Начала математического моделирования в электронике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

 
 
 
 
 
 
 
А.Ф. Глотов  
 
 
 
 
НАЧАЛА  
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ  
В ЭЛЕКТРОНИКЕ  
 
 
 
Рекомендовано в качестве учебного пособия  
Редакционно-издательским советом 
Томского политехнического университета  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Издательство 
Томского политехнического университета 
2017 

УДК 621.38:51(075.8) 
ББК 32.85:22.1я73 
Г54 
 
Глотов А.Ф. 
Г54  
Начала математического моделирования в электронике : 
учебное пособие / А.Ф. Глотов ; Томский политехнический университет. – Томск : Изд-во Томского политехнического университета, 2017. – 363 с. 

ISBN 978-5-4387-0792-9 
 
Пособие содержит базовые сведения о методах математического моделирования и алгоритмах анализа электронных схем. Рассмотрены топологические методы моделирования, анализ чувствительности и оптимизация 
схем, технология работы с программой PSpice по автоматизированному  
проектированию. Даны начальные сведения, необходимые для обработки  
результатов опытов и аппроксимации экспериментальных зависимостей. 
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по профилю «Промышленная электроника» направления подготовки  
«Электроника и наноэлектроника. Может представлять интерес для квалифицированных специалистов в соответствующих областях. 

УДК 621.38:51(075.8) 
ББК 32.85:22.1я73 

Рецензенты 

Кандидат физико-математических наук 
старший научный сотрудник ИОА СОРАН 

Д.В. Шиянов 

Кандидат физико-математических наук, доцент ТУСУРа 

Г.Н. Нариманова 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-4387-0792-9 
© ФГАОУ ВО НИ ТПУ, 2017 
© Глотов А.Ф., 2017 
© Оформление. Издательство Томского  
политехнического университета, 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................... 6 
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 7 
ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМПОНЕНТОВ  
ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ .................................................................................... 11 
1.1. Базовый набор элементов схемных моделей ............................................ 11 
1.1.1. Резисторы ............................................................................................... 12 
1.1.2. Конденсаторы ........................................................................................ 14 
1.1.3. Катушки индуктивности ...................................................................... 16 
1.1.4. Источники тока и напряжения ............................................................ 19 
1.2. Схемное моделирование ............................................................................. 23 
1.3. Модели полупроводниковых приборов .................................................... 25 
1.4. Трансформатор ............................................................................................ 37 
1.5. Классификация моделей по частотному признаку................................... 44 
ГЛАВА 2. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ......................................... 48 
2.1. Алгоритм получения математической модели ......................................... 49 
2.2. Обобщенный метод узловых потенциалов ............................................... 59 
2.3. Расчет схемных функций ............................................................................ 66 

ГЛАВА 3. НАПРАВЛЕННЫЕ ГРАФЫ ........................................................... 73 
3.1. Основные понятия и определения ............................................................. 73 
3.2. Матрица инциденций .................................................................................. 75 
3.3. Матрица контуров ....................................................................................... 78 
3.4. Матрица сечений ......................................................................................... 80 
3.5. Соотношения между напряжениями и токами ветвей ............................. 83 
3.6. Граф обобщенных ветвей схемы ................................................................ 85 

ГЛАВА 4. СИГНАЛЬНЫЕ ГРАФЫ ................................................................. 90 
4.1. Основные понятия и определения ............................................................. 91 
4.2. Построение сигнального графа по системе уравнений ........................... 94 
4.3. Операции над графами .............................................................................. 101 
4.4. Решение графов. Формула Мэзона .......................................................... 104 
4.5. Построение графа электрической цепи ................................................... 108 
4.6. Анализ электронных цепей с обратными связями ................................. 117 

ГЛАВА 5. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ ................................... 120 
5.1. Основные понятия и определения ........................................................... 120 
5.2. Получение уравнений переменных состояния ....................................... 124 
5.3. Решение уравнений переменных состояний ........................................... 130 
5.4. Разностные уравнения ............................................................................... 134 
5.5. Дискретные схемные модели  для конденсаторов  
и индуктивностей ...................................................................................... 135 
5.6. Общие сведения о математическом обеспечении пакетов   
прикладных программ ............................................................................... 141 

ГЛАВА 6. АНАЛИЗ В ЧАСТОТНОЙ И ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ ....... 149 
6.1. Передаточные функции электрических цепей ....................................... 149 
6.2. Анализ цепей во временной области ....................................................... 155 
6.3. Анализ в частотной области ..................................................................... 161 
6.4. Решение уравнений переменных состояния в частотной области ....... 162 

ГЛАВА 7. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА............................................. 166 
7.1. Периодическое воздействие ..................................................................... 166 
7.2. Непериодическое воздействие ................................................................. 168 
7.3. Связь частотного и операторного методов анализа ............................... 172 
7.4. Связь между временными и частотными характеристиками ................ 173 
7.4.1. Реакция дифференцирующей цепи  на импульсное воздействие .. 176 
7.4.2. Условия неискаженной передачи сигнала ....................................... 178 
7.4.3. Идеальный фильтр нижних частот ................................................... 180 

ГЛАВА 8. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ............................................. 183 
8.1. Определение чувствительности ............................................................... 184 
8.2. Чувствительность схемных функций ...................................................... 186 
8.3. Многопараметрическая чувствительность ............................................. 188 
8.4. Топологический расчет чувствительности ............................................. 190 
8.5. Метод присоединенной схемы ................................................................. 194 
8.6. Метод присоединенной системы уравнений .......................................... 196 
8.7. Расчет чувствительности к паразитным элементам ............................... 200 
8.8. Расчет чувствительности по частоте ....................................................... 201 
8.9. Расчет температурной чувствительности ............................................... 205 
8.10. Чувствительность произвольной функции ........................................... 207 
8.11. Расчет чувствительности во временной области ................................. 209 
8.12. Чувствительность цифровых фильтров ................................................. 215 

ГЛАВА 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ ............................. 219 
9.1. Основные определения ............................................................................. 220 
9.2. Основной итерационный алгоритм минимизации ................................. 222 
9.3. Определение оптимального шага ............................................................ 225 
9.4. Выбор направления поиска ...................................................................... 229 
9.5. Условная оптимизация .............................................................................. 235 

ГЛАВА 10. ПАКЕТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ SPICE ....................... 240 
10.1. Начальные сведения по технологии работы с программой ................ 241 
10.2. Входной язык программы ....................................................................... 241 
10.3. Описание компонентов ........................................................................... 242 
10.4. Описание директив управления заданиями .......................................... 245 
10.5. Управление выдачей результатов расчета. ........................................... 246 
10.6. Практическая работа ............................................................................... 247 
10.6.1. Исследование частотных и временных характеристик ................. 247 
10.6.2. Исследование выпрямителя ............................................................. 249 
10.6.3. Усилитель на биполярном транзисторе .......................................... 251 

10.6.4. Работа с библиотекой моделей ........................................................ 252 
10.6.5. Моделирование ключей ................................................................... 254 
10.6.6 Зависимые источники ........................................................................ 257 
10.7. Статистический анализ методом Монте-Карло .................................... 260 
10.8. Макромоделирование .............................................................................. 263 

ГЛАВА 11. ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ ...................................... 271 
11.1. Расчет погрешности ................................................................................ 271 
11.2. Линейные нормированные пространства .............................................. 273 
11.3. Сходимость последовательностей ......................................................... 276 
11.4. Элементы статистической обработки опытных данных ..................... 278 

ГЛАВА 12. СГЛАЖИВАНИЕ ТАБЛИЧНЫХ ДАННЫХ .......................... 291 
12.1. Метод наименьших квадратов ............................................................... 292 
12.2. Линеаризация экспериментальных данных .......................................... 297 
12.3. Метод средних ......................................................................................... 300 

ГЛАВА 13. НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ...................... 303 
13.1. Среднеквадратичное приближение   
тригонометрическими полиномами ...................................................... 305 
13.2. Среднеквадратичное приближение полиномами Лежандра ............... 307 
13.3. Приближение полиномами Чебышева на точечном множестве ......... 311 

ГЛАВА 14. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ  
ФУНКЦИЙ .......................................................................................................... 316 
14.1. Интерполирование алгебраическими многочленами Лагранжа ......... 316 
14.2. Интерполяционная формула Ньютона .................................................. 321 
14.3. Интерполирование кубическими сплайнами ........................................ 326 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................. 332 

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ........................................................................ 334 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................ 337 

Приложение 1. Сигнальные графы электронных компонентов .............. 338 

Приложение 2. Алгоритм расчета частотных характеристик .................. 339 

Приложение 3. Матрицы и графы .................................................................. 340 

Приложение 4. Расчет добротности ................................................................ 343 

Приложение 5. Работа в Mathcad .................................................................... 350 

Приложение 6. Усилитель с комплементарным транзистором ................ 357 

Приложение 7. Универсальный фильтр ........................................................ 359 

Приложение 8. Расчет чувствительности ФНЧ ........................................... 361 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В области математического моделирования технических систем 
можно выделить два основных направления. Одно из них ориентировано на применение специализированных профессиональных пакетов 
прикладных программ (ППП) по автоматизированному моделированию. 
Другое – предполагает «ручную» работу по составлению математической модели и программированию алгоритмов ее анализа. 
Математическое моделирование, являясь в мировоззренческом аспекте одним из средств отображения действительности, занимает все 
более и более доминирующее положение в практической деятельности 
человека, становясь необходимым элементом и своеобразным показателем культуры, при проведении исследований различных явлений  
и систем. 
Интенсивное и взаимообусловленное развитие средств вычислительной техники и электроники второй половины XX века дало возможность создавать системы автоматизированного проектирования 
(САПР), облегчающие и коренным образом изменяющие принципы 
проектирования и анализа сложных систем любой физической природы, 
используя их модели. Классическая литература того времени посвящена 
разработке методов математического моделирования и совершенствованию численных методов для анализа работоспособности моделей исследуемого объекта.  
Предлагаемое пособие служит введением в обширную область анализа электронных схем. Уровень изложения материала определен в 
названии работы. Необходимость такого рода пособия вызвана тенденцией к сокращению в учебных планах числа аудиторных часов  
и переносом акцента на самостоятельную работу студентов. Основная  
литература, созданная с конца 60-х по 90-е годы, за редким исключением  
в виде внутри вузовских изданий, предназначена для подготовленных  
читателей из числа инженерно-технических и научных работников. 
При написании пособия использован опыт преподавания дисциплин «Методы анализа и расчета электронных схем» (МАРЭС) и «Методы математического моделирования» студентам кафедры «Промышленная и медицинская электроника» Томского политехнического 
университета. 
Книга ориентирована на широкий круг читателей и может рассматриваться как вводный курс по изучению методов математического моделирования, необходимый для работы со специальной литературой. 
Теоретический материал иллюстрируется простыми примерами с указанием порядка выполнения заданий. 
Автор 

ВВЕДЕНИЕ 

Несмотря на наличие пакетов прикладных программ для САПР 
электронных устройств, изучение методов математического моделирования необходимо для полноценной подготовки специалистов. Математическое моделирование само по себе предполагает более глубокое изучение физических процессов, лежащих в основе функционирования 
физических систем, и соответствующего математического аппарата для 
их описания, что в совокупности способствует повышению уровня образования на стадии обучения студентов основам специальности. 
В любом случае при изучении основ специальности главным остается установление и закрепление в сознании студентов связи физики 
работы базовых схем электроники с их математическим описанием. 
Хорошо себя зарекомендовавшая программа Mathcad облегчает процесс составления математической модели, записываемой на естественном для языка математики синтаксисе. Эффективность, уровень  
использования больших возможностей, заложенных в подобных математических пакетах, напрямую зависят от степени подготовки пользователя. 
С переходом к изучению специальных дисциплин и реальному 
проектированию необходимо осваивать технологию работы с ППП  
по автоматизированному анализу электронных схем, например PSpice. 
На заключительной стадии профессиональной подготовки в обучении 
студентов при проектировании сложных реальных устройств желательно участие специалистов, имеющих производственный опыт. 
Математическое ядро PSpice недоступно. Пользователи имеют 
ограниченную возможность управлять только процессом численного 
расчета с помощью опций для изменения числа итераций, точности вычислений и т. п. Напротив, во время изучения, например, базовой схемы 
усилителя с комплементарным транзистором его математическая модель, составленная самостоятельно студентом в Mathcad, позволяет получить более обширную информацию о схеме, чем с помощью PSpice. 
Используя матрицу проводимостей схемы, дополнительно к типовым 
характеристикам (рис. В.1), можно получить полный спектр схемных 
функций, а также полезное представление схемы в виде эквивалентного 
ей генератора. Имея перед собой аналитическую запись схемных функций на экране монитора, можно исследовать различные режимы работы 
и влияние изменения параметров схемы на основные характеристики 
устройства.  
В предлагаемом пособии даны элементарные сведения по базовым 
методам математического моделирования электронных схем. К ним  

относятся метод узловых потенциалов и метод переменных состояния. 
Первый из них позволяет получать математическую модель в виде системы алгебраических уравнений в координатном базисе узловых потенциалов, второй – в виде системы дифференциальных уравнений в 
нормальной форме. Эти методы заложены в основе математического 
обеспечения современных ППП по автоматизированному моделированию электронных схем.  

 
 
а 
б 
в 

Рис. В.1. Зависимость схемных функций от глубины отрицательной  
обратной связи k: а – входное сопротивление; б – выходное сопротивление;  
в – коэффициент усиления по напряжению 

Важный раздел пособия – топологические методы моделирования. 
«Топология схем – ключ к машинному формированию уравнений электрического равновесия» [2]. Направленный граф – топологический инвариант электрической цепи позволяет передать информацию о структуре цепи в ЭВМ с последующим формированием математической 
модели на основе законов Кирхгофа в топологической форме. 
Сигнальные графы (СГ), не будучи собственно топологической моделью структуры схемы, являются топологическим инвариантом системы уравнений, описывающих цепь. Построение графа осуществляется 
на основе причинно-следственных связей между переменными исходной системы уравнений. Алгоритм прямого метода построения СГ цепи 
в базисе узловых потенциалов, аналогичен таковому при получении математической модели обобщенным методом узловых потенциалов. 
Также в равной мере сохраняются одни и те же правила декомпозиции 
сложных схем на более простые многополюсники. Это позволяет осуществлять «доводку» отдельных фрагментов независимо от остальной 
схемы. Для получения передаточных функций цепи в аналитическом 
виде с размерностью свыше трех узлов предпочтительнее использовать 
ее топологическую модель. 
Поскольку СГ отображает системно образующие причинноследственные связи, объединяющие все Сущее в гармонии, то примене
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0

2104
4104
6104
8104
1105

8.207 104


5.86 103


Zin k
( )

0.95
0.05
k

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
200

260

320

380

440

500
500

200

Zaut k
( )

0.95
0.05
k

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0

3

6

9

12

15
10.707

1

Ku k
( )

1

0.95
0.05
k

ние метода сигнальных графов дает возможность моделировать на 
функциональном уровне сложные системы, включающие в себя подсистемы различной физической природы, с использованием PSpice или 
Mathlab. 
В качестве объекта моделирования рассматриваются электронные 
цепи, работающие в линейном режиме. Изучать методы моделирования 
эффективнее на более простых объектах, когда результаты численного 
анализа математической модели на ЭВМ практически заранее известны 
и легко может быть получено аналитическое решение, чего не скажешь 
в большинстве случаев о математической модели нелинейной цепи. 
В основе математического описания электронных цепей лежат 
уравнения электрического равновесия – законы Кирхгофа, и в силу их 
универсальности они применимы к линейным и нелинейным цепям.  
Нелинейную цепь также можно представить эквивалентной линейной 
«дискретной» схемной моделью, параметры компонентов которой уточняются на каждом шаге вычислений, и для нее уже может быть получена соответствующая линейным цепям математическая модель. 
В случае проектирования реальных устройств используется программа PSpice, которая имеет обширную библиотеку моделей электронных компонентов. При отсутствии необходимой модели нелинейного 
элемента его модель можно получить с помощью управляемых нелинейных источников тока или напряжения (гл. 10). Начальные сведения по 
аппроксимации нелинейных зависимостей рассмотрены в главах 12–14. 
Полученные полиномы позволят в программе PSpice установить связь 
между токами и напряжениями в нелинейном приборе. 
Основы анализа полученной модели для аналоговой цепи в частотной и временной области приведены в главах 6, 7. Изложенный материал может послужить базой для изучения временных и частотных характеристик моделей схем, работающих с цифровыми сигналами, которые 
по существу являются аппроксимацией аналоговых сигналов. Как и для 
аналоговой, в цифровой схеме дискретное преобразование Лапласа импульсной характеристики цепи тождественно ее передаточной функции. 
Это дает основание в едином ключе осуществлять анализ характеристик 
цепи, содержащей аналоговые и цифровые звенья. 
В главах 8, 9 рассмотрен важнейший этап проектирования – исследование модели на чувствительность характеристик схемы к вариации 
величин параметров элементов относительно их номинальных значений 
и даны основы параметрической оптимизации схем. 
На завершающем этапе проектирования – принятии решения на изготовление опытного образца изделия − необходим статистический ана

лиз модели схемы, изготовляемой в условиях, приближенных к реальному производству. Эти вопросы рассмотрены в главах 10 и 11. 
В пособии приведен материал, связанный с моделированием систем – получением моделей т. н. «черного ящика». Как правило, модель 
«черного ящика» может быть получена экспериментальным путем при 
изучении реакции системы на специально подобранные воздействия. 
Простейший случай представлен в главе 1 на примере моделирования 
трансформатора. 
В ряде случаев о внутренней структуре системы и элементах ее составляющих не имеется достаточных сведений, либо математическое 
описание процессов очень сложное. В первом приближении можно получить математическую модель системы как функционального блока по 
результатам анализа его реакции на воздействие. После обработки 
опытных данных находится функциональная зависимость «вход–
выход».  
В главах 11–14 рассмотрены вопросы, связанные с обработкой результатов экспериментальных измерений и оценки погрешности моделирования. С этой целью даны необходимые понятия теории вероятностей и элементы статистического анализа случайных величин. Оценка 
погрешности рассматривается в самом общем виде, по норме, с точки 
зрения вычисления расстояния между элементами линейного нормированного пространства. В качестве его элементов могут приниматься 
числа, векторы, матрицы, функции и пр., что позволяет оценивать погрешность приближения экспериментальных зависимостей аналитическими функциями, которые могут выступать и в качестве математических моделей исследуемых явлений в «черных ящиках». 
В целом изучение материала этих глав должно способствовать повышению культуры работы с экспериментальным материалом в части 
получения более достоверных результатов.  
С методологической точки зрения материал пособия по анализу 
аналоговых цепей может послужить отправной точкой для моделирования систем любой физической природы. Несмотря на все успехи цифровой техники, мир продолжает свое существование в аналоговой ипостаси и реальном времени. Любые системы, включая биологические, 
характеризуются частотными и временными характеристиками. В главе 10 
приведена таблица электроаналогий для фазовых переменных систем 
неэлектрической природы и пример согласования «механики с гидравликой». Использование управляемых источников позволяет в единой 
среде программы PSpice проводить анализ сложных систем, включающих в себя разнородные подсистемы, на схемотехническом или функциональном уровне моделирования.