Математика и информатика в задачах и ответах

И.И. Боброва  

МАТЕМАТИКА 
И ИНФОРМАТИКА

В ЗАДАЧАХ И ОТВЕТАХ 

Учебно-методическое пособие

3-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2019 

УДК 004.9:373.2(075.8) 
ББК  74.202.4я73 
         Б72

Р е ц е н з е н т ы: 
д-р пед. наук, проф. кафедры педагогика МаГУ Л.И.Савва 
канд. пед. наук, доц., зав. кафедрой прикладной информатики МаГУ Е.Н. Гусева 

Б72 

Боброва И.И.  
      Математика и информатика в задачах и ответах [Электронный ресурс] : 
учеб.-метод. пособие / И.И. Боброва. — 3-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 
230 с. 

ISBN 978-5-9765-2083-7

Учебно-методическое пособие «Математика и информатика в задачах и

ответах» предназначено для организации и проведения учебных занятий по курсу
«Математика и информатика» у студентов дневного отделения, получающих
специальность 050703 «Дошкольная педагогика и психология». Оно может быть
использовано для заочной формы обучения, поскольку включает теоретический
материал, тестовые задания по курсу. Учебный материал, представленный в
издании, соответствует образовательному стандарту по специальности, 
поскольку содержит все дидактические единицы данного курса.
Пособие поможет студентам освоить дисциплину и успешно сдать

Интернет-экзамен. 

УДК 004.9:373.2(075.8)
ББК  74.202.4я73

ISBN 978-5-9765-2083-7 
© Боброва И.И., 2014  

© Издательство «ФЛИНТА», 2014 

Содержание 

Тематическая структура АПИМ ................................................................................................................................................4 
§ 1. Основания математики ........................................................................................................................................................5 
§ 1.1. Множества. Высказывания..........................................................................................................................................5 
§ 1.2. Конечные и бесконечные множества..........................................................................................................................6 
§ 1.3. Равенство множеств .....................................................................................................................................................7 
§ 1.4. Подмножества...............................................................................................................................................................8 
§ 1.5. Операции над множествами ......................................................................................................................................10 
§ 1.6. Алгебраические свойства операций над множествами...........................................................................................12 
§ 1.7. Основные логические операции................................................................................................................................14 
§ 1.8. Бинарные отношения .................................................................................................................................................16 
§ 1.9. Греческий алфавит .....................................................................................................................................................17 
Примеры решения задач:.....................................................................................................................................................18 
Задачи ....................................................................................................................................................................................20 
§ 2. Теория вероятностей..........................................................................................................................................................35 
§ 2.1. Событие как результат испытания............................................................................................................................35 
§ 2.2. Классическое определение вероятности ..................................................................................................................36 
§ 2.3. Теорема сложения вероятностей...............................................................................................................................39 
§ 2.4 Теорема умножения вероятностей.............................................................................................................................40 
§ 2.5. Случайная величина и ее числовые характеристики...............................................................................................42 
Примеры решения задач:.....................................................................................................................................................45 
Задачи ....................................................................................................................................................................................47 
§ 3. Математическая статистика ..............................................................................................................................................64 
§ 3.1. Основные понятия математической статистики......................................................................................................64 
§ 3.2. Характеристики вариационного ряда .......................................................................................................................68 
§ 3.3. Статистическое распределение выборки..................................................................................................................77 
§ 3.4. Закон распределения вероятностей...........................................................................................................................82 
Задачи ..................................................................................................................................................................................100 
§ 4. Алгоритмизация и языки программирования................................................................................................................112 
§ 4.1. Краткая история и классификация языков программирования............................................................................112 
§ 4.2. Языки программирования высокого уровня ..........................................................................................................116 
§ 4.3. Алгоритмы. Блок-схемы ..........................................................................................................................................130 
§ 4.4. Линейные алгоритмы, ветвления и циклы. Алгоритм Евклида ...........................................................................133 
Примеры решения задач ....................................................................................................................................................137 
Задачи ..................................................................................................................................................................................141 
§ 5. Компьютерный практикум по программному  обеспечению.......................................................................................157 
§ 5.1. Обзор программного обеспечения..........................................................................................................................157 
§ 5.2. Операционные системы. Основные компоненты операционных систем............................................................159 
§ 5.3. Инструментарий технологий программирования..................................................................................................161 
§ 5.4. Пакеты прикладных программ. Текстовые редакторы.  Электронные таблицы. Компьютерная графика ......162 
Примеры решения задач ....................................................................................................................................................168 
Задачи ..................................................................................................................................................................................172 
Ответы......................................................................................................................................................................................200 
Список литературы .................................................................................................................................................................204 
Приложение 1 ..........................................................................................................................................................................205 
Приложение 2 ..........................................................................................................................................................................217 

Тематическая структура АПИМ 

 

N ДЕ 
Наименование 
дидактической единицы ГОС 

N зада- 
ния 
Тема задания 

1 
Основные понятия теории множеств 

2 
Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна 

3 
Бинарные отношения 

4 
Перестановки 

5 
Основные операции над множествами 

6 
Декартово произведение множеств 

7 
Числовые множества. Принадлежность 

1 
Основания математики 

8 
Высказывания. Основные операции над высказываниями. 
Повествовательные предложения. 

9 
Теоремы умножения вероятностей 

10 
Дискретные случайные величины 

11 
Нормальный закон распределения вероятностей 

12 
Основные понятия теории вероятностей 

13 
Свойства вероятностей 

2 
Теория вероятностей 

14 
Элементы теории вероятностей. Математика случайного 

15 
Основные понятия математической статистики 

16 
Характеристики вариационного ряда. Среднее выборочное 

17 
Статистическое распределение выборки 

18 
Закон распределения вероятностей 

19 
Характеристики вариационного ряда. Мода 

3 
Математическая статистика 

20 
Характеристики вариационного ряда. Медиана 

21 
Языки программирования высокого уровня 

22 
Словесные алгоритмы 

23 
Блок-схемы. Ветвление 

4 
Алгоритмизация и языки программирования 

24 
Блок-схемы. Циклы 

25 
Компьютерная графика 

26 
Текстовый редактор. Интерфейс MS WORD 

27 
Обзор программного обеспечения 

5 
Программные средства ЭВМ 

28 
СУБД, интегрированные банки данных 

§ 1. Основания математики 

 
Операции над высказываниями. Основные понятия теории множеств. Основные 

структуры. Бинарные отношения. Структуры на множестве. Перестановки. Разме
щения. Основные операции над множествами. Греческий алфавит. Основные логи
ческие операции. Бинарные деревья. 

 

§ 1.1. Множества. Высказывания 

Множество относится к математическим объектам, для которых нет строгого оп
ределения. Другим примером неопределяемого понятия служит точка в геометрии. 

Кантор описывал  множество следующим образом:  

 

Множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой 

объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объ
екты называются элементами множества S. 

Если предмет х является элементом множества S, это обозначается с помощью 

знака : х  S. Тогда говорят, что элемент х принадлежит множеству S. В против
ном случае пишут х S. 

 

Высказывание – основной объект математической логики. Высказыванием на
зывается повествовательное предложение, которое может быть классифицировано 

как истинное, либо как ложное, но не как и то и другое вместе. Можно привести 

сколько угодно высказываний, например: 

«Сегодня идет снег»; 

«П.И. Чайковский написал 10 опер»; 

«Все каналы на Марсе пересохли»; 

«25 делиться на 13»; 

«7 больше, чем 45». 

Содержание высказываний несущественно, лишь бы это предложение могло 

быть либо истинным, либо ложным. При этом вовсе необязательно указывать спо
соб проверки истинности. Высказывания в математической логике обычно обозна
чаются латинскими буквами А, В, С и т.д.  

 

§ 1.2. Конечные и бесконечные множества 

Все элементы конечного множества можно перечислить, тогда как элементы 

бесконечного множества даже теоретически нельзя собрать в законченную сово
купность. 

 

Запись х1, х2, …, хn  A означает, что все х1, х2, …, хn принадлежат множеству А. 

Конечное множество, состоящее из элементов х1, х2, …, хn обычно обозначают х1, 

х2, …, хn. В частности, х - одноэлементное множество. 

 

Однако, перечисление элементов множества в фигурных скобках слишком гро
моздко для задания больших множеств и совсем неприменимо для бесконечных 

множеств. Эта проблема решается с помощью характеристического свойства 

множества. Пусть Р(х) – некоторое предложение, зависящее от х.  

 

Например, «х делится на 5», «в книге х встречается буква “ять”», «х любит Ива
нова», «х2  = -1». Если на место х подставить любой конкретный предмет, мы полу
чим истинное или ложное утверждение. Если, например, Р(х)= «х делится на 5», то 

Р(10) – истинное утверждение, а Р(7) – ложное. 

 

Такое предложение и называется характеристическим свойством множества. С 

его помощью можно описывать какие угодно множества в удобном и компактном 

виде. Запись А = хР(х) означает, что a  A тогда и только тогда, когда Р(a) – 

истинное утверждение.  

Например, множество А = хх есть точка плоскости и х находится на расстоя
нии 1 от начала координат есть единичная окружность с центром в точке 0, 0. 

Это бесконечное множество, но для любого предмета можно точно сказать, принад
лежит он этому множеству или нет. 

 

Иногда бывает удобно указать, из какого класса выбираются элементы множест
ва. Тогда пишут х  A Р(х). Например, х  R 0 ≤ x ≤ 2 есть бесконечное 

множество действительных чисел, лежащих между 0 и 2 (включительно), а множе
ство х  Z 0 ≤ x ≤ 2 конечно и состоит из трех целых чисел 0, 1, 2. Если, коор
динатную плоскость обозначить через R2, то описанную выше единичную окруж
ность можно описать короче:  

(x, y)  R2 x2 + y2 = 1. 

 

С помощью характеристического свойства удобно задавать пустое множество, 

т.е. множество, не содержащее элементов.  

Например, множество х  R  x2 < 0 не имеет элементов, т.е пусто. Точно так 

же пусто и множество  

х - рыбы  x дышит легкими.  

Независимо от способа описания, получается одно и то же множество без эле
ментов. Его обозначают знаком . 

 

§ 1.3. Равенство множеств 

Тот факт, что множество определяется своими элементами, можно сформулиро
вать в виде следующего принципа, в котором вводится очень важное понятие ра
венства множеств. 

 

Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних 

и тех же элементов. 

В самом деле, два множества можно описать совершенно по-разному. Тем не 

менее, можно убедиться, что эти множества состоят из одних и тех же элементов. 

Тогда данные множества равны. Это обозначается так: X = Y. В противном случае 

(когда в одном множестве найдется элемент, не принадлежащий другому) пишут X 

 Y. Пусть, например, А – множество студентов дошкольного факультета 2-го кур
са, В - множество студентов дошкольного факультета, поступивших в прошлом го
ду. Ясно, что эти множества состоят из одних и тех же людей (если, конечно, никто 

из них не отсеялся), А = В. 

 

§ 1.4. Подмножества 

Говорят, что множество А есть подмножество В, если каждый элемент А яв
ляется элементом В. В противном случае также говорят, что множество А включено 

во множество В или множество В включает множество А. Это обозначается А  В. 

Для доказательства включения требуется проверить утверждение: если х  А, то х 

 В. 

 

Примеры 

1. Пусть А – «множество красных яблок», а В = «множество всех яблок».  

Тогда А  В: ведь красное яблоко – это просто яблоко, поэтому если  

х  А, то х  В. 

2. Множество 1, 2 есть подмножество множества 1, 2, 3. 

3. Множество студентов – психологов 1 курса есть подмножество множества 

студентов –психологов, которое, в свою очередь, включено во множество всех 

студентов университета. 

4. Множество 1, 2 не является подмножеством множества  1, 2, 3, так 

как число 1 не принадлежит последнему. 

 

Сделаем ряд наблюдений о свойствах включения (наблюдения будем обозна
чать значком  - «набла»). 

1. Каждое множество есть подмножество самого себя: А  А. 

2. Если А  В и В  С, то А  С. 

На примере этих двух свойств подчеркнем различие между принадлежностью 

 и включением . Множество может быть собственным элементом.  

3. Если А  В и В  А, то А = В. 

Это прямо следует из определений включения и равенства множеств. Таким об
разом, тот факт, что два множества равны, означает, каждое из них есть подмноже
ство другого. 

4. Пустое множество есть подмножество любого множества. 

Суммируя 1 и 4, получаем: 

5. Каждое множество А   имеет по крайней мере два различных под
множества: само А и пустое множество. 

6. Каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество 

множества А, если a  А, то a  А. 

Говорят, что множество А строго включено в В, если А  В и А  В. В этом 

случае говорят также, что В строго включает А или А есть истинное подмножество 

В. Это обозначается А  В. 

7а. Если А  В и В  С, то А  С. 

7b. Если А  В и В  С, то А  С. 

Множество всех подмножеств множества А называется множеством
степенью множества А и обозначается через P(A): 

P(A) = В В  А. 

Пусть, например, А = 1, 2, 3. Тогда множество-степень состоит из множе
ства А, пустого множества, трех одноэлементных и трех двухэлементных подмно
жеств множества А: 

P(A) = А, 1 , 2 , 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, . 

Можно убедиться, что множество-степень конечного n-элементного множест
ва состоит из 2n элементов. Этим и объясняется происхождение  термина «множест
во-степень». В приведенном выше примере n = 3 и P(A) содержит 23 = 8 множеств. 

Чтобы еще раз подчеркнуть различие и связь между принадлежностью и 

включением, сформулируем очевидное наблюдение: 

8. Если В  А, то В  P(A); если а  А, то a  А, и a  P(A). 

 

§ 1.5. Операции над множествами 

Объединение множеств А и В есть множество, состоящее из элементов множе
ства А или множества В. Объединение множеств обозначается А  В. Другими сло
вами, 

  
 
 
А  В = х х  А или х В. 

Союз «или» обозначает, что если элемент принадлежит объединению А  В, то 

он может принадлежать только множеству А, только множеству В, а может – одно
временно обоим этим множествам. Итак, х  А  В тогда и только тогда, когда х 

есть элемент хотя бы одного из этих множеств. Например, 1, 2, 3  1, 3, 4 = 

1, 2, 3, 4. Число 2 принадлежит только первому множеству, число 4 – только 

второму, а числа 1, 3 – обоим множествам сразу. Операция, которая двум множест
вам ставит в соответствие их объединение, также называется объединением. 

 

Пересечение множеств А и В есть множество, состоящее из элементов, общих 

для обоих множеств. Этим же словом называют соответствующую операцию. Пере
сечение множеств обозначается А  В. 

  
 
 
А  В = х х  А и х В.