Основы теории интерполирования функций матричных переменных

УДК 517.518.85:517.926.7

Янович, Л. А. Основы теории интерполирования функций матричных переменных / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко ; Нац. акад. наук Беларуси, Ин-т математики. – Минск : Беларуская навука, 2016. – 281 с. – ISBN 978-985-08-1984-0.

В монографии излагаются основы теории интерполирования функций матричных переменных: формулируются основные задачи, строятся интерполяционные формулы для функций, 
заданных на множествах квадратных, прямоугольных матриц, в том числе и на множествах 
функциональных и случайных матриц. Рассмотрена задача интерполирования функций многих 
матричных переменных, предложены некоторые варианты сплайнов. Указаны классы матричных 
многочленов, инвариантных относительно некоторых из построенных приближенных формул интерполяционного типа. Приведено большое количество примеров на построение интерполяционных формул и некоторого другого содержания.
Адресуется широкому кругу специалистов физико-математического профиля, интересующихся теорией приближенных методов и их применением к решению прикладных задач, а также 
аспирантам, магистрантам и студентам математических, физических и технических специальностей.
Табл. 6. Ил. 1. Библиогр.: 73 назв.

© Янович Л. А., Игнатенко М. В., 2016
© Оформление. РУП «Издательский дом 
 
«Беларуская навука», 2016

Рекомендовано Ученым советом
ГНУ «Институт математики Национальной академии наук Беларуси»
(протокол от 12 ноября 2015 г. № 7)

ISBN 978-985-08-1984-0

Р е ц е н з е н т ы:

доктор физико-математических наук, профессор П. П. Забрейко,
доктор физико-математических наук, профессор А. А. Пекарский

ПРЕДИСЛОВИЕ

Интерполирование функций служит основой создания приближенных  
и чис ленных методов решения многих классов задач. В частности, оно широко используется для приближенного представления и вычисления функций, 
численного интегрирования и дифференцирования, построения приближенных методов решения различных классов линейных и нелинейных уравнений  
и т. д. В этом состоит его важное общематематическое и прикладное значение.
Расширение теории интерполирования на другие математические понятия представляется естественным и необходимым, в том числе это относится 
и к задаче интерполирования функций от матриц. Более общей из таких задач 
является задача интерполирования операторов. Основы теории операторного 
интерполирования изложены в монографиях [30] и [66], в которых построены 
интерполяционные операторные многочлены разной структуры в абстрактных 
линейных, гильбертовых, функциональных пространствах и рассмотрены некоторые их свойства.
Интерполирование функций матричных переменных вызывает значительный интерес как в теоретическом плане, состоящем в построении более полной теории интерполяции, так и в прикладном, включающем в себя обобщение  
и расширение основных применений интерполяции функций скалярного аргумента на аналогичные задачи матричного уровня.
Монография имеет практическую направленность, может служить введением в тео рию интерполяционных методов аппроксимации функций матричных 
переменных. Задача интерполирования функций от матриц в идейном плане 
близка к задаче интерполирования функций скалярного аргумента, но является,  
естественно, более сложной и включает классическую теорию интерполирования функций.
Основные вопросы, которые возникают при исследовании интерполирования функций матричных переменных, – разрешимость задачи интерполирования, построение интерполяционных формул, изучение погрешностей этих 
формул, применение интерполирования для построения приближенных и численных методов решения задач математики и ее приложений.
Настоящее издание представляет собой расширенный вариант курса лекций, который читался на механико-математическом факультете Белорусского 
государственного университета.
Основное внимание уделяется построению интерполяционных формул, 
также излагаются необходимые предварительные сведения. Для чтения кни

ги вполне достаточно знания общих положений матричного анализа и теории 
интерполирования функций. Для более полной информации об исследуемой 
проблеме приводится достаточно большое количество примеров и рассматриваются некоторые отдельные вопросы, не относящиеся к задаче интерполяции.
Изложение материала подробное и доступное широкому кругу читателей, 
знакомых с основами матричного анализа и теории интерполирования. Первая 
глава непосредственно не связана с проблемой интерполяции и содержит некоторые дополнительные сведения, необходимые в дальнейшем. Все остальные 
главы посвящены построению и исследованию интерполяционных формул для 
разных классов функций матричных переменных и узлов интерполирования. 
В монографии рассмотрены основные задачи интерполяции функций матричных переменных в различных ее постановках как с обычно принятым правилом умножения матриц, так и с йордановым, кронекеровским (тензорным) 
умножением, умножением матриц по Адамару и Фробениусу. Эти правила умножения возникают в задачах самой математики и в ряде ее прикладных областей. Использование других правил умножения в задачах интерполирования 
функций от матриц является естественным и эффективным. Наряду с традиционными разделами теории интерполяции функций от матриц рассмотрены 
отдельные классы обобщенных задач интерполяционного типа.
Описаны свойства псевдообратных матриц и матричного интеграла Стилтьеса, а также и их применение в задачах интерполяции функций от матриц. В классе аналитических функций для интерполяционных многочленов и их остаточных 
членов получены представления в виде контурных интегралов. Построены интерполяционные формулы на множестве квадратных и прямоугольных матриц. 
На множестве функциональных матриц получены формулы интерполирования в пространстве непрерывных и гладких матриц, также построены некоторые варианты сплайнов для функций матричной переменной. Рассмотрена 
задача интерполирования функций многих матричных переменных. Отдельно 
исследован случай интерполирования функций от двух переменных. Рассмотрено также интерполирование функций и от случайных матриц. Отдельные вопросы этой проблемы изложены в книгах по матричному анализу, в том числе  
и в приведенных в списке цитированной литературы, а также в некоторых других научных публикациях.
Монография предназначена для специалистов, интересующихся теорией 
приближенных методов и их применением для численного решения прикладных 
задач матричного анализа, теории аппроксимаций и других областей, а также 
для студентов, магистрантов и аспирантов физико-математических специальностей.
Авторы выражают благодарность рецензентам – доктору физико-математических наук, профессору П. П. Забрейко и доктору физико-математических 
наук, профессору А. А. Пекарскому за внимательное прочтение рукописи и сделанные полезные замечания, а также своим коллегам за помощь, оказанную при 
написании книги.

Глава 1 

ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ

Пусть Х – множество квадратных или прямоугольных матриц фиксированной размерности. Элементы множества Х будем обозначать заглавными буквами А, Аk, B, Bk и т. д.
Оператор F : X → Y, где Y – некоторое заданное множество, будем называть 
функцией от матриц. В частности, Y может совпадать с X, быть некоторым 
множеством матриц, числовым множеством, функциональным пространством 
и др. 

1.1. Аналитические функции матричного аргумента

Пусть F (z) – целая функция, т. е. 
( )
0

k

k

k
F z
a z
∞

=

= ∑
, где коэффициенты 
k
a ∈, 

и ряд сходится для любых z∈ . Тогда функция F (z) от квадратной матрицы 

A задается формулой 
( )
0

k
k
k
F A
a A
∞

=
= ∑
, 
0
A
I
=  – единичная матрица. Функция 

такого вида называется аналитической функцией матричной переменной с числовыми коэффициентами. Эти функции широко распространены в матричном 
анализе и его приложениях. Простейшими примерами функций такого вида являются функции

0

1
!

A
k

k
e
A
k

∞

=
= ∑
, 
(
) (
)

2
1

0
sin
1
2
1 !

k
k

k

A
A
k

+
∞

=
=
−
+
∑
, 
(
) (
)

2

0
cos
1
2
!

k
k

k

A
A
k

∞

=

=
−
∑
.

Большой класс таких функций составляют специальные функции. К ним относится, в частности, функция Миттаг – Леффлера 
( )
,
E
A
α β
, которая задается  

формулой 
( )
,
0
(
)

k

k

A
E
A
k

∞

α β
=
=
Γ α + β
∑
( ,
, Re
0),
α β∈
α >

 где 
1

0

( )
z
s
z
s
e
ds

∞

−
−
Γ
= ∫
 – 

гамма функция. При 
1
α = β =  функция 
1,1
0
( )
.
(
1)

k
z

k

z
E
z
e
k

∞

=
=
=
Γ
+
∑
.

Рассматривается и более общий вид аналитических функций матричного 
аргумента. Аналитической функцией матричной переменной называют так
же функцию вида 
( )
( )
0
k
k
F A
p
A
∞

=
= ∑
, где 
( )
0
1 ...
k
k
k
kk
p
A
C
AC
A AC
=
 – матрич
ный многочлен алгебраического типа степени k относительно A с заданными  

мат­рицами
k
C ν (ν = 0,1,..., k), и все матрицы
( )
k
p
A (k = 0,1,2,...) – одинаковойразмерности. Очевидно, что
( )
k
p
A – k-однородная форма матричной переменной A:
(
)
( )
k
k
k
p
A
p
A
λ
= λ
, где λ∈ . Здесь A может быть также и прямоугольной ма­т­рицей.
Примерами аналитических функций с матричными коэффициентами являются функции

( )
0

k
k
k
F A
B A
∞

=
= ∑
,
( )
0

k
k
k
F A
A B
∞

=
= ∑
,
( )
0

k
k
k
k
F A
B A C
∞

=
= ∑
,

где A
X
∈
, X – множество квадратных матриц;
k
B ,
k
C
– заданные матрицы,

которые могут быть и прямоугольными.
Приведем несколько примеров вычисления функций для некоторых классов

или отдельных матриц.

Пример 1.1. Рассмотрим множество квадратных матриц A, обладающих свойством
2
A
A
=
. Такие матрицы называются идемпотентными.

Тогда для любой целой функции
( )
0

k
k
k
F z
a z
∞

=
= ∑
справедливо равенство

( )
( )(
)
( )
0
1
F A
F
I
A
F
A
=
−
+
. Действительно, в этом случае
k
A
A
=
для целых

степеней
1
k ≥ . Отсюда следует, что

( )
( )(
)
( )
0
0
1
1
0
1
.
k
k
k
k
k
F A
a I
a A
a I
A
a
F
I
A
F
A
∞
∞

=
=
=
+
=
+
=
−
+
∑
∑

В частности,
A
e
I
A
eA
=
−
+
, cos A =
cos1
I
A
A
−
+
, а
(
)
cos
cos1
A
e
e I
A
e
=
−
+
A.

Указанным свойством обладают, например, матрицы

1
1
0
0
A


= 



,

1
1
0
0
0
0
0
1
1
A




= 






.

Пример 1.2. Если матрица A является нильпотентной индекса n, т. е.
1
0
n
A − ≠
, а
0
n
A =
для некоторого целого положительного n, тогда очевидно,

что
( )
F A =
( ) ( )
1

0

0
!

k
n
k

k

A F
k

−

=∑
. Например, индекс нильпотентности матрицы

0
0
0
0
2
1
1
0

3
1
1
0

1
1
2
0

A







= 

−
−
−



−



равен четырем и, следовательно,
2
3
1
1
2
6

A
e
I
A
A
A
=
+
+
+
.

В качестве следующих двух примеров рассмотрим вычисление аналитических функций для матриц Паули и Дирака.

Пример 1.3. Матрицы Паули (спиновые матрицы) имеют вид 

 
1
2
3
0
1
0
1
0
,
,
1
0
0
0
1

i

i
−






σ =
σ =
σ =






−







,

где i – мнимая единица. Числа 1 и –1 являются их собственными значения
ми. Эти матрицы вместе с единичной матрицей 
0

1
0
0
1


σ = 



 образуют базис  

в пространстве 2×2-матриц, и для них выполняются следующие соотношения:  

2
I
ν
σ
=
 и поэтому 
2k
I
ν
σ
= , а 
2
1
k+
ν
ν
σ
= σ (
)
0,1,2,3;
0,1,2,...
k
ν =
=
. 

Так как ( )
( )
(
)
( )
(
)
1
1
2
2
F z
F z
F
z
F z
F
z
=

+
−
 +

−
−




, то с учетом предыду
щих соотношений для матриц 
ν
σ  получим, что 

 
(
)
( )
(
)
( )
(
)
0
1
1
1
1
1
1
2
2
F
F
F
F
F
ν
ν
σ
=

+
−
σ +

−
−
σ





или 

 
(
)
( )(
)
(
)(
)
0
0
1
1
1
1
2
2
F
F
F
ν
ν
ν
σ
=
σ + σ
+
−
σ − σ
(
)
0,1,2,3
ν =
.

Пример 1.4. Матрицы Дирака – квадратные матрицы 4-го порядка, которые 
обычно задаются в виде

 
(
)
0
0
0

0
0
1, 2, 3 ,
0
0

ν
ν
ν

σ
σ




α
=
ν =
α =




σ
σ




, 

где матричными элементами 
(
)
1,2,3
ν
σ
ν =
 являются матрицы Паули, а 
0
σ , как  
и ранее, – единичная, 0 – нулевая квадратная матрица второго порядка. 
Матрицы 
(
)
0
0
0

0
0
1, 2, 3 ,
0
0

ν
ν
ν

σ
σ




α
=
ν =
α =




σ
σ





 – эрмитовы и удовлетворяют соотношениям 

 
2
k
k
k I
ν
ν
ν
α α + α α
= δ
, (
)
,
0,1,2,3
k ν =
,

где kν
δ
 – символ Кронекера, I – единичная матрица. Из предыдущего соотноше- 
ния следуют равенства 
2
I
ν
α
= , и соответственно получаем, что 
2
2
1
,
k
k
I
+
ν
ν
α
=
α
=

ν
= α  для v = 0, 1, 2, 3. Отсюда, как и в случае матриц Паули, получаем такого же 
вида равенства

 
(
)
( )
(
)
( )
(
)
0
1
1
1
1
1
1
2
2
F
F
F
F
F
ν
ν
α
=

+
−
α +

−
−
α





или в другой записи

 
(
)
( )(
)
(
)(
)
0
0
1
1
1
1
2
2
F
F
F
ν
ν
ν
α
=
α + α
+
−
α − α
(
)
0,1, 2, 3
ν =
.

Пример 1.5. Если A – диагональная матрица с элементами 11,
a
22,
a
..., 
,
mm
a
 
т. е. 
11
22
diag(
,
,...,
)
mm
A
a
a
a
=
, то 
11
22
diag(
,
,...,
)
k
k
k
k
mm
A
a
a
a
=
. Отсюда, учитывая, 

что 

0
( )
k
k
k
F z
a z
∞

=
= ∑
, имеем 
(
)
11
22
0
( )
diag
(
),
(
),...,
(
)
k
k
mm
k
F A
a A
F a
F a
F a
∞

=
=
=
∑
.

Если F(z) – целая функция, то ее значение F(A) определено для любых квадратных матриц A. Будем рассматривать также функции F(z), аналитические 
в ограниченных областях D комплексной плоскости, заданные на множествах 
матриц, спектр которых принадлежит их области аналитичности D.
Простейшими примерами других видов функций от матриц являются приведенные ниже функции. 
1. ( )
(
)
det
F A
f
A
=
, где A
X
∈
. Здесь и в следующем примере X – множество 
квадратных матриц, а f (z) – некоторая заданная на R или C числовая функция. 
2. ( )
(
)
trace
F A
f
A
=
, где 

1
trace
n

ii
i
A
a
=
= ∑
, 
ij
A
a
= 


.

3. ( )
F A
A
=
, где ⋅  – одна из матричных норм. 

4. ( )
(
)
rank
F A
f
A
=
. Множество Y есть значение функции f (z) целочисленного положительного аргумента. 
5. ( )
( )
F A
S A
=
, где ( )
S A  – спектр матрицы A.
6. ( )
( )
F A
U A
=
, где ( )
U A  – собственные векторы матрицы A.
Функции в примерах 5 и 6 относятся к классу многозначных функций матричной переменной: в первом случае F (A) принимает числовые значения, во 
втором – векторнозначные.

1.2. Основные классы матричных многочленов

Матричные многочлены – один из простейших классов аналитических 
функций от матриц. Приведем их основные виды. 

1.2.1. Алгебраические матричные многочлены. Случай квадратных матриц

Сначала рассмотрим полиномиальные матричные многочлены, когда X – 
множество квадратных матриц.
1. Матричные многочлены степени n с числовыми коэффициентами имеют 
вид 

 
( )
0
1
...
n
n
n
P
A
a I
a A
a A
=
+
+
+
,

где A
X
∈
, ia ∈ или ia ∈ (
0,1,...,
i
n
=
), 
0
n
a ≠ .
2. Полиномы с матричными коэффициентами имеют более разнообразную 
структуру. Например, многочлены n-й степени простейшего вида задаются следующим образом: 

 
( )
0
1
...
n
n
n
P
A
B
B A
B A
=
+
+
+
, 

 
 
( )
0
1
...
n
n
n
Q
A
D
AD
A D
=
+
+
+
, 
( )
( )
( )
n
n
n
G
A
P
A
Q
A
=
+
,

где 
k
B  и 
k
D  (
0
n
B ≠ , 
0
n
D ≠ ) – заданные матрицы, A
X
∈
. Коэффициенты 
k
B  
и 
k
D  могут быть квадратными матрицами той же размерности, что и матрица 
А, или другой размерности, такой, чтобы можно было бы осуществить соответ

ствующие операции сложения и умножения. Если 
n
B  и 
n
D  – невырожденные 
матрицы, то матричные многочлены n-й степени 
( )
n
P
A  и 
( )
n
Q
A  называются 
регулярными.
В более общем случае рассматриваются матричные многочлены, в которых 
слагаемые 
k
k
B A  или 
k
k
A D  заменяются однородными порядка k матричными 
многочленами 
( )
k
p
A  вида 

( )
0
00
p
A
C
=
, 
( )
0
1
2...
k
k
k
k
kk
p
A
C
AC
AC
AC
=
,
(1.1)

или суммой таких матриц, где 
00
C  и Cki (
0,1,...,
i
k
=
; 
1,2,...,
k
n
=
) – некоторые 
заданные матрицы той же размерности, что и матрица А. Многочлен первой 
степени в общем случае записывается в виде

( )
1
0
0
k
k
k
P
A
B
B AD
∞

=
=
+ ∑
,

где 
0
B , 
k
B  и 
k
D  – заданные матрицы.
3. Рассмотрим матричные многочлены скалярного аргумента вида 

( )
0
1
...
n
n
n
P
t
B
t B
t B
=
+
+
+
,

где 
k
B  – заданные матричные коэффициенты, а t – независимая числовая переменная (
0,1,...
n =
). Если 
0
n
B ≠ , то число n называется степенью многочлена 

( )
n
P
t . Матрицы 
( )
n
P
t  такого вида называют еще многочленными матрицами, 
т. е. это матрицы, элементы которых являются алгебраическими многочленами 
переменной t. Рассмотренные выше матричные многочлены 
( )
n
P
t  относятся  
к классу алгебраических матричных многочленов скалярного аргумента.
Возникает необходимость в рассмотрении матричных многочленов скалярного аргумента тригонометрического типа 

( )
(
)
0
1
cos
sin
,
n

n
k
k
k
T
t
A
A
kt
B
kt
=
=
+
+
∑

где 
0,
A
k
A  и 
k
B (
)
1,2,...,
k
n
=
 – некоторые заданные матрицы, а также и много
членов 

0
( )
( )
n

n
k
k
k
P t
A
t
=
=
ϕ
∑
 с матричными коэффициентами 
k
A  относитель
но некоторых других линейнонезависимых на T ⊂  систем функций 
( )
k t
ϕ

(
)
0,1,...,
k
n
=
.

1.2.2. Другие виды матричных многочленов

Кроме многочленов матричного аргумента алгебраического типа рассматриваются и другие классы матричных многочленов. Одним из видов таких многочленов являются, например, тригонометрические матричные многочлены 

( )
(
)
0
1
cos
sin
n

n
k
k
k
k
k
T
A
A
A
kA B
C
kA D
=
=
+
+
∑
,
(1.2)

где независимая переменная A – квадратная матрица, а Ak, 
k
B , 
k
C  и 
k
D  
(
1,2,...,
k
n
=
) – заданные матрицы, размерности которых согласованы с операциями сложения и умножения матриц.
Учитывая соотношения между степенями тригонометрических функций от 
матриц и тригонометрических функций кратных матричных аргументов

 

0
cos
cos
k
kA
a
A
ν
ν
ν=
= ∑
, 

1

0
sin
sin
cos
k
kA
A
b
A
−
ν
ν
ν=
=
∑
   (
1,2,...
k =
),

где aν и bν – соответствующие числа (некоторые из них в зависимости от четности k равны нулю), многочлен (1.2) можно представить в следующем виде: 

 
( )
(
)
1
0
1
cos
sin
cos
n
k
k
n
k
k
k
k
k
T
A
A
A
A B
C
A
A D
−

=
=
+
+
∑
. 
(1.3)

Такое представление позволяет перейти к рассмотрению более общих, чем 
(1.2) или (1.3), классов тригонометрических матричных многочленов. Введем 
обозначения

 
( )
,0
,1
,2
,
1
,
cos
cos
...
cos
k
k
k
k
k k
k k
p
A
A
A A
A A
A
A A
−
=
, 

 
( )
,0
,1
,2
,
1
,
sin
cos
...
cos
k
k
k
k
k k
k k
q
A
B
A B
A B
B
A B
−
=
,

где 
,k k
A
 и 
,k k
B
 (k = 1,2,...,n) – заданные матрицы. Тогда выражение 

 
( )
( )
( )
0
1

n

n
k
k
k
T
A
A
p
A
q
A
=
=
+

+



∑

будет тригонометрическим матричным многочленом относительно cos A и sin A 
степени не выше n более общего вида, чем приведенные ранее.
Еще в более общей постановке матричные многочлены определяются следующим образом. Пусть 
( )
k A
ϕ
 (
0,1,...,
k
n
=
) – некоторые заданные на X матричнозначные функции. Линейную комбинацию 

 
( )
( )
0

n

n
k
k
k
k
P
A
A
A B
=
=
ϕ
∑
,

где коэффициенты 
k
A  и 
k
B  – фиксированные числа или матрицы соответствующих размерностей, называют обобщенным матричным многочленом n-порядка 
относительно данной системы функций 
( )
{
}
0

n
k
k
A
=
ϕ
. 

1.2.3. Случай прямоугольных матриц

Пусть X – множество прямоугольных матриц размерности p × q. Такие матрицы называют также p × q-матрицами. Как обычно, первый индекс p для данной матрицы A
X
∈
 означает число строк, а второй q – число столбцов. Пусть, 
далее, Y является множеством прямоугольных p
q
′
′
×
-матриц.
Многочленом алгебраического типа степени n для случая прямоугольных 
матриц, отображающим X в Y, называется выражение