Основы проектирования антенных систем

Москва
Горячая линия – Телеком
2018

УДК 621.396.67 
ББК 32.845 
 Ч-34 

Р е ц е н з е н т ы :  доктор физ.-мат. наук, профессор И. Ф. Будагян; доктор 
техн. наук, профессор  Э. Л. Портнов; доктор техн. наук, профессор 
А. Ю. Гринев  

Чебышев В. В. 
Ч-34       Основы проектирования антенных систем. Учебное пособие 
для вузов. − М.:  Горячая линия – Телеком, 2018. – 150 с.: ил.  
ISBN 978-5-9912-0559-7. 

Изложены основы проектирования антенных систем. Даны общие 
понятия электродинамики и теории электромагнитного поля применительно к решению электродинамических задач теории антенн. Рассмотрены основные численные методы решения, такие, как проекционные методы, метод конечных разностей, метод конечных элементов 
и метод интегральных уравнений. Изложены основные теоретические 
сведения, необходимые для численного анализа антенн с использованием пакетов прикладных программ MWO, HFSS и ЭДЭМ. Рассмотрены основные положения теории проволочных и микрополосковых 
антенн, имеющих широкое практическое применение для систем связи. 
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» (степени «бакалавр» 
и «магистр»), будет полезно для магистров по направлению подготовки «Радиотехника» по профилю «Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов» и студентов других радиотехнических специальностей. 

ББК 32.845 

Все права защищены.
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена в какой бы то 
ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного 
разрешения правообладателя
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком»
www.techbook.ru
© В. В. Чебышев

ВВЕДЕНИЕ

Проектирование СВЧ устройств, антенн и т. п. начинается с выбора физической модели, основанной на определённом уровне знания физических процессов, происходящих в устройстве. При этом
нужно выделить наиболее существенные черты явления и отбросить
второстепенные. Математические модели в электродинамике базируются на уравнениях Максвелла (или вытекающих из них) при учёте тех или иных условий, что даёт исчерпывающие сведения о конкретном физическом процессе.
Точное решение электродинамической задачи для выбранной
математической модели, как правило, возможно лишь в случае, когда исходная физическая проблема (а следовательно, и математическая модель) упрощена за счёт целого ряда идеализаций.
В силу теоремы единственности электродинамический анализ
структуры сводится к нахождению решения уравнений Максвелла с
краевыми условиями на границе и условием на рёбрах. Если рассматривается внешняя задача, то для однозначности решения краевой задачи формулируется дополнительное условие на бесконечности (условие Зоммерфельда). Электродинамический анализ может
проводиться с использованием уравнений Максвелла в интегральной или дифференциальной форме. При этом область, в которой
ищется решение, может подвергаться разбиению (созданию сетки),
что приводит к дискретизационным методам: методу конечных разностей и методу конечных элементов.
При выборе метода решения приходится полагаться на опыт
предшествующего решения задач, на возможности метода (сложность области решения, неоднородность среды, вычислительные ресурсы и т. д.), интуицию и сравнение с экспериментом, а также отвечать за точность результатов. Выделим численные методы решения электродинамических задач, рассмотренные в книге, а именно
проекционные методы: метод моментов (ММ) и метод Ритца; метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ)
и метод интегральных уравнений (МИУ).
Сильной стороной ММ является удобство моделирования рассеяния на металлических телах, поскольку анализ сводится к решению
поверхностных интегральных уравнений, и не требуется дискретизации области решения вне тел. Однако для ММ проблема сложных

Введение

сред, имеющих сложную форму, всегда связана с поиском подходящего представления функции Грина, выражающей поля в структуре
через токи на некоторых поверхностях. Эта работа связана с аналитическими преобразованиями, которые выполняются не компьютером, а разработчиком программы. В то же время использование
функции Грина существенно уменьшает размерность решаемой задачи. В ряде интересных случаев, например плоскослоистой среды,
функции Грина известны и для них разработаны эффективные численные алгоритмы.
Особый случай — это антенные задачи, т. е. задачи, связанные с
расчётом излучения в свободное пространство. Поскольку функция
Грина свободного пространства хорошо известна, то, следовательно, и реализация ММ здесь не должна вызывать затруднений. В то
же время при расчёте поля в дальней зоне на основе МКЭ необходимо дискретизировать достаточно большую область пространства.
Поэтому в этих задачах можно ожидать преимущества ММ по сравнению с МКЭ.
Метод конечных элементов обладает существенными достоинствами для анализа в частотной области сложных СВЧ и антенных
конструкций: алгоритмическая простота, универсальность, естественный учёт неоднородных, анизотропных и дисперсионных сред.
МКЭ обладает некоторыми свойствами, сближающими его с ММ.
Действительно, в методе моментов все поля в структуре выражаются через некоторую величину, заданную на поверхности (электрический или магнитный ток).
Отличие от ММ состоит в том, что
ММ не требует дискретизации пространства и оперирует непрерывными полями и токами, тогда как МКЭ принципиально основан на
дискретизации пространства. В тех случаях, где ММ может быть
реализован, он приводит к увеличению скорости решения и экономии компьютерных ресурсов.
На основе МКР, МКЭ и МИУ разработаны уникальные коммерческие программные продукты, обладающие необходимой общностью моделирования и оптимизации электромагнитных полей в
сложных СВЧ устройствах и антеннах. Программное обеспечение
включает программу черчения трёхмерных объектов, программу
расчёта, включающую несколько методов решения граничных задач,
и постпроцессор для обработки и детального анализа полученных
результатов. Перед решением электродинамической задачи необходимо начертить анализируемое устройство, задать материалы для
каждого объекта, указать порты и граничные условия на поверхностях. Затем рассчитается электромагнитное поле в каждой точке
исследуемой структуры и определение по этим данным S-параметров

Введение
5

и других характеристик. После завершения расчётов наступает этап
анализа и внедрения результатов. Большое значение при этом имеет
наглядность и доступность представления полученных результатов.
Книга состоит из десяти глав. Глава 1 посвящена общим вопросам, составляющим электродинамические основы теории антенных
систем. Приведены постановка задачи возбуждения в однородной и
слоистой среде, построение функций Грина для представления решения и обзор численных методов электродинамики.
Глава 2 содержит изложение общих схем решения краевых задач
электродинамики на основе классических проекционных методов:
метода моментов и вариационного метода Ритца. Важным моментом при этом являются обсуждение ортогональных систем функций
и ортогональных рядов, выбор базисных и проекционных функций.
В главе 3 изложен метод конечных разностей (МКР), базирующийся
на решении дифференциальных уравнений в частных производных,
представленных в конечно-разностной форме.
В главе 4 рассмотрены основные этапы метода конечных элементов МКЭ: дискретизация пространства на элементы, выбор функции
формы элемента, процедура объединения элементов и ограничение
области моделирования для определения характеристик антенн и полей рассеяния. Приводится описание пакета программ для численного анализа электромагнитных полей с помощью МКЭ.
Глава 5 посвящается интегральным представлениям и интегральным уравнениям, главная ценность которых состоит в том, что
с их помощью многие задачи рассеяния и возбуждения электромагнитных волн, сначала формулируемые в терминах дифференциальных уравнений, удаётся свести к интегральным уравнения, у которых условия для открытых областей (условия излучения) уже учтены при выборе функции Грина. Излагаются общие сведения об интегральных уравнениях (Фредгольма второго и первого рода и сингулярных уравнений). Приводятся векторные представления электромагнитного поля в трёхмерном случае и векторные интегральные
уравнения для внешних задач дифракции, получаемые с помощью
функции Грина.
Завершается глава описанием пакета программ
для численного анализа антенн методом интегральных уравнений
(МИУ).
В главах 6, 7, 8 приводится описание теоретических основ работы с пакетами прикладных программ Microwave Office (MWO), High
Frequency Structure Simulator (HFSS) и Электродинамика Элементов
из Металла (ЭДЭМ) соответственно.
В главах 9, 10 приведена теория проволочных вибраторных антенн и микрополосковых (печатных) антенн соответственно, кото

Введение

рые интересны в практическом отношении и находят применение в
различных радиотехнических системах.
Автор надеется, что содержание книги позволит читателю овладеть необходимыми основами теории электромагнитного поля, приобрести навыки в постановке электродинамических задач и построении математических моделей отдельных видов антенн, в частности
из проволочных и полосковых структур, а также ознакомиться с
методами анализа последних с помощью прикладных программ численного исследования.

Основные понятия электродинамики
и теории электромагнитного поля

1.1. Постановка электродинамической задачи
возбуждения. Единственность решения

Реальное электромагнитное поле всегда связано с токами и зарядами, как источниками поля, и описывается уравнениями Максвелла
[1]. В дальнейшем будем рассматривать гармонические во времени
колебания поля с зависимостью exp(iωt). Среда характеризуется диэлектрической проницаемостью ε(M), проводимостью σ(M) и магнитной проницаемостью μ(M), где M(x, y, z) — точка наблюдения.
Тогда векторы электрической E(M) и магнитной H(M) напряженности поля связаны следующей системой уравнении Максвелла (в
комплексной форме) [1]:

rot H = iω˙εE + jэ;

rot E = −iω˙εH − jм,
(1.1)

где ˙ε = ε − jσ/ω — комплексная диэлектрическая проницаемость
среды; jэ, jм — сторонние электрические и магнитные токи, которые считаются заданными. Последние возбуждают поля, но сами
не возбуждаются рассматриваемыми полями.
Магнитные токи jм

вводятся в уравнения поля (1.1) из формальных соображений для
того, чтобы обеспечить расчет полей, создаваемых сложными распределениями источников.
Различные задачи, которые приходится решать в теории гармонических электромагнитных полей, можно разбить на внутренние
задачи и внешние задачи. Во внутренних задачах рассматривается поле в ограниченной части пространства, окруженной замкнутой
поверхностью S. Внутри области с поверхностью S задаются сторонние токи, а на самой поверхности либо касательная составляющая
электрического поля Et, либо касательная составляющая магнитного поля Ht, либо на части поверхности S — Et, а на остальной части

Г л а в а 1

поверхности — Ht. Во внешних задачах рассматривается поле в неограниченном пространстве вне некоторой области с поверхностью S,
на которой задана касательная составляющая Et или Ht либо их
комбинации, а вне этой поверхности в окружающем пространстве
заданы сторонние токи. К внешним задачам примыкают так называемые дифракционные задачи, в которых задают первичное поле
E0, H0 — поле сторонних источников при отсутствии поверхности S.
Для обеих задач можно доказать теорему единственности, предполагающую единственность решения, т. е. определив каким-либо
способом решение внутренней или внешней задачи, можно гарантировать, что оно действительно существует, и другого решения
нет.
Теорему единственности удается доказать в предположении,
что в каждой точке пространства существуют электрические потери
(σ → 0) или магнитные потери.
Предположение о потерях в среде является физически необходимым. Так, для внутренней задачи можно предположить существование поля, отличного от нуля, для некоторых резонансных частот объемного резонатора с замкнутой поверхностью S.
Решение
внешней задачи в среде теряет свою единственность из-за возможного решения в виде расходящихся сферических волн, распространяющихся от источника и сферических волн, распространяющихся
к последним из бесконечности.
Поэтому для теоремы единственности решения задачи требуется формулировка дополнительного условия излучения на бесконечности.
При наличии потерь среды (σ ̸= 0) условие излучения на
бесконечности можно определить соотношениями

lim
R→∞ RZ = 0,
(1.2)

где Z = (E, H); R(M, M ′) =
(x − x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2; M(x,
y, z) — точка наблюдения; M ′(x′, y′, z′) — точка истока.
При отсутствии поглощения формулировка дополнительного
условия излучения на бесконечности имеет вид предельных соотношений — условий Зоммерфельда

lim
R→∞

R
jkZ + ∂Z

∂R

= 0,

где Z = (E, H) представляет решение на бесконечности (R → ∞) в
виде расходящихся от источников сферических волн.
Для случая неоднородной изотропной среды, предполагая параметры ε, σ, μ кусочно-гладкими функциями координат точки наблюдения M, необходимо иметь условия сопряжения для компонент

Основные понятия электродинамики
9

векторов E и H, которые следуют из уравнений Максвелла. Такие
условия можно определить как условия непрерывности касательных
к границам раздела векторов поля:

[Eτ] = 0;
[Hτ] = 0,
(1.3)

где квадратные скобки обозначают разность предельных значений
данной величины с различных сторон поверхности разрыва параметров среды.

Рис. 1.1. К определению условий на ребре

Если поверхность S в электродинамической задаче является незамкнутой, то необходимы дополнительные условия, которые называют условиями на ребре. Пусть
контур L представляет собой ребро (кромкy) незамкнутой поверхности S (рис. 1.1).
Условия на ребре можно записать [2]

lim
ρ→0 ρ|E| = 0;
lim
ρ→0 ρ|H| = 0.
(1.4)

Эти условия обеспечивают существование
интеграла,
определяющего
энергию
электрического и магнитного полей в любом конечном объеме Vρ, охватывающим контур L. Из (1.4) и уравнений Максвелла (1.1) следует, что касательные к ребру составляющие
поля Eτ, Hτ должны быть ограниченными, а нормальные к ребру
составляющие En, Hn могут иметь особенность ρ−α, где 0 < α < 1.
Вблизи тонкого проводящего контура L будем иметь

|En| = o(√ρ);
|Hn| = o(√ρ),
ρ → 0.
(1.5)

Таким образом электродинамическая задача возбуждения (дифракции) на поверхности S состоит в определении векторов поля
E, H, удовлетворяющих уравнениям Максвелла (1.1), граничным
условиям для касательных составляющих поля на поверхности S,
условиям излучения и условиям на ребре.
Отметим, что для абсолютно проводящей поверхности S граничное условие имеет вид
Eτ(M) = 0, M ∈ S. Тогда электродинамическая задача возбуждения имеет единственное решение.

1.2. Электродинамические потенциалы
для векторов поля. Функция Грина и решение
неоднородного волнового уравнения
При построении решения электродинамической задачи возбуждения (дифракции) удобно ввести вспомогательные функции, кото

Г л а в а 1

рые называют векторными потенциалами: Aэ — для электрических
токов и Aм — для магнитных токов. Граничная задача для потенциалов во многих случаях оказывается проще исходной, сформулированной для векторов поля E, H.
Пусть сначала в (1.1) jм = 0. Введем векторный потенциал Aэ

соотношениями:

H = 1

μ rot Aэ;
E = − gradФ − iωAэ,
(1.6)

где A, Ф — векторный и скалярный потенциалы. Равенства (1.6)
допускают неоднозначное определение вектора A, так как при его
замене на ˙A = A + gradϕ, где ϕ — некоторая скалярная функция,
вектор H остается неизменным. Поэтому следует наложить дополнительное условие на функции A и Ф, которое называют условием
калибровки. Это условие обычно формулируется в виде

div Aэ + iωε = 0.
(1.7)

Соотношение (1.7) позволяет выразить векторы E, H через один
векторный потенциал Aэ в виде

H = 1

μ rot Aэ;
E = −
i

ωεμ grad div Aэ − iωμAэ.
(1.8)

После подстановки (1.8) в уравнения (1.1) можно получить неоднородное волновое уравнение для потенциала Aэ (уравнение Гельмгольца)
∇2Aэ + k2Aэ = −jэ,
(1.9)

где ∇2 = Δ — оператор Лапласа; k = ω√εμ, которое далее рассматривается при решении задачи.
Аналогично, полагая в (1.1) jэ = 0, можно определить магнитный потенциал Aм из соотношений:

E = − rot Aм;
H = −
i

ωεμ graddiv Aм − iωεAм
(1.10)

и получить неоднородное волновое уравнение (уравнение Гельмгольца)
∇2Aм + k2Aм = −jм.
(1.11)

Если векторные потенциалы Aэ и Aм вводятся одновременно,
то векторы поля E, H определяются наложением соотношений (1.8)
и (1.10) и являются решением уравнений (1.9), (1.11). Таким образом решение задачи возбуждения сводится к решению неоднородных
уравнений (1.9), (1.11) с последующим вычислением векторов поля
E, H из (1.8) и (1.10).