Мультипликационные модули и идеалы

A.A. Туганбаев 
МУЛЬТИПЛИКАЦИОННЫЕ
МОДУЛИ И ИДЕАЛЫ 
Монография
2-е издание, стереотипное
Москва 
Издательство «ФЛИНТА»
2017

УДК 512.55 
ББК  22.144
         Т85
Туганбаев A.A. 
Т85       Мультипликационные модули и идеалы [Электронный ресурс] : монография / A.A. Туганбаев.  — 2-е изд., стер. — М. : Флинта, 2017. —  157 с. 
ISBN 978-5-9765-1505-5
Данная книга посвящена изложению теории мультипликационных модулей 
и идеалов в случае не обязательно коммутативных колец. Многие из результатов 
принадлежат автору и не излагались ранее в монографиях на русском языке, 
причем целый ряд результатов не отражался в монографиях вообще. 
Книга может быть полезна всем алгебраистам, интересующимся кольцами и 
модулями. Она может служить учебным пособием для студентов и аспирантов, 
изучающих современную алгебру. 
УДК 512.55 
ББК  22.144
Научное издание
Туганбаев Аскар Аканович
МУЛЬТИПЛИКАЦИОННЫЕ
МОДУЛИ И ИДЕАЛЫ
Монография
Подписано в печать 28.02.2017. 
Электронное издание для распространения через Интернет
ООО "Флинта", 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324. 
Тел.: (495) 336-03-11; тел./факс: (495) 334-82-65. 
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru 
ISBN 978-5-9765-1505-5
© Туганбаев A.A., 2017
© Издательство "ФЛИНТА", 2017

Содержание
1. Введение
4
2. Общие свойства мультипликационных модулей
11
3. Мультипликационные модули
над инвариантными кольцами
33
4. Модули над кольцами с коммутативным
умножением идеалов
57
5. Мультипликационные модули
над регулярными кольцами
86
6. Кольца с мультипликационными
правыми идеалами
104
7. Плоские и проективные модули
128
8. Комультипликационные модули
136
Предметный указатель
143
Список обозначений
158

Введение
1. Введение
Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей. Если не оговорено противное, все модули предполагаются правыми и унитарными. Выражение типа нетерово кольцо означают, что соответствующие условия выполнены справа и слева. Правый модуль M над кольцом
A называется мультипликационным, если для каждого подмодуля N модуля M существует такой идеал B кольца A, что N = MB.
Имеется много работ с результатами о мультипликационных модулях
над коммутативными кольцами; см., например, [16], [37], [38], [71], [73],
[74], [77], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88], [89], [90], [91], [92], [97], [101],
[105], [106], [107], [108], [109], [115], [117], [118], [122], [123], [125], [126], [127],
[128], [129], [130], [131], [133], [134], [135], [136], [138], [139], [140], [141], [142],
[143], [144], [146], [147], [148], [150], [151], [152], [153], [154], [157], [160], [161],
[163], [168], [169], [171], [173], [175], [176], [178], [185], [199] и [200].
В данной книге в основном рассматриваются мультипликационные
модули над не обязательно коммутативными кольцами. В некомутативном случае имеется несколько работ о мультипликационных модулях
и некомутативных обобщениях коммутативных колец, идеалы которых
являются мультипликационными модулями; см., например, [177], [174],
[186], [187], [5], [6], [189], [190], [191], [193], [194], [195], [196] и [197].
Мы часто рассматриваем мультипликационные модули над инвариантными кольцами. (Кольцо A называется инвариантным справа (соотв.
инвариантным слева), если каждый его правый (левый) идеал является
идеалом кольца A.) Например, если A  инвариантное справа кольцо, то
каждый его циклический правый модуль является мультипликационным
модулем (предложение 3.1) и каждый его идеал, порожденный идемпотентами, является мультипликационным правым (левым) модулем (предложение 3.4(1)). Кроме того, каждый обратимый идеал инвариантного
кольца A является конечно порожденным мультипликационным правым
(левым) A-модулем по предложению 3.14. Если {Fi}i∈I  бесконечное множество полей и A  прямое произведение всех полей Fi, то заметим, что
идеал ⊕i∈IFi кольца A  мультипликационный A-модуль, не являющийся
конечно порожденным.
В случае некоммутативных инвариантных колец возникают несколько
дополнительных сложностей. Одной из этих сложностей является то, что
инвариантное кольцо A с максимальным идеалом M не обязательно обладает правой локализацией AM относительно M, хотя A\M  мультипликативно замкнутое множество и для любых элементов a ∈A и s ∈A \ M
существуют такие элементы b ∈A и t ∈A \ M, что at = sb. В предложении 6.12 мы построим такое инвариантное полулокальное дистрибутивное

Введение
5
кольцо Безу A с максимальным идеалом M, что правая локализация AM
не существует, хотя все конечно порожденные правые (левые) идеалы
кольца A являются мультипликационными правыми (левыми) идеалами.
(Правый идеал B кольца A называется мультипликационным правым идеалом, если B  мультипликационный правый A-модуль. Модуль называется модулем Безу, если каждый его конечно порожденный подмодуль является циклическим модулем. Модуль называется дистрибутивным, если
решетка его подмодулей дистрибутивна, т.е. (X+Y ) T Z = X T Z+Y T Z
для любых его подмодулей X, Y и Z.)
В случае модулей над коммутативными кольцами, многие основные
результаты данной работы превращаются в модификации результатов,
доказанных в [38], [39], [71], [88] и [175]. В случае модулей над некоммутативными кольцами многие результаты данной работы доказаны в [5],
[6], [189], [190], [191].
Первоначальные сведения из теории колец и доказательства используемых в книге без доказательства утверждений можно найти, например,
в книге автора [7] (см. также [2], [3], [4], [9], [10], [98], [119], [120], [121],
[179], [198]). Некоторые хорошо известные сведения мы будем напоминать
по ходу изложения.
Для модуля M через J(M), End(M), Soc(M), Lat(M) и max(M) обозначаются его радикал Джекобсона, кольцо эндоморфизмов, цоколь, решетка всех подмодулей и множество всех максимальных подмодулей соответственно.
Приведенные ниже замечания 1.1, 1.2 и 1.3 проверяются непосредственно.
1.1. Замечание.
1) Каждый простой модуль является мультипликационным модулем.
2) Каждый ненулевой мультипликационный модуль над простым кольцом
является простым модулем.
Если X  подмножество правого модуля M над кольцом A, то правый идеал {a ∈A | Xa = 0} кольца A называется правым аннулятором
множества X в A и обозначается через rA(X) или r(X).

Введение
1.2. Замечание. Для правого модуля M над кольцом A равносильны
следующие условия:
1) M  мультипликационный модуль;
2) M  мультипликационный A/B-модуль для каждого такого идеала B
кольца A, что B ⊆r(M);
3) существует такой идеал B кольца A, что B ⊆r(M) и M  мультипликационный A/B-модуль.
Для подмножеств X и Y правого модуля M над кольцом A подмножество {a ∈A | Xa ⊆Y } кольца A обозначается через (Y .
. X). Если Y
 подмодуль модуля M, то непосредственно проверяется, что для любого
подмножества X модуля M множество (Y .
. X) является правым идеалом кольца A. Для любых подмодулей X и Y модуля M непосредственно
проверяется, что (Y .
. X)  идеал в A.
1.3. Замечание. Для правого модуля M над кольцом A равносильны
следующие условия:
1) M  мультипликационный модуль;
2) N ⊆M(N .
. M) для каждого подмодуля N модуля M;
3) N = M(N .
. M) = Mr(M/N) для каждого подмодуля N модуля M..
1.4. Замечание. Каждый гомоморфный образ мультипликационного
модуля является мультипликационным модулем.
Доказательство. Пусть M  мультипликационный правый модуль
над кольцом A, h: M →M  эпиморфизм и N  подмодуль в M. Тогда существует такой подмодуль N в M, что h(N) = N. По условию
существует такой идеал B кольца A, что N = MB. Тогда N = h(N) =
h(MB) = h(M)B = MB и M  мультипликационный модуль.
□
1.5. Замечание. Для мультипликационного правого модуля M над
кольцом A верны следующие утверждения:
1) каждый подмодуль модуля M вполне инвариантен в M;
2) если N  такой подмодуль модуля M, что N T MB = NB для каждого
идеала B кольца A, то N  мультипликационный модуль..

Введение
7
Доказательство. 1). Пусть X  подмодуль модуля M и f  эндоморфизм модуля M. Существует такой идеал B кольца A, что X = MB.
Тогда f(X) = f(MB) = f(M)B ⊆MB = X.
2). Пусть Y  подмодуль в N. Так как M  мультипликационный
модуль, то существует такой идеал B кольца A, что Y = MB. По условию
N T MB = NB. Поэтому
Y = MB = Y
\
MB ⊆N
\
MB = NB ⊆MB = Y.
Тогда Y = NB и N  мультипликационный модуль.
□
1.6. Замечание. Каждый эндоморфный образ мультипликационного
модуля M является вполне инвариантным мультипликационным подмодулем модуля M.
Доказательство. Утверждение следует из замечания 1.4 и замечания 1.5(1).
□
1.7. Замечание. Каждое прямое слагаемое мультипликационного модуля M является вполне инвариантным мультипликационным подмодулем
модуля M.
Доказательство. Так как каждое прямое слагаемое модуля M является эндоморфным образом модуля M, то утверждение следует из замечания 1.6.
□
1.8. Замечание. В кольце эндоморфизмов каждого гомоморфного образа любого мультипликационного модуля все идемпотенты центральны.
Доказательство. Пусть M  мультипликационный правый модуль
над кольцом A, M  гомоморфный образ модуля M, R = End(M) и f
 идемпотент кольца R. По замечанию 1.4 M  мультипликационный
модуль. По замечанию 1.5(1)
(1 −f)Rf(M) ⊆f(M)
\
(1 −f)(M) = 0,
fR(1 −f)(M) ⊆(1 −f)(M)
\
f(M) = 0.
Поэтому (1−f)Rf = fR(1−f) = 0 и f  центральный идемпотент в R. □
1.9. Замечание. Если M  мультипликационный правый модуль над
кольцом A и P  такой идеал в A, что M ̸= MP, то P не содержит аннулятор
модуля M/X для некоторого циклического подмодуля X в M.
Доказательство. Так как M ̸= MP, то существует циклический
подмодуль X модуля M, не содержащийся в модуле MP. Так как M

Введение
 мультипликационный модуль, то существует такой идеал B кольца A,
что X = MB. Тогда B ̸⊆P, поскольку X ̸⊆MP. Так как X = MB, то
B ⊆r(M/X); поэтому P не содержит r(M/X).
□
1.10. Замечание. Пусть M  мультипликационный правый модуль над
кольцом A и P  максимальный идеал кольца A с условием M ̸= MP. Тогда
MP  максимальный подмодуль в M, M/MP  простой модуль и существует
такой циклический подмодуль X модуля M, что A = P + r(M/X).
Доказательство. По замечанию 1.4 M/MP  мультипликационный
модуль над простым кольцом A/P. Так как M/MP ̸= 0, то из замечания 1.1(2) следует, что модуль M/MP прост. Поэтому MP  максимальный подмодуль в M. По замечанию 1.9 существует такой циклический
подмодуль X модуля M, что P не содержит r(M/X); кроме того, P 
максимальный идеал. Поэтому A = P + r(M/X).
□
1.11. Замечание. Пусть A  кольцо с дистрибутивной решеткой двусторонних идеалов и M  такой мультипликационный правый A-модуль, что
MB T MC = M(B T C) для любых идеалов B и C кольца A. Тогда M 
дистрибутивный модуль.
Доказательство. Пусть X, Y и Z  подмодули модуля M. Так как
M  мультипликационный модуль, то существуют такие идеалы B, C и
D кольца A, что X = MB, Y = MC и Z = MD. Тогда
(X + Y ) ∩Z = (MB + MC) ∩MD = (M(B + C)) ∩(MD) =
= M((B + C) ∩D) = M(B ∩D + C ∩D) = M(B ∩D) + M(C ∩D) =
= MB ∩MD + MC ∩MD = X ∩Z + Y ∩Z.
□
Кольцо A называется кольцом с коммутативным умножением идеалов
(соотв. коммутативным умножением правых идеалов), если BC = CB для
любых двух идеалов (соотв. правых идеалов) B и C кольца A.
1.12. Замечание. Для кольца A равносильны условия:
1) A  кольцо с коммутативным умножением правых идеалов;
2) A  инвариантное справа кольцо с коммутативным умножением идеалов;
3) xy ∈yxA для любых элементов x, y ∈A.
Замечание 1.12 следует из того, что
xy ∈(xA)(yA) = (yA)(AxA) = xyA.
□
1.13. Замечание. Пусть A  кольцо с коммутативным умножением
идеалов, M  мультипликационный правый A-модуль и B  такой идеал
кольца A, что M = MB. Тогда:

Введение
9
1) N = NB для каждого подмодуля N модуля M;
2) для каждого элемента m ∈M существует такой элемент b ∈B, что
m(1 −b) = 0.
Доказательство. 1). По условию M = MB. Так как M  мультипликационный модуль, то существует такой идеал C кольца A, что
N = MC = MBC. Кроме того, BC = CB, поскольку A  кольцо с коммутативным умножением идеалов. Поэтому N = MCB = NB.
2). По 1) mA = mAB = mB для любого элемента m ∈M. Поэтому
существует такой элемент b ∈B, что m(1 −b) = 0.
□
1.14. Замечание. Пусть A  кольцо с коммутативным умножением
идеалов, M  мультипликационный правый A-модуль и P  максимальный
идеал кольца A. Тогда равносильны следующие условия:
1) M = MP;
2) N = NB для каждого подмодуля N модуля M;
3) X = XP для каждого циклического подмодуля модуля M;
4) P не содержит аннулятор любого циклического подмодуля модуля M.
Доказательство. Импликация 1) ⇒2) следует из замечания 1.13(1).
Импликации 2) ⇒3) и 3) ⇒1) очевидны.
3) ⇒4). Допустим, что P содержит аннулятор некоторого циклического подмодуля X модуля M. По условию X = XP = 0. Тогда
A = r(X) ⊆P; получено противоречие.
4) ⇒3). Пусть X  циклический подмодуль модуля M. Так как r(X) ̸⊆
P и идеал P максимален, то A = P + r(X). Поэтому
X = XA = X(P + r(X)) = XP + Xr(X) = XP.
□
1.15. Замечание. Пусть M  мультипликационный модуль над коммутативным кольцом A. Тогда кольцо эндоморфизмов End(M) A-модуля
M является коммутативным кольцом, естественно содержащим кольцо
A/r(M), и решетка всех подмодулей A-модуля M совпадает с решеткой
всех подмодулей End(M)-модуля M.
Доказательство. Пусть f и g  эндоморфизмы модуля M и m  элемент из M. По замечанию 1.13(1) f(m), g(m) ∈mA. Поэтому существуют
такие элементы a, b ∈A, что f(m) = ma и g(m) = mb. Поэтому
(fg −gf)(m) = f(g(m)) −g(f(m)) = f(m)b −g(m)a = mab −mba = 0

Введение
и End(M)  коммутативное кольцо. Для каждого элемента a коммутативного кольца A отображение ϕa : m →ma является эндоморфизмом
A-модуля M. Непосредственно проверяется, что отображение ϕ: A →
End(MA), для которого ϕ(a) = ϕa, является кольцевым гомоморфизмом
с ядром r(M). Поэтому каждый End(M)-подмодуль модуля M является
A-подмодулем в M. По замечанию 1.13(1) каждый A-подмодуль модуля
M является End(M)-подмодулем в M.
□
Приведенные ниже замечания 1.16 и 1.17 проверяются прямыми вычислениями.
1.16. Замечание. Пусть A  кольцо, M  правый A-модуль, M ⊖A

(z ∈Z, m ∈M, a ∈A) и M ⊖0 
 множество всех матриц
 z
m
0
a
множество матриц
 0
m
0
0

(m ∈M).

+
 z2
m2
0
a2
1) M ⊖A  кольцо со сложением
 z1
m1
0
a1

=
 z1 + z2
m1 + m2
0
a1 + a2

и умножением
 z1
m1
0
a1
  z2
m2
0
a2

=
 z1z2
z1m2 + m1a2
0
a1a2

.
2) M ⊖0  правый идеал кольца M ⊖A.
3) M  мультипликационный правый A-модуль в точности тогда, когда
M ⊖0  мультипликационный правый идеал кольца M ⊖A.
1.17. Замечание [39]. Пусть A  коммутативное кольцо, M  Aмодуль, M ⊘A  множество всех строк (m, a) (m ∈M, a ∈A) и M ⊘0
 множество строк (m, 0) (m ∈M).
1) M ⊘A  коммутативное кольцо со сложением (m1, a1) + (m2, a2) =
(m1+m2, a1+a2) и умножением (m1, a1)(m2, a2) = (m2a1+m1a2, a1a2).
2) M ⊘0  идеал кольца M ⊘A.
3) M  мультипликационный правый A-модуль в точности тогда, когда
M ⊘0  мультипликационный идеал кольца M ⊘A.