Функции комплексного переменного. Операционное исчисление

ЧЕРНОМОРСКОЕ ВЫСШЕЕ ВОЕННО–МОРСКОЕ УЧИЛИЩЕ

ИМЕНИ П.С. НАХИМОВА

ФАКУЛЬТЕТ СУДОВОЖДЕНИЯ И ЭНЕРГЕТИКИ СУДОВ

Ю.М. ОСАДЧИЙ

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО 

ПЕРЕМЕННОГО

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161.1я73

О72

Авто р :

Ю.М. Осадчий, доктор технических наук, профессор

Ре це нзе нт:

А.Ф. 
Хрусталев, 
доктор 
физико-математических 
наук, 

профессор

Ре д а к то р :

О.Г. Сатыга, кандидат технических наук, доцент

Осадчий Ю.М.

О72
Функции комплексного переменного. Операционное 

исчисление : учеб. пособие / Ю.М. Осадчий. — М. : ИНФРА-М, 
2019. — 129 с.

ISBN 978-5-16-107966-9 (online)

Учебное пособие составлено в соответствии с программами по 

дисциплине «Высшая математика». Содержит теоретический материал, 
а также оформленные  в виде таблиц основные понятия и формулы, 
тренинговые задания и примеры решений задач.

Для 
студентов 
механических, 
электротехнических, 

судоводительской специальностей.

УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161.1я73

ISBN 978-5-16-107966-9 (online)
© Черноморское высшее 

военно-морское училище 
имени П.С. Нахимова, 2019

ФЗ № 
436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1. Комплексные числа

Рациональные и иррациональные числа, включающие в себя 

целые, дробные, положительные и отрицательные, объединяют 
понятием действительных (вещественных) чисел.

Потребности расширений практических математических задач 

вызывают необходимость введения понятий мнимых и комплексных 
чисел.

Например, уравнение:

0
4
2


x

имеет два корня

2
,2
2
1



x
x
.

Рассмотрим уравнение

0
4
2


x
.
(1)

Запишем:

4
2


x
.

Поскольку квадрат любого неравного нулю действительного 

числа является числом положительным, сделаем вывод о том, что 
уравнение (1) не имеет корней на множестве действительных чисел.

Определение.
Комплексным числом называется упорядоченная пара двух 

действительных 
чисел 
(x, 
y) 
одно 
из 
которых 
называют 

действительной, другое – мнимой частями комплексного числа. 
Пишут:

y
z
x
z


Im
,
Re
.

Комплексное число z(x; y) можно изобразить в виде точки в 

плоскости, в которой построена система координат
xoy (рис. 1). 

Точка z(x; y) имеет координаты (x, y).

Рис. 1. Изображения комплексного числа

Комплексное число можно также изобразить в виде вектора из 

начала координат, имеющего координаты 
(x, y) (компоненты в 

ортонормированном базисе) .

Два комплексных числа 
)
;
(
1
1
1
y
x
z 
и (
)
;
2
2 y
x
равны друг 

другу, если 
2
1
2
1
,
y
y
x
x


.

Числам 
)
0;
(x
z 
соответствуют точки на оси ox, как и точки, 

соответствующие 
действительным 
числам. 
Ось
ox
назовем 

действительной осью.

Числа
)
;0
(
y
z 
назовем мнимыми. Им соответствуют точки 

на оси oy, называемой мнимой.

Комплексное число (0; 1)
назовем мнимой единицей и 

обозначим
)1;0
(

i
. При этом по определению примем

1
,1
2




i
i
.

у

у

r

0
х
х

z = х + iy

z = х – iy

φ

Характеристиками 
вектора 
являются 
его 
модуль, 

обозначаемый
z , и аргумент


z
Arg
. Значение аргумента 

известного числа
z=(x;y) определено с точностью до слагаемого

k

2
, k – целое. Значение
)
(






называем главным 

значением аргумента комплексного числа и обозначаем его
z
arg
.

Значения модуля и аргумента комплексного числа далее будем 

называть просто его модулем и аргументом. Модуль и аргумент 
комплексного числа 
)
;
(
y
x
z 
и компоненты его (x, y) связаны 

зависимостями:

2
2
y
x
z
r
z
Mod




,

)
/
arcsin(
)
/
arccos(
r
y
r
x
z
Arg


,



sin
,
cos
r
y
r
x


.
(2)

Введя понятие мнимой единицы и определив его, будем  

комплексные числа записывать 

.
iy
x
z


(3)

Эту форму
представления комплексного числа назовем 

алгебраической. При этом знак (+) не является знаком действия. 
Форма (3) является единым символом обозначения комплексного 
числа.

Два числа

iy
x
z


1

и

iy
x
z


2

назовем комплексно – сопряженными и будем обозначать z и  z .

2.Действия над комплексными числами

2.1. Сумма и разность двух чисел

Суммой двух комплексных чисел

1
1
1
iy
x
z



и

2
2
2
iy
x
z



называется число

)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
y
y
i
x
x
z
z
z






.

Разностью чисел z1 и z2 называется число

)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
y
y
i
x
x
z
z
z






.

При этом элементы второго слагаемого алгебраической формы  

iy можно записывать в последовательности  yi.

Примеры.

,
5,0
2
1
i
z



,
3,1
2
i
z




.
5,0
2
3
i
z



i
i
z
z
5,1
7,0
)1
5,0
(
)3,1
2
(
2
1







.

.4
)
5,0
5,0
(
)
2
2
(
3
1






i
z
z

i
i
z
z
5,0
3,3
)
5,0
1(
)
2
3,1
(
3
2









.

2.2. Произведение двух комплексных чисел

Произведением 
двух 
комплексных 
чисел 
называется

комплексное число, получаемое в результате следующих действий:

).
(
)
(

)
)(
(

2
2
2
1
2
1
2
1

2
1

2

1
2
2
1
2
1

2
2
1
1
2
1

y
x
y
x
i
y
y
x
x

y
y
i
y
ix
y
ix
x
x

iy
x
iy
x
z
z
z



















Примеры.

.
65
,2
1,3

1
5,0
2
)
3,1
(
5,0
)
3,1
(
2
(

)
3,1
)(
5,0
2
(

2

2
1

i

i
i
i

i
i
z
z























.
25
,4
25
,0
4

5,0
5,0
5,0
2
2
5,0
2
2
(

)
5,0
2
)(
5,0
2
(

2

3
1




















i
i
i

i
i
z
z










2
2
2
)
)(
(
y
i
ixy
ixy
x
iy
x
iy
z
z
z

.
2
2
y
x 


Из последнего примера видим, что произведение комплексно

сопряженных чисел есть число действительное, равное сумме 
квадратов их действительной и мнимой частей. Далее это нам 
пригодится.

2.3. Частное комплексных чисел

Деление комплексных чисел выполняют, домножив делимое и 

делитель на число, сопряженное делителю, и выделив в частном 
действительную и мнимую части:

.)
(
)
(

)
(
)
(

)
)(
(

)
)(
(

2
2

2
1

2
1
1
2

2
2

2
1

2
1
2
1

2
2

2
1

2
1
1
2
2
1
2
1

2
2
2
2

2
2
1
1

2

1

y
x

y
x
y
x
i
y
x

y
y
x
x

y
x

y
x
y
x
i
y
y
x
x

iy
x
iy
x

iy
x
iy
x

z
z
z

























Пример:




.
61
,3
35
,1

61
,3
1,2

1
61
,2

)1
(
2
5,0
3,1

1
61
,2

5,0
)
3,1
(
2

)
3,1
)(
3,1
(

)
3.1
(
5,0
2

2

2

1

i

i
i

i
i

i
i

z
z































2.4. Тригонометрическая и показательная формы

комплексного числа

Подставим выражение (2) в алгебраическую форму (3):

),
sin
(cos
sin
cos




i
r
ir
r
z





или

.

),
sin
(cos

2
2
y
x
z

i
z
z









(4)

Представим показательную функцию 

ie
следующим образом 

(формула Эйлера):

.
sin
cos



i
ei


(5)

Ее действительная и мнимая части таковы:

,
sin
,
cos




y
x

а модуль

.1
sin
cos
2
2
2
2






y
x

Следовательно, отображением функции (5) являются точки, 

лежащие на единичной окружности с центром в начале координат 
координатной плоскости.

Подставим (5) в (4), получим форму комплексного числа, 

называемую показательной:

.


i
i
e
z
re
z


(6)

Тригонометрическая форма (6) комплексного числа позволяет 

вычислить 
модуль 
и 
аргумент 
произведения 
и 
частного 

комплексных чисел.

Рассмотрим их произведение:








)
sin
sin
cos
(cos
2
1
2
1
2
1
2
1




r
r
z
z
z




)
sin
cos
cos
(sin
2
1
2
1




i






))
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1




i
r
r

)
sin
(cos


i
r


.

При 
умножении 
комплексных 
чисел 
их 
модули 

перемножаются, аргументы складываются.

Рассмотрим частное двух комплексных чисел:










2
2

2
1
2
1
2
1

2
2

2
1

2

1
))
sin(
)
(cos(

r

i
r
r

z
z

z
z

z
z
z





)
sin
(cos
))
sin(
)
(cos(
2
1
2
1

2

1






i
r
i
r
r






.

При делении комплексных чисел модуль частного равен 

частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен 
разности аргументов делимого и делителя.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного 

числа позволяют возвести его в целую степень или извлечь корень. 

При этом пользуются формулой Муавра:




in
n
n
n
e
z
n
i
n
z
z



)
sin
(cos
.

При возведении комплексного числа в целую степень n его 

модуль возводится в степень n, а аргумент умножается на n.

Пример.

.2
2
)
2
2

2
2
(
2
)
4
sin
4
(cos
2
2
4
i
i
i
e
z

i












2
4
2
4
)
2
2

2
2
(
8
)
4
3
sin
4
3
(cos
8
2
4
3

3
3
i
i
i
e
z

i














.

Корнем степнени n (n – натуральное ) из комплексного числа 

z называется число, обозначаемое 
,

1
n
n
z
z 
n-я степень которого 

равна z.

При извлечении корня n-й степени из числа  z воспользуемся 

формулой Муавра, учитывая, что аргумент числа z определен с 
точностью до слагаемого 
.
2 k

Следовательно,

))
2
sin(
)
2
(cos(

1

n
k

n
i
n
k

n
z
z
z
n
n
n









.

Точка  z
в комплексной плоскости в результате извлечения 

корня n-й степени из числа  z отобразится на n точек, лежащих на 

окружности радиусом
n z ,  радиус – векторы которых имеют 

аргументы  
)
2
(
n
k

n


 
.

Пример.

)
4
sin
4
(cos
2
2
4





i
e
z

i



.

))
3

2

12
sin(
)
3
2

12
(cos(
2
3
3
1

3
k
i
k
z
z










(см. рис. 2)

Рис.2. Изображения корня 

третьей степени из комплексного числа

2.5. Алгебраические уравнения, 
имеющие комплексные корни

Выше мы рассмотрели уравнение

,0
4
2


x

не имеющее корней на множестве действительных чисел. Но с 
использованием мнимой единицы запишем:

.
2
)1
(
4
4
,4
2
i
x
x












Это уравнение имеет мнимые корни

.
2
,
2
2
1
i
x
i
x




Рассмотрим еще один пример. Найдем корни уравнения

.0
3
2
2


 x
x
( 7)

Воспользуемся формулой

у

3 z , к = 1

0
х
2

z

3 z , к = 2

3 z , к = 0

1 3 2