Геодезия: Задачник

ГЕОДЕЗИЯ

Издание стереотипное

Москва

ИНФРА-М

2020

ЗАДАЧНИК

М.А. ГИРШБЕРГ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям подготовки

21.03.03 «Геодезия и дистанционное зондирование»,

08.03.01 «Строительство»,

21.03.02 «Землеустройство и кадастры»

(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 528(075.8)
ББК 26.12я73
 
Г51

Гиршберг М.А.

Геодезия: задачник : учеб. пособие / М.А. Гиршберг. — Изд. 

стереотип. — М. : ИНФРА-М, 2020. — 288 с. + Доп. материалы 
[Электронный ресурс; Режим доступа http://www.znanium.com]. — 
(Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-006350-8 (print)
ISBN 978-5-16-102814-8 (online)

Настоящее учебное пособие — репринт знаменитого задачника 1961 года, 

на котором выросло не одно поколение специалистов, остающегося актуальным 
и сегодня.

Наряду с задачами учебное пособие содержит вопросы по теоретической 

части дисциплины «Геодезия» и формулы, необходимые для решения задач.

Рекомендуется использовать с учебником М.А. Гиршберга «Геодезия» (изд. 

стереотип. М.: ИНФРА-М, 2017).

УДК 528(075.8)

ББК 26.12я73

Г51

© Гиршберг М.А., 1961, 2014

Подписано в печать 08.06.2019. 

Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. 

Усл. печ. л. 18,0. ППТ70. Заказ № 00000

ТК 426500-1039035-250613

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

ISBN 978-5-16-006350-8 (print)
ISBN 978-5-16-102814-8 (online)

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

Материалы, отмеченные знаком 
, 

доступны в электронно-библиотечной системе Znanium.com

ПРЕДИСЛОВИЕ

Среди учебной литературы по геодезии для высших учебных 
заведений до еих пор не было задачников. Неизвестны также 
такого рода учебные пособия по геодезии и в заграничной практике. Данная книга является первой попыткой устранить пробел, 
существующий в этой части.

Наряду с задачами мы считали полезным поставить вопросы 
по теоретической части курса, помогающие студентам закреплять 
знания по геодезии и самостоятельно проверять степень их усвоения. Постановка вопросов оправдана еще и тем, что по многим 
весьма важным для усвоения курса понятиям не могут быть составлены задачи. Вопросы по курсу будут особенно полезны сту- 
дентам-заочникам, самостоятельно изучающим этот предмет.

Данное учебное пособие составлено применительно к программе курса геодезии для институтов геодезии, аэрофотосъемки 
и картографии. Многие из помещенных здесь задач могут быть 
полезны для решения учащимися топографических техникумов.

В начале каждой главы книги приводится сводка основных 
формул, необходимых для решения задач этой главы. Во всех главах дано решение ряда типовых задач с необходимыми пояснениями.

Задачи, которые задаются студентам на лабораторных занятиях по геодезии, в большинстве случаев индивидуализированы в 
расчете на учебную группу в 20—30 студентов. Дальнейшая индивидуализация задач может быть легко произведена преподавателем, ведущим занятия по геодезии.

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность рецензенту книги по кафедре геодезии МИИГАиК кандидату технических наук доценту Н. И. Модринскому за ценные советы и указания.

Глубокую признательность выражаю заведующему кафедрой 
геодезии 
МИИГАиК 
доктору 
технических 
наук 
профессору 
А. С. Чеботареву, ассистенту кафедры Я. Я. Карклину, коллективу кафедры геодезии МИИЗ, рецензенту доценту Б. А. Колосову 
и научному редактору кандидату технических 
наук доценту 
А. В. Гордееву за полезные советы, которые были приняты во 
внимание при работе над текстом рукописи.

3

Полевые материалы к задачам 6 и 7 главы XII были любезно предоставлены мне доцентом В. Д. Большаковым, за что 
выражаю ему благодарность.

Поскольку такое учебное пособие издается впервые, то вполне 
возможно, что оно не лишено недостатков. Поэтому буду благодарен за советы и указания, направленные на улучшение содержания книги.

Доцент М. А. Гиршберг

Г л а в а  I 

ВВЕДЕНИЕ

Предмет геодезии. Понятие о форме Земли и ее размерах. Координаты и высоты точек земной поверхности. Единицы мер. Действия 
с величинами углов, выраженными в радианной мере

Фор му л ы,  н е о б х о д и м ы е  д л я  р е ш е н и я  з а д а ч

Разность между длиной дуги 5 радиуса /? и стягивающей ее 
хордой (1

1 53

^ ~  24 
’
( и )

Разность между длиной дуги 5 радиуса 
и отрезком касательной (1' в средней точке этой дуги, заключенным между продолженными радиусами, проведенными через конечные точки дуги 5,

_  1 53 
8 
й — 12

Влияние кривизны Земли на высоты точек

( 1.2 )

г = 2/?’
(1.3)

Рис. 1.

Формула для перехода от значения угла, выраженного в градусной мере, к его значению в радианной мере

р - р ° - р ' - р " (1.4)

Здесь: рв =  57°,2958; р' =  3437',75; р" =  206265"

5

Формула для выражения величины sine и tg е в случаях, 
когда е — малый угол (е^5°44'),

sin е 
tg е ^  — . 
(1.5)

Длина стороны х треугольника (рис. 1), расположенной против малого угла е,

х ^  S— . 
(1.6)

Р

ВОПРОСЫ

1. В чем состоит предмет геодезии, каковы его задачи?
2. Что такое уровенная поверхность, какими свойствами она 
обладает?

3. Какой математической поверхностью в первом приближении может быть заменена уровенная поверхность Земли?

4. Каковы размеры эллипсоида Ф. Н. Красовского?
5. В чем заключается разница между астрономическими и 
геодезическими координатами точки?

6. Объясните сущность метода проекций, применяемого в геодезии?

7. Что называется абсолютной, относительной и условной отметками точки?

8. Какие Вы знаете научные и практические задачи геодезии?
9. На какую поверхность редуцируются результаты измерений в геодезии?

10. Что называется профилем местности?
11. Каковы основные этапы развития советской геодезии?
12. Что в настоящее время принято считать за длину метра?
13. Какие Вы знаете единицы децимальной системы мер для 
измерения углов?

14. В чем состоит основной принцип организации и производства геодезических работ?

ЗАДАЧИ

1. Подсчитайте абсолютную и относительную ошибки, вызванные заменой на земном шаре дуги большого круга длиной 
5 =  5 кж стягивающей ее хордой.

2. Подсчитайте влияние кривизны Земли на высоту точки, 
если дугу длиной 5 =  5 км заменить касательной, проведенной в 
начальной точке дуги.

3. На земной поверхности даны дуги длиной 1) 5 = 1 5  км; 
2) 5 =  25 км; 3) 5 =  50 км; 4) 5 =  75 км. Вычислить абсолютные 
и относительные ошибки, вызванные заменой этих дуг: а) стягивающими их хордами и б) отрезками касательных в средних 
точках дуг.

6

4. Определите влияние кривизны Земли на высоту точки, если 
1) 5 =  800 м; 2) 5 =  300 м; 3) 5 =  100 м; 4) 5 =  50 м.

5. Приведите соотношение между градовой и градусной системами мер.

6. Чему равна длина одной морской мили?
7. Длина мерного прибора равна 10 саж. Чему равна длина 
этой меры в метрах?

8. Длина линии местности 1 верста 264,68 саж. Определить 
длину этой линии в метрах.

9. Площадь земельного участка равна 16,36 дес. Определить 
площадь его в метрической системе мер.

10. Длина линии 547,6 дюйма. Чему равна длина этой линии: 
1) в саженях; 2) в вершках; 3) в аршинах; 4) в футах; 5) в 
метрах?

11. Угол £ =  86°27'. Выразить величину этого угла в радиан- 
ной мере.

Ре ше ние .  Известно, что в окружности 2к радиан, следовательно, один радиан

1 яо°
р =  —  =  57°,3 — 3438' =  206 265".

Поэтому величина угла, равная 86°27', в радианной мере 
будет

86°27' __ 86°,45 
: 
Р 
“  57°,3 =  1,51 радиана.

12. Выразить в радианной мере следующие величины углов' 
1) 28°45'; 2) 126°30'; 3) 216°39'; 4) 314°15'; 5) 180W.

13. Выразить в градусной мере следующие величины углов: 
1) 0,39 радиана; 2) 1,387 радиана; 3) 2,74 радиана; 4) 3,14 радиана; 5) 4,97 радиана.

14. Не прибегая к таблицам натуральных значений тригонометрических функций, определить величину угла 
£, если sin е =  
=  0,0371.

Решение.  Известно, что синусы и тангенсы малых углов 
(до 5°44') близки (с точностью до третьего десятичного знака 
равны) к значениям этих углов, выраженным в радианной мере, 
т. е.

. 
е
tg е ^  sin s ^  — .

Р

Следовательно,

£ ^  р-sin е 

или

е '=  0,0371 • 3438' =  127' =  2°07'.

7

15. Не прибегая к таблицам натуральных значений тригонометрических функций, определить с точностью до одной минуты 
величину угла в, если 1) tg£ =  0,068; 2) sin £ =  0,100; 3) sin в — 
=  0,014; 4) tg е =0,083. Полученные при решении результаты 
проверить с помощью таблиц натуральных значений тригонометрических функций.

16. Не прибегая к таблицам натуральных значений тригонометрических функций, определить с точностью до третьего десятичного 
знака 
sine и tge. 
если 
1) е =  2°51'; 
2) е =  1°24';

3) е 2=  3°38'; 4) £=5°20'; 5) s =  5°44'.

Решение проверить с помощью таблиц.
17. В прямоугольном треугольнике АВС 
(рис. 1) 
сторона 
ЛВ =  5= 100 ж, а ,/САВ =  е =5'у0. Определить длину стороны 
SC =  *.

Р е ше н и е .  Противолежащий углу е катет

Так как 
е

х =  s • sin е. 
малый угол, то

sin е :

поэтому

X '
е

5 -  .

Р
(а)

Подставив в это выражение числовые величины, получим

5',0
х =  100 м •
145 мм.
3438'

Соотношение (а) можно представить в следующем виде:

х  
е

5 ~ Р '

Из этого соотношения следует, что в прямоугольном треугольнике (или близком к прямоугольному) с малым углом £ 
противолежащая этому углу сторона х может рассматриваться 
как дуга окружности с радиусом 5 и центральным углом е.

18. Определить приближенно длину стороны ВС (рис. 1) по 
следующим данным: 1) г =  18', 5 =  125 м; 2) е =  1°,23', 5 =  200м; 
3) £ =  2°45', 
5 =  200 м; 
4 )£  =  3°27', 
5 =  250 м; 
5) е =  4°10', 
$ =  150 м; 6) г =  34',38, 5 =  100 м. Ответы получить с тремя значащими цифрами.

19. Не прибегая к таблицам натуральных значений тригонометрических функций, вычислить £ (рис. 1) в градусной мере (до 
целых минут) и в радианной мере (до третьей значащей цифры), 
если 
1) ВС =  0,834 м, 
5= 195 м; 
2) ВС =  0,087 ж, 
5 =  79 ж; 
3)ВС =  0,346 ж, 5= 116 ж; 4) £С =  0,264 м, 5= 150 ж; 5) ВС =  
=  2,000 ж, 5 =  200 ж.

П р и м е ч а н и е :  Задачи 18 и 19 удобно решать на логарифмической линейке.

8

Г л а в а  II 

ПЛАН И КАРТА

Масштабы. Топографические карты, их разграфка и номенклатура. 
Ориентирование. Изображение рельефа на картах. Условные знаки 
на топографических картах. Понятие об аэрофотосъемке. Чтение

карты

О с н о в н ы е  фо р му л ы,  н е о б х о д и м ы е  для р е ш е н и я

з а д а ч

Длина линии местности

(ИЛ)

где 5 — длина горизонтального проложения линии местности; 
d ■—длина соответствующей линии на карте;
Ai — знаменатель численного масштаба карты.

Формулы для определения сближения меридианов:

Y=AX*sincp, 
(П.2)

T =  ^P-tg«P. 
(П.3)

— 0',54-s tg ф. 
(II.4)

В этих формулах:

Y— сближение меридианов в данной точке;

ДX— разность долгот меридиана, проходящего через данную 
точку, и осевого меридиана*; 
ср— географическая широта данной точки; 
s — длина дуги параллели от данной точки до осевого меридиана*;

R — средний радиус Земли, равный 6371 км; 
р— значение радиана в градусной мере.

* При переходе от прямого азимута линии к обратному вместо осевого 
меридиана берется меридиан, проходящий через конечную точку линии.

9

Формулы для определения ориентирующих углов линий:

А' — A zh. 180° +  у, 
(П.5) 
А =  Ат-\- Ъ, 
(Н.6)

ос — А — Y, 
(П.7)

ос =  Ат +  2 — Y, 
(Н.8)

П — Ъ — у. 
(П.9)

В формулах (II.5), (II.6), (II.7), (II.8) и (11.9) приняты еле 
дующие обозначения:

А — истинный азимут линии в прямом направлении, например, 
с В на С;

А' — истинный азимут линии в обратном направлении, т. е. с 
С на В;

Ат— магнитный азимут линии; 
о— склонение магнитной стрелки; 
а— дирекционный угол линии;
П — поправка за склонение магнитной стрелки и сближение 
меридианов.

Крутизна линии ската:

+ 
h 
i =  tg v =  -  ,

h

v==â p’

57°,3 -  л  60° -  . 
a 
a

(НЛО)

(НЛП

(ИЛ 2)

Здесь:

V— угол наклона линии к горизонту;

V0 — тоже,  выраженный в градусах;
Н — высота сечения рельефа;
а — измеренное по карте расстояние между соседними горизонталями или заложение ската;

/ — уклон линии местности.

Долгота осевого меридиана зоны:

¿о с =  6°-Л Г-3°, 
(11.13)

где — N — номер зоны.

Величина искажения линий в проекции Гаусса:

A.V:
2R2s,

As
s

У_
2R‘>‘

(11.14)

(11.15)

10