Расчет и анализ размагничивающего фактора ферромагнитных тел

УДК 537.622.6

Сандомирский, С. Г. Расчет и анализ размагничивающего 

фактора ферромагнитных тел / С. Г. Сандомирский. – Минск : 
Беларуская навука, 2015. – 243 с. – ISBN 978-985-08-1862-1.

В монографии обобщены физические принципы использования понятия 

«размагничивающий фактор» в расчетах процесса и результата намагничивания ферромагнитного тела. Построена логическая цепочка от классических 
расчетов размагничивающего фактора эллипсоидов к интерполяционным формулам для расчета коэффициентов размагничивания неоднородно намагничиваемых тел. Обоснованы и разработаны формулы для расчета размагничивающего фактора изделий разной формы в разных условиях намагничивания. 
Показана эффективность их использования при решении задач магнитного 
структурного анализа и магнитных измерений. 

Рассчитана на научных сотрудников, инженеров, аспирантов и студен
тов, занимающихся магнитными измерениями, разработкой и применением 
электротехнических устройств, методов и средств магнитной дефектоскопии 
и магнитного структурного анализа. 

Табл. 19. Ил. 82. Библиогр.: 244 назв.

Р е ц е н з е н т ы:

доктор физико-математических наук М. А. Князев,

кандидат технических наук А. М. Гоман 

© Сандомирский С. Г., 2015
© Оформление. РУП «Издательский дом
  «Беларуская навука», 2015

ISBN 978-985-08-1862-1

ПредиСловие

Существование материалов с ферромагнитными свойствами 

(железа, сплавов на его основе, ферритов) – подарок Природы 
Человечеству. Их намагниченность М в магнитном поле Н изменяется нелинейным и неоднозначным образом, а магнитная проницаемость µ многократно превосходит значение «1», к которому близка µ диамагнитных и парамагнитных материалов. Это – 
один из факторов, предопределивших технический прогресс.
На использовании этого физического явления основана наука 
«Электротехника», связанная с ней промышленность и повседневная жизнь каждого человека.

О физической природе ферромагнетизма достаточно сказано 

и до этой книги [1–12]. Многочисленны и аналитические описания намагничивания ферромагнетиков [13–21]. Но намагничивание изделия (тела) из ферромагнитного материала принципиально (и качественно, и количественно) отличается от намагничивания материала (рис. 1) [20–22].

Физическая причина этого – существование границы разде
ла между областями, занятыми ферромагнитным материалом
и свободными от него. На этой границе формируются так называемые магнитные заряды, которые радикально изменяют магнитное поле, действующее на материал, сосредоточенный в теле.

Для описания процесса и результата намагничивания та
ких объектов в технических устройствах учеными (выделим 
Дж. К. Максвелла [25, 26] и В. К. Аркадьева [27]) в конце XIX в. 
введено понятие размагничивающего фактора N ферромагнитного тела – отношения размагничивающего магнитного поля
в намагниченном теле к намагниченности этого тела [28]. Введение N упростило расчеты намагничивания ферромагнитных 
тел, обеспечило простоту и наглядность их результатов.

Но точный расчет N возможен только для однородно намаг
ниченных тел – эллипсоидов [22–30], частным случаем которых 
являются эллипсоид вращения и шар. Большинство же промышленных и электротехнических изделий имеют форму, отличную 
от эллипсоидальной. В процессе своей работы такие изделия намагничиваются неоднородно. Так, физической моделью многих 
электротехнических и промышленных изделий (сердечников 
феррозондов и измерительных трансформаторов, индукционных 
датчиков, постоянных магнитов, магнитных экранов, роликов
и колец подшипников, осей, муфт и других изделий при магнитном контроле их качества) служат сплошной и полый цилиндр, 
стержень произвольного профиля сечения, пластина из материала с большой или малой магнитной восприимчивостью, находящиеся в однородном магнитном поле. При этом направление магнитного поля относительно намагничиваемого тела может быть 
разным. Несмотря на сложность задачи расчета N таких изделий, 
в настоящее время она благодаря работе многих авторов может 
быть решена с достаточной для практики точностью с использованием аппроксимирующих формул. Вклад в решение этих задач [31–43] и в использование результатов расчета N тел разной 
формы в магнитных измерениях и магнитном структурном анализе [44–57] внес и автор этой книги.

Рис. 1. Основная кривая намагничивания и предельная петля гистерезиса 
ферромагнитного материала (сплошные линии) и тела из этого материала 

(пунктир)

В монографиях и учебниках [1–12, 20, 58–75], обобщающих 

исследования по измерениям и использованию магнитных свойств 
ферромагнитных материалов, важному для практики вопросу 
намагничивания ферромагнитного тела уделено не много внимания. Формулы для расчета N тел разных форм не приведены. 
Основополагающие работы [22–27] по введению и применению 
понятия «размагничивающий фактор» не используют действующую систему СИ и не учитывают современное состояние вопроса. Ситуация для разработчиков осложнена и тем, что результаты расчетов размагничивающего фактора разобщены. В некоторых статьях получены усложненные, неточные и физически 
неверные искусственные формулы, не позволяющие рекомендовать их для расчетов. Ряд измерений магнитных параметров 
сталей в открытой магнитной цепи выполнен с методическими 
ошибками, тиражированными в справочной литературе.

Казалось, развитие вычислительной техники сделает неслож
ным расчет намагничивания ферромагнитного тела, распределения намагниченности в нем и поля в окружающем пространстве. 
Исследователи стали использовать разбиение тела на дискретные 
области, задание их магнитных свойств, граничных условий и численное решение уравнений Максвелла с учетом влияния этих областей друг на друга [76–78]. Появилось мнение, что «...в настоящее 
время используются более точные компьютерные методы анализа магнитных полей», чем понятие «размагничивающий фактор» 
и оценка его величины по аппроксимирующим формулам. Но действительность не оправдала этих надежд. Конечно, при правильном 
физическом подходе, обоснованности допущений «компьютерные 
методы» являются подспорьем для физических расчетов при решении задач намагничивания изделий сложной формы. Но неизбежные неточности используемых для расчета данных о магнитных 
свойствах материала и о граничных условиях, обилие не обоснованных допущений в методиках «непосредственного расчета» 
сводят на нет его достоинства. Погрешности в исходных данных 
не просто преумножаются, а приводят к физически неверным результатам. Примеров – множество. Они рассмотрены во многих 
из моих статей [31–57]. Вы их встретите и на страницах этой книги.

Напротив – разработанные формулы для расчета размагни
чивающего фактора ферромагнитных тел основаны на физических представлениях о формировании размагничивающего поля 
и его действии на материал, апробированы и экспериментально 
обоснованы. Результаты этих исследований дополнены и систематизированы в этой книге.

Ее цель – обобщение физических принципов использования 

понятия «размагничивающий фактор» в расчетах процесса и результата намагничивания ферромагнитного тела, разработка
рекомендаций по применению формул для расчета размагничивающего фактора изделий разной формы в разных условиях намагничивания. 

Учитывая ограниченный объем публикации, автор не ана
лизирует историю методов расчета размагничивающего фактора 
тел разной формы (ее можно проследить по датам приоритетных 
публикаций). Сведения о магнитных свойствах материалов представлены в сжатом виде, полагающем знакомство с вузовским 
курсом физики. Уделено внимание определениям использованных магнитных характеристик и состояний, физическим основам 
использования понятия «размагничивающий фактор» для описания процесса и результата намагничивания тел из ферромагнитных материалов. Для соблюдения единства обозначений, сокращения объема и облегчения восприятия книги автор, как правило, не воспроизводит те из анализируемых формул, которые 
не рекомендованы к использованию, а дает ссылку на источник 
информации и результаты анализа. 

Книга поможет ученым и инженерам, занимающимся маг
нитными измерениями, разработкой и применением электротехнических устройств, методов и средств магнитной дефектоскопии и магнитного структурного анализа, самим определять 
размагничивающий фактор изделий и на этой основе оптимизировать режимы их намагничивания, измерять наиболее чувствительный к структуре параметр. Она полезна для аспирантов и студентов физических и технических специальностей как пример 
применения интерполяционного метода для решения физических и технических задач.

введеНие

определения магнитных параметров

и магнитных состояний ферромагнитных материалов и тел

Для определения физических величин, используемых при ана
лизе (это параметры магнитного поля и магнитные свойства вещества) используем формулировки [2, 8, 25, 79–82]. Большинство определений дано ведущими учеными в области физики 
магнитных явлений: Р. И. Янусом и С. В. Вонсовским в [81, 82]. 
Воспроизведем их в сжатом виде, необходимом для рассмотрения вопросов, решенных в монографии. 

Магнитный момент
m
P


 – основная величи
на, характеризующая магнитные свойства вещества. Согласно классической теории электромагнитных явлений источником магнитного момента 
являются макро- и микро- (атомные) электрические токи. По определению замкнутый контур 
площадью S, охватываемый током I, будет иметь 
магнитный момент (рис. 2):

,
m
P
I S
=




                             (В.1)

где S


 – вектор, численно равный площади, охватываемой кон
туром, и направленный по нормали к плоскости контура так, 
чтобы из конца вектора 
m
P


 ток казался протекающим против 

часовой стрелки (рис. 2).

Магнитное поле – силовое поле, действующее на движущиеся 

электрические заряды и намагниченные тела, обладающие магнитным моментом (не зависимо от состояния их движения). Источниками макроскопического магнитного поля являются намагниченные тела, проводники с током и движущиеся электрически 
заряженные тела. Природа этих источников едина: магнитное 
поле возникает в результате движения заряженных микрочастиц 

Рис. 2. Магнит
ный момент 
замкнутого 

тока

(электронов, протонов, ионов), а также благодаря наличию у микрочастиц собственного (спинового) магнитного момента.

Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индук
ции B


. Значение B


 определяет силу, действующую в данной 

точке поля на движущийся электрический заряд и на тела, имеющие магнитный момент. B


 представляет собой среднее значе
ние суммарной напряженности микроскопических магнитных 
полей, созданных отдельными электронами и другими элементарными частицами.

Магнитная индукция B


 определяет среднее макроскопиче
ское магнитное поле, создаваемое в данной точке пространства 
как токами проводимости (движением свободных носителей зарядов), так и имеющимися намагниченными телами.

В Международной системе единиц (СИ) вектор B


 численно 

равен пределу отношения силы F, действующей со стороны магнитного поля на элемент проводника с электрическим током I,
к произведению тока и длины dl элемента проводника, если длина этого элемента стремится к нулю, а элемент так расположен
в поле, что этот предел имеет наибольшее значение:

max
0
1
lim
(
)
.
dl
B
dF dl
I
→
=
 
(В.2)

Вектор B


 направлен перпендикулярно к направлению эле
мента проводника, удовлетворяющему указанному выше условию, и к направлению силы, действующей на этот элемент со стороны магнитного поля, причем из конца вектора B


 вращение

по кратчайшему расстоянию от направления силы к направлению тока в элементе проводника должно быть видно происходящим против часовой стрелки.

Силовые линии – воображаемые лини, которые проводят 

для изображения какого-либо силового поля (электрического, гравитационного, магнитного). Силовые линии располагаются так, 
что касательные к ним в каждой точке пространства совпадают 
по направлению с вектором, характеризующим данное поле
(напряженностью магнитного поля, магнитной индукцией). Так 
как напряженности полей и магнитная индукция – однозначные 

функции координат точки пространства, то через каждую точку 
может проходить только одна силовая линия. Густоту силовых 
линий выбирают так, чтобы число силовых линий, проходящих 
через единичную площадку, перпендикулярную к силовой линии, было пропорционально напряженности поля (или магнитной индукции на этой площадке). Таким образом, силовые линии 
дают наглядную картину распределения поля в пространстве: 
густота силовых линий и их направление характеризуют величину или направление вектора напряженности поля или индукции. Силовые линии электростатического поля всегда не замкнуты: они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных или уходят на бесконечность. Силовые 
линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты, т. е. магнитное поле является вихревым.

Намагниченность M


 – векторная сумма магнитных момен
тов атомов (молекул), находящихся в единице объема:

0
1

1
lim (
),
K

mi
V
i
M
P
V
→
=
=
∑



 
(В.3)

где K – число частиц, содержащихся в объеме V магнетика; 
mi
P


  – 

магнитный момент i-й молекулы (атома).

Для объема V → 0 характерно то, что он еще велик по срав
нению с атомными неоднородностями среды, но уже настолько 
мал, что даже значительные изменения его существенно не сказываются на величине M


.

Намагниченность называется однородной в пределах рас
сматриваемого объема, если в каждой его точке M


 имеет одну 

и ту же величину и направление.

Магнитное поле, созданное токами проводимости и не зави
сящее от магнитных свойств присутствующего вещества, характеризуется вектором напряженности магнитного поля 
.
H


 В сис
теме СИ:

0
(
)
,
H
B
M
=
µ
−




 
(В.4)

где µ0 = 4π ⋅10−7 Гн/м – магнитная постоянная (магнитная проницаемость вакуума).

Формулу (В.4) часто записывают в виде

0(
).
B
H
M
= µ
+




 
(В.5)

Магнитная проницаемость µ – физическая величина, ха
рактеризующая изменение магнитной индукции B


 среды при 

воздействии магнитного поля 
.
H


 У изотропных сред

0
(
).
B
H
µ =
µ
 
(В.6)

Магнитная восприимчивость χ – величина, характеризую
щая связь намагниченности вещества с магнитным полем в этом 
веществе. Магнитная восприимчивость в статических полях 
равна отношению намагниченности М вещества к напряженности Н намагничивающего поля:

,
M H
χ =
 
(В.7)

χ – величина безразмерная. С магнитной проницаемостью µ

в статических полях она связана соотношением (в системе СИ):

1
.
µ = + χ  
(В.8)

размагничивающее магнитное поле Hb – поле внутри на
магниченного тела (), действие которого уменьшает его на), действие которого уменьшает его на), действие которого уменьшает его на
магниченность М. В узком смысле Hb – поле, источником которого является намагниченность М самого данного тела.

Для определения магнитных свойств, процессов, состояний 

и характеристик материалов воспользуемся и формулировками 
[83], представленными в табл. 1.

Краткое определение понятия «размагничивающий фактор»

(коэффициент размагничивания) N – отношение размагничивающего магнитного поля в намагниченном теле к намагниченности М этого тела – приведено в предисловии. Учитывая важность 
вопроса для этой книги и неоднозначность трактовки этого понятия в разных источниках, воспользуемся определением И. И. Кифера [84, 24] (во введенных обозначениях):

«Размагничивающий фактор (размагничивания коэффициент). 

При намагничивании во внешнем поле образца или детали
из ферромагнитного материала разомкнутой формы (например,