здесь штрихованные матрицы (o'a, к'a, S0ₐ, S0ₐ) построены по тем же самым правилам, что и матрицы ( oa, na, Sₐ, Sₐ), но с использованием штрихованной тетрады e(a)(x), связанной с исходной локальным преобразованием Лоренца:
e(a)(x) = Lba(k(x),k*(x)) eaa)(x).
Учитывая известные формулы для следов от произведений матриц Паули

Sp ⁽ О k Oi О a Ob) — ² ⁽ gklgab gkaglb ⁺ gkb gla i ^ klab ) ,


�вантовая механика частиц со спином в магнитном поле

13

Sp(n ka l a a,O b) — 2 ( gki gₐb gkaglb + gkbgla + i e klab ) ,
для матрицы L из (1.6) можно получить выражение
             Lba(k, k*) — Scc [ -5a kⁿ kn + kc ka* + k*c ka + i ecaⁿm kn k*ₘ ] ,   (1.8)
где 5C _ отличающийся от обычного символ Кронекера:

                                 {0, если c — b;
+1, если c — b — 0;
                                   — 1, если c — b — 1, 2, 3 .
   Рассмотрим свойства матрицы L детальнее. Убедимся, что она обладает свойством псевдоортогональности
I(k, k*)— gbc L(к,k*) gda .                            (1.9)
Это равенство можно переписать в виде (действует правило gbc — gbak',,}
5a ( — 5C kⁿ kn + kc kb* + k* kb + i ebnm kn k*ₘ) —
                  — gbc ( — 5dkⁿ kn + kckd* + k*kd + i ecdmⁿ kn km) gda, отсюда приходим к
(5a ecbbⁿⁱm) kn k*ₘ — (gbc e' gda)kn km.
Можно убедиться, перебрав все значения для а и b, что это верное равенство.
   Таким образом, свойство псевдоортогональности матрицы L(k, k*) установлено. Следовательно, L - это матрица преобразований Лоренца. Покажем, что L - это ортохронное преобразование, т. l L₀⁰(k, k*) > +1. Для L₀⁰ исходим из
L 00 — ( — kⁿ kn + 2 k 0 k 0*) — (k 0 k* + k₃ k*)

откуда, воспользовавшись неравенством

⁽ I Z0 | ⁺ | Z2 | ⁺ | Z2 | ⁺ | Z3 | ) > | Z0 ⁺ Z1 ⁺ Z2 ⁺ Z3 |
при Zо  — k0k0, Z। — —k । k ।, Z₂ — —k₂k₂, Zз — —k4k4 и условием единичности детерминанта
матрицы B(k), получаем
L ₀⁰ > | k ₀ k ₀ — kj kj | — +1.
На доказательстве тождества
det L(k, k*) — (k0 k0 — kj kj)² (k0 k0 — k* k*)² — +1

не будем здесь останавливаться.
   Введенные выше (см. (1.7)) величины Aₐ(x) и Z\а(x) равны
△«(x) — B(k) да в(k) — |sⁿm Ln gab da Lmm ,


Е. М. Овсиюк, О. В. Веко, Я. А. Войнова, В. В. Кисель, В. М. Редьков

1
Л а( X ) = B ( к * ) д a B ( k* ) - -Уⁿm ВП gₐb д a L% .

Покажем, что они обращаются тождественно в нуль. Для этого, воспользовавшись (1.5), преобразуем выражения для Ла(x) и Лкₐ(x) к виду
Ла(x) = -4 B(k)[ бb B(k*)дaB(к*) бb ] B(к) ,

                                1
Л a( x ) = - 4 B ( к * ) [ бb B ( к) д a B ( k ) б b ] B ( k* ) .

Учитывая формулы
B(k*) дa B(к*) = -~ {(k* дa k * - k * дa k*) + i [ к * дa k * ] } ,
B ( к) д a B (k ) = -б { (k о д ak - kO a k 0) + i [kOak ] }
и тождества бa б б a = 0, бa б б a = 0, убеждае мся, что Ла( x) и Л a( x) равны нулю.
   Таким образом, уравнения для функций £,' (x) и ц ' (x) могут быть представлены в виде
iб'a(x) (д/bxa + У'ₐ(x)) £'(x) = mц'(x),

i к'a(x) ( д i).xa + У'ₐ(x)) ц'(x) = m ^'(x),
что формально совпадает с уравнениями (1.3). Это означает, что уравнение для электрона (или двухкомпонентного нейтрино) во внешнем гравитационном поле обладает свойством калибровочной инвариантности относительно локальной группы SL(2,С). Данное свойство уравнения является свидетельством его корректности. Действительно, при заданной метрике пространства-времени g ₐp (x) тетр ада e j?ₐ) (x) фиксируется лишь с точностью до локального преобразования Лоренца Lₐb(x), и поскольку в уравнении (1.3) явно присутствует тетрада, то необходимо, чтобы два уравнения, записанные в одном пространстве по одному рецепту, но с использованием разных тетрад, переходили друг в друга в результате соответствующего пересчета.
   Корректность уравнений (1.3) относительно требований общей ковариантности обеспечивается только требованием, чтобы волновая функция ф (x) = (£,(x), ц (x)) была скаляром относительно общекоординатных преобразований: ф' (x') = ф(x).



            1.2.  О биспинорных вращениях в произвольном базисе


      Выше везде использовалось лишь спинорное представление волновой функции электрона, но это не является обязательно необходимым. Удобство спинорного представления состоит в том, что преобразования Лоренца для волновых функций электрона имеют в этом базисе особенно простой вид: £,' = B(k)£,, ц' = B(k**)ц . Чтобы найти вид этого преобразования в любом другом базисе, достаточно вычислить коэффициенты разложения матрицы S = B (k) ® B (k**) по набору матриц I, у⁵, уa, Y5Ya, aab, выбранных также в спинорном представлении, тем самым будет получена формула, инвариантная относительно выбора представления для матриц Дирака.
   Матрицу S(k, k*) в спинорном базисе


S(k, k*) =

a ka   0
0 кa ka

(1.10)


�вантовая механика частиц со спином в магнитном поле

15

разложим по базису алгебры Дирака:


S = Ф I + Ф Y⁵ + Фa Ya + Фa Y⁵ Ya + Фab оab •                              (1.11)


Равенство (1.10) запишется в виде

   оa ka    0    =Ф     I 0 + Ф   -I  0     
     0    бa ka         0 I        0     +1
+Ф a  0   б a +  Ф a  0   -бa  + Ф ab  abab
     о a   0         о a  0               0

+

0
S ab •

Приравнивая здесь правую и левую части поблочно, находим


                            0 = Ф a О a - Ф a О a , 0 = Ф a O a + Ф a O a ,


O a ka = ф - Ф + Ф ab Ob ab , О a ka = ф + Ф + Ф ab ⁶ ab •

Из двух первых уравнений следует, что Фₐ = 0 и Фₐ = 0. Умножив третье уравнение справа на ос, а четвертое - на оc и вычислив следы от получаемых матриц, находим

kc = (Ф - Ф) g⁰c + Ф⁰c - i/2 Фₐb еabc⁰ ,


                         k*c = (Ф + Ф) g⁰c + Ф⁰c + i/2 Фₐb еabc⁰ • Решив эти уравнения относительно (Ф, Ф, Фₐb), получим

ф = (k0 + k0)/2, ф = (k0 - k0)/2,


                          Ф01 =  (k J + k 1) /2 , Ф₂3 = (k J - k 1) /2i,
                          Ф02 =   (k2 +   k2)/2 , Ф31 =  (k2 - k2)/2i,
                          Ф03 =   (k3 +   k3)/2 , Ф12 =  (k3 - k3)/2i •
Учитывая эти равенства в (1.11), приходим к
        S (k, k*) = 2( k 0 + k J) - 1( k 0 - k 0)y⁵ + k 1(o⁰¹ + i о²³) + k J (о⁰¹ - i о²³) +
             +k₂(о⁰² + iо³¹) + kJ (о⁰² - iо³¹) + k₃(о⁰³ + iо¹²) + k3 (о⁰³ - iо¹²) •     (1-12)


С учетом обозначений kₐ = mₐ - inₐ предыдущую формулу можно представить так:
S(ma, na) = (m0 + n0iy⁵) + (m 10⁰¹ + m20⁰² + m3O⁰³) +
+(n ю²³ + n 20³¹ + n 30¹²) = m 0 + n 0 i y⁵ + mi о⁰ i + | е j ni ajk •
   Выбирая явный вид матриц Дирака в том или ином базисе, тем самым получим выражение для биспинорного преобразования в этом базисе. В частности, в майорановском представлении выполняются соотношения
                           (iY⁵m)* = iY⁵m , (оM)* = + оM ,                           (1.13)

при этом, очевидно, что матрица S(k, k*) из (1.12) является вещественной.


Е. М. Овсиюк, О. В. Веко, Я. А. Войнова, В. В. Кисель, В. М. Редьков



            1.3. Нерелятивистский предел в уравнении Дирака



        Наряду с большим количеством работ, исследующих поведение фермионов в римановых пространствах на базе релятивистского общековариантного уравнения Дирака, в литературе можно отметить интерес и к анализу в римановом пространстве нерелятивистского уравнения Паули. Одной из причин этого служит то, что вместе с ростом возможностей экспериментальной техники реальностью становится и гравитационный эксперимент с квантовыми объектами - не только релятивистскими, но и нерелятивистскими.
   Исходное уравнение Дирака в римановом пространстве имеет вид
{ Ya( x) [ i ~ (д а + га( x)) - - A а ] - mc } Ф( x) = 0.        (1.14)
c

Рассмотрим уравнение (1.14) в стандартном представлении матриц Дирака [25]:



I 0

Y⁰

0

    -I


0   оi          ф( x)
—ог 0 ’          5( x)

, Y *

Для Ye (x) и Гр (x) имеем выражения (далее ов (x) = оге) (x) ,i = 1,2,3)


e во)⁽ x)     ов⁽ x)
— ов⁽ x)    — e во)⁽ x)

B р( x) C р( x) C в( x) B р( x)


(1-15)

где Bр (x) и Cр(x) - матрицы, определяемые согласно


B в( x ) = 4 [ e а0)( x ) V в e (0)а( x ) — оа( x ) V рОа( x)],


C в( x ) = 1 [ e а0)( x ) V воа( x ) — оа( x ) V в e (0)а( x )].

Подставляя (1.15) в (1.14), получаем

 Q( x)  П( x)
—П( x) — Q( x)

ф( x)
A x)

= mc

ф( x)
A x) ’

(1-16)

где
             Q(x)= e'x)[ i~ (да + Bа(x)) — - aа(x)] + i~ Оа(x) Cа(x) , П( x ) = i ~ e а0)( x ) C а( x ) + оа( x )[ i ~ ( д а + B а( x )) — ^A а( x )] .
Далее, совершая подстановку (это выделение энергии покоя)

ф(x) = exp( — imt t)
s( x)           ~

                                                 Ф1( x)
                                                 Ф2( x )


из (1.16) находим уравнения

Q(x) Ф1 + П(x) Ф2 = mc (+1 — e00)) Ф1,
П(x) Ф1 + Q(x) Ф2 = mc (—1 — e00)) Ф2 .

(1-17)

(1-18)

(1-19)


Доступ онлайн
591 ₽
В корзину