Математика. Ч. III

Е.П. Виноградова 

МАТЕМАТИКА 
Часть III 

Учебное пособие 

3-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2019 

УДК 51
ББК 22.1 

В49 

Научный редактор 

Уткина Т.И., доктор педагогических наук, профессор, 

заведующий кафедрой алгебры, геометрии, теории и методики 
обучения математике Орского гуманитарно-технологического 

института (филиала) ОГУ 

Рецензенты: 

Левашова Г.Н., кандидат педагогических наук, 

Заслуженный учитель России, директор ГАОУ СПО 

«Педагогический колледж» г. Орска; 

Сафонова Г.И., кандидат педагогических наук, первый заместитель 

министра образования Оренбургской области 

В49     

Виноградова Е.П.
       Математика. Ч. III [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е.П. 
Виноградова. – 3-е изд., стер. – М. : ФЛИНТА, 2019. – 212 с.  

ISBN 978-5-9765-1939-8 

Пособие состоит из двух частей: теоретической и практической. В теорети
ческой части дается лекционный материал по отдельным разделам курса, в практической части – задания для самостоятельной работы и серия проверочных работ. 

Учебное пособие предназначено для бакалавров по направлению 050100 

«Педагогическое образование» (профиль «Начальное образование»). 

УДК 51

ББК 22.1 

ISBN 978-5-9765-1939-8
   © Виноградова Е.П., 2013 

 © Издательство «ФЛИНТА», 2014

Содержание 

Предисловие ......................................................................................... 4
1. Основы теории делимости ............................................................ 5
1.1. Делимость целых неотрицательных чисел ................................ 5
1.2. Наибольший общий делитель и наименьшее
общее 

кратное ................................................................................................... 10
1.3. Простые и составные числа ........................................................ 19
1.4. Самостоятельная работа студентов ............................................ 27
1.4.1. Задания для самоконтроля ..................................................... 27
1.4.2. Задания для самостоятельной работы ................................... 28
1.4.3. Проверочные работы .............................................................. 29

2. Расширение понятия числа .......................................................... 33
2.1. Целые числа .................................................................................. 33
2.2. Рациональные числа (обыкновенные дроби) ............................ 45
2.3. Рациональные числа (десятичные дроби) ................................. 72
2.4. Действительные числа …………………………………………. 92
2.5. Множество действительных чисел ……………………………. 100
2.6. Самостоятельная работа студентов ............................................ 104
2.6.1. Задания для самоконтроля ..................................................... 104
2.6.2. Задания для самостоятельной работы ................................... 106
2.6.3. Проверочные работы .............................................................. 107

3. Текстовая задача и методы её решения ..................................... 116
3.1. Текстовая задача и процесс её решения .................................... 116
3.2. Арифметический метод решения текстовых задач .................. 138
3.3. Алгебраический метод решения текстовых задач .................... 164
3.4. Примеры решения текстовых задач ........................................... 192
3.5. Самостоятельная работа студентов ............................................ 199
3.5.1. Задания для самоконтроля ..................................................... 199
3.5.2. Задания для самостоятельной работы ................................... 201
3.5.3. Проверочные работы .............................................................. 204

Библиографический список .............................................................. 210

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Переход начальной школы на новый Федеральный государствен
ный образовательный стандарт начального общего образования, возможность выбора педагогом учебно-методического комплекта для обучения младших школьников математике, задачи всестороннего развития ученика начальных классов средствами предмета требуют от учителя серьёзной математической подготовки и прежде всего знания научных основ начального курса математики. Эти основы и представлены в 
учебных пособиях «Математика. Часть I», «Математика. Часть II» и 
«Математика. Часть III». 

Учебное пособие «Математика. Часть III» является продолжением 
серии пособий, предназначенных для бакалавров по направлению 050100 
«Педагогическое образование» (профиль «Начальное образование»).  

Данное пособие состоит из двух частей: теоретической и практи
ческой. В теоретической части дается лекционный материал по темам 
«Отношение делимости», «Расширение понятия числа», «Текстовые задачи и методы их решения». В практической части – задания для самостоятельной работы, вопросы для самоконтроля, серия проверочных  
и образцы контрольных работ. 

Главная особенность пособия – профессиональная направленность: 

оно предназначено будущим и практикующим учителям начальных  
классов. 

При написании работы был использован материал учебных посо
бий для студентов педагогических колледжей и вузов, написанных  
Л.П. Стойловой, Г.М. Аматовой, М.А. Аматовым, Т.Е. Демидовой  
и А.П. Тонких. 

 
4 

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ 

1.1. Делимость целых неотрицательных чисел 

 
План 
 

1. Отношение делимости и его свойства. 
2. Делимость суммы, разности и произведения целых неотрица
тельных чисел. 

3. Признаки делимости. 

Содержание 

1. На множестве целых неотрицательных чисел N0 рассмотрим от
ношение делимости. 

Определение 1.1. Говорят, что целое неотрицательное число а де
лится на натуральное число b, если существует такое целое неотрицательное число q, что а = b q. 

Если а делится на b, то пишут: 
b
a . Иногда говорят, что «а кратно 

b». Обратным к отношению 
b
a  является отношение «b делит а». 

Отношение делимости 
b
a  является бинарным отношением на 

множестве N0. Рассмотрим свойства, которыми оно обладает. 

1. Отношение делимости рефлексивно, то есть 

(
)(
)
a
a
N
a

0
∈
∀
. 

Справедливость этого свойства следует из того, что а = а · 1  

и 
0
1
N
∈
. Так что можно считать q = 1. 

2. Отношение делимости антисимметрично, то есть 

(
)(
)
a
b
b
a
b
a
N
b
a


⇒
≠
∧
∈
∀
0
,
. 

Доказательство этого свойства проведем методом от противного. 

Предположим, что 
a
b . Тогда, по теореме о существовании и един
ственности частного, b ≥ а. Но по условию – 
b
a , и, значит,  

 
5 

а ≥ b. Выполнение обоих неравенств возможно только при а = b,  
что противоречит условию. Следовательно, справедливость свойства 
установлена. 

3. Отношение делимости транзитивно, то есть 

(
)(
)
c
a
c
b
b
a
N
c
b
a



⇒
∧
∈
∀
0
,
,
. 

Действительно, поскольку 
b
a , то, по определению 1.1, существу
ет такое 
0
1
N
q ∈
, что а = bq1. Аналогично, существует 
0
2
N
q ∈
 такое, что 

b = cq2. Тогда 
(
)
(
)
cq
q
q
c
q
cq
bq
a
=
=
⋅
=
=
1
2
1
2
1
, где 
0
2
1
N
q
q
∈
. Это и означа
ет, что 
c
a . 

Таким образом, отношение делимости на множестве N0, обладая 

свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, 
является отношением нестрогого порядка. 

2. Рассмотрим ряд основных теорем, связанных с делимостью 

суммы, разности и произведения. 

Теорема 1.1. Если каждое слагаемое суммы делится на натураль
ное число b, то и вся сумма делится на это число, то есть 

(
) b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
n






2
2
1
2
1
+
+
+
⇒
∧
∧
∧
. 

Доказательство. Пусть 
b
a
b
a
b
a
n 



∧
∧
∧
2
1
. Тогда существуют 

0
2
1
,
,
,
N
q
q
q
n ∈

 
такие, 
что 
выполняются 
равенства: 

n
n
bq
a
bq
a
bq
a
=
=
=
,
,
,
2
2
1
1

. 
Из 
этих 
равенств 
следует, 

что
=
+
+
+
n
a
a
a

2
1
(
)
n
n
q
q
q
b
bq
bq
bq


+
+
=
+
+
+
2
1
2
1
,  где 

0
2
1
N
q
q
q
q
n
∈
=
+
+

. По определению 1.1 отношения делимости это 

означает, что (
) b
a
a
a


2
2
1
+
+
+
. 

Теорема 1.2. Если каждое из чисел а и b делится на с и а ≥ b, то 

разность а – b делится на с, то есть 

(
) c
b
a
b
a
c
b
c
a



−
⇒
≥
∧
∧
. 

 
6 

Доказательство. Пусть 
c
a  и 
c
b . Тогда существуют 
0
2
1,
N
q
q
∈

такие, что 
1
1
cq
a =
 и 
2
cq
b =
. Поскольку а ≥ b, то q1 ≥ q2. Таким образом, 

имеем 
(
)
cq
q
q
c
cq
cq
b
a
=
−
=
−
=
−
2
1
2
1
, где 
0
2
1
N
q
q
q
∈
=
−
. Следователь
но, (
) c
b
a

−
. 

Теорема 1.3. Если хотя бы один из множителей произведения де
лится на натуральное число b, то и все произведение делится на это 
число, то есть 

(
) b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
n
n






2
1
2
1
⇒
∨
∨
∨
. 

Доказательство. Пусть 
b
ai   i = 1, 2, ..., n, тогда существует 
0
N
q ∈

такое, что 
bq
ai =
. Отсюда, используя коммутативный и ассоциативный 

законы 
умножения, 
можем 
записать: 
n
a
a
a

2
1
 
= 

(
)
n
i
i
n
i
i
a
qa
a
a
a
b
a
bqa
a
a
a




1
1
2
1
1
1
2
1
+
−
−
−
=
. 
Поскольку 
произведение 

n
i
i
a
qa
a
a
a


1
1
2
1
−
−
 целых неотрицательных чисел является целым неот
рицательным числом, то последнее равенство означает, что (
) b
a
a
a
n 

2
1
. 

Теорема 1.4. Если в произведении ab множитель а делится на 

натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число п,  
то произведение ab делится на произведение тп, то есть 

mn
ab
n
b
m
a



⇒
∧
. 

Доказательство. Пусть 
m
a
 и 
n
b , тогда существуют 
0
2
1,
N
q
q
∈

такие, что 
1
1
mq
a =
 и 
2
nq
b =
. Отсюда, на основании коммутативного  

и ассоциативного законов умножения, имеем ab = (mq1)(nq2) = (mn) 

(q1q2) = (mn)q, где 
0
2
1,
N
q
q
q
∈
=
. Следовательно, 
mn
ab
. 

Теорема 1.5. Если в сумме одно слагаемое не делится на нату
ральное число b, а все остальные слагаемые делятся на это число, то и 
вся сумма на число b не делится. 

Доказательство. Пусть 
c
a
a
a
S
n +
+
+
=

2
1
, где 
b
a
b
a
b
a
n 



,
,
,
2
1
, 

но 
b
c . Докажем, что 
b
S . 

 
7 

Предположим противное, то есть 
b
S . Тогда 
)
(
2
1
n
a
a
a
S
c

+
+
−
=
, 

где 
b
S  и 
b
a
a
a
n 

)
(
2
1
+
+
. По теореме 1.2 о делимости разности это 

означает, что 
b
c . Полученное противоречие и доказывает теорему. 

3. Иногда требуется установить, делится ли данное натуральное 

число а на натуральное число b, не производя самого деления. При этом 
оказываются полезными некоторые признаки. 

Определение 1.2. Признаком делимости на число b называется 

правило, позволяющее по записи числа а ответить на вопрос о том, делится оно на b или нет, не производя самого деления. 

Для вывода признаков делимости используем тот факт (см. теоре
му 1.1), что любое натуральное число х можно представить в виде: 

0
1
1
1
10
10
10
a
a
a
a
x
n
n
n
n
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
−
−

,                       (1.1) 

где 0 ≤ ai ≤ 9  (i = 0, 1, ..., п), an ≠ 0. 

Признак делимости на 2(5). Число х делится на 2(5) тогда и толь
ко тогда, когда на 2(5) делится число, образованное последней цифрой 
его десятичной записи: 

(
)(
))
5
(
2
)
5
(
2
0 

a
x
N
x
⇔
∈
∀
. 

Доказательство необходимости. Пусть 
2

x
. Поскольку 
2
10 , 

2
10
,2
102



n
, то, по теоремам 1.3 и 1.1 о делимости произведения и 

суммы, 
можем 
утверждать, 
что 
в 
равенстве 
1.1 

(
) 2
10
10
10
1
1
1


⋅
+
+
⋅
+
⋅
−
−
a
a
a
n
n
n
n
. Кроме того, по условию теоремы, 
2

x
. От
сюда, по теореме 1.2 о делимости разности, 
2
0 
a
. 

Доказательство 
достаточности. 
Пусть 
2
0 
a
. 
Поскольку 

(
) 2
10
10
10
1
1
1


⋅
+
+
⋅
+
⋅
−
−
a
a
a
n
n
n
n
, то, по теореме 1.1 о делимости суммы, 

2

x
. 

Доказательство признака делимости на 5 не рассматриваем, по
скольку оно проводится аналогично. 

 
8 

Признак делимости на 4(25). Число х делится на 4(25) тогда и 

только тогда, когда на 4(25) делится число, образованное двумя последними цифрами его десятичной записи: 

(
)(
) (
))
25
4
10
(
)
25
(
4
0
1


a
a
x
N
x
+
⋅
⇔
∈
∀
. 

Доказательство необходимости. Пусть 
4

x
. Так как 
4
100 , то  

в равенстве (1.1) выражение (
) 4
10
10
10
1
1
1


⋅
+
+
⋅
+
⋅
−
−
a
a
a
n
n
n
n
. Отсюда, 

по теореме о делимости разности, (
) 4
10
0
1

a
a
+
⋅
. 

Доказательство достаточности. Пусть (
) 4
10
0
1

a
a
+
⋅
. Поскольку 

(
) 4
10
10
10
1
1
1


⋅
+
+
⋅
+
⋅
−
−
a
a
a
n
n
n
n
, то, по теореме о делимости суммы, 

4

x
. 

Доказательство признака делимости на 25 не приводим ввиду его 

аналогичности. 

Признак делимости на 8(125). Число х делится на 8(125) тогда  

и только тогда, когда на 8(125) делится число, образованное тремя последними цифрами его десятичной записи. 

(
)
(
) (
)
(
)
125
8
10
10
)
125
(
8
0
1
2
2


a
a
a
x
N
x
+
⋅
+
⋅
⇔
∈
∀
. 

Доказательство проводится аналогично доказательству признаков 

делимости на 2 и 4 и рекомендуется читателю в качестве упражнения. 

Признак делимости на 3(9). Число х делится на 3(9) тогда и 

только тогда, когда на 3(9) делится сумма однозначных чисел, образованных цифрами его десятичной записи: 

(
)
(
) ( )
(
)
9
3
)
9
(3
0
1
1



a
a
a
a
x
N
x
n
n
+
+
+
+
⇔
∈
∀
−
. 

Доказательство необходимости. Заметим сначала, что все числа 

вида 10n – 1, где 
N
n ∈
, делятся на 3. Справедливость этого утвержде
ния вытекает из равенства 
9
10
9
10
9
10
9
1
10
2
1
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
−
−
−

n
n
n
.  

Преобразуем число 
0
1
1
1
10
10
10
a
a
a
a
x
n
n
n
n
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
−
−

, прибавив 

и 
вычтя 
из 
него 
выражение 
0
1
1
1
10
10
10
a
a
a
a
n
n
n
n
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
−
−

.  

 
9 

Тогда 
(
) (
)
(
) (
)+
−
+
−
⋅
+
+
−
⋅
+
−
⋅
=
−
−
−
0
0
1
1
1
1
1
10
10
10
a
a
a
a
a
a
a
a
x
n
n
n
n
n
n


(
)
0
1
1
a
a
a
a
n
n
+
+
+
+
+
−

. 

После несложных преобразований можем записать равенство:  

(
)
(
)
(
) (
)
0
1
1
1
1
1
1
10
1
10
1
10
a
a
a
a
a
a
a
x
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
−
+
+
−
+
−
=
−
−
−


     (1.2) 

По 
условию 
3

x
. 
Кроме 
того, 
выражение 

(
)
(
)
(
) 3
)
1
10
1
10
1
10
(
1
1
1


−
+
+
−
+
−
−
−
a
a
a
n
n
n
n
, а значит, по теореме о дели
мости разности, (
) 3
0
1
1


a
a
a
a
n
n
+
+
+
+
−
. 

Доказательство 
достаточности. 
По 
условию, 

(
) 3
0
1
1


a
a
a
a
n
n
+
+
+
+
−
. Так как 
(
)
(
)
(
) 3
)
1
10
1
10
1
10
(
1
1
1


−
+
+
−
+
−
−
−
a
a
a
n
n
n
n
, 

то, по теореме о делимости суммы, из равенства 1.2 следует, что 
3

x
. 

Аналогично доказывается признак делимости на 9. 

Число признаков, приведенных выше, сравнительно невелико. На 

практике используется еще целый ряд признаков, обосновать которые 
мы сможем после рассмотрения соответствующего теоретическогоматериала  

1.2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 

 
План 
 

1. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида. 
2. Свойства наибольшего общего делителя. 
3. Взаимно простые числа. 
4. Наименьшее общее кратное. 

Содержание 

1. Если каждое из целых неотрицательных чисел а и b делится на 

число с, то число с называют общим делителем чисел. Чтобы найти 
общие делители чисел а и b, достаточно найти пересечение двух множеств: множества делителей числа а и множества делителей числа b. 
Это пересечение состоит из натуральных чисел, которые не могут пре
 
10