Теоретическая механика

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК

ИНФРА-М

201УЧЕБНИК

О.В. МКРТЫЧЕВ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ 

по образованию в области строительства в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся 

по программе бакалавриата по направлению 08.03.01 «Строительство»

Рекомендовано Федеральным учебно-методическим объединением 

в системе высшего образования по укрупненным группам специальностей 

и направлений подготовки 15.00.00 «Машиностроение» в качестве учебника 

для реализации основных профессиональных образовательных программ 

высшего образования по направлению подготовки бакалавров 

15.03.02 «Технологические машины и оборудование»

УДК 531(075.8)
ББК 22.21я73
 
М11

Мкртычев О. В.

Теоретическая механика : учебник / О. В. Мкртычев. — М. : Ву
зовский учебник : ИНФРА-М, 2019. — 359 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — www.dx.doi.org/10.12737/textbook_59d71fe9ac6
8f2.88299087.

ISBN 978-5-9558-0546-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012789-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106368-2 (ИНФРА-М, online)

Учебник составлен в форме краткой сводки основных понятий, акси
ом и теорем теоретической механики, обзора методов решения и содержит задачи, предназначенные для самостоятельного решения.

Соответствует требованиям Федерального государственного образова
тельного стандарта высшего образования последнего поколения.

Учебник предназначен для студентов всех профилей направлений под
готовки бакалавров 08.03.01 «Строительство» и 15.03.02 «Технологические 
машины и оборудование» всех форм обучения, а также аспирантов и преподавателей данной дисциплины.

УДК 531(075.8)

ББК 22.21я73

М11

Р е ц е н з е н т ы:

В. Г. Шеманин, доктор физико-математических наук, профессор, 

заведующий кафедрой общенаучных дисциплин Новороссийского 
политехнического института (филиала) Кубанского государственного 
технологического университета, г. Новороссийск;

В. А. Туркин, доктор технических наук, профессор, начальник ка
федры техносферной безопасности на транспорте Государственного 
морского университета имени адмирала Ф. Ф. Ушакова, г. Новороссийск

ISBN 978-5-9558-0546-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012789-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106368-2 (ИНФРА-М, online)

© Мкртычев О. В., 2018
© Вузовский учебник, 2018

Список сокращений

АТТ
— абсолютно твердое тело

ДУ
— дифференциальное уравнение

ИСО
— инерциальная система отсчета

ЛДУ
— линейное дифференциальное уравнение

н. у.
— начальные условия

ОКХ
— основные кинематические характеристики

ССС
— система сходящихся сил

СК
— система координат

СО
— система отсчета

СтСв
— степень свободы

ТМ
— теоретическая механика

ЦТ/ЦМ
— центр тяжести/центр масс

Введение

Для современного студента, обучающегося инженерно-техни
ческим специальностям, знания о законах движения и взаимодействия механических тел являются необходимыми сегодня так же, 
как и много веков назад.

Учебник составлен на основе лекций, прочитанных автором 

студентам очной и заочной форм обучения БГТУ. Планом для составления лекций послужили требования Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования 
по направлению подготовки бакалавров промышленно-гражданского строительства. Материал и форма изложения выбирались 
исходя из объективной нехватки времени, отведенного на изучение 
этой сложной дисциплины. Преподавателям не составит труда привести эти доказательства и показать примеры применения по ходу
лекции, а студенты, желающие углубить свои знания по предмету,
могут найти освещение интересующих вопросов в более фундаментальных учебниках и учебных пособиях (например, Тарга, 
Яблонского, Бутенина и др.).

Главы разбиты на три раздела: «Статика», «Кинематика» 

и «Динамика». Введение в разделе «Динамика» выделено в качестве сжатого обзора рассматриваемых в разделе понятий и законов. 

В введении также указывается план изложения материала в данном 
разделе.

В конце каждого раздела приведен перечень вопросов и заданий 

для самостоятельной проверки знаний студентами. Там же дается 
примерный список задач для решения, выбранных из сборника 
курсовых заданий Яблонского.

В качестве используемого пакета прикладных программ реко
мендуется MATLAB и его приложение Simulink для построения 
и визуализации механических моделей. В дополнении к гл. 2 раздела «Кинематика» приведены минимальные сведения, необходимые для работы в Simulink и создания моделей твердотельных механизмов, а также интересные сведения, касающиеся различных 
способов представления вращательного движения. Хотя эта глава 
помещена после темы «Сложное движение», к ней можно вернуться 
и после изучения в разделе «Динамика» темы «Геометрия масс».

Отметим, что исходя из методических соображений везде речь 

идет о силах и моментах сил. При этом физически моменты сил 
являются только проявлением влияния сил, действующих на тело 
и вызывающих вращательное движение тела.

Через косую черту отделены друг от друга синонимы: сино
ним1/синоним2/синоним3. Квадратом  выделяются некоторые 
подпункты глав.

Определения терминов и важные свойства выделены жирным 

шрифтом, формулировки аксиом, теорем и свойств — курсивом. 
Примеры и дополнительный материал набраны мелким шрифтом.

Нумерация формул, рисунков и таблиц идет по разделам.

Рисунки в дополнительных главах обозначаются сокращением 
«доп» после номера рисунка, например «рис. 1.1.доп».

Раздел I 
СТАТИКА

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРЕТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ. 

РАЗДЕЛЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

Развитие современной техники ставит перед инженерами самые 

разнообразные задачи, связанные с расчетом, проектированием, 
производством и эксплуатацией всевозможных строений, машин, механизмов, двигателей. Несмотря на все многообразие этих 
проблем, решения их в определенной части основываются на некоторых общих принципах и имеют общую научную базу: законы 
движения или равновесия тех или иных материальных тел.

Наука об общих законах движения и равновесия материальных 

тел называется теоретической механикой/ТМ (иногда общей или 
аналитической). ТМ — одна из научных основ современных технических дисциплин. До ее изучения студенту желательно получить 
базовые знания по предметам «физика», «высшая математика», 
«философия».

Под движением в ТМ мы понимаем механическое движение — 

изменение со временем взаимного положения материальных тел 
в пространстве (понятия «время», «материальное тело», «пространство» и «изменение» являются в данном предмете неопределяемыми). При движении тела взаимодействуют друг с другом: механическим взаимодействием тел называется тот вид взаимодействия, 
при котором происходит изменение механического движения этих 
тел или их деформация. Основной мерой взаимодействия тел в статике будут являться сила и момент силы (см. гл. С. 1—С. 3). Таким 
образом, основная задача ТМ — изучение общих законов движения, 
взаимодействия и равновесия материальных тел под действием 
приложенных к ним сил и моментов.

История развития ТМ уходит корнями в истоки человеческой 

цивилизации. В древности, когда запросы производства сводились главным образом к удовлетворению нужд строительной тех

ники, начинают развиваться учения о «простейших механизмах» 
(блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость/клин) и общее учение 
о равновесии тел, которое названо статикой. К этому времени относится формулировка «золотого правила механики» — сколько 
выиграно в силе, столько проиграно в расстоянии. Из имен многих 
ученых Античности стоит упомянуть Архимеда1 (287—212 до н.э.).
В Западной и Центральной Европе XV и XVI вв. в начале эпохи 
раннего капитализма развиваются ремесла, торговля, мореплавание, военное дело, что привело к накоплению огромного опытного 
материала. Этот материал был подытожен в трудах таких выдающихся ученых, как Галилей (1564—1642), Ньютон (1643—1727), 
Эйлер (1707—1783), д’Аламбер (1717—1783), Лагранж (1736—1813) 
и др.

В России огромный вклад в развитие ТМ внесли Ломоносов 

(1711—1765), Эйлер (1707—1783), Остроградский (1801—1861), 
Чебышев (1821—1894), Ковалевская (1850—1891), Ляпунов (1857—
1918), Мещерский (1859—1935), Циолковский (1857—1935), Крылов 
(1863—1945), Жуковский (1847—1921), Чаплыгин (1869—1942) и др.

Традиционно сложилось преподавание ТМ по трем разделам: 

статика, кинематика и динамика. При этом кинематика и динамика подразделяются, в свою очередь, на кинематику и динамику
точки и кинематику и динамику системы точек — кинематика и динамика механических систем.

Статикой называется раздел ТМ, в котором излагается общее 

учение о силах и моментах сил и изучаются условия равновесия 
материальных тел, находящихся под действием сил и моментов.

Содержание статики АТТ составляют две основные задачи:
1) задача о приведении системы сил: как данную систему сил заме
нить другой, в частности, наиболее простой, ей эквивалентной?

2) задача о равновесии: каким условиям должна удовлетворять

система сил, приложенная к данному АТТ или материальной точке,
чтобы она была уравновешенной системой?

Под равновесием понимаем состояние покоя тела по отношению 

к другим материальным телам. Если движением тела, по отношению к которому изучается равновесие, можно пренебречь, то равновесие называют абсолютным, в противном случае — относительным. 
В статике будем рассматривать только абсолютное равновесие тел. 
Почти во всех инженерных расчетах можно пренебречь движением 
Земли и равновесие по отношению к Земле считать абсолютным.

1
По Архимеду, пять простых механизмов — это рычаг, блок, клин, бесконечный винт и лебедка/ворот. 

Условия равновесия тела существенно зависят от того, явля
ется ли это тело твердым, жидким или газообразным. Равновесие 
жидких и газообразных тел изучается в курсах гидростатики и аэростатики. В общем курсе ТМ обычно рассматриваются только задачи 
о равновесии твердых тел. При этом используются следующие теоретические абстракции: материальная точка (тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь) и АТТ.

АТТ — это твердое тело, расстояние между любыми двумя точ
ками которого при любых воздействиях на него остается постоянным (основная абстракция/модель ТМ). Другими словами, это 
тело, которое никогда не деформируется.

В реальности тела при взаимодействии между собой деформи
руются, поэтому область практического приложения и применения 
законов и выводов статики твердого тела должна выбираться исходя из условия малости деформаций. Учет деформаций тел приобретает существенное значение при расчете прочности частей тех 
или иных инженерных сооружений или механизмов. Эти вопросы 
рассматривают в курсах сопротивления материалов, теории упругости, ТММ, теории пластичности и др.

Чтобы твердое тело находилось под действием некоторой сис
темы сил и моментов в равновесии/покое, необходимо, чтобы эти 
силы и моменты удовлетворяли определенным условиям равновесия. Нахождение этих условий и является одной из основных задач
статики. Отсюда сразу вытекают две проблемы, которые надо решить:

1) сложение сил и моментов и приведение системы сил и моментов

к простейшему виду;

2) определение уравнений равновесия для действующих на тело

систем сил и моментов.

Эти задачи статики, как и вообще все задачи ТМ, могут решаться 

двумя основными методами: путем соответствующих геометрических построений и применения теорем геометрии — геометрический/графический метод или с помощью численных расчетов —
аналитический метод. На практике решение задач чаще сочетает оба 
метода.

 Аксиомы статики
Аксиома 1 (аксиома о простейшей уравновешенной системе 

сил). Если на свободное1 АТТ действуют две силы, то тело может
находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны

1
Определение свободного тела, как и определение уравновешенной системы 
сил, см. в гл. С. 2.

по модулю, направлены вдоль одной прямой в разные стороны (т.е. антипараллельны) (рис. 1.1).

A
B

A

B

F1

F1

–F1

–F1

Рис. 1.1. Аксиома о простейшей уравновешенной системе сил

Аксиома 1, собственно, и является определением простейшей 

уравновешенной системы сил.

Аксиома 2 (аксиома об эквивалентных1 системах сил). Действие

данной системы сил на АТТ не изменится, если к ней прибавить или
отнять уравновешенную систему сил (рис. 1.2).

GT
–GT

F
F

G

F – GT

=
=

Рис. 1.2. Аксиома о добавлении уравновешенной системы сил

Аксиома 2 дает способ определения эквивалентных систем сил: 

путем последовательного прибавления и/или вычитания уравновешенных систем сил.

Важным следствием из аксиом 1 и 2 является следующая тео
рема/следующее свойство.

Теорема о переносе силы вдоль ее линии действия. Действие силы

на АТТ не изменится, если перенести ее точку приложения вдоль линии действия силы в любую другую точку АТТ (рис. 1.3).

В свою очередь, из этой теоремы вытекает, что векторы сил

можно рассматривать в статике как скользящие. Это утверждение
справедливо только для сил, действующих на АТТ. При инженерных 
расчетах этим утверждением можно пользоваться лишь при определении условий равновесия той или иной конструкции и нельзя,
если рассматриваются внутренние усилия в конструкциях.

1
Определение эквивалентных систем сил см. в гл. С. 2.

A
B

F1
= A
B

F1
= A
B

F1

Рис. 1.3. Теорема о параллельном переносе силы вдоль линии действия

Аксиома 3 (аксиома о сложении сил, аксиома параллелограмма 

сил, аксиома о равнодействующей двух сил). Две силы, приложенные
к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической /векторной сумме этих сил и приложенную в этой же точке
(рис. 1.4).

F1

F2

A
A

F1 + F2

Рис. 1.4. Аксиома параллелограмма сил

Аксиома 4 (аксиома о равенстве по модулю силы действия и про
тиводействия, III закон Ньютона). При любом действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине / модулю, но противоположно направленное, вдоль одной прямой, противодействие со стороны второго материального тела на первое.

Важно понять, что в этой аксиоме речь идет о силах, приложен
ных к разным телам (рис. 1.5), и поэтому они не уравновешивают
друг друга. Никакой связи с аксиомой 1 здесь нет.

F21
A
F12
B

F12 = –F21
F12 приложена в т. В тела 2

F21 приложена в т. А тела 1

1

2

Рис. 1.5. Аксиома сил действия и противодействия

По аксиоме 4 любые две частицы a и b твердого тела будут дей
ствовать друг на друга с силами, равными по модулю, антипараллельными и лежащими на одной прямой. Так как при изучении 
условий равновесия тело рассматривается как АТТ, то по аксиоме 1 
все эти пары внутренних сил образуют простейшие уравновешенные системы сил, которые по аксиоме 2 можно отбросить. Отсюда 
следует:

В статике при изучении условий равновесия тела/конструкции не
обходимо учитывать только внешние силы.

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого / де
формируемого тела, находящегося под действием данной системы
сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим, т.е. считать
его АТТ.

Таким образом, при равновесии, и только при равновесии, 

силы, действующие на любое изменяющееся/деформирующееся
тело, удовлетворяют тем же условиям, что и для АТТ. Но для изменяемого тела эти условия, будучи необходимыми, могут не быть 
достаточными.

К этим аксиомам добавляют в качестве шестой аксиомы статики 

следующее утверждение:

Аксиома 6 (принцип связей, или принцип освобождаемости 

от связей). Любое несвободное АТТ можно рассматривать как свободное, если отбросить связи, наложенные на АТТ, и заменить их действие реакциями отброшенных связей1.

1
Определения свободного и несвободного тела, связи и реакции связи см. 
в гл. С. 2.