Геометрия и графика, 2019, № 2

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА – 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Меркулова Н.Б.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 590 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2019

Подписано в печать 25.06.2019.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Короткий В.А. 
Графические алгоритмы построения квадрики, 
заданной девятью точками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Сальков Н.А.
Общие принципы задания линейчатых 
поверхностей. Часть 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Лепаров  М.Н.
O наукe «Геометрия технических объектов» . . . . . . . . . .28

Конопацкий Е.В.
Моделирование аппроксимирующего 16-точечного 
отсека поверхности отклика применительно к 
решению неоднородного уравнения 
теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Васильева В.Н.
Золотое сечение и золотые прямоугольники при 
построении икосаэдра, додекаэдра и тел Архимеда, 
основанных на них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Рязанов С.А.
Геометрическая модель производящей поверхности 
эквивалентной рабочей поверхности зуборезного 
инструмента «червячная фреза» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

Рязанов С.А., Решетников М.К.
Аналитические зависимости кинематического 
формообразования начальных поверхностей 
элементов червячной передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ 
И ПРОВЕДЕНИЯ ОЛИМПИАД

Абросимов С.Н., Тихонов-Бугров Д.Е., 
Глазунов К.О.
Геометро-графические студенческие олимпиады 
в Санкт-Петербурге. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

2019. Том 7. Вып. 2
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
МИРЭА - Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2019. Vol. 7. Issue 2
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. 
Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия).
 
Russian Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named after 
A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский 
педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА – Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия). 

УДК 004.925.83                                                                                   
DOI: 10.12737/article_5d2c1502670779.58031440

В.А. Короткий
Канд. техн. наук, доцент, 
Южно-Уральский государственный университет, 
Россия, 454080, г. Челябинск, пр-т Ленина, д. 76
 

Графические алгоритмы 
построения квадрики, заданной 
девятью точками

Аннотация. Задача построения квадрики по девяти точкам, 
в силу своей фундаментальной значимости, многократно 
рассматривалась математиками XIX в. Поиск простой линейной геометрической зависимости, связывающей десять 
точек квадрики, аналогичной теореме Паскаля, связывающей 
шесть точек конического сечения, не увенчался успехом. Тем 
не менее были найдены различные алгоритмы геометрически 
точного (линейкой и циркулем или даже одной линейкой) 
построения любого количества точек квадрики, проходящей 
через девять данных точек. Практическая реализация алгоритмов, вследствие их большой сложности, возможна только с помощью современных средств компьютерной графики. 
В статье рассматриваются два известных графических 
алгоритма построения квадрики (алгоритм Rohn — Papperitz 
и алгоритм J.H. Engel) и предлагается упрощенный вариант 
алгоритма J.H. Engel. Для конструктивной реализации алгоритмов используются средства компьютерной графики.  Все 
алгоритмы позволяют определять множество точек и множество плоских сечений поверхности второго порядка, заданной девятью точками. Алгоритм Rohn — Papperitz, основанный на пространственной конфигурации Дезарга, наилучшим образом подходит для его реализации на аксонометрическом чертеже средствами трехмерной компьютерной 
графики. Алгоритм J.H. Engel позволяет решить задачу на 
плоскости. 
Предложенный в статье упрощенный конструктивный 
вариант алгоритма J.H. Engel дополнен алгоритмом построения главных осей и плоскостей симметрии квадрики, заданной девятью точками. Дополнительный алгоритм не 
может быть конструктивно реализован циркулем и линейкой, 
поскольку сводится к поиску точек пересечения двух кривых 
второго порядка с одной известной общей точкой (задача 
третьей степени). Для конструктивной реализации дополнительного алгоритма используется компьютерная программа, выполняющая вычерчивание кривой второго порядка, 
заданной произвольно указанным набором пяти точек и 
касательных (как действительных, так и мнимых). Предлагаемые 
в статье графические алгоритмы могут рассматриваться как 
альтернатива алгебраическому решению задачи построения 
квадрики, заданной девятью точками.
Ключевые слова: проблема десятой точки, биквадратная 
кривая, пучок конических сечений, пучок квадрик, пространственная конфигурация Дезарга, схема Паскаля.

V.A. Korotkij
Ph.D. of Engineering, Associate Professor, 
South Ural State University, 
76, Lenin Av., Chelyabinsk, 454080, Russia

Graphic Algorithms for Constructing  
a Quadric, Given Nine Points 

Abstract. The fundamental issue of constructing a nine-point 
quadric was frequently discussed by mathematicians in the 19th 
century. They failed to find a simple linear geometric dependence 
that would join ten points of a quadric (similar to Pascal's theorem, 
which joins six points of a conic section). Nevertheless, they found 
different algorithms for a geometrically accurate construction 
(using straightedge and compass or even using straightedge alone) 
of any number of points of a quadric that passes through nine 
given points. While the algorithms are quite complex, they can be 
implemented only with the help of computer graphics. The paper 
proposes a simplified computer-based realization of J.H. Engel’s 
well-known algorithm, which makes it possible to define the ninepoint quadric metric. The proposed graphics algorithm can be 
considered an alternative to the algebraic solution of the stated 
problem.
The article discusses two well-known graphical algorithms for 
constructing a quadric (the Rohn — Papperitz algorithm and the 
J.H. Engel algorithm) and proposes a simplified version of the  
J.H. algorithm. For its constructive implementation using computer graphics. All algorithms allow you to determine the set of points 
and the set of flat sections of the surface of the second order, given 
by nine points. The Rohn — Papperitz algorithm, based on the 
spatial configuration of Desargues, is best suited for its implementation on an axonometric drawing using 3D computer graphics. 
Algorithm J.H. Engel allows you to solve a problem on the plane. 
The proposed simplified constructive version of the algorithm J.H. 
Engel is supplemented with an algorithm for constructing the 
principal axes and symmetry planes of a quadric, given by nine 
points. The construction cannot be performed with a compass and 
a ruler, since this task reduces to finding the intersection points of 
two second-order curves with one known general point (third degree 
task). For its constructive solution, a computer program is used 
that performs the drawing of a second order curve defined by an 
arbitrarily specified set of five points and tangents (both real and 
imaginary). The proposed graphic algorithm can be considered as 
an alternative to the algebraic solution of the problem.
Keywords: zehnter Punkt Problem, biquadratic curves, pencils 
of conic sections, pencils of quadrics, spatial configuration of 
Desargues, Pascal-Schema.

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 2. 3–11 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2019                                                              

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

1. Введение

«Несмотря на важность успехов, достигнутых в 
теории поверхностей второго порядка, надо заметить, 
что эти успехи составляют весьма малую долю тех, 
к которым, по-видимому, способна эта теория» [14]. 
Эти слова французского математика М. Шаля (1793–1880), 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–11

сказанные им в 1830 г., актуальны и сегодня. Например, 
в теории поверхностей второго порядка (квадрик) 
сохраняется принципиально важная «проблема десятой точки». Речь идет о некоторой, пока не найденной, графической зависимости, которая, возможно, связывает десять точек квадрики (аналогично 
теореме Б. Паскаля, связывающей шесть точек конического сечения). 
Если такая зависимость для квадрик существует, 
то она может рассматриваться как проективный эквивалент алгебраического уравнения поверхности 
второго порядка. Попытки найти общее соотношение 
между десятью произвольными точками квадрики, 
предпринятые немецкими и французскими математиками в XIX столетии, не привели к какому-либо 
существенному успеху. Но при этом были найдены 
различные варианты графического решения задачи 
построения квадрики, проходящей через девять данных точек [15; 17; 18]. Алгоритмы оказались очень 
сложны, особенно по сравнению со схемой Б. Паскаля, 
позволяющей решить аналогичную задачу для конических сечений.    
В конце ХХ в. ситуация принципиально не изменилась, но появилась компьютерная графика, позволяющая выполнять любые, как угодно сложные, 
графические построения [1; 3; 4]. В частности, кривые второго порядка стали такими же простыми и 
точно вычерчиваемыми линиями, как прямая и 
окружность [7; 8]. Новые инструментальные средства 
позволяют разработать конструктивные графические 
алгоритмы построения квадрики «по девяти точкам», 
не уступающие по точности алгебраическому алгоритму, основанному на решении системы девяти 
линейных уравнений.

2. Постановка задачи

В трехмерном евклидовом пространстве указаны 
точки 1, 2, …, 9. Девять точек общего положения 
определяют единственную квадрику Θ, проходящую 
через эти точки. Данные точки не должны располагаться на одной биквадратной кривой, поскольку 
указание любого числа точек на такой кривой не 
определяет однозначно поверхность второго порядка. Три данные точки не должны принадлежать одной 
прямой, поскольку в этом случае вся прямая и все 
точки на ней принадлежат искомой поверхности. 
Шесть данных точек не должны принадлежать одной 
кривой второго порядка, поскольку все точки на этой 
кривой принадлежат искомой поверхности.
Через одну из данных точек проведем прямую 
общего положения t. «Проблема десятой точки» формулируется следующим образом: с помощью линейки построить вторую точку пересечения прямой t с 

квадрикой Θ (найти графический алгоритм построения десятой точки квадрики). 
Задача может быть сформулирована менее строго: 
найти графический алгоритм построения линии пересечения квадрики Θ (заданной девятью точками), 
произвольной плоскостью общего положения.  
Задача дополняется требованием построения плоскостей симметрии и вершин искомой квадрики Θ. 
Алгебраическое решение дополнительной задачи 
сводится к решению характеристического уравнения 
третьего порядка. Эквивалентное геометрическое 
решение сводится к построению трех точек пересечения двух конических сечений, одна общая точка 
которых известна. Это задача третьей степени, которая не может быть решена циркулем и линейкой.
Следует отметить, что задача построения квадрики по девяти точкам, в силу своей фундаментальной 
значимости, многократно рассматривалась математиками XIX в. [18]. Рассмотрим алгоритм Rohn – 
Papperitz (1896) [17] и алгоритм J.H. Engel (1889) [15]. 
Перевод статьи [15] любезно представлен проф.  
А.Г. Гиршем (A.G. Hirsch, г. Кассель, Германия).

3. Алгоритм Rohn — Papperitz 

В трехмерном евклидовом пространстве указаны 
девять точек общего положения 1, 2, …, 9. Требуется 
построить поверхность второго порядка Θ, проходящую через данные точки.
 Отмечаем плоскости α(123), β(456), γ(789). Прямые 
линии m = α ∩ β, n = β ∩ γ, l = α ∩ γ пересекаются 
в точке P. Согласно [17], решение сводится к построению конических сечений a2(1, 2, 3), b2(4, 5, 6), g2(7, 
8, 9), попарно пересекающихся на прямых m, n, l. 
Возможны следующие варианты инцидентности: 
все точки пересечения действительные (рис. 1, а); 
все точки пересечения мнимые (рис. 1, б); четыре 
действительные и две мнимые точки пересечения; 
две действительные и четыре мнимые точки пересечения. Пересекающиеся конические сечения a2, b2, 
g2 при любом варианте инцидентности вполне определяют искомую квадрику Θ, поскольку позволяют 
построить ее сечение произвольной плоскостью общего положения. 
Совместно рассмотрим плоскости α и β. На прямой m = α ∩ β укажем две произвольные точки M, 
N.  Через точки 1, 2, 3, M, N в плоскости α проведем 
коническое сечение a2. Через точки 4, 5, 6, M, N в 
плоскости β проведем коническое сечение b2. Точки 
M, N могут быть действительными (рис. 2, а) или 
мнимыми сопряженными, заданными произвольно 
указанным маркером m(OL) (рис. 2, б). Конструктивный 
алгоритм построения коники, заданной тремя действительными и двумя мнимыми сопряженными 

точками, сводится к построению двух дополнительных действительных точек искомой коники и последующему вычерчиванию коники по пяти действительным точкам [2; 5].  
Определение. Конические сечения a2, b2, лежащие 
в плоскостях α и β, назовем «сопряженными», если 
они пересекаются в действительных или мнимых 
сопряженных точках, лежащих на прямой m = α ∩ β.
Начертим поляры pa, pb точки P относительно 
конических сечений a2, b2. Поляры сопряженных 
конических сечений также назовем «сопряженными». 
Сопряженные поляры пересекаются в точках, лежащих на прямой m. Множеству сопряженных конических сечений a2~b2 соответствует множество сопряженных поляр pa~pb.
Произвольно указывая точки M, N на прямой m, 
начертим в плоскостях α, β три пары сопряженных 

конических сечений a2~b2, a′2~b′2, a′′2~b′′2. Трем парам 
сопряженных конических сечений соответствуют три 
пары сопряженных поляр pa ~ pb, 
′
′
p
p
a
b
∼
,
′′
′′
p
p
a
b
∼
.  
Сопряженные поляры попарно пересекаются на 
прямой m, образуя пространственную конфигурацию 
Дезарга с центром Oαβ и осью m. Центр Oαβ находится на пересечении прямых, соединяющих соответственные точки p
p
p
p
a
a
b
b
∩
′
(
) ↔
∩
′
(
),
′ ∩
′′
(
) ↔
p
p
a
a

↔
′ ∩
′′
(
)
p
p
b
b ,
p
p
p
p
a
a
b
b
∩
′′
(
) ↔
∩
′′
(
).

Аналогично устанавливаются перспективные соответствия между парами плоскостей α ↔ γ (с центром Oαγ и осью l = α ∩ γ) и β ↔ γ (с центром Oβγ и 
осью n = β ∩ γ).
Отметим принципиально важную особенность 
полученного перспективного соответствия. Пусть 
через один из центров, например, через центр Oαβ, 
проведена произвольная плоскость δ. Плоскость δ 

Рис. 1. Коники a2, b2, g2 определяют квадрику Θ(1, 2, …, 9): коники пересекаются  
в действительных точках (а); коники пересекаются в мнимых точках (б)

Рис. 2. Сопряженные коники a2~b2 и сопряженные поляры pa~pb: точки пересечения M, N сопряженных 
коник действительные (а); точки пересечения m(OL) сопряженных коник мнимые (б)

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 2. 3–11 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2019                                                              

а)
б)

а)
б)

пересекается с плоскостями α, β по прямым pα = δ ∩ 
α, pβ = δ ∩ β. Эти прямые могут считаться сопряженными полярами (относительно полюса P) двух сопряженных конических сечений d
d
α
β
2
2
1 2 3
4 5 6
, ,
, ,
.
(
)
(
)
∼
 
Коническое сечение dα

2,  проходящее через точки 1, 
2, 3, вполне определено полюсом P и полярой pα. 
Коническое сечение dβ2, проходящее через точки 4, 
5, 6, вполне определено полюсом P и полярой pβ. 
Конструктивное построение коники d2, заданной 
тремя точками, полюсом P и полярой p, основано на 
том обстоятельстве, что инволюционная гомология 
с центром P и осью p преобразует конику d2 в себя 
[2, с. 138]. 
Таким образом, произвольная плоскость δ, инцидентная центру Oαβ, порождает в плоскостях α, β пару 
сопряженных конических сечений, проходящих через данные точки (1, 2, 3) и (4, 5, 6). Следовательно, 
плоскость Δ(OαβOαγOβγ) порождает в плоскостях α, β, 
γ три пары сопряженных конических сечений a2~b2, 
a2~g2, b2~g2, проходящих через данные точки (1, 2, 
3), (4, 5, 6), (7, 8, 9). Эти конические сечения определяют искомую поверхность Θ. Задача решена. 

4. Алгоритм J.H. Engel

В трехмерном пространстве указаны девять точек 
общего положения 1, 2, …, 9. Требуется построить 
поверхность второго порядка Θ0, проходящую через 
данные точки.
Вводим в рассмотрение пучок поверхностей второго порядка (квадрик), проходящих через точки  
1, 2, ..., 8. Следуя J.H. Engel, назовем этот пучок 
квадрик пучком № 1. Все квадрики пучка № 1 пересекаются по биквадратной кривой, проходящей через точки 1, 2, …, 8. Искомая квадрика Θ0 принадлежит пучку № 1.
Разрежем пучок № 1 плоскостью α (129). В сечении получим пучок ψ кривых второго порядка с 
базисными точками 1, 2, S, T (положение точек S, T 
неизвестно). В пучке ψ (12ST) содержится коническое 
сечение c2 = Θ0 ∩ α, проходящее через точку 9 и 
через базисные точки 1, 2, S, T пучка ψ. Если мы 
найдем неизвестные базисные точки S, T пучка ψ, 
то полностью определим коническое сечение c2. Тогда 
задача построения квадрики Θ0 будет практически 
решена, так как коника c2 принадлежит искомой 
квадрике Θ0. 
Таким образом, задача построения квадрики Θ0 
сводится к поиску базисных точек S, T пучка ψ. Для 
построения точек S, T надо выделить из пучка квадрик 
№ 1 две произвольные квадрики Θ, Θ′ и найти конические сечения θ2 = Θ ∩ α, θ′2 = Θ′ ∩ α. Коники 
θ2, θ′2 пересекаются в известных точках 1, 2 и в искомых точках S, T. 

Пучок квадрик № 1 вполне определен точками  
1, 2, …, 8. Как из этого пучка выделить произвольную 
квадрику Θ и найти ее сечение плоскостью α (129)? 
Следуя  J.H. Engel, рассмотрим вспомогательную 
задачу.
Вспомогательная задача. Построить произвольную 
квадрику Θ, проходящую через восемь данных точек 
1, 2, …, 8; найти сечение θ2 = Θ ∩ α (129).
Решение вспомогательной задачи. Выделяем плоскости α (129), β (345), γ (678) и проводим прямую 
a = 12 (рис. 3). Произвольным образом указываем 
на прямой g = β ∩ γ две точки F, G. Временно исключаем из рассмотрения точку 2. Через девять точек 
1, 3, …, 8, F, G проходит единственная квадрика ΦG.

Рис. 3. Исходные данные к алгоритму Engel

Зафиксировав положение точки F, будем менять 
положение точки G на прямой g. Получаем пучок 
квадрик {ΦG}, проходящих через восемь фиксированных точек 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, F и через девятую 
«подвижную» точку G. Следуя J.H. Engel, назовем 
этот пучок квадрик пучком № 2. Для решения вспомогательной задачи требуется из пучка № 2 выделить 
квадрику, проходящую через исключенную точку 2. 
Пусть подвижная точка G занимает последовательные положения G, G′, G′′, … на прямой g. Через 
точки G, G′, G′′, … проходят квадрики ΦG, ΦG′, ΦG′′, … 
пучка № 2, пересекающие прямую a в фиксированной точке 1 и в точках A, A′, A′′, … Согласно теореме 
T. Reye, между точечными рядами g и a устанавливается проективное соответствие g G G G
,
,
,...
′
′′
(
) ∧

∧
′
′′
(
)
a A A A
,
,
,... (доказательство теоремы T. Reye [16] 
рассмотрено в Приложении).  В этом проективном 
соответствии точке 2 на прямой a соответствует некоторая точка G2 на прямой g. Квадрика пучка № 2, 
проходящая через точку G2, проходит также и через 
точку 2.
Чтобы установить проективное соответствие между точечными рядами g и a, надо выделить из пучка 
№ 2 три произвольные квадрики и отметить точки 
пересечения этих квадрик с прямыми g, a. Выделим 
произвольную квадрику ΦG (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, F, G) 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–11

пучка № 2, отметив произвольную точку G на прямой 
g. В сечении этой квадрики плоскостями β (345) и γ 
(678) получаем коники kβ
2 (3, 4, 5, F, G) и kγ
2  (6, 7, 8, 
F, G). Конические сечения k
k
β
γ
2
2
,
 пересекаются с 
плоскостью α(129) в точках N N
n
k
1
2
2
,
(
) =
∩
β  и 

M M
m
k
1
2
2
,
(
) =
∩
γ  (рис. 4, а). Коническое сечение 

k
G
α
α
2 =
∩
Φ
 вполне определено точками 1, N1, N2, 
M1, M2. Коника kα

2  пересекается с прямой a в точке 1 
и в точке A (рис. 4, б). Точка A на прямой a и точка 
G на прямой g взаимно соответствуют друг другу в 
проективном соответствии g
a
∧ .

Рис. 4. Квадрика ΦG пучка № 2 определена точкой 1 и кониками k
k
β
γ
2
2
,
 (а); 
сечение kα
2  квадрики ΦG плоскостью α (129) (б)

Выделяя три произвольные квадрики ΦG, ΦG′, ΦG′′ 
пучка № 2, находим три пары проективно соответственных точек A, A′, A′′ и G, G′, G′′ на прямых a и g. 
В проективитете g G G G
a A A A
,
,
,...
,
,
,...
′
′′
(
) ∧
′
′′
(
)  находим точку G2 на прямой g, соответствующую точке 2 
на прямой a. Квадрика пучка № 2, проходящая через 
точки 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, F, G2, проходит также и через 
точку 2, следовательно, это квадрика Θ пучка № 1. 
Квадрика Θ полностью определена точками 1, 2, …, 8 
и точкой F на прямой g.
Чтобы найти сечение θ2 = Θ ∩ α, надо построить 
коники d
F G
β
β
2
2
3 4 5
, , ,
,
,
(
) =
∩
Θ
d
F G
γ
2
2
6 7 8
, , ,
,
(
) =

=
∩
Θ
γ и отметить точки пересечения этих коник с плос- 
костью α:  N
N
n
d
Θ
Θ
1
2
2
,
,
(
) =
∩
β
M
M
m
d
Θ
Θ
1
2
2
,
.
(
) =
∩
γ

Через точки 1, 2 и NΘ1, NΘ2, MΘ1, MΘ2 проходит коника θ2. Вспомогательная задача решена.
Указав на прямой g другую произвольную точку 
F′ ≠ F, снова решаем вспомогательную задачу. Выделяем 
из пучка № 1 другую произвольную квадрику Θ′ (1, 
2, …, 8, F′) и находим ее сечение θ′2 = Θ′ ∩ α. Коники 
θ2, θ′2 пересекаются в базисных точках 1, 2, S, T пучка ψ. Через точки 1, 2, 9 и точки S, T проходит коническое сечение c2, принадлежащее искомой квадрике Θ0. Основная задача решена.

5. Упрощенный конструктивный вариант алгоритма 
J.H. Engel

В трехмерном пространстве указаны девять точек 
общего положения 1, 2, …, 9. Требуется построить 
поверхность второго порядка Φ9, проходящую через 
данные точки. Для упрощенного конструктивного 
решения задачи предлагается использовать компьютерную программу [12], основанную на проективных 
инвариантах теории конических сечений [7; 8; 10; 
11]. Программа выполняет вычерчивание кривой 
второго порядка, проходящей через данные точки и 
касающейся данных прямых. 
Выделяем плоскости α (123), β (456), γ (789) и 
отмечаем линии m = α ∩ β, n = β ∩ γ, l = α ∩ γ. 
Действие 1. Зафиксируем на прямой m произвольную точку F. Отметим на прямой m другую произвольную точку G, не совпадающую с точкой F. 
В плоскостях α, β начертим конические сечения 
k
F G
α
2 1 2 3
, , ,
,
(
)  и k
F G
β
2 4 5 6
, , ,
,
.
(
)  Конические сечения 

kα
2, kβ
2  и точка 7 определяют квадрику ΦG. Квадрика 
ΦG проходит через точки F, G и через все заданные 
точки, кроме точек 8, 9. Начертим сечение kγ
2  квадрики ΦG плоскостью γ:  k
G
γ
γ
2 =
∩
Φ
. Коническое 
сечение kγ
2  вполне определено точкой 7 и двумя 
парами точек 
L L
k
l
1
2
2
,
,
(
) =
∩
α
N N
k
n
1
2
2
,
(
) =
∩
β
 
(рис. 5, а).
Действие 2. Отметим на прямой g еще одну произвольную точку G′, не совпадающую с точками F, 
G. В плоскостях α, β начертим конические сечения 

′
′
(
)
k
F G
α
2 1 2 3
, , ,
,
,
′
′
(
)
k
F G
β
2 4 5 6
, , ,
,
.  Эти конические 
сечения совместно с точкой 7 определяют квадрику 
ΦG′. Квадрика ΦG ′ проходит через точки F, G′ и через 
все заданные точки, кроме точек 8, 9. Начертим 
сечение ′
kγ
2  квадрики ΦG′ плоскостью γ:  ′ =
∩
′
k
G
γ
γ
2
Φ
. 
Коническое сечение 
′
kγ
2  вполне определено  
точкой 7 и двумя парами точек 
′
′
(
) =
′ ∩
L L
k
l
1
2
2
,
,
α

′
′
(
) =
′ ∩
N
N
k
n
1
2
2
,
β
 (рис. 5, б).
Квадрики ΦG и ΦG′ определяют пучок квадрик 

Φ
Φ
G
G
,
,... ,
′
{
}  пересекающихся по биквадратной кривой f (F, 1, 2, …, 7). Конические сечения k k
γ
γ
2
2
, ′ образуют в плоскости γ пучок конических сечений 
γ
γ
γ
F k
k
2
2
,
,... .
′
(
) . Между квадриками пучка Φ
Φ
G
G
,
,... ,
′
{
}

а)

б)

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 2. 3–11 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2019                                                              

и кониками пучка γF установлено взаимнооднозначное соответствие.
Действие 3. На пересечении конических сечений 

k k
γ
γ
2
2
, ′  отмечаем базисные точки 7, U, V, W пучка γF. 
Построение точек пересечения U, V, W конических 
сечений k k
γ
γ
2
2
, ′  с известной общей точкой 7 – это 
задача третьей степени, которая не может быть решена линейкой и циркулем. В предлагаемом упрощенном конструктивном варианте алгоритма J.H. 
Engel используется компьютерная программа [12], с 
помощью которой вычерчиваются непрерывные 
кривые k
L L N N
γ
2
1
2
1
2
7,
,
,
,
,
(
)
′
′
′
′
′
(
)
k
L L N N
γ
2
1
2
1
2
7,
,
,
,
 и отмечаются точки их пересечения U, V, W (рис. 6).
Из пучка γF (7, U, V, W) выделяем конику g8
2, , 
проходящую через точку 8 (см. рис. 6). Коническому 
сечению g8
2,  соответствует единственная квадрика 
Φ8 пучка {ΦG, ΦG′, …}. Квадрика Φ8 проходит через 
фиксированную точку F и через все данные точки, 
кроме точки 9. 

Рис. 6. Построение коники g8
2  пучка γF (7, U, V, W)

Таким образом, из пучка {ΦG, ΦG′, …} выделена 
произвольная квадрика Φ8, проходящая через восемь 

данных точек 1, 2, …, 8, а также найдено сечение 
g8
2
8
=
∩
Φ
γ,  проходящее через точки 7, 8. 
Действие 4. Отметив на прямой m другую произвольную точку F′, не совпадающую с точкой F, повторяем действия 1…3. Получаем квадрику 
′
Φ8,  проходящую через фиксированную точку F′ и через 
восемь данных точек 1, 2,…, 8. Находим сечение ′g8
2  
квадрики 
′
Φ8,  плоскостью γ. Коника  
′g8
2  проходит 
через точки 7, 8.
Квадрики Φ8 и 
′
Φ8,  определяют пучок квадрик 

Φ
Φ
8
8
,
,... ,
′
{
}  пересекающихся по биквадратной кривой, проходящей через точки 1, 2, …, 8. Конические 
сечения g
g
8
2
8
2
, ′  образуют в плоскости γ пучок конических сечений ψ g
g
8
2
8
2
,
,...
′
(
)  с базисными точками 
7, 8, S, T. Точки S, T определяются как точки пересечения коник g
g
8
2
8
2
, ′  с известными общими точками 7, 8. Между квадриками пучка Φ
Φ
8
8
,
,...
′
{
}  и кониками пучка ψ установлено взаимнооднозначное 
соответствие.
Действие 5. Через точку 9 и через базисные точки 
7, 8, S, T пучка ψ проводим конику g9
2 .  Эта коника 
принадлежит искомой квадрике Φ9. Задача решена.

6. Построение главных осей квадрики, заданной 
девятью точками 

Квадрика Θ задана девятью точками общего положения. Требуется построить главные оси квадрики.
Используя один из рассмотренных выше алгоритмов, находим какое-либо коническое сечение θ2 квадрики Θ. Наличие непрерывно начерченной коники 
θ2 позволяет выполнять вспомогательные построения, 
необходимые для построения главных осей квадрики. 
Находим центр O квадрики и выделяем связку 
прямых и плоскостей O (d, Σ), сопряженных относительно Θ. В этой связке произвольному диаметру 
d соответствует сопряженная диаметральная плоскость 

Рис. 5. Построение квадрик ΦG (а) и ΦG′ (б)

а)
б)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–11

Σ (плоскость Σ проходит через середины хорд, параллельных диаметру d). В связке O (d, Σ) имеются 
три пары взаимно перпендикулярных диаметров d и 
три пары взаимно перпендикулярных диаметральных 
плоскостей Σ. Это и есть искомые главные оси и 
плоскости симметрии квадрики Θ.
Рассмотрим ортогональное соответствие в связке 
O: каждой плоскости Σ соответствует перпендикуляр 
n, проходящий через точку O. Между двухпараметрическим множеством прямых линий d и n в связке 
O установлено проективное соответствие ΛO. Три 
пары совпавших прямых d ≡ n указывают главные 
оси квадрики Θ.  
Начертим четыре пары прямых d1 ~ n1, d2 ~ n2, 
d3 ~ n3, d4 ~ n4, соответственных в ΛO. Проводим произвольную секущую плоскость Π. Плоскость Π пересекает соответственные прямые в соответственных 
точках D1 ~ N1, D2 ~ N2, D3 ~ N3, D4 ~ N4. Получаем 
совмещенные точечные поля Π = ΠD = ΠN. Четыре 
пары точек определяют коллинеацию Δ(ΠD ↔ ΠN). 
Требуется найти три двойные точки этой коллинеации. 
Согласно [6], для построения двойных точек коллинеации Δ отметим в плоскости ΠD произвольную 
точку D0. Начертим пучок прямых D0(D0D1, D0D2, D0D3, 
D0D4). В плоскости ΠN найдем точку N0, соответствующую точке D0 в коллинеации Δ. Начертим пучок 
прямых N0(N0N1, N0N2, N0N3, N0N4). Пучки D0 и N0 
проективны. Точки пересечения соответственных 
лучей этих пучков образуют некоторое коническое 
сечение h2.
Будем полагать, что кривая h2 относится к полю 
ΠD. В поле ΠN найдем конику hN
2 ,  соответствующую 
конике h2 в коллинеации Δ. Кривые h2 и hN
2  пересекаются в точке N0 и в трех двойных точках X, Y, Z 
коллинеации Δ(ΠD ↔ ΠN). Построение точек  
(X, Y, Z) = h2 ∩ hN
2  не может быть выполнено циркулем и линейкой, поскольку это задача третьей 
степени. Для ее конструктивного решения используется компьютерная программа [12]. Главные оси 
квадрики Θ проходят через центр O и через точки X, 
Y, Z. Плоскости симметрии перпендикулярны главным осям. Задача решена.

7. Приложение (доказательство теоремы T. Reye [16]) 

Дан пучок квадрик Φ{ϕ1, ϕ2, ϕ3, …}, пересекающихся по биквадратной кривой f. Отметим на кривой 
f две произвольные точки A, B. Через точку A проведем произвольную прямую общего положения a. 
Через точку B проведем прямую общего положения 
b. Прямая a пересекается с квадриками пучка Φ в 
точке A и в точках A1, A2, A3,… Прямая b пересекается с квадриками пучка Φ в точке B и в точках B1, B2, 
B3, … .

Теорема T. Reye. Ряды a (A1, A2, A3, …) и b (B1, B2, 
B3, …) проективны.
Доказательство. Через точку A проведем прямую 
b′, параллельную прямой b. В сечении пучка квадрик 
Φ плоскостью b
b
′  получаем пучок конических 
сечений β b
b
b
1
2
2
2
3
2
,
,
,... .
(
)  Прямые b, b′ могут рассматриваться как вырожденное коническое сечение, 
проходящее только через две базисные точки A, B 
пучка β. Коники пучка β, пересекаясь с прямыми b, 
b′, образуют точечные ряды b(B1, B2, B3, …) и 

′
′
′
′
(
)
b B B
B
1
2
3
,
,
,... . Согласно обобщенной теореме Дезарга 
[6, с. 130], пары соответственных точек B
B
1
1
∼
′,

B
B
2
2
∼
′, B
B
3
3
∼
′,... этих рядов принадлежат одной 
инволюции с центром S (рис. 7), следовательно, 
квадрики пучка Φ пересекаются с прямыми b || b′ по 
перспективно расположенным точечным рядам 
b B B
B
b B B
B
1
2
3
1
2
3
,
,
,...
,
,
,... .
(
) ∧
′
′
′
′
(
)

Рис. 7. К доказательству теоремы T. Reye

В сечении пучка квадрик Φ плоскостью a ∩ b′ 
получаем пучок коник α a
a
1
2
2
2
,
,... .
(
)  Коники пучка α, 
пересекаясь с прямыми a, b′, образуют точечные ряды 
a(A1, A2, A3, …) и ′
′
′
′
(
)
b B B
B
1
2
3
,
,
,... . Покажем, что ряды 
a и b′ проективны. В плоскости a ∩ b′ проведем через 
одну из базисных точек пучка α (не совпадающую с 
точкой A) произвольную прямую a′. Согласно обобщенной теореме Дезарга, все коники пучка α пересекаются с прямыми a, a′ по перспективно соответственным рядам точек  a
a
∧
′.  Но эта теорема справедлива и для прямых a′ и b′: ′ ∧
′
a
b .  Следовательно, 
точечные ряды a(A1, A2, A3, …) и ′
′
′
′
(
)
b B B
B
1
2
3
,
,
,...  расположенные на прямых a и b′, проходящих через 
одну и ту же базисную точку пучка конических сечений, проективны (но не перспективны).

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 2. 3–11 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2019                                                              

Таким образом, квадрики пучка Φ пересекаются 
с прямыми a, b′ по проективным точечным рядам 
a(A1, A2, A3, …) ∧
′
′
′
′
(
)
b B B
B
1
2
3
,
,
,... . Ранее было показано, что ряды b (B1, B2, B3, …) и ′
′
′
′
(
)
b B B
B
1
2
3
,
,
,...  перспективны. Следовательно, точечные ряды a (A1, A2, 
A3,…) и b (B1, B2, B3, …) проективны. Теорема T. Reye 
доказана. Эта теорема лежит в основе алгоритма  
J.H. Engel.

8. Заключение

Развитие компьютерной графики в конце XX в. 
привело к появлению «проективно-вычислительного» метода геометрического моделирования, объединяющего преимущества синтетических и аналитических методов исследования. Новый метод сочетает в себе высокую точность компьютера, любые 
действия которого в принципе основаны на координатных расчетах, и геометрическую простоту проективных алгоритмов, в которых имеют значение только инциденции точек и прямых. В этом сочетании 
можно усмотреть окончательное завершение «идеологического противостояния» аналитической геометрии (Р. Декарт, 1596–1650) и синтетической геометрии (Ж. Дезарг, 1591–1661).
Современные средства компьютерной графики 
позволяют конструктивно реализовать сложные графические алгоритмы [13], в том числе проективные 
алгоритмы построения квадрики, заданной девятью 
точками. Алгебраическое решение этой задачи заключается в вычислении коэффициентов общего 
уравнения искомой квадрики, исходя из системы 
девяти линейных уравнений относительно девяти 

неизвестных коэффициентов. Эквивалентное геометрическое решение также должно быть линейным, 
т.е. должно выполняться с помощью одной линейки 
и даже без применения циркуля. Этому требованию 
удовлетворяет алгоритм Rohn – Papperitz [17], не 
вполне удовлетворяет алгоритм J.H. Engel [15], и не 
удовлетворяет упрощенный конструктивно-компьютерный вариант алгоритма J.H. Engel [9]. 
Следует отметить, что в статье [15] рассматривается не только алгоритм, основанный на теореме T. 
Reye, но также предлагаются два варианта решения 
задачи с помощью одной линейки. Эти варианты, 
конечно, не являются самыми простыми. Это весьма сложные конструкции, которые, тем не менее, 
удовлетворяют научно обоснованному требованию 
эквивалентности графического и алгебраического 
решений. 
Упрощенный конструктивный алгоритм построения квадрики практически реализуется с помощью 
компьютерной программы [12]. Программа выполняет геометрически точное (циркулем и линейкой) 
построение метрики кривой второго порядка, заданной набором пяти линейных инциденций (точек и 
касательных) [7; 8]. Точки и касательные могут быть 
как вещественными, так и мнимыми [5; 11]. После 
определения метрики программа вычерчивает непрерывную кривую второго порядка, удовлетворяющую заданным условиям инцидентности. Применение 
подобной программы никак не способствует решению 
теоретической «проблемы десятой точки», но позволяет составить сравнительно простой графический 
алгоритм построения квадрики, заданной девятью 
точками, альтернативный алгебраическому решению.

Литература

1. Бойков А.А. К вопросу о методике использования алгоритмов при решении задач начертательной геометрии 
[Текст] / А.А. Бойков, А.А. Сидоров, А.М. Федотов // 
Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 3. — C. 56–68. — 
DOI: 10.12737/issn.2308-4898.
2. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии 
[Текст] / О.А. Вольберг. — М. – Л.: Учпедгиз, 1949. — 188 с.
3. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и 
графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — C. 23–46. — DOI: 
10.12737/issn.2308-4898.
4. Волошинов Д.В. Единый конструктивный алгоритм 
построения фокусов кривых второго порядка [Текст] / 
Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. — 2018. —  
Т. 6. — № 2. — C. 47–54. — DOI: 10.12737/issn.2308-4898.

5. Гирш А.Г. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами / 
А. Г. Гирш, В. А. Короткий // Геометрия и графика. — 
2016. — Т. 4. — № 4. — C. 19–30. — DOI: 10.12737/22840.
6. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 343 с.
7. Короткий В.А. Синтетические алгоритмы построения 
кривой второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // 
Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2014. — № 11. — С. 20–24. — DOI: 10.14489/
issn.1810-7206.
8. Короткий В.А. Универсальный компьютерный коникограф [Текст] / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // 
Труды 26-й Международной научной конференции  
GraphiCon. — Нижний Новгород: ННГАСУ, 2016. — 
С. 347–351.
9. Korotkiy V. Construction of a Nine-Point Quadric Surface // 
Journal for Geometry and Graphics. 2018. V. 22. No. 2.  
P. 183–193.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–11

10. Короткий В.А. Кривые второго порядка на экране компьютера [Текст] / В.А. Короткий, Е.А. Усманова // Гео- 
метрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — C. 101–113. — 
DOI: 10.12737/issn.2308-4898.
11. Короткий В.А. Компьютерная визуализация кривой второго порядка, проходящей через мнимые точки и касающейся мнимых прямых [Текст] / В.А. Короткий// Научная визуализация. — 2018. — Т. 10. — № 1. — С. 56–68.
12. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» [Текст] / В.А. Короткий // Свидетельство о 
государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.
13. Сальков Н.А. Формирование поверхностей при кинетическом отображении [Текст] / Н.А.Сальков // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 1. — C. 20–33. — 
DOI: 10.12737/issn.2308-4898.
14. Chasles M. Aperçu historique sur l'origine et le développement des methods en Géométrie particuliérement de celles 
qui se rapportent à la Géométrie moderne. Paris, 1875.
15. Engel J.H. Konstruktionen zur Geometrie der Flächen zweiter Ordnung und der ebenen Kurven dritter Ordnung. Vierteljahrsschrift der Naturforschende Gesellschaft in Zürich, 
299–337 (1889).
16. Reye T. Die Geometrie der Lage. II. Theil. Leipzig, Baumgärtner´s Buchhandlung, 1892.
17. Rohn K., Papperitz E. Lehrbuch der Darstellenden Geometrie. Band II, Leipzig, 1896.
18. Staude O. Flaechen 2. Ordnung und ihre Systeme und 
Durchdringungskurven. In Encyklopaedie der Mathematischen Wissenschaften, Band III, Geometrie, Teil 2, Hälfte 1, 
Teubner, Leipzig, 1903.

References

1. Boykov A.A. K voprosu o metodike ispol'zovaniya algoritmov pri reshenii zadach nachertatel'noj geometrii [On the 
issue of the use of algorithms for solving problems of descriptive geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2018, V. 6, I. 3, pp. 56–68 (in Russian). DOI 10.12737/
issn.2308-4898.
2. Vol'berg O.A. Osnovnye idei proektivnoy geometrii [The Basic 
Ideas of Projective Geometry]. Moscow-Leningrad, Gosudarstvennoe uchebno-pedagogicheskoe izdatel'stvo Publ., 
1949, 188 p. (in Russian).
3. Voloshinov D.V. Vizual'no-graficheskoe proektirovanie edinoj konstruktivnoj modeli dlya resheniya analogov zadachi 
Apolloniya s uchetom mnimyh geometricheskih obrazov 
[Visual graphic design of a unified constructive model for 
solving analogs of the Apollonian problem taking into account imaginary geometric images]. Geometriya i grafika 
[Geometry and graphics]. 2018, V. 6, I. 2, pp. 23-46. (in 
Russian). DOI 10.12737/issn.2308-4898.
4. Voloshinov D.V. Edinyj konstruktivnyj algoritm postroeniya fokusov krivyh vtorogo poryadka [Unified constructive 
algorithm for constructing focuses of second order curves]. 
Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2018, V. 6,  

I. 2, pp. 47–54. (in Russian). DOI 10.12737/issn.23084898.
5. Hirsh A.G., Korotkiy V.A. Graficheskie algoritmy rekonstrukcii krivoj vtorogo poryadka, zadannoj mnimymi ehlementami [Graphic algorithms for the reconstruction of the 
second order curve given by imaginary elements]. Geometriya 
i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, I. 4, pp. 19–30 
(in Russian). DOI 10.12737/22840.
6. Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 1963, 344 p. (in Russian).
7. Korotkiy V.A. Sinteticheskie algoritmy postroeniya krivoj 
vtorogo poryadka [Synthetic Algorithms for Constructing a 
Curve of the Second Order]. Vestnik komp'yuternykh i informatsionnykh tekhnologiy [Journal of computer and information technology]. 2014, I. 11, pp. 20–24. (in Russian). DOI: 
10.14489/issn.1810-7206.
8. Korotkiy V.A., L.I. Hmarova. Universal'nyj komp'yuternyj 
konikograf [Universal computer program for tracing conic 
sections]. Trudy 26-j Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii 
GraphiCon 2016 (19–23 sentyabrya 2016) [Proceedings of 
the 26th International Scientific Conference GraphiCon 
2016]. Nizhnij Novgorod, NNGASU Publ., pp. 347–351. 
(in Russian).
9. Korotkiy V. Construction of a Nine-Point Quadric Surface. 
Journal for Geometry and Graphics, Austria, Volume 22 
(2018), No. 2, 183–193.
10. Korotkij V.A., Usmanova E.A. Krivye vtorogo poryadka na 
ehkrane komp'yutera [Second-order curves on a computer screen]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 
2018, V. 6, I. 2, pp. 101–113. (in Russian). DOI: 10.12737/
issn.2308-4898.
11. Korotkij V.A. Komp'yuternaya vizualizaciya krivoj vtorogo 
poryadka, prohodyashchej cherez mni-mye tochki i kasayushchejsya mnimyh pryamyh [Computer visualization of the 
second order curve passing through imaginary points and 
touching imaginary straight lines]. Nauchnaya vizualizaciya 
[Scientific visualization]. 2018, V. 10, I. 1, pp. 56–68. (in 
Russian).
12. Korotkiy V.A. Programma dlya EHVM «Postroenie krivoy 
vtorogo poryadka, prokhodyashchey cherez dannye tochki 
i kasayushchikhsya dannykh pryamykhi» [The Construction 
of the Curve of the Second Order Passing Through the Data 
Points and Data Concerning Direct]. Svid. o gosudarstvennoy 
registratsii programmy dlya EVM. no. 2011611961, 04.03.2011 
[State Registration Certificate No. 2011611961 dated March 
4, 2011].
13. Sal'kov N.A. Formirovanie poverhnostej pri kineticheskom 
otobrazhenii [Formation of surfaces during kinetic imaging]. 
Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2018, V. 6,  
I. 1, pp. 20–33. (in Russian). DOI 10.12737/issn.2308-4898.
14. Chasles M. Aperçu historique sur l'origine et le développement des methods en Géométrie particuliérement de celles 
qui se rapportent à la Géométrie moderne. Paris, 1875.
15. Engel J.H. Konstruktionen zur Geometrie der Flächen zweiter Ordnung und der ebenen Kurven dritter Ordnung. Vier
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 2. 3–11 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2019