Основы гидромеханики

1.2. Вязкость

1

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерно-технологическая академия

Г. В. КУПОВЫХ

Д. В. ТИМОШЕНКО

ОСНОВЫ ГИДРОМЕХАНИКИ

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2018

Введение

2

УДК 532.5(075.8)
ББК 22.253я73

К923

Печатается по решению кафедры высшей математики Института 
компьютерных технологий и информационной безопасности Южного 

федерального университета (протокол №7 от 21 февраля 2018 г.)

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики ТИ им. А.П. Чехова (филиал Ростовского государствен
ного экономического университета (РИНХ)) А. А. Илюхин

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ВМ 

ИКТИБ ИТА ЮФУ А. Г. Клово

Куповых, Г. В.

К923
Основы гидромеханики : учебное пособие / Г. В. Куповых, Д. В. Ти
мошенко ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2018. – 143с.

ISBN 978-5-9275-2920-9
Учебное пособие составлено на базе материалов по дисциплинам «Техниче
ская физика», «Гидромеханика» и «Гидравлика», реализованных в 2007 – 2018 гг. 
для студентов инженерных направлений подготовки ЮФУ в г. Таганроге.

Пособие содержит информацию о свойствах гидромеханических сред, ос
новных законах гидростатики, кинематических и динамических уравнениях 
движения для ламинарного и турбулентного режимов, а также моделирование 
нестационарных гидромеханических течений. В конце каждого тематического 
раздела имеются теоретические вопросы и практические задания.

Предназначено для студентов и аспирантов, обучающихся в Инженерно
технологической академии ЮФУ, а также представляет интерес для преподавателей аналогичных и смежных дисциплин.

УДК 532.5(075.8)

ББК 22.253я73

ISBN 978-5-9275-2920-9

© Южный федеральный университет, 2018
© Куповых Г. В., Тимошенко Д. В., 2018
© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2018

1.2. Вязкость

3

ВВЕДЕНИЕ

Гидромеханика – один из разделов физики сплошных сред, описывающий

закономерности движения жидкостей и, несмотря на различия в структуре, газов. 
Она основана на обобщении множества наблюдений и экспериментальных исследований за движением жидкостей и их взаимодействием с другими телами. 
Для теоретического описания гидромеханических состояний и процессов обосновывается переход от реального вещества, состоящего из большого числа отдельных молекул и их образований, к модели абстрактной сплошной среды, для 
которой и записываются дифференциальные уравнения движения.

Гидромеханика включает в себя следующие основные разделы: гидро
статику (равновесие жидкостей) и гидродинамику (движение жидкостей), а 
также прикладной раздел – гидравлику, который не входит в содержание данного пособия. Особый интерес законы гидромеханики представляют в поле 
силы тяжести, т.е. вблизи поверхности Земли, где проходит большая часть 
человеческой деятельности. Опытные факты о течении жидкости, законы 
гидростатики и гидравлические устройства известны со времен Архимеда, 
однако формирование гидромеханики как науки началось после открытия 
Ньютоном законов классического механического движения, которые стали 
основой для математического описания движения гидромеханических сред. 
В гидромеханике используются следующие законы сохранения: массы, импульса и энергии, на основе которых выводятся уравнения движения (в частности, уравнения Навье-Стокса).

Жидкости обладают уникальными свойствами (достаточно вспомнить 

о воде в трех состояниях: жидком, твердом и газообразном), одним из которых является вязкость. Вязкость (внутреннее трение) слоев движущейся жидкости приводит к изменению характера течения от ламинарного к турбулентному. С точки зрения математического моделирования в XIX в. преобладала 
модель идеальной (невязкой) жидкости, а с конца XIX – XX вв. – модель вязкой жидкости.

Условия перехода определяются специальными критериями, которые 

являются одновременно критериями теории подобия для гидромеханических 
течений. В итоге это приводит к формированию так называемого пограничного слоя на поверхности канала, характеристики движения в котором зависят от расстояния до поверхности.

Введение

4

Математическое моделирование и физическая интерпретация лами
нарного и турбулентного режимов движения жидкостей и газов требуют 
комплексного применения методов статистической физики, теории подобия, теории дифференциальных уравнений и, в конечном итоге, приводят к 
созданию специального математического формализма применительно к задачам гидромеханики.

Для замыкания систем уравнений и их решения необходимо примене
ние полуэмпирических гипотез и методов теории подобия, а также применения численных методов решения. Необходимо подчеркнуть равноправность 
применения как методов математического моделирования, так и эмпирических гипотез при решении целого ряда гидромеханических задач. 

Несмотря на сложность представляемого материала, его освоение не 

требует от студентов специальной подготовки, однако необходимы знания 
основных понятий, определений и законов, а также владение компетенциями 
по физическим и математическим дисциплинам в объеме базовой части учебных планов инженерных направлений.

1.2. Вязкость

5

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ

1.1. Гидромеханическая модель жидкостей и газов

Общеизвестны три основных агрегатных состояния вещества: твер
дое, жидкое и газообразное. Отдельно рассматривается четвертое состояние 
– плазма, которая обладает специфическими свойствами. Под агрегатным состоянием вещества понимается его способность сохранять форму и объем, а 
также дополнительным признаком являются способы и свойства перехода вещества из одного агрегатного состояния в другое.

Твердые тела обладают свойством сохранять форму и объем. Переход

в жидкое состояние осуществляется путем плавления, а в газообразное – путем сублимации.

Жидкость (и так называемые аморфные вещества) обладает свой
ством текучести, т.е. сохраняет объем, но не форму. В твердое состояние 
жидкость может перейти путем кристаллизации (процесс обратный плавлению), а в газообразное – путем испарения. Следует отметить, что очень вязкие жидкости могут быть похожи на твердые тела (по форме), но существенно отличаются от них вследствие молекулярного строения по характеру 
плавления.

Газ не обладает свойствами сохранения ни формы, ни объема. Вне си
ловых полей он занимает весь доступный объем. Газообразная атмосфера 
Земли существует благодаря гравитационному полю (силе тяжести), вследствие чего не рассеивается в космическом пространстве. В жидкое состояние 
газ переходит путем конденсации, а непосредственно в тверое тело – путем 
осаждения.

Из курса классической физики изучается механическое движение, т.е. 

изменение положения в пространстве с течением времени тел (или его частей) относительно друг друга. Для описания этой формы движения используются две абстрактные идеализированные модели: материальная точка и абсолютно твердое тело. Напомним, что материальной точкойназывается тело 
конечной массы, размером которого можно пренебречь при решении данной 
задачи. Абсолютно твердым телом называется тело, состоящее из совокупно

1. Основные понятия гидромеханики

6

сти материальных точек, расположенных на неизменном расстоянии относительно друг друга и сохраняющих расположение при действии внешних сил.
Если допустить изменение взаимного расположения материальных частиц, 
то придём к модели ой среды.

Для описания механических свойств жидкостей (или газов) модель 

сплошной среды является общепринятой. Сплошной средой называется механическая система с бесконечно большим числом степеней свободы внутри 
себя, а её движение описывается скалярным полем плотности и векторным 
полем скоростей, также при необходимости к ним могут добавляться поля 
других физических величин (концентрации частиц, температуры и т.д.). Таким образом, для описания физических свойств жидкостей и газов можно использовать макроскопические характеристики [1], т.е. считать, что масштаб
гидромеханической частицы намного превышает характерные размеры и расстояния между молекулами.

Для моделирования гидромеханических сред принимаются несколько

базовых физических гипотез: о сплошности и однородности сферической 
изотропии и естественном ненапряженном состоянии.

В соответствии с гипотезой о сплошности жидкость до деформации, в

процессе деформации и после остается сплошной (без образования пустот, 
разрывов или трещин). Расстояние между ближайшими точками сплошной 
среды сколь угодно мало. Эта гипотеза является основой для математического описания движения и позволяет использовать математический аппарат 
непрерывных функций, дифференциальное и интегральное исчисления.

Сплошная среда является однородной, если свойства выделенных из 

нее одинаковых объемов одинаковы. В частности, ее плотность (удельный 
вес) во всех точках должна быть одинаковой.

Сплошная среда считается изотропной по отношению к какому-либо 

свойству, если это свойствов любой точке будет одинаковым по всем направлениям. Если же свойства зависят от направления в точке, то среда является
анизотропной.

Согласно гипотезе о естественном ненапряженном состоянии, суще
ствующие до приложения нагрузок напряжения в материале принимаются 
равными нулю. Следует отметить, что эта гипотеза не выполняется в поле 
силы тяжести.

1.2. Вязкость

7

Гидромеханическую частицу можно считать малым элементом аб
страктной сплошной среды в выделенной области пространства. Таким образом, ее физические характеристики являются непрерывными пространственно-временными функциями, а ее движение описывается дифференциальными уравнениями. 

Если используются модели сплошной среды, то плотность (ρ, кг/м3 в 

СИ) или удельный вес (γ, Н/м3) жидкости или газа могут быть определены 
как локальные характеристики [2–5], которые, строго говоря, не совпадают, 
но близки по сути:

0
0
lim
,
lim
,

V
V

m
P

V
V












(1.1)

где 
m

– масса, а
P
m g



– вес бесконечно малого элемента объемом

V

; – ускорение свободного падения. В гидромеханике обычно использу
ются конечные приращения массы и объема. Связь между плотностью и 
удельным весом очевидна: 
g




.

Приведем некоторые сведения о значениях плотности (кг/м3) жидких 

и газообразных сред при нормальном атмосферном давлении (105 Па) и заданной температуре: воздух (0 °С) – 1,29; кислород (0 °С) – 1,43; вода (4 °С)
– 1000; нефть (4 °С) – 800.

1.2. Вязкость

Сформулируем основные понятия и законы, описывающие вязкое со
стояние гидромеханической среды.

Вязкость среды (или внутреннее трение) – свойство тел, обладающих 

свойством текучести, оказывать сопротивление относительному перемещению своих частей при явлениях переноса, сопровождающихся потерями 
энергии в виде тепла вследствие взаимодействия молекул внутри вещества.

Рассмотрим понятие сдвиговой вязкости, которая является физической 

характеристикой жидких (газообразных) сред, вследствие способности оказывать сопротивление относительному движению слоев внутри среды. В классической механике Ньютона ее аналогом является сила трения скольжения.

Сформулируем закон Ньютона вязкого трения [6–7]:

1. Основные понятия гидромеханики

8

.
.

x

в тр

du
P
S
dy





,
(1.2)

где 
.
.
в тр
P
, Н – сила внутреннего трения;  , Па·с – динамическая вязкость; 

S – площадка верхнего слоя, на который действует сила внутреннего трения; 
dy – расстояние между верхним и нижним слоями, значения скорости тече
ния в которых различаются на величину
x
du
(рис. 1.1).

y

x

dy

Ux+dUx

Pв.тр

Ux

Рис. 1.1. К закону вязкого трения

Введем определение касательного напряжения, Па: 

.
.
в тр
x

x

P
du

S
dy





.
(1.3)

Физический смысл касательного напряжения – давление со стороны 

жидкости на участок верхнего слоя. В гидромеханических уравнениях 
наряду с распространенным понятием динамической вязкости часто используется кинематическая вязкость, м/с2:








.
(1.4)

Из формулы (1.4) следует, что вязкость зависит от физических усло
вий, прежде всего температурных, в которых находится среда. С ростом температуры значения вязкости жидких сред уменьшается, а для газов – растет, 
что объясняется различием их молекулярных структур [9–10]. 

Эмпирическая зависимость значений кинематической вязкостиот дав
ления:

1.3. Сжимаемость

9

0

b P
e





,
(1.5)

где p – давление;
1
0,02
0,03
b
МПа


– пьезокоэффициент (разный для га
зов и жидкостей), зависящий от температуры (рис.1.2).

Из формулы (1.5) также следует, что значения кинематической вязко
сти увеличиваются с ростом давления.

При быстрой объемной механической деформации среды возникает 

явление объемной вязкости (μV), которая приводит к тепловым потерям (диссипации) энергии. Характер температурной зависимости объемной вязкости
и изменений с ростом давления имеет аналогичные закономерности, что и 
для кинематической вязкости. 

ν x 106(м2/c)

100

10

1

-20
0
20
40
to,c

Воздух

Вода

Рис. 1.2. Зависимость значений вязкостиот температуры

Приведем некоторые сведения о вязкости некоторых жидкостей и га
зов [7–8]. Значения динамической вязкости (μ, Па·c): воздух (15 °С) –
1,78·10−5; метан (27 °С ) – 11,2; вода (15 °С) – 0,0011; глицерин (20 °C) – 1,49; 
минеральное масло (30 °С) – 0,21; жидкий азот ( –197 °С) – 1,58·10−4. Значения объемной вязкости (в относительных единицах μV/μ): вода (15 °С) – 2,81; 
минеральное масло (30 °С) – 1,33.

1.3. Сжимаемость 

Сжимаемость – физическая характеристика, определяющая способ
ность вещества (в любом агрегатном состоянии) изменять свой объём под 
действием внешнего давления.