Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы

               НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ Институт физики им. Б. И. Степанова



         В. А. Плетюхов
         В. М. Редьков
         В. И. Стражев

         РЕЛЯТИВИСТСКИЕ
         ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
         И ВНУТРЕННИЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ














                       Минск
                       «Бепаруская навука» 2015

УДК 539.12:530.145.6

    Плетюхов, В. А. Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы / В. А. Плетюхов, В. М. Редьков, В. И. Стражев. - Минск : Беларуская навука, 2015. - 326 с. - ISBN 978-985-08-1886-7.
    В книге изложены основные положения теории релятивистских волновых уравнений с расширенным (включая кратные) набором неприводимых представлений группы Лоренца. На основе развитого подхода рассматривается возможность описания внутренних степеней свободы, а также структуры элементарных частиц. Исследованы способы совместного описания частиц с ненулевой и нулевой массой в рамках не распадающихся по группе Лоренца уравнений. Приведена схема вторичного квантования РВУ с внутренними степенями свободы, соответствующими некомпактным группам симметрии. Существенное внимание уделено уравнениям дираковского типа, в первую очередь уравнению Дирака-Кэлера, причем не только в континууме, но и в решеточном пространстве. В книгу включены необходимые сведения из теории РВУ в подходе Гельфанда - Яглома и ковариантные методы Ф. И. Федорова.
    Предназначена для научных работников и аспирантов, занимающихся вопросами физики элементарных частиц, классической и квантовой теории поля. Может быть использована в качестве учебного пособия.
    Табл. 2. Библиогр.: 175 назв.




Р е ц е н з е н т ы:
доктор физико-математических наук М. И. Левчук, доктор физико-математических наук, профессор И. Д. Феранчук




















ISBN 978-985-08-1886-7

                    © Плетюхов В. А., Редьков В. М., Стражев В. И., 2015
                                               © Оформление. РУП «Издательский дом «Беларуская навука», 2015

Оглавление




Предисловие ............................................... 7

1.  Релятивистские волновые уравнения с минимальным набором представлений группы Лоренца ........................ 9
   1.1. Основные положения теории РВУ ..................... 9
   1.2. Релятивистские волновые уравнения для частиц с низшими спинами ............................................... 17
   1.3. К теории частиц со спином 3/2..................... 23
   1.4. Релятивистское волновое уравнение для частицы со спином 2 ................................................ 28
   1.5. Частицы с переменным спином и составная структура адронов ................................................ 34

2.  Релятивистские волновые уравнения с кратными представлениями группы Лоренца ................................... 43
   2.1. Анализ условий распадения РВУ с кратными представлениями ................................................ 43
   2.2. РВУ с кратными представлениями для частиц со спинами 0 и 1 ................................................ 54
   2.3. О физической неэквивалентности различных РВУ для частиц со спинами 0 и 1      ......................... 61
   2.4. Волновые уравнения для спина 1/2 ................. 70
   2.5. РВУ с кратными представлениями для частицы со спином 3/2 .................................................. 77
   2.6. РВУ с кратными представлениями для S = 2 ......... 82

3

В.А. Плетюхов, В.М. Редьков, В.И. Стражев

3.  Кратные представления и внутренние степени свободы частиц................................................... 91
   3.1. Диракоподобные уравнения, поля с переменным спином ................................................. 91
   3.2. Уравнение Дирака - Кэлера как РВУ с кратными представлениями ............................................... 97
   3.3. Об описании дираковских частиц с внутренними степенями свободы посредством тензорных полей ............. 104
   3.4. Вещественное поле Дирака - Кэлера и дираковские частицы ............................................... 111
   3.5. Обобщения уравнения Дирака - Кэлера ............ 117
   3.6. Тензорная формулировка полевых систем с набором спиновых состояний 1, 2 и 0, 1, 2 ..................... 127
   3.7. Об алгебраических обобщениях уравнения Дирака -Кэлера ............................................. 137
   3.8. Внутренние степени свободы в теории частиц со спином 3/2 ................................................ 140

4.  Безмассовые калибровочно-инвариантные массивные поля в теории обобщенных РВУ................................. 149
   4.1. О совместном описании безмассовых полей с различными спиральностями ..................................... 149
   4.2. Безмассовые поля в теории Дирака - Кэлера ...... 172
   4.3. Массивные калибровочно-инвариантные поля в теории РВУ................................................. 184
   4.4. Совместное описание массивных и безмассовых полей. Выводы ............................................. 189
   4.5. Механизм Кальба - Рамонда и теория РВУ ......... 193

5.  О связи спина и статистики в теории РВУ с внутренними степенями свободы ...................................... 201
   5.1. К вопросу о вторичном квантовании РВУ с использованием индефинитной метрики ............................... 201

Релятивистские волновые уравнения ...

5

   5.2. Вторичное квантование РВУ с внутренними степенями свободы .............................................. 205
   5.3. Вероятностная интерпретация теории................ 215
   5.4. Квантование SU(1, 1)-инвариантных дираковского и скалярного полей ........................................ 221
   5.5. Квантование SU(2, 2)-инвариантного дираковского поля и поля Дирака - Кэлера.................................229
   5.6. Квантовая формулировка алгебраических обобщений уравнения Дирака - Кэлера ............................ 235

6.  Геометрические фермионы на решетке ................... 241
   6.1. Решеточное описание набора антисимметричных тензорных полей ............................................ 241
   6.2. Симметрийные свойства дирак-кэлеровского решеточного лагранжиана .......................................... 246
   6.3. Редукция решеточного лагранжиана и интерпретация внутренних степеней свободы ............................. 250
   6.4. О решеточной форме 16-компонентной теории Дирака . . 254
   6.5. Матричная форма тензорных обобщений уравнения Дирака - Кэлера в решеточном пространстве ................ 256
   6.6. Геометризованное введение массы и калибровочного взаимодействия в решеточной модели ...................... 264

7.  Подход Гельфанда - Яглома в теории РВУ.................271
   7.1. Уравнения, инвариантные относительно собственной группы Лоренца ....................................... 271
   7.2. Уравнения, инвариантные относительно полной группы Лоренца .............................................. 278
   7.3. Лагранжева формулировка .......................... 284
   7.4. Масса и спин частицы, РВУ и структура матрицы Г₄ . . . 291
   7.5. Два типа уравнений для полей с нулевой массой..... 294
   7.6. 2-компонентное уравнение для поля с нулевой массой, анализ в подходе Гельфанда - Яглома .................. 297

В.А. Плетюхов, В.М. Редьков, В.И. Стражев

8.  Метод проективных операторов Ф. И. Федорова........ 301
   8.1. Усеченные минимальные полиномы................. 301
   8.2. Проективные операторы ......................... 302
   8.3. Дефинитность энергии и заряда ................. 307
8.4. Расчет вероятности перехода частицы из одного состояния в другое .......................................... 310

Литература ............................................ 311

                Предисловие





    Уравнение Ньютона, уравнения Максвелла, уравнение Эйнштейна, уравнение Шредингера, уравнение Дирака, уравнения Янга-Миллса.
   Каждое из вышеперечисленных уравнений являлось по-своему эпохальным событием в физике. Уравнение Ньютона положило начало теоретической физике. С уравнениями Максвелла связано введение принципиально нового физического понятия поля, объединение электрических и магнитных явлений, предсказание существования электромагнитных волн. Уравнение Эйнштейна соединило воедино свойства материи и пространства-времени, создало основу для описания Вселенной как единого физического объекта. Уравнение Шредингера привело к пониманию вероятностного характера физических явлений. Уравнение Дирака, вершина квантово-механического описания физических процессов, создало основу для квантовой теории поля, предсказало существование нового вида материи (античастиц). Уравнения Янга-Миллса лежат в фундаменте единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий, теории калибровочных полей. Вывод об огромной значимости этих уравнений в отыскании и объяснении физических законов природы очевиден. Кроме уравнений Ньютона и Шредингера, все они являются примерами релятивистских волновых уравнений. Уравнение Дирака послужило одновременно и примером для построения теории релятивистских волновых уравнений в матричной форме (РВУ), основой которой является взаимосвязь уравнения с соответствующими представлениями группы Лоренца.
   Теория релятивистских волновых уравнений первого порядка, записанных в матричной форме, предполагает в своей исходной формулировке возможность описания только одной, спиновой, внутренней степени свободы элементарных частиц. Математическим отражением этого обстоятельства является использование минимального набора неприводимых

7

В.А. Плетюхов, В.М. Редьков, В.И. Стражев

представлений группы Лоренца, который необходим для описания частицы с заданным значением спина (уравнение Дирака для спина 1/2, уравнения Даффина-Кеммера для спинов 0 и 1, уравнение Фирца-Паули для спина 3/2). Однако в 1955-1957 гг. Петрашем и Улеглой было построено уравнение для частицы со спином 1/2 и аномальным магнитным моментом, которое возникает за счет привлечения дополнительных по отношению к биспинору неприводимых компонент в пространстве представлений волновой функции частицы. Еще ранее, в 1928 году, английским физиком Дарвином было предложено уравнение (впоследствии получившее название уравнения Дирака-Кэлера), которое содержит двукратные скалярную и векторную компоненты. Данное уравнение допускает трактовку как РВУ для спина 1/2 и дополнительной внутренней степенью свободы. Уравнения Дирака-Кэлера и Петраша-Улеглы можно считать первыми РВУ, которые выходят за рамки стандартных положений теории поля. Они продемонстрировали, что в подходе теории РВУ при отказе от условия минимальности используемого набора представлений группы Лоренца можно описывать внутреннюю структуру частиц, включая дополнительные степени свободы. С конца 1960-х - начала 1970-х годов данное направление начинает активно развиваться в нашей республике с работ академика Ф. И. Федорова и его учеников А. А. Богуша, С. И. Лобко, В. А. Плетюхова, В. И. Стражева, В. В. Киселя, С. И. Круглова и др. За прошедшие десятилетия был накоплен богатый материал по развитию теории релятивистских волновых уравнений с расширенными наборами неприводимых представлений группы Лоренца. В работе будет показано, что отказ от требования минимальности используемых наборов представлений группы Лоренца существенно расширяет возможности метода релятивистских волновых уравнений с точки зрения пространственно-временного описания как внутренней структуры, так и изоспиновых степеней свободы частиц. Получение новых уравнений с более богатой структурой для частицы с заданным спином s возможно либо за счет включения представлений с более высокими спинами, либо за счет использования повторяющихся (кратных) представлений группы Лоренца. Книга подводит определенный итог работе, проделанной в этом направлении белорусской школой теоретической физики, и является данью памяти нашему учителю академику Ф. И. Федорову.

Глава 1


Релятивистские волновые
уравнения с минимальным набором представлений группы
Лоренца


            1.1. Основные положения теории РВУ


  Одним из наиболее распространенных и общих способов описания элементарных частиц в классической и квантовой теории поля является теория релятивистских волновых уравнений (РВУ), основы которой были заложены Дираком [1], Фирцем и Паули [2, 3], Баба [4, 5], Хариш-Чандра [6, 7], Гельфандом и Ягломом [8, 9], Федоровым [10, 11].
  Сформулируем в сжатом виде основные положения данной теории, содержащиеся в упомянутых работах. В дальнейшем теорию, базирующуюся на этих положениях, будем называть стандартной теорией РВУ. Ее подход заключается в том, что описание частиц (полей) как с ненулевой, так и нулевой массой всегда может быть сведено к системе дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, представимой в матричной форме
(Ги д * + Го)ф = 0 (И =1,..., 4). (1.1)
Здесь ф - многокомпонентная волновая функция, 1\, и Го - квадратные


9

В.А. Плетюхов, В.М. Редьков, В.И. Стражев

матрицы; выбрана метрика g ₁₁V = diag(1,1,1,1), x4 = ict. В случаях, когда матрица Г₀ - неособенная (det Г₀ = 0), система уравнений (1.1) умножением на mГ,,¹ может быть приведена к виду

(Ги д и + ml )ф = 0,                   (1.2)

где m - скалярный параметр, связанный с массой, I - единичная матрица (как правило она опускается).
   Обычно на системы (1.1) и (1.2) накладываются следующие обязательные требования:
   (а)    инвариантность относительно преобразований собственной группы Лоренца;
   (Ь)   инвариантность относительно пространственных отражений;
   (с)    возможность лагранжевой формулировки на основе вариационного принципа.
   Системы вида (1.2), удовлетворяющие условиям (а)-(с), называются релятивистскими волновыми уравнениями; системы вида (1.1), где матрица Г₀ может быть как неособенной, так и особенной, в том числе нулевой, при выполнении тех же условий (а)-(с) называются обобщенными релятивистскими волновыми уравнениями. РВУ (1.2) описывают частицы с ненулевой массой, обобщенные РВУ (1.1) могут описывать частицы (поля) с ненулевой и нулевой массой.
   В стандартной теории РВУ считается, что элементарная частица как единый объект должна описываться не распадающимися по полной группе Лоренца уравнениями. Тогда из условия (а) вытекает, что волновая функция должна преобразовываться по некоторому приводимому представлению T группы Лоренца, состоящему из зацепляющихся неприводимых представлений.
   Напомним¹, что неприводимые представления т ~ (11 ,l ₂) ит' ~ (l [,12) называются зацепляющимися, если 11 = 11 ± 1 /2, l 2 = 1₂ ± 1 / 2 (причем знаки + и — могут не коррелировать). Из условия (Ь) следует также, что в представлении T наряду с каждым неприводимым представлением т ~ (11, 1₂) должно присутствовать со пряженное представление т ~ (1₂,11).


   ¹ Пользуемся обозначениями неприводимых представлений группы Лоренца, принятыми в [12]