Математические задачи принятия решений в организационных системах

Москва
ИНФРА-М
2019

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 
В ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ 

À.Ô. ÒÀÐÀÊÀÍÎÂ

МОНОГРАФИЯ

Тараканов А.Ф.
Т19 
 
Математические задачи принятия решений в организационных 
системах : монография / А.Ф. Тараканов. — М. : ИНФРА-М, 
2019. — 246 с. — (Научная мысль). — www.dx.doi.org/10.12737/monography_5cf8cf3ab724c9.09870980.

ISBN 978-5-16-014807-6 (print)
ISBN 978-5-16-107335-3 (online)

Излагается теория принятия решений в организационных системах 
со сложной структурой в условиях конфликта и неопределенности. Приводится обзор современного состояния теории. Изучаются системы: иерархические, коалиционные и коалиционно-иерархические (гибридные). 
Основное внимание в процессе конструирования математических моделей систем уделяется описанию способов информационного взаимодействия лиц, принимающих решения. При этом учитываются варианты их 
неблагожелательного (конфликтного) и благожелательного «настроя» 
друг к другу. Предлагается два подхода к принятию решений: принятие решений с точки зрения выделенного участника системы на основе метода 
штрафных функций и получение необходимых условий оптимальности; 
принятие решений в форме равновесий на основе специальных принципов оптимальности, сконструированных с использованием принципов 
Нэша, Парето, Джоффриона, Штакельберга, Слейтера, угроз—контругроз, абсолютного активного равновесия и получение достаточных условий оптимальности. Теоретические результаты иллюстрируются модельными примерами.
Для научных работников, аспирантов и студентов, занимающихся теоретическими и практическими вопросами принятия решений в сложных 
системах.

УДК 519.816(075.4)
ББК 22.18

УДК 519.816(075.4)
ББК 22.18
 
Т19

©  Тараканов А.Ф., 2019 
ISBN 978-5-16-014807-6 (print)
ISBN 978-5-16-107335-3 (online)

Р е ц е н з е н т ы: 
Горелик В.А., доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Вычислительного центра имени А.А. Дородницына Российской академии наук Федерального исследовательского 
центра «Информатика и управление» Российской академии наук

- 3 - 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................  4 
Глава 1
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ 21 

1.1. О гарантированном учете неопределенного фактора ...................................................... 21 
1.2. Точное знание Центром однозначной реакции Исполнителя ........................................ 24 
1.3. Вычисление Центром однозначной реакции Исполнителя ............................................ 31 
1.4. Учет Центром благожелательности Исполнителя ............................................................ 43 
1.5. Учет Центром благожелательности Исполнителя при централизованной гарантии
по неопределенности ...................................................................................................................... 54 
1.6. Гарантированный подход Центра ........................................................................................ 62 
1.7. Иерархическая система с Исполнителями на нижнем уровне, действующими
самостоятельно ...............................................................................................................................  72 
1.8. Иерархическая система с кооперативным объединением Исполнителей на нижнем
уровне ................................................................................................................................................  84 
1.9. Игра двух коалиций ................................................................................................................  95 

Глава 2
РАВНОВЕСИЯ В ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ И КОАЛИЦИОННЫХ ИГРАХ ......  109 

2.1. Равновесие в иерархической системе с однозначной реакцией нижнего уровня .....  109 
2.2. Равновесие Нэша—Слейтера в иерархической системе ...............................................  124 
2.3. Равновесие Парето—Слейтера в иерархической системе .............................................  140 
2.4. Равновесие Штакельберга—Слейтера в иерархической системе ...............................  148 
2.5. Паретовское равновесие угроз—контругроз в коалиционной игре ............................  159 
2.6. Джоффрионовское равновесие угроз—контругроз в коалиционной игре .................  173 
2.7. Абсолютное активное равновесие угроз—контругроз в коалиционной игре ...........  186 
2.8. Гибридное равновесие в системе с частично коалиционной структурой ..................  195 

Глава 3
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В ГИБРИДНЫХ СИСТЕМАХ ......................................................... 205 

3.1. Равновесия Нэша и Парето в кооперативно-иерархической системе ......................... 205 
3.2. Равновесие Нэша в коалиционно-иерархической системе ............................................ 216 
3.3. Равновесие Парето в коалиционно-иерархической системе ......................................... 227 
3.4. Равновесие Парето в коалиционно-иерархической системе с выбором весовых
коэффициентов ............................................................................................................................. 235 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................................................ 243 

- 4 - 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 

 

1 

Человеческая 
деятельность 
в 
экономике, 
технике, 
социальной 
и 

политической 
жизни 
зачастую 
связана 
с 
проблемами 
построения 
и 

функционирования «больших» или, по-другому, «сложных» систем. Важным 

направлением исследования таких систем является рассмотрение их в виде 

многоуровневых систем с иерархической структурой. 

Возникновение иерархической структуры обусловлено невозможностью 

или неэффективностью сосредоточения всех процессов сбора и обработки 

информации и принятия решений в сложной системе в рамках одного 

управляющего органа (далее Центр). Центр 
«делегирует» часть своих 

управленческих функций нижнему уровню иерархии. С одной стороны, такая 

децентрализация процесса принятия решений в иерархической системе в целом 

упрощает его, но с другой стороны, возникают новые проблемы, связанные с 

несовпадением 
интересов 
(целей) 
элементов 
системы, 
наличием 

неопределенных 
факторов 
и 
различной 
информированностью 
о 
них 

управляющих элементов, намеренным искажением информации в системе, 

сложностью нахождения эффективных механизмов, заменяющих принцип 

централизованного управления и т.д.  

Иерархическая система относится к типу организационных систем. Под 

такими 
системами 
понимаются 
те, 
в 
которых 
принятие 
решений 

осуществляется людьми, выступающими одновременно и в роли управляющих 

элементов, и в роли объектов управления. Иерархической системой управления 

мы будем называть совокупность взаимосвязанных элементов, обладающих 

определенными возможностями по обработке и передаче информации и 

определенными правами принятия решений в соответствии с заданной 

- 5 - 
 

структурой, а также собственными целями (интересами), определяющими 

выбор этих решений. 

Многообразие целей объясняется как структурным многообразием 

системы, так и наличием субъектов, способных принимать решения (лиц, 

принимающих решения — ЛПР). При этом вероятны конфликты, которые 

могут возникнуть из-за несовпадения преследуемых ЛПР целей. Кроме того, 

принятие решений чаще всего происходит в условиях неопределенности. 

Источниками неопределенности могут служить, например, ошибки в 

измерениях, неточно известные параметры, возмущающее воздействие 

внешних 
сил, 
помехи 
и 
неточности 
при 
передаче 
информации, 

информационный «голод», «человеческий фактор». В качестве «особого» вида 

неопределенности можно выделить информационную неопределенность, 

которая связана с полным или частичным отсутствием информации о 

следующем 
«ходе» 
ЛПР. 
Перечисленные 
условия 
функционирования 

иерархической системы обуславливают необходимость определения в ней 

понятия оптимальности решения. 

Указанные выше вопросы не исследовались в рамках классической теории 

управления, они потребовали для своего решения развития новой теории. В 

результате была создана информационная теория иерархических систем, 

основы которой заложили академик Н.Н. Моисеев и профессор Ю.Б. Гермейер1, 

2. За рубежом первой крупной работой по иерархическим системам была книга 

M.D. Mesarovich, D. Macko, Y. Takahara3. Значительный вклад в развитие 

теории внес ученик Ю.Б. Гермейера профессор В.А. Горелик4, 5, 6. 

                                                           
1 Гермейер Ю.Б., Моисеев Н.Н. О некоторых задачах теории иерархических систем управления // В 
сб.: Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 1971. С. 30—43. 
2 Гермейер Ю.Б., Моисеев Н.Н. Введение в теорию иерархических систем управления // Math 
Operationsforschung und Statist. 1973. V. 4. № 2. P. 133—154. 
3 Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. 
4 Горелик В.А. Принцип гарантированного результата в неантагонистических играх двух лиц с 
обменом информацией // В сб.: Исследование операций. Вып. 2.  М.: ВЦ АН СССР, 1971. С. 102—
108. 
5 Горелик В.А. Игры с близкими интересами // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1971. № 5. С. 
1166—1179. 
6 Горелик В.А. Приближенное нахождение максимина с ограничениями, связывающими переменные 
// Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1972. № 2. С. 510—517. 

- 6 - 
 

В работе1 перечислен ряд сформировавшихся в рамках информационной 

теории иерархических систем самостоятельных научных направлений,  среди 

которых выделим следующие.  

1. Моделирование иерархических структур.  

2. Модели принятия решений в иерархических системах.  

3. Методы оптимизации иерархических систем.  

Исследования в указанных направлениях были проведены в книгах2, 3, 4, 5, 6, 7 

(см. в них также списки литературы) и в статьях8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Книга13 в 

части 1 идейно наиболее близка к исследуемым нами задачам. По ней можно 

предварительно ознакомиться с качественными вопросами моделирования 

сложных систем. 

Со 
временем 
стало 
ясно, 
что 
многообразие 
структур 
реальных 

иерархических систем значительно превосходит те представления, которые 

сложились к концу XX в. Например, был выделен тип коалиционно
                                                           
1 Горелик В.А. Математические задачи теории иерархических систем: дисс. ... д. ф.-м. н. М., 1983. 
2 Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 
3 Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. 
4 Современное состояние теории исследования операций / под ред. Н.Н. Моисеева. М.: Наука, 1979. 
5 Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в экологоэкономических системах. М.: Радио и связь, 1982. 
6 Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. М.: МГУ, 1984. 
7 Горелик В.А., Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. 
М.: Радио и связь, 1991. 
8 Simaan M., Cruz J.B. (Jr) On the Stackelberg Strategy in Nonzero-Sum Games // Journal of Optimization 
Theory and Applications. 1973. Vol. 11. № 5. P. 533—555. 
9 Кононенко А.Ф. Теоретико-игровой анализ двухуровневой иерархической системы управления // 
Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14. № 5. С. 72—81. 
10 Кононенко А.Ф. Теория игр и иерархические структуры // В кн.: Планирование и управление 
экономическими целенаправленными системами. Новосибирск: Наука, 1975. С. 63—71. 
11 Меньшиков И.С. Игра трех лиц с фиксированной последовательностью ходов // Журнал вычисл. 
матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. № 5. С. 1148—1156. 
12 Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Двухуровневые активные системы. III: Исследование ситуаций 
равновесия в законах открытого управления // Автоматика и телемеханика. 1977. № 9. С. 83—91. 
13 Cruz J.B. (Jr) Leader-Follower Strategies for Multilevel Systems // IEEE Transactions on Automatic 
Control. 1978. Vol. AC-23. № 2. P. 244—255. 
14 Кукушкин Н.С. Бескоалиционные игры трех лиц с фиксированной иерархической структурой // 
Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т. 19. № 4. С. 896—911. 
15 Basar T. Stochastic Multicriteria Decision Problems with Multilevels of Hierarchy // IEEE Transactions 
on Automatic Control. 1981. Vol. AC-26. № 2. P. 549—553. 
16 Горелик В.А. Максиминные задачи на связанных множествах в банаховых пространствах // 
Кибернетика. 1983. № 1. С. 64—67. 

- 7 - 
 

иерархических игр1. Обоснованием актуальности таких игр может служить то, 

что в современной социальной и экономической жизни возникают и 

взаимодействуют структуры, в которых имеется координирующий центр 

(верхний уровень иерархии) и группы-коалиции (нижний уровень иерархии), 

которые помимо собственных интересов обязаны выполнять и решения центра. 

Например, к такой структуре близка структура управляющего совокупностью 

экономических объектов органа, состоящего из председателя и членов (может 

быть, коллективных). 

Изучение непосредственно коалиционных структур происходит уже давно 

и довольно успешно2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. К соответствующим математическим моделям 

приводят 
исследования 
в 
области 
экономики 
(конкуренция 
групп 

предприятий), 
политики 
(коалиции 
партий, 
политические 
блоки, 

международные переговоры), экологии (охрана окружающей среды), биологии 

(взаимодействие сообществ животных). Коалиционные структуры на практике 

могут 
взаимодействовать 
между 
собой 
по-разному: 
конкурируя 
или 

сотрудничая. В первом случае для принятия решений используют принцип 

угроз-контругроз, а во втором — хорошо известные принципы оптимальности 

Нэша, Парето, Джоффриона и др.  

В рамках тематики данной книги заслуживают внимания и некоторые 

зарубежные работы, в которых, однако, неопределенный фактор не 

привлекается9, 1, 2, 3, 4. 

                                                           
1 Говоров А.Н., Тараканов А.Ф. Коалиционно-иерархическая игра в условиях неопределенности // 
Известия АН. Теория и системы управления. 2008. № 3. С. 75—80. 
2 Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. М.: Физматгиз, 1961. 
3 Воробьев Н.Н. Коалиционные игры // Теория вероятностей и ее применения. 1967. Т. XII. Вып. 2. С. 
289—306. 
4 Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 
5 Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. М.: МГУ, 1984. 
6 Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова 
думка, 1994. 
7 Жуковский В.И. Введение в линейно-квадратичные дифференциальные игры при неопределенности. 
В 2 частях. М.: МНИИПУ, 1997. 
8 Жуковский В.И. Кооперативные игры при неопределенности. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 
9 Basar T., Selbuz H. Closed-Loop Stackelberg Strategies with Applications in the Optimal Control of 
Multilevel Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1979. Vol. AC-24. № 2. P. 166—179. 

- 8 - 
 

Проблемы 
рационального 
(равновесного, 
ресурсо- 
и 

природосберегающего) 
управления 
иерархическими 
и 
коалиционными 

структурами в условиях неопределенности при ограниченных возможностях 

лиц, принимающих решение, можно решать на основе построения и 

исследования соответствующих информационных математических моделей. 

Разнообразие принципов оптимальности, которые могут при этом применяться, 

позволяет в наибольшей степени учитывать специфику моделируемой 

структуры. 

Примером такой проблемы служит естественная очистка водоемов после 

сброса в них сточных или технических вод. Управляющий центр (первый 

игрок) какого-либо предприятия имеет цель избавиться от загрязненных вод. 

Применяется два способа: предварительная очистка части вод с наименьшими 

затратами; сброс некоторого их количества без очистки с надеждой на 

естественную очистку. Во втором случае природа выступает как игрок нижнего 

уровня (второй игрок) и реагирует на решение первого игрока. Задачей первого 

игрока является нахождение такого количества сбрасываемых в определенные 

моменты времени вод без очистки, чтобы происходила естественная очистка 

водоема к следующему моменту сброса. 

Резюмируя сказанное выше, можем утверждать, что направления 

информационной теории управляемых систем, связанные с исследованием 

иерархических, коалиционных и коалиционно-иерархических структур в 

условиях неопределенности, являются перспективными как в плане развития 

собственно теории, так и в плане приложений к практике. В течение ряда лет 

автором и его коллегами были предприняты усилия по исследованию 

                                                                                                                                                                                                 
1 Basar T. Equilibrium Strategies in Dynamic Games with Multi-levels of Hierarchy // Automatica. 1981. 
Vol. 17. No. 5. P. 749—754. 
2 Basar T., Olsder G.J. Dynamic Noncooperative Game Theory. SIAM Series in Classics in Applied 
Mathematics. Philadelphia, 1999. 
3 Mallozzi L., Tijs S., Voorneveld M. Infinite Hierarchical Potential Games // Journal of Optimization Theory 
and Applications. 2000. Vol. 107. № 2. P. 287—296. 
4 Kolbin V.V. Decision Making and Programming. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 
2003. 

- 9 - 
 

указанных игр1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Эти исследования составили основу настоящей 

монографии, при этом существенно расширены информационный аспект игр и 

разнообразие структур. 

Целью монографии является построение и исследование информационных 

моделей процессов принятия решений в статических иерархических и 

коалиционных управляемых системах и их комбинированных вариантах в 

условиях конфликта и неопределенности, получение условий оптимальности и 

демонстрация результатов на примерах. 

Научную 
новизну 
работы 
составляют 
результаты 
исследования 

двухуровневых иерархических и коалиционных систем, в которых имеет место 

неконтролируемый неопределенный фактор, состоящие в нижеследующем. В 

иерархической системе принятие решений происходит с помощью принципов 

Нэша, Парето, Штакельберга, Слейтера и др. При этом указанные принципы 

видоизменяются с учетом «вертикального» направления передачи информации. 

В коалиционной системе решения принимаются на основе концепции угроз
контругроз, 
Парето, Джоффриона, 
абсолютного 
активного равновесия. 

Исследована возможность применения к обеим указанным системам метода 

штрафных функций и получения с его помощью необходимых условий 

                                                           
1 Тараканов А.Ф. Решение Нэша—Слейтера иерархической игры в условиях неопределенности // 
Известия АН. Теория и системы управления. 2000. № 4. С. 70—77. 
2 Тараканов А.Ф. Дифференциальная игра двух коалиций в условиях неопределенности // Известия 
АН. Теория и системы управления. 2003. № 3. С.211—219. 
3 Говоров А.Н., Тараканов А.Ф. Метод штрафов и необходимые условия оптимальности в 
статистической иерархической игре при неопределенности // Известия АН. Теория и системы 
управления. 2005. № 2. С. 46—51. 
4 Родюков А.В., Тараканов А.Ф. О равновесиях и их свойствах в двухуровневых иерархических 
системах при неопределенности // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 2 
(32). С. 16—20. 
5 Родюков А.В., Тараканов А.Ф. О взаимодействии игроков иерархической системы в условиях 
неопределенности и подход к решению методом штрафных функций // Системы управления и 
информационные технологии. 2008. № 4 (34). C. 52—56. 
6 Горелик В.А., Родюков А.В., Тараканов А.Ф. Иерархическая игра в условиях неопределенности с 
использованием функций риска игроков и гарантированной оценки стратегий // Известия РАН. 
Теория и системы управления. 2009. № 6. С. 94—101. 
7 Тараканов А.Ф. Гибридное решение неантагонистической игры // Системы управления и 
информационные технологии. 2011. № 3.1 (45). С. 200—204. 
8 Тараканов А.Ф. Гарантирующее равновесие в коалиционно-иерархической системе в условиях 
неопределенности //  Системы управления и информационные технологии, 2012. № 4 (50). С. 49—54. 
 

- 10 - 
 

оптимальности с точки зрения выбранного ЛПР. Предложены подходы к 

принятию решений в системе с коалиционно-иерархической структурой и с 

кооперативным объединением игроков на нижнем уровне, к построению 

гибридного 
равновесия 
в 
системе 
с 
коалиционной 
структурой, 
к 

индивидуальной оценке объективно реализовавшейся неопределенности. 

Существенно, что стратегии игроков предполагаются ограниченными. 

Теперь на формальном уровне опишем иерархическую и коалиционную 

структуры. 

 

2 

В зависимости от содержания и конкретного значения информации, 

получаемой i -м игроком, под его стратегией 
is  будем понимать правило 

выбора им конкретного значения 
i
i
X
x . 

Пусть {1,2} — множество номеров лиц, принимающих решение, ЛПР (1 — 

управляющий Центр, 2 — Исполнитель), 
1
1
1
n
R
X
x
и 
2
2
2
n
R
X
x
— 

соответственно стратегии Центра и Исполнителя, которые в совокупности 

образуют ситуацию 
n
R
X
X
X
x
x
x
2
1
2
1
)
,
(
 (
2
1
n
n
n
), 
m
R
Y
y
— 

неопределенный фактор ( R — евклидово пространство соответствующей 

размерности), критерий оптимальности i -го ЛПР задан на 
Y
X скалярной 

функцией 
)
,
(
y
x
fi
, 
))
,
(
),
,
(
(
)
,
(
2
1
y
x
f
y
x
f
y
x
f
. 

Цель i -го ЛПР — выбор такой стратегии, чтобы в ситуации 
)
,
(
2
1 x
x
x его 

критерий
)
,
(
y
x
fi
 принял возможно большее значение. При этом Центр и 

Исполнитель при выборе своих стратегий ориентируются на возможность 

реализации наименее благоприятных значений неопределенности 
Y
y . 

Предполагается, что ЛПР обладают достоверной информацией о выбранных 

ими стратегиях и множестве неопределенностей, им известны критерии друг 

друга. 

Двухуровневую иерархическую систему, функционирующую в условиях 

неопределенности, зададим набором