Уравнения математической физики

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 

ФИЗИКИ

 Теория и практика 

Учебное пособие 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2019

2-е издание, стереотипное

УДК 517.3
ББК 22.193 

 У68 

Рецензенты: 
профессор Смолин Ю.Н. (Магнитогорский государственный университет), 
кафедра дифференциальных уравнений Башкирского государственного 
университета 

Уравнения математической физики : теория и практика [Электронный 
ресурс] : учеб. пособие / сост. В.Г. Абдрахманов, Г.Т. Булгакова. — 2-е изд., 
стер. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 338 с. 

ISBN 978-5-9765-1988-6 

Предлагаемое учебное пособие, содержащее теорию и задачи, предназначено 

для студентов технических вузов и может служить методическим обеспечением 

спецкурса по уравнениям математической физики. Приведены подробные решения 

типовых задач, поэтому пособие может быть полезным при самостоятельном 

изучении курса. 

УДК 517.3
ББК 22.193 

ISBN 978-5-9765-1988-6
           © В.Г. Абдрахманов, 

Г.Т. Булгакова, 2014  

© Издательство «ФЛИНТА», 2014 

 У68 

Оглавление 
Предисловие 
                                                                                                  6      
Глава 1. Предварительные сведения из математического анализа и теории       
линейных дифференциальных уравнений                                                           7 
1.1. Свойства граней числовых множеств в R                                                   7            
1.2. Точечные множества в 
n
R                                                                              8 
1.3. Некоторые свойства пределов, непрерывных функций, интегралов        12 
1.4. Равномерно сходящиеся функциональные ряды                                      20 
1.5. Интегралы, зависящие от параметров 
                                               21 
1.6. Несобственные интегралы, зависящие от параметров                            27 
1.7.Нормированные пространства                                                                     38 
1.8. Нормированное пространство C[a,b]                                                           40 
1.9. Евклидовы пространства                                                                               43 
1.10. Евклидово пространство 
[
]
b
a
L
,
2
ρ
                                                              47 

1.11. Линейные операторы в евклидовом пространстве                                   53 
1.12 .Оператор Штурма-Лиувилля                                                                     56 
1.13. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача 
Штурма-Лиувилля                                                                                                 61 
1.14. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. 
Классификация линейных уравнений второго порядка с двумя независимыми 
переменными 
                                                                                                   74 
Глава 2. Примеры постановки задач математической физики 
                  80 
2.1. От физического явления – к математической модели                             80 
2.2. Волновое уравнение (уравнение гиперболического типа)                         81 
2.3. Уравнение теплопроводности                                                                       89 
2.4. Уравнение Лапласа. Задача Дирихле                                                            95 
2.5. Корректность постановки задач 
                                                           96 
Глава 3. Одномерная задача Коши                                                                       97 
3.1 .Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения                 97 
3.2. Примеры 
                                                                                                 104 
3.3. Решение смешанной задачи для одномерного волнового уравнения с одним 
краевым условием: полубесконечная струна 
                                               109 
3.4 .Решение задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности  116 
3.5. Пример 
                                                                                                  136 
3.6. Решение смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности 
с одним краевым условием: полубесконечный стержень 
                            138 
Глава 4. Одномерная смешанная задача                                                            142 
4.1. Решение смешанной задачи для одномерного волнового уравнения        142 
4.2. Примеры 
                                                                                                    162 
4.3. Физический смысл решения смешанной задачи для свободных колебаний 
струны с закрепленными концами: стоячие волны 
                                        173 
4.4. Решение смешанной задачи для одномерного уравнения                             

3 
 

теплопроводности                                                                                                  176     
4.5. Примеры 
                                                                                                    185 
Глава 5. Примеры двумерных и трехмерных смешанных задач, 
приводящихся к одномерным 
                                                                     196 
5.1. Ортогональная система функций, порожденная функцией Бесселя         196 
5.2. Теорема (об операторе Лапласа в полярных координатах) 
                   203 
5.3. Свободные колебания круглой мембраны                
                             204 
5.4. Свободные радиальные колебания в однородном шаре с непроницаемой 
поверхностью 
                                                                                                     208 
5.5. Распределение температуры в круглой пластинке 
                              211 
5.6. Распределение температуры в шаре                                                             212      
Глава 6. Двумерная задача Дирихле 
                                                            215 
6.1. Решение задачи Дирихле                                                                                 215 
6.2. Примеры  
220 
Глава 7. Простейшие трехмерные задачи Дирихле 
                                        230 
7.1. Ортогональная система полиномов Лежандра 
                                        230 
7.2. Примеры 
                                                                                                     238 
Глава 8. Задачи                                                                                                      242 
8.1. Задача Штурма-Лиувилля 
                                                                       242 
8.2. Задача Коши для одномерного волнового уравнения 
                              245 
8.3. Смешанная задача для одномерного волнового уравнения с одним краевым 
условием: полубесконечная струна                                                                        258 
8.4. Задача Коши для одномерного уравнения  теплопроводности                    261 
8.5. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности с одним 
краевым условием: полу-бесконечный стержень  
                                        264 
8.6. Смешанная задача для одномерного волнового уравнения 
                    267 
8.7. Смешанная задача для одномерного уравнения теплопроводности           280 
8.8. Смешанная задача для двумерного волнового уравнения: колебания 
круглой мембраны                                                                                                   287 
8.9. Смешанная задача для трехмерного волнового уравнения: колебания в 
шаре                                                                                                                          289 
8.10. Смешанная задача для двумерного уравнения теплопроводности: 
распределение температуры в круглой пластинке 
                                        290 
8.11. Смешанная задача для трехмерного уравнения теплопроводности: 
распределение температуры в шаре 
                                                            291 
8.12. Краевая задача для уравнения эллиптического типа                               293 
8.13. Дополнительные задачи                                                                                  305 
Глава 9. Лабораторная работа 
                                                                       324 
Приложение. Приведение дифференциального уравнения в частных 
производных второго порядка с двумя независимыми переменными с линейной 
главной частью к каноническому виду 
                                                            330 
1. Преобразование уравнения с помощью замены переменных 
                    330 

4 
 

2. Приведение уравнения с двумя независимыми переменными к 
каноническому виду 
                                                                                         332 
Список литературы 
                                                                                         342 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5 
 

Предисловие 

Предлагаемое 
учебное 
пособие 
может 
служить 
методическим 
обеспечением спецкурса по уравнениям математической физики. Оно 
рассчитано 
на 
студентов, 
изучающих 
стандартный 
курс 
математики 
технического вуза. 
В 
первой 
главе 
приводятся 
необходимые 
сведения 
из 
курса 
математического анализа, некоторые элементы функционального анализа и 
теории 
дифференциальных 
уравнений. 
Вновь 
вводимые 
утверждения 
формулируются применительно к дальнейшему изложению; доказательства 
этих утверждений до п. 1.12 можно опустить без ущерба для понимания 
основного текста. 
В основной части (главы 2-7) авторы попытались в доступной форме 
изложить начала математической физики. Общие вопросы теории уравнений в 
частных производных не рассматриваются. Достаточно подробно излагается 
метод 
Фурье 
разделения 
переменных. 
Физическое 
содержание 
задач 
затрагивается мало: приводится только вывод уравнений колебаний струны и 
теплопроводности стержня, а также некоторые примеры постановки краевых 
задач. Основное внимание уделяется формально-математичеcкой стороне задач. 
При этом достаточно полно представлены одномерные задачи, в том числе 
задачи для неоднородных уравнений с неоднородными краевыми условиями. 
Рассматриваются также смешанные задачи для однородных двумерных и 
трехмерных уравнений с однородными краевыми условиями, приводящиеся к 
одномерным задачам. Для уравнения эллиптического типа рассматривается 
только задача Дирихле (доказательства утверждений о функциях Бесселя и 
полиномах Лежандра могут быть опущены). Авторы стремились по 
возможности 
строго 
изложить 
основные 
вопросы 
– 
существование, 
единственность и устойчивость решения задачи, сохраняя при этом 
доступность изложения. В вопросе существования классического решения 
смешанной задачи это не удалось, и пришлось принять существование решений 
без доказательств. Для доступного изложения доказательств единственности и 
устойчивости 
решений 
смешанных 
задач 
пришлось 
потребовать 
дополнительной гладкости классических решений на границах областей. 
Глава 8 представляет собой сборник задач. К задачам даны ответы. 
Кружочком отмечены задачи с решениями. 
Глава 9 содержит руководство к выполнению лабораторной работы с 
использованием пакета программ «Maple». 
В Приложении рассматривается приведение уравнений к каноническому 
виду. 

Глава 1. Предварительные сведения из математического анализа и 
теории линейных дифференциальных уравнений 
 
В этой главе напомним некоторые сведения, часто используемые в 
дальнейшем, и приведем некоторые новые понятия и утверждения (выходящие 
за рамки стандартного курса математического анализа и дифференциальных 
уравнений), на которые опирается дальнейшее изложение. Вновь вводимые 
определения и теоремы будем нумеровать. 
 
1.1. Свойства граней числовых множеств в R 
 
Пусть 
−
E
 подмножество множества действительных чисел R. Если Е 
ограничено сверху: 
]
)[
(:)
(
b
x
E
x
R
b
≤
∈
∀
∈
∃
, то число b называется верхней 
границей множества E . Если есть одна верхняя граница, то, очевидно, 
имеется бесконечное множество верхних границ множества E . Согласно 
теореме Вейерштрасса о границах числового множества, если непустое 
множество E  ограничено сверху,  то среди верхних  границ имеется 
наименьшая. Наименьшая верхняя граница множества E  называется верхней 
гранью множества Е (или точной верхней границей) и обозначается supE . 
Аналогично определяется нижняя грань множества 
R
E ⊂
 - наибольшая из 
всех нижних границ 
E
inf
. Если E  не ограничено сверху (снизу), то считают 

+∞
=
E
sup
  
(
−∞
=
E
inf
). 
Из определения граней непосредственно следуют соотношения (здесь m 
и 
R
M ∈
 - произвольные числа): 

M
E
M
x
E
x
≤
⇔
≤
∈
∀
sup
]
)[
(
(
m
E
m
x
E
x
≥
⇔
≥
∈
∀
inf
]
)[
(
). 
Действительно, левое неравенство означает, что M  – одна из верхних границ, а 
наименьшая верхняя граница 
E
sup
  может быть только меньше: 
M
E ≤
sup
. 
Так как 
]
sup
)[
(
E
x
E
x
≤
∈
∀
, то из правого неравенства следует левое 
неравенство. Аналогично проверяется соотношение для 
E
inf
. 
В случае, когда множество E  представляет собой множество значений 
какой-нибудь функции, используют также другие обозначения для sup и inf. 
Например, вместо 
{
}
D
y
x
y
x
f
∈
)
,
(:)
,
(
sup
 пишут 
)
,
(
sup
)
,
(
y
x
f
D
y
x
∈

 или просто 

)
,
(
sup
y
x
f
D

. 

Отметим соотношения (они справедливы для функций любого числа 
переменных, но для простоты сформулируем для функций одной переменной 

)
(x
f
 и 
)
(x
g
, определенных на множестве 
⊂
D
R): 

)
(
inf
)
(
inf
),
(
sup
)
(
sup
)]
(
)
(
)[
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
D
x
D
D
D
D
≤
≤
⇒
≤
∈
∀
. 

7 
 

Например, 
из 
левого 
неравенства 
следует, 
что 

, т.е. число 
)
(
inf
x
f
D
  является одной из 

нижних границ множества 
)}
(
{
x
g
. Но 
)
(
inf
x
g
D
 - наибольшая из нижних 

границ, поэтому может быть только больше: 
)
(
inf
)
(
inf
x
g
x
f
D
D
≤
. Аналогично 

проверяется первое неравенство справа. 
 
1.2. Точечные множества в 
n
R  
 
В арифметическом пространстве 
n
R  всех упорядоченных наборов из n 
действительных 
чисел 
вида 
)
,
,
,
(
2
1
nx
x
x
x

=
 
формулой 

n
n y
x
y
x
y
x
+
+
=
...
)
,
(
1
1
 
определяется 
скалярное 
произведение 
векторов 

)
,...,
(
),
,...,
(
1
1
n
n
y
y
y
x
x
x
=
=
. Оно обладает свойствами 
∈
z
y
x
,
,
(
n
R , ∈
λ
R):  

1) 
0
)
,
(
≥
x
x
, 
0
0
)
,
(
=
⇔
=
x
x
x
  (неотрицательность), 
2) 
)
,
(
)
,
(
x
y
y
x
=
 (переместительность),  
 
 
 
         (1) 
3)
)
,
(
)
,
(
y
x
y
x
λ
=
λ
 (сочетательность относительно числового множителя), 
4)
)
,
(
)
,
(
)
,
(
z
y
z
x
z
y
x
+
=
+
 (распределительность относительно сложения 
векторов). 

Число 
)
,
(
x
x
является длиной (модулем) вектора 
)
,
(
:
x
x
x
x
=
. 

Длина обладает свойствами 
∈
z
y
x
,
,
(
n
R , ∈
λ
R): 

1)
0
0
,0
=
⇔
=
≥
x
x
x
(неотрицательность), 

2)
x
x
λ
=
λ
(однородность),  
 
 
 
 
 
 
 
(2) 

3)
y
x
y
x
≤
)
,
(
(неравенство Коши - Буняковского), 

4) 
y
x
y
x
+
≤
+
 (неравенство треугольника). 
Число  

2
2
1
1
)
(
...
)
(
)
,
(
)
,
(
n
n
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
d
−
+
+
−
=
−
−
=
−
=
 
является расстоянием между точками x  и y  (точка x  понимается как конец 

радиус-вектора x ). Расстояние обладает свойствами (
)
R
,λ
R
x,y
n
∈
∈
: 
1) 
y
x
y
x
d
y
x
d
=
⇔
=
≥
0
)
,
(
,0
)
,
(
 (неотрицательность), 
2) 
)
,
(
)
,
(
x
y
d
y
x
d
=
 (симметричность),  
 
 
 
(3) 
3) 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
z
d
z
x
d
y
x
d
+
≤
(неравенство треугольника). 
Бесконечно удаленной точкой ∞  называется точка x , у которой хотя бы 
одна координата бесконечна. Пространство 
n
R , дополненное бесконечно 

8 
 

удаленной точкой ∞ , называется расширенным n-мерным пространством и 
обозначается 
n
R . 
Множество точек 
}
)
,
(
:
{
)
(
δ
<
−
=
∈
=
δ
a
x
a
x
d
R
x
a
U
n
 называется δ
окрестностью (конечной) точки 
n
R
a ∈
. Это n -мерный шар радиуса δ с 

центром в точке a  (в пространстве R-интервал 
[
,
]
δ
δ
+
−
a
a
,  в 
2
R  - круг, в 

3
R - шар) 

Множество точек 
}
|
|
)
0,
(
:
{
)
(
0
δ
>
=
∈
=
∞
δ
x
x
d
R
x
U
n
 называется δ
окрестностью точки ∞ . Это внешность шара радиуса δ с центром в точке 0. 

Множества 

=
=
}
{
\
)
(
)
(
0
0
a
a
U
a
U
δ
δ

}
0
:
{
δ
<
−
<
∈
a
x
R
x
n
  и   

=
∞
∞
=
∞
δ
δ
}
{
\
)
(
)
(
0
0
U
U

}
:
{
δ
>
∈
x
R
x
n
 
называются проколотыми  
δ-окрестностями точек 
n
R
a∈
 и ∞  
соответственно. 
 

Точка 
n
R
a ∈
 называется предельной точкой множества 
n
E
R
⊂
, если 
любая ее проколотая окрестность содержит хотя бы одну точку x  множества Е 
(то есть любая непроколотая окрестность содержит хотя бы одну точку, 
отличную от самой точки a ). Предельная точка a  множества Е может 
принадлежать или не принадлежать самому множеству Е. 

Точка 
n
R
a ∈
называется граничной точкой множества E , если в любой 
ее (непроколотой) окрестности имеются как точки, принадлежащие E , так и 
точки, не принадлежащие E . Множество граничных точек E  называется 
границей множества E . 
Точка 
n
R
a ∈
называется внутренней точкой множества E , если она 
содержится в E  вместе с некоторой окрестностью 
)
(a
Uδ
. 

Множество 
n
R
E ⊂
называется замкнутым, если оно содержит все свои 
предельные точки. 
Множество 
n
R
E ⊂
 называется открытым, если все его точки 
внутренние. 
Примером 
замкнутого 
множества 
является 
шар  

)
(a
Uδ
={
}
δ
a
x
:
R
x
n
≤
−
∈
 (вместе с оболочкой - сферой). Действительно, вне 
этого шара предельных точек нет, все  предельные точки содержатся в шаре 

9 
 

(все точки шара - предельные). Множество 
)
(a
Uδ
 будем называть замкнутым 

шаром.  Примером открытого множества является δ-окрестность 
)
(a
Uδ
, так 
как все ее точки внутренние. Будем называть ее открытым шаром. 
Замкнутость и открытость множества не являются противоположными 
понятиями. Одно и то же множество может быть и замкнутым и открытым 
(например, все пространство: 
n
R
E =
), открытым и не замкнутым и.т.д. 
Отметим, что граница S  любого множества 
n
R
E ⊂
 является замкнутым 
множеством (т.е. cодержит все свои предельные точки). 
Множество точек 
( )
[
]
{
}
α,β
t,
t
x
,
t
x
t
x
x:
R
x
γ
n
n
∈
=
=
∈
=
))
(
,
)
(
( 1

, где 

)
(t
x
x =
 
непрерывная 
на 
отрезке 
]
,
[
β
α
 
вектор-функция, 
называется 
непрерывной кривой в 
n
R . 
Множество E  называется связным, если любые две его точки 
x
x
′′
′,
 
можно соединить непрерывной кривой γ , содержащейся в этом множестве: 
существует непрерывная кривая 
E
⊂
γ
 такая, что 
x
x
x
x
′′
=
β
′
=
α
)
(
,
)
(
. 
Отрытое связное множество D называется областью (связное множество, 
все точки которого внутренние). Область D с присоединенной к ней границей 
S  называется замкнутой областью и обозначается D :
D
S
D
=
∪
. Очевидно, 
что замкнутая область есть замкнутое множество. Заметим, что замкнутая 
область не является областью в собственном смысле этого слова (ее граничные 
точки не являются внутренними). 
Множество 
n
R
E ⊂
 называется ограниченным, если его можно 
заключить в некоторый шар с центром в начале координат 0: 

(
0) :(
)[
(0)
)]
M
M
x
E
x
U
x
M
∃
>
∀ ∈
∈
⇔
≤
. 
В заключение этого пункта рассмотрим понятие расстояния между двумя 
множествами в 
n
R . 
 
1.2.1. Определение. Расстоянием 

между 
множествами 
X  
и 
n
R
Y ⊂
 
называется нижняя грань расстояний  
между всевозможными парами 
точек 

X
x ∈
 и 
Y
y ∈
: 

        
)
,
(
inf
)
,
(
,
y
x
d
Y
X
d
d
Y
y
X
x
∈
∈
=
=
. 

 
1.2.2. Теорема (о расстоянии между замкнутыми множествами) 
Если X  и Y  – непустые непересекающиеся замкнутые множества в 
n
R  
и хотя бы одно из них ограничено, то расстояние между ними положительно 
(т.е. не может равняться нулю): 
0
)
,
(
>
= d
Y
X
d
. 

10 
 

□ 
d 
является 
нижней 
границей 
множества 
{
)
,
(
y
x
d
} 
и 
потому 

]
)
,
(
)[
,
(
y
x
y
x
d
d
Y
y
X
x
−
=
≤
∈
∀
∈
∀
. d  – наибольшая из нижних границ, 

поэтому число 

k
d
1
+
, где 
Ν
k ∈
, нижней границей уже не является: найдется  

элемент множества {
)
,
(
y
x
d
}, меньший, чем

k
d
1
+
. Это значит, что найдется 

пара точек 
Y
y
X
x
∈
′
∈
′
,
 такая, что 
k
d
y
x
d
1
)
,
(
+
<
′
′
. При каждом k  найдется 

своя пара таких точек, поэтому обозначим их 
k
k y
x ,
 (k-индекс, а не показатель 
степени).  
Таким 
образом, 
нашлись 
две 
последовательности 
 
точек 

Y
y
X
x
k
k
⊂
⊂
}
{,
}
{
 такие, что  

k
d
y
x
d
d
k
k
1
)
,
(
+
<
≤
.  
 
 
 
 
(4) 

По условию одно из множеств X и Y – ограничено. Пусть  это –множество X. 
Тогда последовательность 
}
{
kx
 ограничена и согласно лемме БольцаноВейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность 
{ }
lkx
: существует 
n
R
x ∈
0
 такое, что 
0
lim
x
x
l

kl =
∞
→
. Так как все 
X
x
lk ∈
, то и 

0
x
X
∈
 (или 
0
x совпадает с какой-либо точкой 
lk
x , или оказывается 
предельной точкой множества X  и ввиду его замкнутости ему принадлежит).  
Теперь из второй последовательности выбросим все члены, кроме членов 

с 
номерами 
lk , 
т.е. 
оставим 
подпоследовательность 
{
lk
y
}. 
Эта 
последовательность сходиться не обязана, но она ограничена. В самом 

деле,{ }
lkx
 ограничена и потому существует 
0
>
M
 такое, что все 
M
x lk ≤|
|
. 
Благодаря этому с учетом неравенства (4) имеем  

M
d
M
k
d
x
x
y
x
x
y
y

l

k
k
k
k
k
k
k
l
l
l
l
l
l
l
+
+
≤
+
+
<
+
−
≤
+
−
=
1
1
)
(
 

(так как 
1
1 ≤

lk

), а это означает ограниченность последовательности {
lky
}. Но 

тогда из нее выделяется подпоследовательность {
p
lk
y
}, сходящаяся к 

некоторой точке 
n
R
y ∈
0
, которая принадлежит множествуY (рассуждение как 

и в случае 
0
x ). 

        Теперь из первой подпоследовательности { }
lkx
 выбросим все члены, 
оставив только члены с номерами 

p
lk . Оставшаяся подпоследовательность 

11 
 

{
}
p
lk
x
  попрежнему сходится к 

0
x .   
 
Итак, имеем две последовательности 

{
}
p
lk
x
 и 
}
{
p
lk
y
, сходящиеся к точкам 

0
x и 

0
y , и связанные неравенством (4): 

p

p
l
p
l

l

k
k
k
d
y
x
d
1
+
≤
−
≤

Переходя к пределу при 
+∞
→
p
, получаем 
d
y
x
d
≤
−
≤
0
0
, откуда 

d
y
x
d
y
x
=
=
−
)
,
(
0
0
0
0
. 

Таким образом, нашлись точки 
X
x ∈
0
 и 
Y
y ∈
0
, расстояние между 
которыми 
равно 
расстоянию 
между 
множествами 
X  
и 
Y : 

d
Y
X
d
y
x
d
=
=
)
,
(
)
,
(
0
0
. 

 Отсюда следует, что 
0
≠
d
, иначе из равенства 
0
)
,
(
0
0
=
y
x
d
 следовало 

бы (по свойству 1) расстояния), что 
0
0
y
x
=
, т.е. множества X  и 

Y пересекаются, что противоречит условию. ■ 
 
1.3. 
Некоторые 
свойства 
пределов, 
непрерывных 
функций, 
интегралов 
 
Пусть функция 
)
,
,
(
ξ
t
x
f
 определена при всех x  из некоторого 
множества 
R
X ⊂
, всех t из некоторого множества 
R
T ⊂
, и всех ξ  из 
некоторого множества 
R
⊂
Ξ
, и пусть для каждой фиксированной точки 
Ξ
∈
ξ
 
существует конечный предел 

2
0
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
),
(
)
,
,
(
lim

0
0
R
t
x
g
t
x
f
t
x
t
x
∈
ξ
=
ξ
→
. 

Тогда, если задать произвольное число 
0
>
ε
, то для каждого 
Ξ
∈
ξ
 найдется 
свое значение 
0
>
δ
 такое, что   

]
|)
(
)
,
,
(
)))[|
,
((
)
,
(
(
0
0

0
ε
≤
ξ
−
ξ
∈
∀
δ
g
t
x
f
t
x
U
t
x
. 
При этом, вообще говоря,  может не найтись такого числа 
0
>
δ
, которое 
бы годилось для всех 
Ξ
∈
ξ
 сразу, т.е. чтобы 

]
|)
(
)
,
,
(
)[|
)))(
,
((
)
,
(
(
0
0

0
ε
≤
ξ
−
ξ
Ξ
∈
ξ
∀
∈
∀
δ
g
t
x
f
t
x
U
t
x
. 
Если же по заданному 
0
>
ε
 найдется 
0
>
δ
, пригодное сразу для всех 
Ξ
∈
ξ
, 
то говорят, что функция 
)
,
,
(
ξ
t
x
f
 при 
)
,
(
)
,
(
0
0 t
x
t
x
→
 стремится к предельной 

12 
 

функции 
)
(ξ
g
 равномерно по ξ на множестве Ξ. Учитывая свойство верхней 
грани 
M
E
M
x
E
x
≤
⇔
≤
∈
∀
sup
]
)[
(
, сформулируем определение. 
 
1.3.1. Определение. Если для каждой фиксированной точки 
Ξ
∈
ξ
 
существует конечный предел  

),
(
)
,
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
0
0
ξ
=
ξ
→
g
t
x
f
t
x
t
x

2
0
0
)
,
(
R
t
x
∈
, 

причем  

]
|)
(
)
,
,
(
|
sup
)))[
,
((
)
,
(
(:)
0
)(
0
(
0
0

0
ε
≤
ξ
−
ξ
∈
∀
>
δ
∃
>
ε
∀
Ξ
δ
g
t
x
f
t
x
U
t
x
, 

или (по определению предела) 
0
|)
(
)
,
,
(
|
sup
lim
)
,
(
)
,
(
0
0
=
ξ
−
ξ
Ξ
→
g
t
x
f
t
x
t
x
, то 

говорят, что функция 
)
,
,
(
ξ
t
x
f
 при 
)
,
(
)
,
(
0
0 t
x
t
x
→
 стремится к 
предельной функции 
)
(ξ
g
 равномерно по ξ на множестве Ξ. 
Аналогично формулируется определение для 
)
,
(
ξ
x
f
 при 
0x
x →
. 
 
Дадим подобное определение для случая (который встретится дальше), 
когда функция 
)
,
,
(
k
t
x
F
 при 
+∞
→
k
 имеет предельную функцию 
)
,
(
t
x
J
 
двух переменных x  и t. 
Пусть функция 
)
,
,
(
k
t
x
F
 определена при всех x из некоторого множества 

R
X ⊂
, всех t из множества 
R
T ⊂
 и всех 
[
,0
[ +∞
∈
k
. 
 
1.3.2. Определение. Если для каждой фиксированной точки  
)
,
(
t
x
 из 
множества 
}
,
:
}
,
{{
T
t
X
x
t
x
E
∈
∈
=
 
существует 
 
конечный 
предел 

),
,
(
)
,
,
(
lim
t
x
J
k
t
x
f
k
=
+∞
→
 причем  

]
|)
,
(
)
,
,
(
|
sup
)[
(:)
0
)(
0
(
0
0
ε
ε
≤
−
>
∀
>
∃
>
∀
t
x
J
k
t
x
F
k
k
k
E

,  
(1) 

или (по определению предела) 
0
|)
,
(
)
,
,
(
|
sup
lim
=
−
+∞
→
t
x
J
k
t
x
F
E
k
, 

то говорят, что функция 
)
,
,
(
k
t
x
F
 при 
+∞
→
k
 стремится к предельной 
функции 
)
,
(
t
x
J
 равномерно по 
)
,
(
t
x
 на множестве E . 
 
Нам потребуется необходимое и достаточное условие (критерий Коши) 
равномерного стремления функции 
)
,
,
(
k
t
x
F
 при 
+∞
→
k
  (на множестве E ). 
При 
выводе 
этого 
условия 
используем 
известный 
критерий 
Коши 
существования конечного предела функции одной переменной: 
Для того чтобы функция 
)
(x
ϕ
 при 
+∞
→
k
 имела конечный предел, 
необходимо и достаточно, чтобы  

13