Геометрия и графика, 2019, № 1

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА – 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Меркулова Н.Б.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 590 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2019

Подписано в печать 25.03.2019.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Панчук К.Л., Мясоедова Т.М., Крысова И.В. 
Геометрическая модель генерации семейства 
контурно-параллельных линий для 
автоматизированного расчета траектории режущего 
инструмента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Сальков Н.А.
Общие принципы задания линейчатых 
поверхностей. Часть 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Маркин Л.В.
Дискретные геометрические модели оценки 
степени затененности в гелиоэнергетике . . . . . . . . . . . .28

Жихарев Л.А.
Отражение от криволинейных зеркал 
в плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Романова В.А.
Визуализация правильных многогранников 
в процессе их образования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Федосеева М.А.
Методика подготовки студентов технических 
вузов графическим дисциплинам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

Усатая Т.В., Дерябина Л.В., 
Решетникова Е.С.
Современные подходы к проектированию 
изделий в процессе обучения студентов 
компьютерной графике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

2019. Том 7. Вып. 1
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
МИРЭА - Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2019. Vol. 7. Issue 1
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. 
Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия).
 
Russian Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named after 
A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский 
педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА – Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия). 

УДК 004.925.83                                                                                   
DOI: 10.12737/article_5c92012c51bba1.17153893

К.Л. Панчук, 
Д-р техн. наук, профессор,
Омский государственный технический университет», 
Россия, 644050, г. Омск, пр. Мира, 11, 
Т.М. Мясоедова, 
Старший преподаватель,
Омский государственный технический университет», 
Россия, 644050, г. Омск, пр. Мира, 11, 
И.В. Крысова
Канд. техн. наук, доцент,
Омский государственный технический университет», 
Россия, 644050, г. Омск, пр. Мира, 11, 

Геометрическая модель 
генерации семейства контурнопараллельных линий для 
автоматизированного расчета 
траектории режущего 
инструмента

Аннотация. В работе предложена геометрическая модель 
и получено аналитическое решение задачи формообразования 
контурно-параллельных линий (эквидистант) для плоского 
контура с островом. Решение этой задачи актуально для автоматизированного проектирования режущего инструмента, 
обрабатывающего карманные поверхности на станках с ЧПУ. 
Предложенная геометрическая модель основана на циклографическом отображении пространства на плоскость. Кроме 
наличия аналитического решения, она отличается от известных алгебраических моделей и их решений для рассматриваемой задачи формообразования еще и тем, что на этапах 
компьютерной пространственной визуализации позволяет 
получать более полное и наглядное представление о взаимосвязи и взаимовлиянии всех ее геометрических компонент. 
Для получения семейств эквидистант связных и многосвязных областей с замкнутыми контурами, положенных в 
основу моделирования карманных поверхностей, предложена 
пространственная геометрическая модель на основе циклографического отображения пространства. Из модели следует 
алгоритм аналитического решения задачи генерации семейств 
эквидистант. Все этапы аналитического решения сопровождаются образным представлением геометрических объектов 
и их отношений в виртуальном электронном пространстве 
геометрической модели. Предложенный в работе алгоритм 
для случая двусвязной многоугольной области может быть 
положен в основу генерации семейств эквидистант для многосвязных многоугольных областей. Наличие аналитического 
решения задачи генерации семейств эквидистант значительно упрощает автоматизированный расчет траектории инструмента и подготовку управляющих программ для обработки 

карманных поверхностей на станках с ЧПУ. Приведен пример 
и алгоритм, подтверждающие работоспособность предложенной геометрической модели рассматриваемой задачи формообразования.
Ключевые слова: эквидистанта, циклографическое отображение, α-поверхность, геометрическая модель, контурно-параллельные траектории инструмента.

K.L. Panchuk 
Doctor of Engineering, Professor,
Omsk State Technical University,
11, Mira Av., Omsk, 644050, Russia
T.M. Myasoedova
Senior Lecturer,
Omsk State Technical University,
11, Mira Av., Omsk, 644050, Russia
I.V. Krysova
Ph.D. of Engineering, Associate Professor,
Omsk State Technical University,
11, Mira Av., Omsk, 644050, Russia

Geometric Model for Generation of ContourParallel Lines’ Family for Cutting Tool’s Path 
Automated Computation 

Abstract. In this paper has been proposed a geometric model 
for forming problem of contour-parallel lines (equidistant lines) 
for a flat contour with an island, and has been obtained the problem’s analytical solution, which is relevant for computer-aided 
design of cutting tools processing pocket surfaces on CNC machines. 
The proposed geometric model is based on cyclograph mapping of 
space on a plane. Beyond the analytical solution the geometric 
model differs from the known algebraic models and their solutions 
for considered forming problem also by the fact that it allows obtain 
a more complete and evident representation on the relationship 
and interaction for all its geometric components at the stages of 
3D computer visualization.
A 3D geometric model based on a cyclograph mapping of space 
has been proposed for obtaining the families of equidistant lines 
for connected and multiply connected regions with closed contours 
taken as a basis for pocket surfaces modeling. An algorithm for the 
analytical solution of the problem related to equidistant families 
generation is getting from the geometric model. All stages of the 
analytical solution are accompanied by a figurative representation 
of geometric objects and their relations in the geometric model’s 
virtual electronic space. The proposed in this paper algorithm for 
the case of a doubly connected polygonal region can be used as a 
basis for generation of equidistant families for multiply connected 
polygonal regions. The presence of the analytical solution for the 
problem related to equidistant families generation simplifies greatly the automated calculation of the tool path and preparation of 
control programs for pocket surfaces manufacturing on CNC machines. Have been presented an example and algorithm providing 
support for working capacity of the proposed geometric model for 
considered forming problem.
Keywords: equidistant, cyclograph display, α-surface, geometric model, contour-parallel tool paths.

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–13 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2019                                                              

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

I. Введение

Контурно-параллельные траектории обрабатывающего инструмента, геометрически представляющие 
собой семейство эквидистантных линий, являются 
широко используемыми траекториями для выполнения операции фрезерования, например, при формообразовании карманных поверхностей [15; 23] 
(рис. 1).

 
Рис. 1. Фрезерование карманных поверхностей [15]

Контурно-параллельные траектории принадлежат 
классу линий и поверхностей, образование которых 
основано на принципе смещения, в тривиальном 
случае выражаемом уравнением r t
c t
dn t
( ) =
( ) ±
( ),  
в котором d — величина смещения, n t( )  — единичный вектор нормали линии c t( ) . Теория этого класса линий и поверхностей и практические применения 
достаточно подробно представлены в работах [17; 18; 
25; 30].
Решение задачи генерации контурно-параллельных траекторий с применением диаграмм Вороного 
рассмотрено в работах [1; 24] и основано на определении биссектрис линий и круговых дуг. Нахождение 
контурно-параллельных траекторий перемещения 
инструмента для обработки изделий на станках с 
ЧПУ с использованием программной среды CAM/
CAD систем основано на применении медиальной 
оси преобразований области с граничным контуром 
[13; 14; 16; 27]. 
Большинство применяемых моделей генерации в 
геометрическом плане являются плоскостными.  
В них при генерации контурно-параллельных траекторий образуется семейство эквидистантных линий 
относительно контура кармана и семейство эквидистантных линий относительно контура острова в 
кармане. Эти семейства рассматриваются как разные 
геометрические объекты, что приводит к проблеме, 
когда карманные внутренние и островные наружные 
эквидистантные линии начинают пересекаться [10; 
11], что требует дополнительного анализа и разработки алгоритма отсечения нерабочих частей пере
секающихся линий. В предлагаемой пространственной геометрической модели оба семейства, с учетом 
допустимого их пересечения, рассматриваются как 
единый геометрический объект. Это позволяет получить на этапах компьютерной визуализации более 
полное и наглядное пространственное представление 
о взаимосвязи и взаимовлиянии всех геометрических 
объектов, участвующих в образовании семейства 
эквидистантных линий, и тем самым минимизировать 
вычислительные затраты и ошибки вычислений.
Эквидистанта, в зависимости от положения относительно исходного граничного контура, может 
иметь петли самопересечения. Возникает задача 
«обрезки» самопересекающихся эквидистант. Задачу 
исключения петель самопересечения семейства эквидистант внутри области решают, используя MAT 
(Medial Axis Transform) — медиальную ось преобразований области. Под MAT понимается множество 
всех вписанных в область кругов максимальных радиусов, т.е. касающихся ее граничного контура. 
Координаты (x, y) центра круга и его радиус R — это 
тройка чисел, множество которых для всех вписанных 
кругов максимальных радиусов определяет MAT [14; 
16; 27]. Центры всех этих кругов образуют медиальную ось MA (Medial Axis). Самопересечение эквидистанты происходит в точках на MA и определяется 
на основании информации о радиусах вписанных 
кругов. Таким образом, MAT как множество пар «точка, радиус» позволяет решать задачу обрезки эквидистант для последующего перехода к автоматизированному проектированию контурно-параллельных 
линий, представляющих собой траектории режущего инструмента.
Авторами работы предложен иной подход к формированию семейств эквидистант, в дальнейшем 
семейство OC (Offset Curves), основанный на представлении MAT как некоторого пространственного 
образа [4; 22; 26; 27], взаимно-однозначно соответствующего заданному прообразу — плоской области 
с граничным контуром. В новом подходе MAT — это 
пространственная кривая, восстановленная в пространстве по геометрической информации об области и ее граничном контуре на основе циклографического отображения пространства [4; 5; 19; 26; 27]. 
MAT образуется при пересечении всевозможных 
линейчатых α-поверхностей с образующими, наклоненными к плоскости контура под углом α = 45°. 
При этом α-поверхности формируются по геометрической информации об области и ее граничном контуре (общие принципы задания линейчатых поверхностей отражены в работах [7; 8]). Это приводит к 
формообразованию некоторой α-оболочки, накрывающей заданную область с граничным контуром. 
α-оболочка и плоская область с граничным конту- 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–13

ром — это взаимно-однозначно соответственные 
двухмерные геометрические объекты. Последующее 
рассечение α-оболочки множеством горизонтальных 
плоскостей уровня приводит к образованию на ней 
семейства линий уровня, ортогональные проекции 
которых на плоскость заданной области формируют 
семейство OC внутри этой области. Семейство OC 
необходимо для последующих автоматизированных 
расчетов траектории перемещения инструмента, 
обрабатывающего карманные поверхности, и составления управляющих программ для станков с 
ЧПУ. 

II. Постановка задачи

Сравнивая два подхода к формообразованию OC — 
существующий и предложенный в настоящей работе, можно заметить различие технологий формообразования: в первом случае MA формируется на основе уплотняющей интерполяции (уплотнение множества касательных кругов, заполняющих плоскую 
область) с выполнением последующего построения 
семейства OC и, при необходимости, MAT. Во втором 
случае вначале формируется MAT, затем строится 
α-оболочка и выполняются сечения ее пучком горизонтальных плоскостей с равным шагом по оси z. 
После этого получают MA и семейство OC на основе 
ортогонального отображения линий сечения на плоскую область. 
В предлагаемом подходе отпадает необходимость 
в сложном аналитическом оперировании множеством 
касательных кругов для получения MA, MAT и OC. 
При этом появляется возможность получения на 
этапах компьютерной визуализации более полного 
и наглядного пространственного представления о 
взаимосвязи и взаимовлиянии всех геометрических 
объектов, участвующих в образовании множества 
OC. Исходя из предложенного подхода к формообразованию линий OC, ставится задача разработать гео- 
метрическую модель с аналитическим решением, 
реализующую этот подход, и выполнить экспериментальную проверку работоспособности этой модели.

III. Теория формообразования МАТ

MAT представляет собой пространственную кривую линию, которая ограничивает по высоте (в направлении оси z) α-оболочку, представляющую собой 
отсек составной линейчатой α-поверхности. α-оболочка опирается на граничный контур заданной 
области на плоскости (xy). Между двумерными множествами точек α-оболочки и области существует 
взаимно-однозначное соответствие. MAT и α-обо
лочка полностью определяются заданной областью 
и ее граничным контуром.
Пусть на плоскости (xy) заданы некоторые замкнутые многоугольные контуры: a(a1, …, an) и  
b(b1, …, bk). Внешний контур a(a1, …, an) состоит из 
отрезков ai, последовательно соединенных своими 
концами, внутренний островной контур b(b1, …, bk) 
состоит из отрезков bj, также последовательно соединенных своими концами. Отрезки контуров a и b 
представлены уравнениями:

 a
r
x
t
y
t
i
ai
ai
i
ai
i
:
,
;
=
( )
( )
(
) b
r
x
t
y
t
j
bj
bj
j
bj
j
:
,
;
=
( )
( )
(
)
t t
R
i
j
,
.
∈

Через каждый отрезок проводится плоскость: для 
отрезков внешнего контура a под углом 45° к плоскости (xy), для отрезков внутреннего контура b — под 
углом –45° к плоскости (xy). Для моделирования 
плоскостей к каждому отрезку контура в плоскости 
(xy) задается эквидистанта. Для отрезков ai внешнего контура эквидистанта eai(xy) задается во внутрь 
замкнутого контура a, для отрезков внутреннего 
контура bi эквидистанта ebj(xy) задается снаружи замкнутого контура b. Затем каждая из эквидистант eai(xy) 
и ebj(xy) смещается по оси z в одном из направлений 
на величину ее параметра h — положения относительно отрезка исходного контура. В результате смещений образуются линии eai и ebj:

 

e
x
x
hx

x
y

ai
qi
ai
ai

ai
ai

:
,
=
+
′

′
(
) +
′
(
)
2
2

y
y
hy

x
y

qi
ai
ai

ai
ai
=
+
′

′
(
) +
′
(
)
2
2 ,  zai = h;

 
e
x
x
hx

x
y

bj
qj
bj
bj

bj
bj

:
,
=
+
′

′
(
) +
′
(
)

2
2

y
y
hy

x
y

qj
bj
bj

bj
bj

=
+
′

′
(
) +
′
(
)

2
2 ,  zbj = h.

Линии ai, eai и bj, ebj попарно образуют линейчатые 
α-поверхности Pi и Pj, для которых эти линии служат 
направляющими [4; 20; 21]:

 
P r
t l
r
t
l r
t
r
t
i
Pi
i
i
ai
i
i
e
i
ai
i
ai
:
,
,
(
) =
( ) +
( ) −
( )
(
)

P
r
t l
r
t
l
r
t
r
t
j
Pj
j
j
bj
j
j
e
j
bj
j
bj
:
,
.
(
) =
( ) +
( ) −
( )
(
)

На вершинах вогнутых углов внешнего контура 
и на вершинах выпуклых углов внутреннего контура 
строятся конические поверхности вращения c углами при вершинах, равными 45°:

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–13 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2019                                                              

Con
x
X
R
t
l
y

Y
R
t
l
z
R

vi
vi
vi
i
vi
vi
vi

vi
i
vi
vi
vi
i

:
cos
,

sin
,

=
+
( )
=

=
+
( )
= −
lvi;

Con
x
X
R
t
l
y

Y
R
t
l
z
R

vj
vj
vj
j
vj
vj
vj

vj
j
vj
vj
vj
j

:
cos
,

sin
,

=
+
( )
=

=
+
( )
= −
lvj,

где (Xvi, Yvi) — вершины вогнутых углов внешнего 
контура; Ri — радиусы основания конусов внешнего 
контура; (Xvj, Yvj) — вершины выпуклых углов внутреннего контура; Rj — радиусы основания конусов 
внутреннего контура. 
α-поверхности образуют линии пересечения, представляющие собой сегменты MAT. Обозначим линии 
пересечения как s
P
P
i
j
1 =
∩
; s
Con
P
i
i
2 =
∩
; s
Con
P
i
j
3 =
∩
;

s
Con
P
j
i
4 =
∩
; s
Con
P
j
j
5 =
∩
; s
Con
Con
i
j
6 =
∩
.Линия MAT 
формируется в результате объединения линий si: 
MAT
s
s
s
s
s
s
=
1
2
3
4
5
6
∪
∪
∪
∪
∪
.  При этом α-проекциями линий si(s1, …, s6) будут линии ai и bj соответственно. Под α-проекцией каждой из линий s1, …, s6, принадлежащих α-поверхностям, понимается множество 
точек пересечения образующих прямых α-поверхности с плоскостью (xy). При этом образующие наклонены к плоскости (xy) под углом 45° и проходят 
через линию si. Следовательно, линии ai и bj представляют собой ветви линии пересечения плоскости 
(xy) и огибающей однопараметрического множества 
α-конусов с вершинами на si и осями, перпендикулярными плоскости (xy). Основание каждого конуса 
на плоскости (xy) — это окружность радиуса R = z, 
касающаяся линий ai и bj. Таким образом, на плоскости (xy) образуется непрерывное множество троек чисел (x, y, R = z), которое по приведенному выше 
алгебраическому определению представляет собой 
MAT.
Отметим другие подходы построения MAT в пространстве, основанные на итерационных алгоритмах 
[12; 28; 29].

IV. Результаты эксперимента

Рассмотрим построение MAT, MA и OC для области с замкнутым многоугольным контуром и многоугольным островом в ней. 
1. Построение MAT, MA и OC для многоугольных 
контуров
Исходными данными являются внешний контур — 
ABCDEA, внутренний контур — KLMK. Внешний 
контур задан точками A(60, 20), B(45, 75), C(110, 84), 
D(95, 55), E(130, 43). Внутренний контур — K(70, 35), 
L(72, 62), M(85, 42) (рис. 2). Внешний и внутренний 
контуры описаны параметрическими уравнениями 
отрезков:
 
AB x
t y
t z
t
:
,
,
,
;
1
1
1
1
1
1
60 15
20
55
0 0
1
=
−
=
+
=
≤
≤

BC x
t
y
t z
t
:
,
,
,
;
2
2
2
2
2
2
45
65
75
9
0 0
1
=
−
=
+
=
≤
≤

CD x
t y
t z
t
:
,
,
,
;
3
3
3
3
3
3
110 15
84
29
0 0
1
=
−
=
+
=
≤
≤

DE x
t
y
t z
t
:
,
,
,
;
4
4
4
4
4
4
95
35
55 12
0 0
1
=
−
=
+
=
≤
≤

EA x
t
y
t z
t
:
,
,
,
;
5
5
5
5
5
5
130
70
43
23
0 0
1
=
−
=
+
=
≤
≤

KL x
t
y
t z
t
:
,
,
,
;
6
6
6
6
6
6
72
2
62
27
0 0
1
=
−
=
+
=
≤
≤

LM x
t
y
t z
t
:
,
,
,
;
7
7
7
7
7
7
70 15
35
7
0 0
1
=
−
=
+
=
≤
≤

MK x
t y
t z
t
:
,
,
,
.
8
8
8
8
8
8
85 13
42
20
0 0
1
=
−
=
+
=
≤
≤

На основе циклографического отображения формируются α-плоскости и α-поверхности конусов  
(см. п. III). Плоскости проходят через стороны заданных многоугольников. Для внешнего контура 
плоскости имеют угол наклона 45° к (xy), для внутреннего — угол наклона –45°. У вершины вогнутого угла внешнего контура и у вершин выпуклых углов 
внутреннего контура формируются конусы с углами 
90° при вершинах (рис. 3).

 

Рис. 2. Исходные контуры: 
ABCDEA — внешний, KLMK – внутренний (островной)

 
 
Рис. 3. α-образы вершин и сторон внешнего и внутреннего контуров

(5)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–13

полной линии пересечения ILi, расположенный после TiTi+1, tTi ≤ ti ≤ tTi+1; ti — это текущий параметр 
отрезка TiTi+1; ti = (1– λ) ∙ tTi + λtTi+1; 0 ≤ λ ≤ 1.

 

Рис 4. Образование составной линии пересечения 
T1, …, T11 α-поверхностей 

Общее уравнение элементарного сегмента имеет 
вид:

 
r
x
t
y
t
z
t
ILi
ILi
ILi
ILi
ILi
ILi
ILi
=
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,
, 0
1
≤
≤
tILi
.

На рис. 5 показаны попарно пересекающиеся 
линии пересечения α-поверхностей: трех плоскостей 
и конической поверхности. Точки пересечения Ti и 
Ti+1 являются границами элементарного сегмента ESi. 
 

Рис. 5. Формирование элементарного сегмента ESi = TiTi+1  
по граничным точкам

В результате сформированы элементарные сегменты и составлены их уравнения: 
ES1 = T1T2 = (Con(K) ∩ P(AB)) – (→T1T2 + T1T2→). 
Уравнение ES1: r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
1
1
1
1
1
1
1
=
( )
( )
( )
(
)
,
,
,  0 ≤ t1 ≤ 1.
ES2 = T2T3 = P(AB) ∩ P(KL). Уравнение ES2: 
r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
2
2
2
2
2
2
2
=
( )
( )
( )
(
)
,
,
,  0 ≤ t2 ≤ 1. 

Затем определяются линии пересечения между 
плоскостями и линии пересечений поверхностей 
конусов и плоскостей. В результате получено 15 уравнений линий пересечения ILi (i = 1 …, 15): 

 
r
x
t
y
t
z
t
ILi
ILi
ILi
ILi
ILi
ILi
ILi
=
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,
,

К ним относятся линии пересечения следующих 
пар поверхностей:
1. Конуса с вершиной (K) и плоскости от прямой 
(AB): IL1 = Con(K) ∩ P(AB). 
2. Плоскости от прямой (KL) и плоскости от прямой (AB): IL2 = P (KL) ∩ P(AB).
3. Конуса с вершиной (L) и плоскости от прямой 
(AB): IL3 = Con(L) ∩ P(AB).
4. Конуса с вершиной (L) и плоскости от прямой 
(BC): IL4 = Con(L) ∩ P(BC).
5. Плоскости от прямой (BC) и плоскости от прямой (LM): IL5 = P(BC) ∩ P(LM).
6. Плоскости от прямой (LM) и плоскости от прямой (CD): IL6 = P(CD) ∩ P(LM).
7. Конуса с вершиной (D) и плоскости от прямой 
(LM): IL7 = Con(D) ∩ P(LM).
8. Конуса с вершиной (M) и плоскости от прямой 
(DE): IL8 = Con(M) ∩ P(DE). 
9. Конуса с вершиной (M) и плоскости от прямой 
(EA): IL9 = Con(M) ∩ P(EA). 
10. Плоскости от прямой (MK) и плоскости от 
прямой (EA): IL10 = P(MK) ∩ P(EA).
11. Конуса с вершиной (K) и плоскости от прямой 
(EA): IL11 = Con(K) ∩ P(EA).
12. Плоскости от прямой (AB) и плоскости от 
прямой (BC): IL12 = P(AB) ∩ P(BC).
13. Плоскости от прямой (BC) и плоскости от 
прямой (CD): IL13 = P(BC) ∩ P(CD).
14. Плоскости от прямой (DE) и плоскости от 
прямой (EA): IL14 = P(DE) ∩ P(EA).
15. Плоскости от прямой (EA) и плоскости от 
прямой (AB): IL15 = P(EA) ∩ P(AB).
В дальнейшем рассчитываются точки пересечения 
T1, …, T11 полученных пространственных линий  
IL1, …, IL15 (рис. 4).
T1 = IL1 ∩ IL15 = IL15 ∩ IL11, T2 = IL2 ∩ IL1, 
T3 = IL2 ∩ IL3, T4 = IL12 ∩ IL3 = IL3 ∩ IL4, T5 = IL4 ∩ IL5, 
T6 = IL13 ∩ IL5 = IL5 ∩ IL6, T7 = IL6 ∩ IL7, T8 = IL7 ∩ IL8, 
T9 = IL14 ∩ IL8 = IL8 ∩ IL9, T10 = IL9 ∩ TL10, T11 = IL10 ∩ 
∩ TL11.
Затем определяются уравнения элементарных 
сегментов ESi: ESi = TiTi+1, где Ti — начальная точка 
сегмента, Ti+1 — конечная точка сегмента. Элементарный сегмент формируется следующим образом:
ESi = TiTi+1 = ILi – (→TiTi+1 + TiTi+1→),
где → TiTi+1 — это кусок полной линии пересечения 
ILi, расположенный до TiTi+1, TiTi+1→ — это кусок 

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–13 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2019                                                              

ES3 = T3T4 = ((Con(L) ∩ P(AB)) — (→T3T4 + T3T4→). 
Уравнение ES3: r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
3
3
3
3
3
3
3
=
( )
( )
( )
(
)
,
,
,  0 ≤ t3 ≤ 1.
ES4 = T4T5 = (Con(L) ∩ P(BC)) — (→T4T5 + T4T5→). 
Уравнение ES4: r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
4
4
4
4
4
4
4
=
( )
( )
( )
(
)
,
,
, 0 ≤ t4 ≤ 1.
ES5 = T5T6 = P(BC) ∩ P(LM). Уравнение ES5: 

r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
5
5
5
5
5
5
5
=
( )
( )
( )
(
)
,
,
,  0 ≤ t5 ≤ 1.
ES6 = T6T7 = (P(CD) ∩ P(LM)) — (→T6T7 + T6T7→). 
Уравнение ES6: r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
6
6
6
6
6
6
6
=
( )
( )
( )
(
)
,
,
,  0 ≤ t6 ≤ 1.
ES7 = T7T8 = (Con(D) ∩ P(LM)) — (→T7T8 + T7T8→). 
Уравнение ES7: r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
7
7
7
7
7
7
7
=
( )
( )
( )
(
)
,
,
,  0 ≤ t7 ≤ 1.
ES8 = T8T9 = (Con(M) ∩ P(DE)) — (→T8T9 + T8T9→). 
Уравнение ES8: r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
8
8
8
8
8
8
8
=
( )
( )
( )
(
)
,
,
,  0 ≤ t8 ≤ 1.
ES9 = T9T10 = (Con(M) ∩ P(EA)) — (→T9T10 + T9T10→). 
Уравнение ES9: r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
9
9
9
9
9
9
9
=
( )
( )
( )
(
)
,
,
,  0 ≤ t9 ≤ 1.
ES10 = T10T11 = P(MK) ∩ P(EA). Уравнение ES10: 
 r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
10
10
10
10
10
10
10
=
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,
,  0 ≤ t10 ≤ 1.
ES11 = T11T1 = (Con(K) ∩ P(EA)) — (→T11T1 + T11T1→). 
Уравнение ES 11: r
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
11
11
11
11
11
11
11
=
( )
( )
( )
(
)
,
,
,  
0 ≤ t11 ≤ 1.
Объединение элементарных сегментов ESi, i = 1, 
…, 11; IL12; IL13; IL14; IL15 представляет собой MAT. 
2. Объединение соседних элементарных сегментов 
ESi на одной поверхности в составной сегмент СSj 
построенной MAT (ESi — elementary segment, СSj — 
composite segment)
Линии попарного пересечения всех построенных 
α-поверхностей являются элементарными сегментами ESi определяемой MAT. Для формирования 
единой α-оболочки необходимо объединить все ESi 
так, чтобы они были согласованы с соответствующими сегментами внешнего ABCDEA и внутреннего 
KLMK контуров. А именно, для внешнего и внутреннего контуров объединяются ESi таким образом, 
чтобы составные сегменты СSj и ESi, (не входящие в 
состав СSj), принадлежали одной α-поверхности. 
Если рассматривать внутренний контур in (inner contour) 
KLMK, то можно получить следующие составные 
сегменты СSin и элементарные сегменты ESin: 
СSin1 = СSin1 (T11 – T1 – T2) = (ES11 ∪ ES1) ⊂ Con(K);
ESin2 = ESin2 (T2 – T3) = ES2 ⊂ P(KL);
СSin3 = СSin3 (T3 – T4 – T5) = (ES3 ∪ ES4) ⊂ Con(L);
СSin4 = СSin4 (T5 – T6 – T7 – T8) = (ES5 ∪ ES6 ∪ ES7) ⊂ 
⊂ P(LM);
СSin5 = СSin1 (T8 – T9 – T10) = (ES8 ∪ ES9) ⊂ Con(M);
ESin6 = ESin6 (T11 – T10) = ES10 ⊂ P(EA).
Для внешнего контура ext (external contour) ABCDEA 
формируются следующие составные сегменты СSext 
и элементарные сегменты ESext:
СSext1 = СSext1 (T1 – T2 – T3 – T4) = (ES1 ∪ ES2 ∪ 
∪ ES3) ⊂ P(AB);
СSext2 = СSext2 (T4 – T5 – T6) = (ES4 ∪ ES5) ⊂ P(BC);
ESext3 = ESext3 (T6 – T7) = ES6 ⊂ P(CD);
ESext4 = ESext4 (T7 – T8) = ES7 ⊂ Con(D);
ESext5 = ESext5 (T8 – T9) = ES8 ⊂ P(DE);

СSext6 = СSext6 (T9 – T10 – T11 – T1) = (ES9 ∪ ES10 ∪ 
∪ ES11) ⊂ P(EA).
Для того чтобы каждый составной сегмент можно 
было представить одним уравнением, в работе применяется известный метод математического описания 
составных кривых [3]. 
Элементарные сегменты ESi, входящие в состав 
составных сегментов СSj, описываются уравнениями 
r
t
x
t
y
t
z
t
Ei
i
Ei
i
Ei
i
Ei
i
( )
,
,
,
=
( )
( )
( )
(
) t
t
t
i
i
∈[ , ].
0
1

Векторное уравнение R(τ) составного сегмента 
может быть представлено в следующем виде:

 
R
R t
t
t
P
R t
k
k
k
k
k
k
k
τ
τ τ
τ
τ
( ) =
( )+
−
(
)
−
(
) −
( )
−
−
1
1
0
1
0
1
1
0
,
,
,  (1)

где n — количество элементарных сегментов; R t
1
1
0( ) — 
начальная точка составного сегмента; R t
i
i
0( )  (i = 2, 
…, n) — точки соединения элементарных сегментов 
(точки стыковки); R
t
n
n
1( )  — конечная точка элементарного сегмента. Параметр τ в уравнения (1) определяется функцией [3]: 

 
P
a w
w w
a
a
w
w
τ
τ
τ
, ,
,
.
(
) =
+
−
−
−
−
(
)
≠
(
)
1
2
0
 (2)

Функция P(τ, a, w) является непрерывной по параметру τ. При τ < a функция P(τ, a, w) = 0, при  
τ < a + w функция P(τ, a, w) = 1, внутри интервала  
a ≤ τ ≤ a + w функция P(τ, a, w) совпадает с линейной 

функцией 1

2w
a
τ −
(
)  для случая w > 0. Здесь параме
тры tk

0  и tk
1  являются граничными значениями параметра ti в уравнении элементарного сегмента 
r
t
x
t
y
t
z
t
Ei
i
Ei
i
Ei
i
Ei
i
( ) =
( )
( )
( )
(
)
,
,
, а параметры τ
τ
k
k
−1,
 
представляют собой диапазон изменения значений 
параметра τ для этого элементарного сегмента в едином уравнении составного сегмента. В таком случае 
функцию изменения параметра первого элементарного сегмента в составе составного сегмента после 
упрощения можно записать на основании (2)

 
P
t
t
τ, ,
.
0 1
1
2 1
1
(
) =
+
−
−
(
)  
(3)

Функцию изменения параметра второго элементарного сегмента в составе составного сегмента можно выразить так

 
P
t
τ
τ
, ,
.
1 2
1
2 1
1
2
(
) =
+
−
−
−
(
)   
(4)

Аналогично для третьего элементарного сегмента в составе составного сегмента можно записать 

 
P τ
τ
τ
, ,
.
2 3
1
2 1
2
3
(
) =
+
−
−
−
(
)   
(5)

На основании выражений (2)–(5) получим уравнения составных сегментов.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–13

Рассмотрим внутренний контур KLMK. Для составного сегмента СSin1 = СSin1 (T11 – T1 – T2) = (ES11 
∪ ES1) ⊂ Con(K) имеем: начальную точку T
R t
11
1
1
0
=
( ),  
точку T
R t
11
2
1
0
=
( )  соединения элементарных сегментов ES11 и ES1, конечную точку элементарного сегмента T
R t
2
3
3
1
=
( ). Согласно (2) заменим в уравнении 
ES11: r
t
x
t
y
t
z
t
E
E
E
E
11
11
11
11
11
11
11
11
( ) =
( )
( )
( )
(
)
,
,
 параметр t11 
на P(τ, 0, 1), а в уравнении ES1: r
t
x
t
E
E
1
1
1
1
( ) =
( )
(
,

y
t
z
t
E
E
1
1
1
1
( )
( ))
,
 параметр t1 на P(τ, 1, 2). Тогда уравне
ние составного сегмента СSin1 будет иметь следующий 
вид:
xin1(τ) = x(T11) – (x(T1) + x(T2)) + xE11(P(τ,0,1)) +  
+ xE1(P(τ,1,2)) – (x(T11) – x(T1)),
yin1(τ) = y(T11) – (y(T1) + y(T2)) + yE11(P(τ,0,1)) +  
+ yE1(P(τ,1,2)) – (y(T11) – y(T1)),
zin1(τ) = z(T11) – (z(T1) + z(T2)) + zE11(P(τ,0,1)) +  
+ zE1(P(τ,1,2)) – (z(T11) – z(T1)),
0 ≤ τ ≤ 2.
Аналогичным образом составляются уравнения 
всех остальных составных сегментов.
3. Формирование составной α-оболочки из отсеков 
линейчатых α-поверхностей
α-отсеки формируются как части линейчатых 
α-поверхностей, направляющими которых являются 
линии внешнего контура ABCDEA и согласованные 
с ними сегменты MAT, а также линии внутреннего 
контура KLMK и согласованные с ними сегменты 
MAT.
Для внешнего контура ABCDEA, в том случае, 
когда сегменты MAT принадлежат плоскости, линии 
СSext1 и AB; СSext2 и BC; ESext3 = ESext3 и CD; ESext5 и DE; 
СSext6 и EA попарно образуют отсеки линейчатых 
α-поверхностей, представляющих собой плоские 
области Qext(k):

 
Q
r
l
r
l r
r
ext
Q
ext
AB
ext
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
:
,
,
τ
τ
τ
τ
(
) =
( )+
( )−
( )
(
)

0 ≤ τ1 ≤ 2, 0 ≤ l2 ≤ 1;

 
Q
r
l
r
l
r
r
ext
Q
ext
BC
ext
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
,
,
τ
τ
τ
τ
(
) =
(
)+
(
)−
(
)
(
)

0 ≤ τ2 ≤ 2, 0 ≤ l2 ≤ 1;

 
Q
r
l
r
l
r
r
ext
Q
ext
CD
ext
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
:
,
,
τ
τ
τ
τ
(
) =
( ) +
( ) −
( )
(
)

0 ≤ τ3 ≤ 1, 0 ≤ l3 ≤ 1;

 
Q
r
l
r
l
r
r
ext
Q
ext
DE
ext
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
:
,
,
τ
τ
τ
τ
(
) =
( ) +
( ) −
( )
(
)

0 ≤ τ5 ≤ 1, 0 ≤ l5 ≤ 1;

Q
r
l
r
l
r
r
ext
Q
ext
EA
ext
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
:
,
,
τ
τ
τ
τ
(
) =
( ) +
( ) −
( )
(
)

0 ≤ τ6 ≤ 1, 0 ≤ l6 ≤ 1, 
где li — параметр, определяющий положение точки 
на линии поверхности.
В случае, когда сегмент МАТ принадлежит поверхности конуса, он согласуется с вершиной угла соот
ветствующего контура. Для внешнего контура ABCDEA 
сегмент ESext4 согласован с вершиной угла D. Отсек 
Qext4 соответствующей линейчатой α-поверхности 
определяется следующим образом (рис. 6): 

 
xQ4(τ4, l4) = l4 ∙ xext4(τ4) + x(D)(1 – l4),  
(6)
 
yQ4(τ4, l4) = l4 ∙ yext4(τ4) + y(D)(1 – l4),  
(7)
 
zQ4(τ4, l4) = l4 ∙ zext4(τ4), 0 ≤ τ4 ≤ 1, 0 ≤ l4 ≤ 1.  (8)
 

Рис. 6. Отсек Qext4 поверхности α-конуса

Аналогичным образом составляются уравнения 
отсеков линейчатых α-поверхностей, построенных 
по внутреннему контуру KLMK.
Для внутреннего контура KLMK сегменты принадлежащие плоскости и линии внутреннего контура, а именно: ESin2 и KL; СSin4 и LM; ESin6 и МК попарно образуют отсеки линейчатых α-поверхностей, 
представляющие собой плоские области Gin(j): Gin2, 
Gin4, Gin6.
Сегменты МАТ, принадлежащие поверхностям 
конусов внутреннего контура KLMK и согласованные 
с вершинами, а именно: СSin1 и K; СSin3 и L; СSin5 и M 
образуют отсеки линейчатых α-поверхностей Gin(j): 
Gin1, Gin3, Gin5 (рис. 7) согласно уравнениям (6–8). 
 

Рис. 7. Образование составной α-оболочки

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–13 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2019                                                              

Из полученных α-отсеков линейчатых поверхностей формируется α-оболочка. Последующее рассечение α-оболочки плоскостями Pi (∆zi = δ = const) 
горизонтального пучка плоскостей приводит к образованию дискретного семейства линий уровня на 
оболочке (рис. 8) и дискретного семейства их ортогональных проекций OC на плоскости (xy) (рис. 9).

 
Рис. 8. Рассечение α-оболочки пучком плоскостей Pi (∆zi = const)

Рис. 9. Итоговый результат — семейство OC и медиальная ось MA(xy)

Плоскости, рассекающие составную α-оболочку, 
описываются уравнением zPi = hi, где hi = i ∙ δ; i = 0, 
1, 2, …, n; n — количество секущих плоскостей, назначаемое исходя из конструктивных и технологических условий; 

δ =
(
)
−

z
MAT

n

max
,
1

 где zmax(MAT) — мак
симальное значение аппликаты линии MAT. Пересечение 
плоскостей Pi и отсеков Gin(j) линейчатых α-поверхностей происходит по отрезкам линий: Lin(i,j) = Pi ∩ 
Gin(j), образующим составные линии OCin(i) = Lin(i,1) ∪ 
Lin(i,2) ∪ … ∪ Lin(i,j) во внутренней относительно MAT 
части α-оболочки и отрезкам Lext(i,k) = Pi ∩ Gext(k), образующим составные линии OCext(i) = Lext(i,1) ∪ Lext(i,2) 

∪ … ∪ Lext(i,k) во внешней относительно MAT части 
α-оболочки. Образующиеся по параметру hi семейства 
отрезков Lin(i,j) и Lext(i,k) линий уровня представляются 
параметрическими уравнениями:

 Lin(i,j) : r
x
h
y
h
z
h
in i j
in i j
i
j
in i j
i
j
in i j
i
j
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
(
)
(
)
(
)
τ
τ
τ
,

 Lext(i,k): r
x
h
y
h
z
h
ext i k
ext i k
i
k
ext i k
i
k
ext i k
i
k
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
(
)
τ
τ
τ
(
)
(
),

где i — номер секущей плоскости Pi, τj и τk — параметры формы отрезков Lin(i,j) и Lext(i,k) соответственно, 
j — номер отрезка составной линии OCin(i), k — номер 
отрезка составной линии OCext(i). 

V. Обсуждение результатов

Результаты вычислительного эксперимента по 
генерации семейства OC для случая двухсвязной 
области с замкнутым контуром выявили особенности 
предложенной геометрической модели генерации и 
вызвали необходимость постановки новой задачи, 
направленной на оптимизацию и расширение возможности модели на случай области большей связности. Постановка задачи обусловлена тем, что α-оболочка αS формируется в рассмотренном примере на 
основе объединения двух частей: α
α
α
s =
s in
s ext
(
)
(
)
∪
. 
Каждая из этих частей, в свою очередь, формируется на основе объединения отсеков соответствующих 
α-плоскостей и линейчатых α-поверхностей:αs in
in
G
( ) =
(1) ∪

G
G
in
in j
2
...
;
( )
( )
∪
∪
αs ext
ext
ext
ext k
G
G
G
(
)
( )
( )
( )
=
1
2
...
.
∪
∪
∪
П о 

этой причине каждая из линий уровня OCi на α-оболочке формируется как объединение пар составных 
линий OCi = OCin(i) ∪ OCext(i), где OCin(i) = Lin(i,1) ∪ Lin(i,2) 
∪ … ∪ Lin(i,j), OCext(i) = Lext(i,1) ∪ Lext(i,2) ∪ … ∪Lext(i,k). Очевиден 
принцип последовательного раздельного получения 
геометрических объектов с последующим их объединением в однородные множества, характерный 
для рассматриваемой геометрической модели генерации семейства OC. Ниже представлен обобщенный 
алгоритм генерации семейства OC для рассмотренного примера (рис. 10), реализованный на основе 
этого принципа.
Отмеченный принцип, несмотря на то, что он 
позволяет получать аналитическое решение задачи 
генерации, все же требует значительных вычислительных и временных затрат. В этой связи актуальным 
является решение сопутствующей задачи, направленной на представление α-оболочки как целостного геометрического объекта с единым аналитическим 
описанием и с сохранением аналитического решения 
задачи генерации. Решение сопутствующей задачи 
позволит минимизировать указанные затраты и расширит возможности предложенной геометрической 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–13

модели для задач генерации семейства OC в многосвязных областях.
Следует отметить возможность применения предложенного в работе аналитического алгоритма построения семейства ОС в решении задачи формообразования деталей из листового материала [2]  
с переходом с одной траектории формообразующего 
инструмента на соседнюю по геодезической линии 
[9]. Эта возможность обусловлена наличием общей 
геометрической модели формообразования указанной 
детали и α-оболочки.
Приведенные в настоящей работе результаты исследований еще раз подчеркивают значение геометрической составляющей в решении различных задач 
теории и практики [6].

VI. Выводы и заключение

Для получения семейства OC связных и многосвязных областей с замкнутыми контурами, поло
Рис. 10. Блок-схема алгоритма генерации семейства OC

женных в основу моделирования карманных поверхностей, предложена пространственная геометрическая 
модель на основе циклографического отображения 
пространства R3. Из модели следует алгоритм аналитического решения задачи генерации семейства OC 
(см. рис. 10). Все этапы аналитического решения 
сопровождаются образным представлением геометрических объектов и их отношений в виртуальном 
электронном пространстве геометрической модели. 
Предложенный в работе алгоритм генерации семейства OC для случая двусвязной многоугольной области может быть положен в основу генерации семейства OC для многосвязных многоугольных областей. 
Наличие аналитического решения задачи генерации 
семейства OC значительно упрощает автоматизированный расчет траектории инструмента и подготовку управляющих программ для обработки карманных 
поверхностей на станках с ЧПУ.

GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–13 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2019                                                              

L
r
x
h
y
h
z
in i j
in i j
in i j
i
j
in i j
i
j
in i j
,
,
,
,
,
:
,
,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
(
)
τ
τ
h

L
r
x
h
y
h

i
j

ext i k
ext i k
ext i k
i
k
ext i k
i

,

:
,
,
,
,
,
,

τ

τ

(
)
(
)

=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,
,
,
τ
τ
k
ext i k
i
k
z
h
(
)
(
)
(
)
(
)

OC
L
L
L

OC
L
L

in i
in i
in i
in i j

ext i
ext i
ex

( )
(
)
(
)
(
)

( )
(
)

=
∪
∪
∪

=
∪

,
,
,

,

1
2

1

…

t i
ext i k
L
,
,
2
(
)
(
)
∪
∪
…

Литература

1. Байков В.Д. Решение траекторных задач в микропроцессорных системах ЧПУ [Текст] / В.Д. Байков, С.Н. Ваш- 
кевич; под ред. В.Б. Смолова. — Л.: Машиностроение 
Ленингр. отделение, 1986. — 106 с.
2. Булычев Р.Н. Описание процесса деформирования листового материала с использованием параметрического твердотельного моделирования [Текст] / Р.Н. Булычев, Т.В. Аю- 
шеев // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 1. —  
С. 48–56. — DOI: 10.12737/article_5ad09a84cbd105.88047545.
3. Доля П.Г. Параметрические уравнения кусочно-гладких непрерывных кривых [Текст] / П.Г. Доля // Вестник 
Международного славянского университета. — 2002. — 
Т. 5 — № 7.
4.  Панчук К.Л. Циклографическая начертательная геометрия [Текст]: монография / К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2017. — 232 с.
5. Панчук К.Л. Элементы циклографической начертательной геометрии [Текст] / К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева // GraphiCon2016: труды 26-й Междунар. науч. 
конф., 19–23 сент. 2016 г. — Нижний Новгород: Изд-во 
ННГАСУ, 2016. — С. 69–71
6. Сальков Н.А. Геометрическая составляющая технических инноваций [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и 
графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — С. 85–93. — DOI: 
10.12737/article_5b55a5163fa053.07622109.
7. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия 
и графика. — 2018. — Т. 6. — № 4. — С. 20–31. — DOI: 
10.12737/article_5c21f4a06dbb74.56415078.
8. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия 
и графика. — 2019. — Т. 7. — № 1. — С. 14–27. — DOI: 
10.12737/article_5c9201eb1c5f06.47425839.
9. Умбетов Н.С. Об алгоритме графического построения геодезической линии на линейчатой поверхности [Текст] / 
Н.С. Умбетов, Ж.Ж. Джанабаев // Геометрия и графика. — 
2015. — Т. 3. — № 4. — С. 15–18. — DOI: 10.12737/17346.
10. Choi H.I. Medial axis transform and offset curves by 
Minkowski Pythagorean hodograph curves / H.I. Choi,  
C.Y. Han, H.P. Moon, K.H. Roh, N.S. Wee // Computer-Aided Design. 1999. Vol. 31. № 1. P. 59–72.
11. Choi H.I. Mathematical theory of medial axis transform / 
H.I. Choi, S.W. Choi, H.P. Moon // Pacific J. Math. 1997. 
Vol. 181. № 1. P. 56–88.
12. Culver T. Exact computation of the medial axis of a polyhedron / T. Culver, J. Keyser, D. Manocha // Computer Aided 
Geometric Design. 2004. Vol. 21. № 1. P. 65–98. 
13. He Z. A medial axis transformation based process planning 
method for rapid tooling: dissertation of the master of science / 
Z. He. Ames, Iowa, 2017. 72 p. DOI: 180810-5146. URL: 
https://doi.org/10.31274/etd-180810-5146/
14. Held M. On the Computational Geometry of Pocket Machining. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 500 /  
M. Held. Springer Verlag. Berlin, 1991. 184 p.

15. Kalmar-Nagy T. Oscillator-based Path Planning for Pocket Milling / T. Kalmar-Nagy, H.An Erdim // International 
Symposium on Tools & Methods of Competitive Engineering: Proceedings of TMCE. 2014. P. 1–15.
16. Lee D. Medial axis transformation of a planar shape / D. Lee // 
IEEE. Trans. Pat. Anal. Mach. Int. PAMI. 1982. Vol. 4. № 
4. P. 363–369.
17. Li X.J. Offset of planar curves based on polylines / X.J. Li, 
J.S. Ye // Journal of Institute of Command and Technology. 
2001. Vol. 12. P. 5–8 (in Chinese).
18.  Maekawa T. An overview of offset curves and surfaces /  
T. Maekawa // Computer Aided Design. 1999. Vol. 31.  
P. 165–173.
19. Panchuk K.L. Cyclographic Descriptive Geometry of Space 
E3 / K.L. Panchuk, N.V. Kaygorodtseva // Abstracts of the 
17th International Conference on Geometry and Graphics 
(ICGG 2016), 4–8 August 2016 / Beijing Institute of Technology press. Beijing, China, 2016. P. 22–24. 
20. Panchuk K.L. Surface triads with optical properties 
[Electronic resource] / K.L. Panchuk, E.V. Lyubchinov,  
I.V. Krysova // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series. 2017. Vol. 944. DOI:10.1088/1742–
6596/944/1/012086. 
21. Panchuk K.L. Cyclographic modeling of surface forms of 
highways [Electronic resource] / K.L. Panchuk, A.S. Niteyskiy, E.V. Lyubchinov // IOP Conf. Series: Journal of 
Physics: Conf. Series. 2017. Vol. 262. DOI:0.1088/1757–
899X/262/1/012108. 
22. Panchuk K.L. Spatial Cyclographic modeling on Naumovich hyperdrawing / K.L. Panchuk, E. V. Lyubchinov // The 
Journal of Polish Society for Geometry and Engineering 
Graphics. Vol. 31 (2018). P. 69–78. 
23. Park S.C. Offset Tool-Path Linking for Pocket Machining 
[Текст] / S.C. Park, Y.C. Chung // Computer-Aided Design. 2002. Vol. 34. № 4. P. 299–308.
24. Persson H. NC machining of arbitrary shaped pockets 
[Текст] / H. Persson // Computer-Aided Design. 1978. Vol. 
10. № 3. P. 169–174.
25. Pham B. Offset curves and surfaces: a brief survey / B. Pham // 
Computer-Aided Design. 1992. Vol. 24. P. 223–239.
26. Pottmann H. Applications of Laguerre Geometry in CAGD / 
H. Pottmann, M. Peternell // Comp. Aided Geometric Design. 1998. Vol. 15. P. 165–186.
27. Pottmann H. Computational Line Geometry / H. Pottmann, 
J. Wallner. Berlin. Heidelberg: Springer Verlag, 2001. 565 p.
28. Ramanathana M. Interior Medial Axis Transform computation of 3D objects bound by free-form surfaces / M. Ramanathana, B. Gurumoorthyb // Computer-Aided Design. 
2010. Vol. 42. № 12. P. 1217–1231. 
29. Sherbrooke E.C. An algorithm for the medial axis transform 
of 3d polyhedral solids / E.C. Sherbrooke, N.M. Patrikalakis, E. Brisson // IEEE Transactions on Visualization and 
Computer Graphics. 1996. Vol. 2. № 1. P. 44–61.
30. Xu-Zheng Liu. An offset algorithm for polyline curves / XuZheng Liu, Jun-Hai Yong, Guo-Qin Zheng, Jia-Guang Sun // 
Computers in Industry. 2007. Vol. 58. P. 240–254.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2019 
GEOMETRY & GRAPHICS (2019). Vol. 7. Iss. 1. 3–13