Упражнения по группам, кольцам и полям

П.А. Крылов

А.А. Туганбаев

А.Р. Чехлов

УПРАЖНЕНИЯ
ПО ГРУППАМ,

КОЛЬЦАМ И ПОЛЯМ

Учебное пособие

Рекомендовано НМС по математике и механике УМО
по классическому университетскому образованию РФ

в качестве учебного пособия для студентов

высших учебных заведений, обучающихся

по группе математических и механических специальностей

Москва

Издательство “ФЛИНТА”

2017

2-е издание, стереотипное

УДК 512.5
ББК 22.144
К85

Крылов П.А.

К85       Упражнения по группам, кольцам и полям [Электронный ресурс] : учеб. по

собие / П.А. Крылов, А.А. Туганбаев, А.Р. Чехлов  — 2-е изд., стер. — М. : 
Флинта, 2017. —  212 с.
ISBN 978-5-9765-1506-2

Книга содержит основы таких важнейших разделов современной алгебры

как группы, кольца, модули и поля в форме задач. Книга будет полезна на
занятиях со студентами физико-математических факультетов университетов,
в том числе при чтении спецкурсов, и в процессе руководства аспирантами. Ее
можно также использовать в качестве справочника.

Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников, ин
тересующихся алгеброй.

УДК 512.5
ББК 22.144

Крылов Петр Андреевич,

Туганбаев Аскар Аканович,

Чехлов Андрей Ростиславович

УПРАЖНЕНИЯ ПО ГРУППАМ,

КОЛЬЦАМ И ПОЛЯМ

Учебное пособие

Подписано в печать 28.02.2017.
Электронное издание для распространения через Интернет

ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324.

Тел. (495) 336-03-11; тел./факс: (495) 334-82-65. E-mail:

flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru

ISBN 978-5-9765-1506-2
© Крылов П.А., Туганбаев А.А., Чехлов А.Р., 2017 

© Издательство «ФЛИНТА», 2017

Оглавление

Предисловие
4

Введение
4

Предварительные сведения
7

Список обозначений и терминов
9

Глава I. Группы
12

1
Системы образующих
12

2
Изоморфизмы
17

3
Гомоморфизмы
21

4
Центр и коммутант. Силовские подгруппы
25

5
Разрешимые и нильпотентные группы
32

6
Эндоморфизмы и автоморфизмы
37

7
Упорядоченные группы
41

8
Действия групп на множествах
45

Глава II. Кольца и модули
53

9
Основные понятия теории колец
53

10 Кольцевые гомоморфизмы
61

11 Специальные идеалы
70

12 Основные понятия теории модулей
76

13 Локальные, нетеровы и артиновы модули
88

14 Проективные и инъективные модули
92

15 Плоские и регулярные модули
99

Глава III. Абелевы группы
106

16 Основные понятия теории абелевых групп
106

3

Чистота
114

18 Группы гомоморфизмов
120

19 Группы расширений
123

20 Примарные группы
132

21 Группы без кручения
135

22 Смешанные группы
140

Глава IV. Поля
144

23 Основные свойства полей
144

24 Поля разложения
149

25 Конечные поля
153

26 Элементы теории Галуа
157

Глава V. Ответы и указания
162

1. Системы порождающих
162

2. Изоморфизмы
162

3. Гомоморфизмы
163

4. Центр и коммутант. Силовские подгруппы
163

5. Разрешимые и нильпотентные группы
165

6. Эндоморфизмы и автоморфизмы
166

7. Упорядоченные группы
167

8. Действия групп на множествах
169

9. Основные понятия теории колец
172

10. Кольцевые гомоморфизмы
173

11. Специальные идеалы
174

12. Основные понятия теории модулей
176

13. Локальные, нетеровы и артиновы модули
181

14. Проективные и инъективные модули
183

4

15. Плоские и регулярные модули
187

16. Основные понятия теории абелевых групп
189

17. Чистота
192

18. Группы гомоморфизмов
193

19. Группы расширений
194

20. Примарные группы
197

21. Группы без кручения
197

22. Смешанные группы
198

23. Основные свойства полей
199

24. Поля разложения
201

25. Конечные поля
202

26. Элементы теории Галуа
204

Литература
206

Предметный указатель
208

5

Предисловие

Данная книга является сборником задач по различным разделам теории групп, колец и полей.
Предназначена для самой широкой аудитории: от студентов младших курсов до специалистов.
Она рассчитана как учебное пособие для физико-математических факультетов университетов, и
одной из ее целей является обеспечение задачами общих и специальных математических курсов.
Студентам и аспирантам, специализирующимся по алгебре, она будет полезна при выполнении
магистерских и диссертационных работ. Всем категориям читателей она может служить справочником.
Книга содержит как задачи для первоначального ознакомления с некоторыми понятиями и фактами теории групп, колец и полей, так и упражнения повышенной трудности для читателя, который
обладает достаточной математической культурой и специальной подготовкой. Большинство задач
носит теоретический характер. Это поможет в значительной степени удовлетворить запросы сильных студентов и подготовить их к чтению специальной литературы.
При подборе задач использовались сборники [40], [22], [23], [38], [45], [30], [5], [50], а также другие учебники и монографии, приведенные в литературе. Энциклопедическим трудом по алгебре
является классическая монография [9]. Признание получили книги [24], [28], [41]. Отличный от
традиционного подход к алгебре развивается в [51]. Те или иные направления общей алгебры
представлены в книгах [2], [3], [10], [12], [14], [19], [32], [44]. Библиография по теории групп довольно обширна. После общепризнанных книг [15], [25], [48] можно перейти к другим указанным
источникам: [6], [8], [11], [13], [17], [26], [31], [36], [42], [43], [49], [52], [54], [55]. Книги [4], [16], [27]
хороши для первоначального знакомства с теорией колец и модулей. Для пополнения знаний в
этой области можно использовать книги [18], [21], [33], [39], [46]. В качестве учебного пособия по
теории конечномерных ассоциативных алгебр можно порекомендовать книгу [35]. Весьма полным
руководством по теории абелевых групп остается двухтомная монография [47]. Есть также книги [7], [20], [21], [33], [53], [56], [57]. С алгебраической теорией чисел можно ознакомиться по [1].
Знакомство с теорией полей можно начать по книгам [9], [19], [28], [29], [34], [37].
Предполагается, что читатель в целом уже знаком с терминологией и исходными теоремами. Тем
не менее, в каждом параграфе приводятся основные понятия и обозначения, встречающиеся далее
в упражнениях. Иногда понятия объясняются в текстах задач. Для удобства работы в начале книги имеются список обозначений и терминов и предварительные сведения, а в конце — предметный
указатель.
Некоторые задачи снабжены ответами и указаниями, нередко достаточно подробными. Это пригодится читателю в его самостоятельной работе. Часть упражнений имеет форму утверждений.
Предполагается, что читатель может попробовать доказать соответствующий факт.

Введение

Некоторые конечные группы и конечномерные алгебры были исследованы в 19 веке. На рубеже
19 и 20 веков было осознано, что алгебраические объекты следует определять аксиоматически.
А в 20-е годы прошлого века пришло понимание того, что алгебра должна изучать произвольные множества с заданными на них алгебраическими операциями. Это был период становления
современной алгебры, проходивший на фоне проникновения в алгебру теоретико-множественных
методов. Алгебра стала аксиоматической наукой. Публикация в 1930 и 1931 годах двухтомной
<Современной алгебры> Ван дер Вардена зафиксировала новый статус алгебры.
Последующее развитие общей алгебры характеризуется как исключительно интенсивное. Ее классические объекты, прежде всего группы и кольца, были подвергнуты детальному и систематическому изучению. Появились и оформились в самостоятельные направления новые области исследования, посвященные различным другим алгебраическим образованиям. Открылось большое
число связей общей алгебры с сопредельными разделами науки.
Теория групп, несмотря на относительную молодость, имеет интересную и содержательную исто6

рию. От Ж.-Л. Лагранжа, стихийно применявшего группы перестановок, до работ Э. Галуа, где
уже сознательно используется идея группы (им же впервые введен и сам термин), — вот путь,
по которому развивалась эта идея в рамках теории алгебраических уравнений. Независимо идея
группы возникла в геометрии, когда в середине 19 столетия на смену единой античной геометрии
пришли многочисленные <геометрии> и остро встал вопрос об установлении связей и родства
между ними. Выход был указан <Эрлангенской программой> Ф. Клейна, положившей в основу
классификации геометрий понятие группы преобразований. Третий источник понятия группы —
теория чисел. Здесь можно отметить работы Л. Эйлера и К.Ф. Гаусса.
Осознание в конце 19 века принципиального единства теоретико-групповых идей, существовавших
к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного
понятия группы (А. Кэли, Г. Фробениус и др.). Итог начального развития теории групп как групп
перестановок был подведен в книге К. Жордана <Курс теории перестановок и алгебраических
уравнений> (1870). Первой книгой, посвященной абстрактной теории групп и рассматривавшей
только конечные группы, является книга У. Бернсайда <Теория групп конечного порядка> (1897).
Впервые изложение основ теории групп, без предположения конечности рассматриваемых групп,
было предпринято в книге О.Ю. Шмидта <Абстрактная теория групп> (1916).
Подход Клейна к проблеме классификации геометрий оказался полезным в математике и других науках. Это объясняется тем, что свойства группы преобразований, оставляющих инвариантной некоторую структуру, отражают многие свойства самой этой структуры. Например, изучение
группы пребразований, относительно которых инвариантны силы, связывающие вместе атомы в
молекулах, позволяет многое узнать о поведении спектров молекул.
Теория групп является мощным инструментом познания одной из глубоких закономерностей физического мира — симметрии. Всюду, где идет речь о симметрии, проявляется систематизирующая
роль теории групп. В этом одна из причин востребованности данной теории.
Изучая группы преобразований или симметрии, по существу имеют дело с автоморфизмами различных объектов. В математике, как и вообще в естествознании, группы нередко возникают в
виде групп автоморфизмов каких-либо математических структур. Такая форма применения теории групп обеспечивает ей уникальное положение в алгебре.
Алгебраическая топология демонстрирует другой распространенный способ изучения неалгебраических объектов с помощью групп. Его суть — в сопоставлении с такими объектами определенных
групп и в последующем их исследовании.
В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, а понятие
группы — одним из наиболее важных, плодотворных и всеобъемлющих математических понятий.
Квантовая механика, физика твердого тела, химия и экономика — вот далеко не полный перечень
областей, где полезность и необходимость применения теории групп общепризнаны. Как и вся
математика, теория групп находится сейчас в состоянии динамического развития.
Произвольные ассоциативные кольца и алгебры стали предметом постоянного интереса в 20–30-е
годы 20 века. До этого теория колец развивалась как теория конечномерных алгебр. Теория конечномерных алгебр — один из самых старых разделов современной алгебры. Его появление связано
с работами У. Гамильтона, открывшего знаменитое тело кватернионов (1843), А. Кэли, разработавшего теорию матриц, и Г. Грассмана. Правда, на <внешнюю алгебру> Грассмана математики
не сразу обратили внимание. В это время постепенно начинает формироваться понятие гиперкомплексной системы. Гиперкомлексная система, говоря сегодняшним языком, — это конечномерная
ассоциативная алгебра над полем вещественных чисел R или полем комплексных чисел C. Гиперкомплексными системами занимались многие замечательные математики (К. Вейерштрасс,
Р. Дедекинд, К. Жордан, Б. Пирс, К.С. Пирс, Г. Фробениус и др.). Фробениусу принадлежит
исторически первая теорема структурной теории алгебр (1886). Всякая конечномерная алгебра
с делением над полем R изоморфна либо R, либо C, либо телу кватернионов. Теория гиперкомплексных систем достигла своего апогея в самом конце 19 века. Ф.Э. Молин (1893) и Э. Картан
(1898) описали полупростые комплексные и вещественные алгебры.
Новый этап в развитии конечномерных алгебр связан с рассмотрением в начале 20 века алгебр

7

над произвольным полем. Дж. Веддерберн (1908) перенес теоремы Молина и Картана на случай
произвольного поля.
В 20–30-е годы 20 столетия алгебраисты немецкой школы, группировавшиеся вокруг Э. Нетер,
Э. Артина и Р. Брауэра, распространили теорию Молина-Картана-Веддерберна на ассоциативные
кольца с условием минимальности для односторонних идеалов (артиновы кольца), после чего она
приобрела знакомую нам форму.
Общая структурная теория колец была основана в 40-х годах прошлого века. Центральной идеей
этой теории является концепция радикала. Начало общей теории радикалов колец и алгебр было
положено А.Г. Курошем.
С формальной точки зрения понятие модуля над кольцом обобщает понятие векторного пространства над полем, когда роль области скаляров играет некоторое кольцо. Такое алгебраическое образование позволяет единообразно трактовать обычные пространства и абелевы группы и
группы с операторами. Рассмотрение модулей над кольцом R в определенном смысле равносильно рассмотрению его представлений (гомоморфизмов) в кольцах эндоморфизмов абелевых групп.
Модули естественным образом возникают в различных математических исследованиях. Так, центральная задача теории линейных представлений групп — это изучение модулей над групповыми
алгебрами.
Конечные абелевы группы, т.е. модули над кольцом целых чисел Z, появились у Гаусса как группы
классов бинарных квадратичных форм. Он, в частности, заметил, что не все эти группы являются
циклическими. Первый и замечательный пример разложения бесконечной абелевой группы в прямую сумму циклических был дан П. Дирихле (1846) в работе о единицах (обратимых элементах)
поля алгебраических чисел. Фробениус и Штикельбергер (1878) доказали разложимость конечной
абелевой группы в прямую сумму циклических. Некоторые фрагменты этой основной теоремы о
конечных абелевых группах и ее доказательства отыскиваются у Гаусса. Понятие модуля встречается впервые в 60–80-х годах 19 века в работах Р. Дедекинда и Л. Кронекера, посвященных
арифметике полей алгебраических чисел и алгебраических функций (Дедекинд называл его <порядком>). Э. Нетер и В. Крулль выявили ведущую и синтезирующую роль понятия модуля для
многих ситуаций.
Вторая половина прошлого века была временем бурного развития теории колец и модулей как
единой дисциплины. Теория колец и модулей обогатилась мощными методами и замечательными
теоремами, превратившись в богатую и разветвленную часть математики. Она нашла многочисленные применения как в математике, так и в смежных науках. Понятие кольца остается, наряду
с понятием группы, одним из основных не только алгебраических, но и общематематических понятий.
Абелевы (т.е. коммутативные) группы так названы в честь Н. Абеля (1802–1829), который изучал
алгебраические уравнения с коммутативными группами Галуа. Мы уже писали, что конечные
коммутативные группы впервые фактически рассматривал Гаусс.
Своеобразие теории абелевых групп в том, что ее лишь формально можно отнести к общей теории
групп. Условие коммутативности оказывается весьма специфическим для групповой структуры.
Абелевы группы можно также считать модулями над кольцом целых чисел. Подобная точка зрения достигла полной отчетливости в 50–60-е годы прошлого века. Это время старта современной
теории модулей и становления в математике теоретико-категорного мышления перестроило теорию абелевых групп.
Характер основных идей, методов и результатов теории абелевых групп определяет ее как ветвь
теории модулей, использующую особенности кольца целых чисел. Необходимо сразу уточнить,
что мы имеем дело с настолько особой областью, что она (т.е. теория абелевых групп) образует
самостоятельный раздел алгебры. Велико и обратное влияние. Развитие теории модулей тесно
связано с абелевыми группами как Z-модулями. Немало примеров обобщений теорем об абелевых
группах на модули над различными кольцами.
Изучение абелевых групп принесло много образцов того, что алгебраисты называют структурной
теорией. До 50-х годов 20 века история абелевых групп была прерывистой, от одной вершины

8

до другой. В 1933-м и 1934-м годах появились теорема Ульма о счетных p-группах и критерий
Л.С. Понтрягина свободы счетной группы. Следующие две вехи — это теория Р. Бэра вполне разложимых групп без кручения (1937) и работы Л.Я. Куликова о p-группах (1941, 1945). В 1954-м
году вышла в свет богатая новыми идеями книга И. Капланского [56]. В ней впервые продемонстрирована близость теории абелевых групп и теории модулей, особенно над коммутативными
областями главных идеалов.
Систематическая работа над абелевыми группами началась в 50-х годах. Одно из достижений
этого нового периода — построение теории смешанных групп Уорфилда, объединившей теории
счетных p-групп и вполне разложимых групп без кручения.
Основные примеры полей — это числовые поля: поле рациональных чисел Q, поле вещественных
чисел R, поле комплексных чисел C, и такие <нечисловые> поля, как конечные, в частности, поля
вычетов Zp. Конечные поля имеют много важных применений, одно из них к теории кодирования. Еще в конце 19 века к примерам <нечисловых> или <абстрактных> полей, какими можно
считать конечные поля, прибавились поля формальных степенных рядов, введенные Веронезе, и
p-адические поля К. Гензеля.
Хотя поле и является коммутативной областью, однако это весьма специфическое кольцо. Теория
полей, а также тесно связанная с ней теория многочленов составляют отдельное направление в
математике со своими проблематикой и методами.
Зарождение в середине 19 столетия теории полей проходило в рамках решения алгебраических
уравнений — основного содержания алгебры того периода. Набирающие силу во второй половине
19 века исследования по алгебре и теории чисел привели к необходимости изучения природы
различных числовых систем. Объекты, близкие к полям, появились в работах Л. Кронекера и
Р. Дедекинда (у Дедекинда — <рациональные области>). Термин <поле> употребил Дирихле в
книге <Теория чисел> (1871).
Трудно найти такой раздел математики, где не встречались бы поля. Но это и не удивительно,
ведь поля наиболее соответствуют нашему интуитивному представлению о том, какими должны
быть <абстрактные> числовые системы.

Предварительные сведения

Пусть G — произвольное множество. Всякое отображение f : G × G → G называется бинарной
алгебраической операцией, определенной на множестве G. Вместо f часто пишут ·, +, ∗, ◦ или
другой символ. Множество G с заданной на нем бинарной операцией называется группоидом.
Пусть (G, ·) — группоид. Операция ·, определенная на G, называется коммутативной, если
a · b = b · a для любых a, b ∈ G; ассоциативной, если (a · b) · c = a · (b · c) для любых a, b, c ∈ G. Если
операция · фиксирована, то пишут ab вместо a·b. Группоид с ассоциативной операцией называется
полугруппой. Элемент e группоида G называется его единичным (иногда нейтральным) элементом
или простой единицей, если xe = ex для любого x ∈ G. Полугруппа с единицей называется
моноидом.
Критерий неприводимости Эйзенштейна. Пусть f(x) = xn + a1xn−1 + . . . + an ∈ Z[x], где простое
число p делит a1, . . . , an, но p2 не делит an . Тогда f(x) неприводим над Q.
Функцией Эйлера ϕ(m) называется число натуральных чисел, не превосходящих данного натурального числа m и взаимно простых с m. Функция Эйлера мультипликативна, т.е. ϕ(mn) =
ϕ(m)ϕ(n) для взаимно простых m и n.
Если m = pα1
1 . . . pαk
k
— каноническое разложение числа m, то

ϕ(m) = m
1 − 1

p1

. . .
1 − 1

pk

= m
p|m

1 − 1

p

.

Функция

9

µ(n) =

1, если n = 1,
(−1)k, если n = p1 . . . pk, pi − различные простые,
0, если n делится на квадрат > 1,

называется функцией Мебиуса. Она также мультипликативна. Справедлива формула
d|n
µ(d) =
1, если n = 1,
0, если n > 1

(суммирование ведется по всем делителям d ⩾ 1 числа n). А также ее модификация
d|(n|m)
µ
m

n

=
1, если d = m,
0, если d|m, d < m

(суммирование ведется по n, делящим m и делящимся на d).
Теорема 1. Пусть f и g — две функции, определенные на N, связанные соотношением f(n) =
d|n
g(d). Тогда справедлива так называемая формула обращения Мебиуса

g(n) =
d|n
µ
n

d

f(d).

Имеется еще мультипликативный аналог формулы обращения Мебиуса: если f(n) = d|n
g(d), то

g(n) =
d|n
f(d)µ( n

d).

Теорема 2 (Ферма). Для любого простого числа p и любого натурального a, не делящегося на p,
справедливо сравнение

ap−1 ≡ 1 (mod p) .

Теорема 3 (Эйлер). Для любого модуля m и любого натурального a, взаимно простого с m,
справедливо сравнение

aϕ(m) ≡ 1 (mod m) .

Комплексное число называется алгебраическим, если оно является корнем ненулевого многочлена
с рациональными коэффициентами. В противном случае это число называется трансцендентным. Алгебраическое число называется целым алгебраическим числом, если оно является корнем
унитарного многочлена с целыми коэффициентами. Множество целых алгебраических чисел образует кольцо — кольцо целых алгебраических чисел. Если F — подполе поля комплексных чисел,
то подмножество в нем, состоящее из целых алгебраических чисел, образует кольцо, называемое
кольцом целых алгебраических чисел в F .
Если M — модуль, то под нетривиальным (соответственно, под собственным) понимается подмодуль, отличный от 0 и M (соответственно, от M). Ненулевой (соответственно, собственный)
подмодуль модуля M называется минимальным (соответственно, максимальным), если он является минимальным (соответственно, максимальным) элементом в решетке всех подмодулей модуля
M. Соответствующее соглашение действует для идеалов и для подгрупп. В литературе (в отличие
от вышеприведенного соглашения) часто под <собственной> подгруппой группы G понимается
<нетривиальная> (̸= e, G) подгруппа.
В книге используются элементарные свойства перестановок, матриц, определителей. Термины
<отображение> и <функция> являются синонимами. Встречающиеся термины <инъективное
(сюръективное, биективное) отображение> имеют обычный смысл. Вместо <биективное отображение> говорим также <биекция> или <взаимно однозначное соответствие>.
Отображение множества A в себя называется преобразованием множества A. Подразумеваются
известными основные свойства таких операций над множествами как пересечение, объединение,
разность и декартово произведение; основные понятия теории решеток; а также стандартные факты о счетных и континуальных множествах.
10