Основы теории упругости, пластичности и ползучести

ОСНОВЫ ТЕОРИИ 
УПРУГОСТИ, 
ПЛАСТИЧНОСТИ 
И ПОЛЗУЧЕСТИ

В.Т. ЧЕМОДУРОВ
С.Г. АЖЕРМАЧЕВ
К.С. ПШЕНИЧНАЯ-АЖЕРМАЧЕВА

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Крымский федеральный университет 
имени В.И. Вернадского

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом профессионального 
образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство»
(квалификация (степень) «бакалавр») (протокол № 9 от 13.05.2019)

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73
 
Ч42

А в т о р ы:
Чемодуров В.Т., доктор технических наук, профессор, заведующий 
кафедрой механики и сейсмостойкости сооружений Академии строительства и архитектуры Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского;
Ажермачев С.Г., кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры механики и сейсмостойкости сооружений Академии строительства и архитектуры Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского;
Пшеничная-Ажермачева К.С., ассистент кафедры механики и сейсмостойкости сооружений Академии строительства и архитектуры 
Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского 

Р е ц е н з е н т ы:
Новиков В.В., доктор технических наук, профессор кафедры ракетного вооружения надводных кораблей Черноморского высшего военно-морского ордена Красной Звезды училища имени П.С. Нахимова 
Министерства обороны Российской Федерации (г. Севастополь);
Ситшаева З.З., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Крымского инженерно-педагогического университета

ISBN 978-5-16-015851-8 (print)
ISBN 978-5-16-107296-7 (online)
© Чемодуров В.Т., Ажермачев С.Г., 
Пшеничная-Ажермачева К.С., 2019

Чемодуров В.Т.
Ч42  
Основы теории упругости, пластичности и ползучести : учебное 
пособие / В.Т. Чемодуров, С.Г. Ажермачев, К.С. Пшеничная-Ажермачева. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Высшее образование: 
Бакалавриат). — DOI 10.12737/textbook_5cf7c639027423.70222187.

ISBN 978-5-16-015851-8 (print)
ISBN 978-5-16-107296-7 (online)

Учебное пособие содержит изложение курса теории упругости, пластичности и ползучести, читаемого в Академии строительства и архитектуры Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского. 
Материал проиллюстрирован большим количеством примеров из инженерно-строительной практики.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Строительство» (08.03.01), а также для инженеров-проектировщиков.

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73

Предисловие

В настоящем учебном пособии излагается курс теории упругости, пластичности и ползучести, проиллюстрированный примерами из инженерно-строительной практики. Курс должен подготовить студентов к самостоятельному решению простых задач, 
а также к изучению специальной литературы по более сложным 
вопросам.
Основное внимание уделено теории упругости. Она изучает действие сил на упругие тела и определяет возникающие при этом напряжения и деформации как в состоянии равновесия, так и в движении. Те же задачи стоят и перед наукой «Сопротивление материалов». Однако в сопротивлении материалов исследуемое тело 
имеет продолговатую форму стержня, бруса. Теория упругости позволяет решать задачи напряженно-деформированного состояния 
тел, имеющих более сложную форму (пластина, оболочка, массив 
и др.). В теории упругости применяются более общие методы решения задач и повышенная строгость решения по сравнению с методами сопротивления материалов.
Приведена теория решения задач напряженно-деформированных тел как в пространственной, так и в плоской постановке. 
Даны решения как в прямоугольной, так и в полярной системе координат.
Отдельные главы рассматривают способы решения тонких 
пластин как моделей строительных конструкций. Приведены методики расчета тонкостенных стержней закрытого и открытого профилей, которые в настоящее время находят широкое применение 
в строительной практике.
Описанная в работе теория расчета балок на упругом основании 
является не только исходным материалом для построения расчетных схем обоснования параметров перекрытий, фундамен тов, 
но и позволяет прогнозировать устойчивость свайных оснований 
как наземных, так и морских сооружений.
Рассмотрены простейшие задачи в области растяжения-сжатия 
и изгиба. Обосновываются приближенные зависимости для скорости деформаций тела в пластическом состоянии. Приведенная 
теория важна для определения несущей способности сооружений.
Отдельная глава посвящена теории ползучести материалов конструкции, т.е. изменению во времени деформаций и напряжений, 
возникших в результате начального нагружения ее деталей.

В практикуме рассмотрены примеры расчетов наиболее общих 
задач практики и предложены задания для самостоятельной работы.
Изучение дисциплины предполагает получение знаний, соответствующих следующему блоку компетенций:
 
• способность к самоорганизации и самообразованию;
 
• использование основных законов естественнонаучных дисциплин в профессио нальной деятельности;
 
• применение методов математического анализа, теоретического 
исследования.
В результате освоения дисциплины обучающийся будет:
знать
 
• основные методы нахождения и анализа информации;
 
• теорию напряжений, теорию деформаций, уравнения равновесия и неразрывности деформаций;
 
• основные соотношения плоской задачи;
 
• дифференциальные уравнения изгиба пластин;
 
• особенности напряженного состояния тонкостенных стержней 
открытого профиля и балок конечной длины, опирающихся 
на упругое основание;
уметь
 
• воспринимать, анализировать и обобщать информацию;
 
• выполнять инженерные расчеты на прочность типовых 
элемен тов конструкций с использованием справочной литературы;
 
• строить эпюры внутренних силовых факторов;
 
• решать плоские задачи теории упругости с помощью полиномов 
и тригонометрических рядов;
владеть
 
• культурой мышления;
 
• базовыми знаниями в области высшей математики, теоретической механики и сопротивления материалов.

Глава 1. 
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

1.1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. 
ЕЕ МЕСТО СРЕДИ ДРУГИХ ДИСЦИПЛИН

Изучение теории упругости имеет целью усовершенствовать 
способы расчета конструкций и сооружений. Теорию упругости 
можно с большим основанием рассматривать как один из разделов 
строительной механики, которая излагается различно в зависимости от практических требований. В настоящем курсе будем рассматривать теорию упругости с точки зрения интересов строительного дела.
Строительная механика в основном состоит из трех разделов: 
сопротивления материалов, строительной механики в узком смысле 
(теории расчета сооружений) и теории упругости.
Сопротивление материалов изучает действие сил в различных 
сочетаниях на брус или стержень: растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сжатие с изгибом, кручение с изгибом и т.д.
Строительная механика в узком смысле занимается целыми 
сооружениями, составленными из брусьев или стержней: многопролетными балками, фермами, рамами.
Теория упругости изучает те же вопросы, что и сопротивление 
материалов, но более углубленно, или те вопросы, которые выходят 
за пределы сопротивления материалов и не могут быть решены элементарными методами этой дисциплины.
Так, при изучении изгиба в сопротивлении материалов вводится гипотеза Бернулли о том, что поперечные сечения, бывшие 
плоскими до деформации, остаются плоскими и после деформации, 
а нормальные напряжения считают изменяющимися по линейному 
закону (рис. 1.1).
При расчете изгибаемого элемента методами теории упругости 
эта гипотеза не нужна. Оказывается, что эта гипотеза удовлетворяет 
только в тех случаях, когда размеры сечения балки малы по сравнению с ее длиной. Если высота балки соизмерима с ее длиной, 
то гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений) неприменима, 
так как напряжения в этом случае меняются не по линейному закону (рис. 1.2). Решение этой задачи под силу теории упругости.

Рис. 1.1. Гипотеза о линейном изменении нормальных напряжений 
в сечении

Рис. 1.2. Пример нелинейного распределения

Можно привести еще ряд примеров, когда элементарные методы 
сопротивления материалов неприменимы в расчетных схемах. Так, 
расчеты плит и оболочек относятся целиком к ведению теории 
упругости.
Теория упругости, как и сопротивление материалов, опирается на опытные данные о физических свойствах материалов, 
но ее теоретическая часть занимает ведущее место и требует 
применения довольно сложного математического аппарата. Основные уравнения теории упругости были выведены уже давно, 
и сейчас мы пользуемся ими в готовом виде. Эти уравнения необходимы для решения задач теории упругости. Краткое изложение наиболее существенных из этих задач не может дать никакого представления о том огромном труде, который был в свое 
время затрачен на решения и на доведение их до современного 
состояния.

Если в настоящее время встречаются задачи, которые еще 
не удается разрешить, то главная причина этого — огромные математические затруднения.

1.2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ И ГИПОТЕЗЫ 
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Теория упругости, как и всякая техническая дисциплина, опирается на ряд рабочих гипотез, т.е. предположений, которые вводятся 
для упрощения выводов, причем заранее известно, что ошибка 
от введения таких предположений невелика.
Одна из таких гипотез — принцип Сен-Венана. Согласно 
этому принципу в точках, достаточно удаленных от мест приложения внешних нагрузок, напряжения почти не зависят от того, 
как именно приложены эти нагрузки. Таким образом, если усилия, 
приложенные к небольшой части упругого тела, заменить другими, 
статически эквивалентными, то существенно изменятся только 
местные напряжения. На достаточно удаленных точках такая замена отразится незначительно. Практически ее влиянием можно 
пренебречь.
Одна из основных рабочих гипотез — это гипотеза о сплошности 
строения упругого тела. Предполагается, что материал, из которого 
состоит упругое тело, непрерывно распределен по его объему.
В теории упругости, как показывает само название предмета, 
предполагается, что все тела обладают свойством упругости. Под 
упругостью понимается способность тел восстанавливать свою 
первоначальную форму и первоначальные размеры после удаления 
внешних сил, которые вызвали деформацию. Все выводы теории 
упругости основываются на законе Гука о прямой пропорциональности между напряжением и деформацией. В случае растяжения или сжатия этот закон выражается так: σ = Eε.
Если для стали построить диаграмму зависимости между напряжением σ и относительной деформацией ε, то на этой диаграмме 
участок OA практически можно считать линейным. Таким образом, 
при малых напряжениях и малых деформациях вполне применим 
закон Гука (рис. 1.3).
В теории упругости принимают, что материал упругого тела совершенно однороден, т.е. во всех его точках физические свойства 
одинаковы.
Идеально упругое тело предполагается изотропным. Под этим 
подразумевается, что упругие свойства тела одинаковы по всем 
направлениям. У некоторых строительных материалов, например 

у дерева, резко выражена анизотропность, т.е. различие упругих 
свойств по разным направлениям.

А

0
ε

σ

Рис. 1.3. Пример диаграммы растяжения для стали

1.3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Цель теории упругости состоит в определении напряжений и деформаций, возникающих в упругом теле под влиянием внешней нагрузки. Анализ напряженного состояния упругого тела изучается 
в выбранной системе координат. Внутренние напряжения в каждой 
точке упругого тела являются функциями координат, причем 
на поверхности тела внутренние усилия должны уравновешиваться 
внешней нагрузкой.
Можно сделать бесчисленное множество мысленных разрезов 
упругого тела, но нам не удастся найти напряжения исходя лишь 
из условий равновесия. Все задачи теории упругости относятся 
к статически неопределимым. Для их решения необходимо учитывать деформации.
Каждая точка упругого тела при деформации занимает новое 
положение — она перемещается. Перемещения точек следует считать функциями координат. Если найти перемещения всех точек, 
то можно определить относительные деформации и на основании 
закона Гука связать их с напряжениями.
Для элементарного параллелепипеда — кубика бесконечно 
малых размеров, зависимости между напряжениями и деформациями установить нетрудно. Однако совершенно очевидно, что 
решать задачу, разбивая тело на бесконечное число кубиков, бес

полезно. Значит, для элементарного кубика необходимо вывести 
такие уравнения в общем виде, которые содержали бы некоторые 
функции и были бы действительны для любого элементарного кубика внутри упругого тела. Эти уравнения будут иметь дифференциальную форму.
Таким образом, для решения задачи теории упругости необходимо сначала, исходя из условий равновесия и деформаций 
бесконечно малого элемента, вывести ряд основных дифференциальных уравнений. Далее, приступая к конкретной задаче, нужно 
найти такие функции, которые удовлетворяли бы всем этим уравнениям, а также условиям на поверхности. Тогда будут соблюдены условия равновесия в каждой точке и неразрывность деформаций. Однако уравнения, которые мы получим, не имеют общих 
решений, по это му функции придется подбирать, а это не всегда 
удается. Поэтому далеко не все задачи теории упругости решены. 
Иногда задаются различными функциями и определяют, каким 
условиям на поверхности они удовлетворяют. Затем, приступая 
к решению конкретной задачи, необходимо комбинировать уже 
имеющиеся решения.
В теории упругости можно решать задачи либо в напряжениях, 
либо в перемещениях. В первом случае сначала находятся напряжения, а по ним — относительные деформации и перемещения. 
Во втором случае сначала определяются перемещения, а затем — 
напряжения и относительные деформации. На практике более распространено решение в напряжениях.

1.4. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Существуют различные системы обозначения напряжений и деформаций. Приведем систему обозначений, которой будем пользоваться на практике.
Нормальные напряжения обозначаются через σ, касательные — 
через τ.
Представим себе элементарный кубик бесконечно малых размеров (рис. 1.4). Индекс при σ показывает, какой оси координат 
перпендикулярна та площадка, на которую действует напряжение, 
т.е. какой оси это напряжение параллельно. У касательных напряжений ставятся два индекса. Первый указывает на то, какой оси 
перпендикулярна площадка, а второй — какой оси параллельно напряжение.
Положительные направления напряжений показаны на рис. 1.4. 
Нормальные напряжения положительны, если они растягивающие. 

За положительные направления касательных напряжений принимаются направления осей координат, если растягивающее напряжение по той же грани кубика имеет направление, совпадающее 
с положительным направлением соответствующей оси. Если растягивающее напряжение имеет направление, противоположное положительному направлению оси, то положительные касательные 
напряжения направлены обратно направлениям осей.

X

Z

Y

σx

τxy

τxz

σz

τzx

τzy

τyz

τyx
σy

О

Рис. 1.4. Обозначение напряжений в точке тела

Всего нам приходится вводить для напряжений, действующих 
на все грани кубика, три нормальных напряжения (σx, σy, σz) 
и шесть обозначений касательных напряжений (τxy, τyz, τzx, τyx, τxz, 
τzy). Эти напряжения называются составляющими напряжения 
в данной точке.
Продольные относительные деформации обозначаются через 
ε с индексом, указывающим на то, какой оси параллельна деформация (рис. 1.5). Если деформация параллельна оси Ox, то ее обозначают εx, (на длине dx деформация εx · dx).
Угол сдвига обозначается через γ (рис. 1.6) с двумя индексами, 
указывающими, параллельно какой плоскости происходит сдвиг. 
При этом безразлично, писать γxz или γzx.
Таким образом, необходимы три обозначения продольных деформаций (εx, εy, εz) и три — для углов сдвига (γxy, γyz, γzx).
Эти деформации называются составляющими деформации 
в данной точке.