Целозамкнутые кольца и модули

A.A. Туганбаев 

ЦЕЛОЗАМКНУТЫЕ 

КОЛЬЦА И МОДУЛИ

Монография

Москва 

Издательство «ФЛИНТА»

2017

2-е издание, стереотипное

УДК 512.55
ББК  22.144
          Т81

 ТТТууугггааанннбббаааеееввв ААА.ААА.

Т81
Целозамкнутые кольца и модули [Электронный ресурс] : монография /A.A. Туганбаев.  
— 2-е изд., стер. — М. : Флинта, 2017. —  200 с. 

ISBN 978-5-9765-1503-1

Данная книга посвящена изложению теории целозамкнутых колец модулей в случае

не обязательно коммутативных колец. Многие из результатов принадлежат автору и не
излагались ранее в монографиях на русском языке, причем целый ряд результатов не отражался в монографиях вообще.

Книга может быть полезна всем алгебраистам, интересующимся кольцами и модуля
ми. Она может служить учебным пособием для студентов и аспирантов, изучающих современную алгебру.

УДК 512.55
ББК 22.144

Научное издание

ТТТууугггааанннбббаааеееввв Аскар Аканович

Целозамкнутые кольца и модули

Монография

Подписано в печать 28.02.2017. 

Электронное издание для распространения через Интернет 

ООО "Флинта", 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324. 

Тел.: (495) 336-03-11; тел./факс: (495) 334-82-65.

E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru 

ISBN 978-5-9765-1503-1                     
© Туганбаев A.A., 2017
© Издательство "ФЛИНТА", 2017

Содержание

Введение
4

1. Предварительные сведения
7

2. Непрерывные, самоинъективные и
π-инъективные модули
57

3. π-инъективные кольца
81

4. Кольца с π-инъективными
циклическими модулями
95

5. Целозамкнутые модули и кольца
110

6. Малоинъективные и вполне целозамкнутые
модули и кольца
124

7. Кольца с малоинъективными
циклическими модулями
153

8. Кольца с вполне целозамкнутыми
циклическими модулями
178

Предметный указатель
190

Литература
193

Список обозначений
198

Введение

Главной целью данной книги является изложение теории целозамкнутых и вполне целозамкнутых колец и модулей над не
обязательно коммутативными кольцами. Многие из результатов принадлежат автору и не излагались ранее в монографиях
на русском языке, причем целый ряд результатов не отражался
в монографиях вообще. Все кольца предполагаются ассоциативными и (за исключением нильколец и некоторых оговоренных случаев) с ненулевой единицей, модули предполагаются
унитарными. Слова типа “н¨етерово кольцо” означают, что соответствующие условия выполнены справа и слева.

В коммутативной алгебре важную роль играют коммутативные области, целозамкнутые в своем поле частных. В данной книге подкольцо A кольца Q называется классически целозамкнутым справа (соотв. слева) в Q, если A содержит каждый
такой элемент q ∈ Q, что qn+1 = qnan + . . . + qa1 + a0 (соотв.
qn+1 = anqn + . . . + a1q + a0) для некоторых a0, . . . , an ∈ A.
Модуль M называется целозамкнутым, если в M все эндоморфизмы всех конечнопорожденных подмодулей продолжаются
до эндоморфизмов M.

Замечание. Приведенная выше терминология объясняется
тем, что если A – коммутативная область и Q – ее поле частных, то область A классически целозамкнута в Q в точности
тогда, когда A – целозамкнутый A-модуль; см. предложение 5.3.
Таким образом, наша терминология согласуется с классической терминологией, причем определенный выше класс целозамкнутых модулей строго содержит все инъективные1 модули
и все регулярные2 модули. Таким образом, класс целозамк
1Правый A-модуль M называется инъективным, если для любого подмодуля X′

произвольного правого A-модуля X каждый гомоморфизм X′ → M продолжается до
гомоморфизма X → M
2Модуль называется регулярным, если в нем каждый конечнопорожденный подмо
4

Введение
5

нутых колец содержит все коммутативные классически целозамнутые области, все регулярные (по фон Нейману)3 кольца
и все инъективные (как модули над собой) кольца.

В коммутативной алгебре также важны коммутативные области, вполне целозамкнутые в своем поле частных. В данной
книге подкольцо A кольца Q называется классически вполне
целозамкнутым справа в Q, если A содержит каждый такой
элемент q ∈ Q, что qna ∈ A для некоторого неделителя нуля
a ∈ A и для всех n ∈ N. Подкольцо A кольца Q называется
вполне целозамкнутым справа в Q, если A содержит каждый
такой элемент q ∈ Q, что qN ⊆ N для некоторого существенного4 правого идеала N в A. Модуль M называется вполне целозамкнутым, если для любого подмодуля N каждый гомоморфизм N → M, переводящий в себя некоторый существенный
подмодуль модуля N, продолжается до эндоморфизма модуля
M. Например, над кольцом целых чисел класс всех вполне целозамкнутых модулей содержит все циклические модули и все
делимые модули.

Замечание. Если A – коммутативная область и Q – ее поле частных, то непосредственно проверяется, что область A
классически вполне целозамкнута в Q в точности тогда, когда A – вполне целозамкнутое подкольцо в Q в смысле приведенного выше определения; см. теорему 6.16. Кроме того, область A классически вполне целозамкнута в Q в точности тогда, когда A – вполне целозамкнутый A-модуль; см. теорему 6.16. Таким образом, наша терминология снова согласуется с классической терминологией, причем определенный выше класс вполне целозамкнутых модулей строго содержит все
инъективные модули, а класс вполне целозамкнутых справа

дуль является прямым слагаемым.
3Кольцо A называется регулярным, если a ∈ aAa для любого a ∈ A.
4Подмодуль N модуля M называется существенным, если N имеет ненулевое
пересечение с каждым ненулевым подмодулем в M.

Введение

колец содержит все коммутативные классически целозамнутые области и все инъективные (как правые модули над собой)
кольца. Кроме того, как и в классическом коммутативном случае, все вполне целозамкнутые кольца – целозамкнутые кольца, а все н¨етеровы целозамкнутые кольца – вполне целозамкнутые кольца.

Предварительные сведения
7

1. Предварительные сведения

В этом разделе мы напомним некоторые используемые понятия и утверждения теории колец. Соответствующие доказательства можно найти, например, в книге автора [25] (см.
также [2], [3], [4], [5], [31], [32], [46], [55], [56], [57], [70], [78]).
Некоторые хорошо известные сведения мы будем напоминать
по ходу изложения.

Для модуля M через End(M) и Lat(M) обозначаются его
кольцо эндоморфизмов и решетка всех его подмодулей.

1.1. Подпрямо неразложимые и простые модули.
Подмодуль M ненулевого модуля X называется максимальным
подмодулем в X, если M – максимальный элемент непустого множества всех собственных подмодулей модуля X. Через
max(X) обозначается множество всех максимальных подмодулей в X. Ненулевой модуль X называется простым, если X
совпадает с любым своим ненулевым подмодулем, т.е. если 0
– максимальный подмодуль в X. Таким образом, для любых
двух ненулевых элементов x и y простого модуля XA существуют такие a, b ∈ A, что xa = y и yb = x. Все максимальные
идеалы кольца Z имеют вид pZ, а простые Z-модули совпадают
с циклическими модулями Z/pZ, где p – простое число.

Если {Yi}i∈I – некоторое множество подмодулей (идеалов)
модуля (кольца) X и ∩i∈IYi = 0, то модуль (кольцо) X называется подпрямым произведением фактормодулей (факторколец) X/Yi. Если при этом хотя бы один из подмодулей (идеалов) Yi равен нулю, то подпрямое произведение называется
тривиальным. Если Yi ̸= 0 для всех i, то подпрямое произведение называется нетривиальным. Ненулевой модуль (кольцо) X называется подпрямо неразложимым, если X не является нетривиальным подпрямым произведением никаких своих
фактормодулей (факторколец), т.е. пересечение всех ненулевых подмодулей (идеалов) в X не равно нулю. Это означает,

Предварительные сведения

что существует ненулевой подмодуль (идеал) в X, содержащийся в каждом ненулевом подмодуле (идеале) в X.

1.1.1. Каждый ненулевой модуль (каждое кольцо) – подпрямое произведение подпрямо неразложимых модулей (колец).

1.2. Существенные расширения и равномерные модули. Если X – подмодуль модуля M и X ∩ Y ̸= 0 для любого ненулевого подмодуля Y в M, то X называется существенным в M и говорят, что M – существенное расширение модуля X. Если M – существенное расширение X, то X содержит любой простой подмодуль модуля M, M – существенное
расширение любого существенного подмодуля Y модуля X и
N – существенное расширение X ∩ N для любого подмодуля N в M. Модуль M называется равномерным, если любые
два его ненулевых (циклических) подмодуля имеют ненулевое
пересечение. Подмодуль N модуля M называется коравномерным, если M/N – равномерный модуль, т.е. если не существует таких строго содержащих N подмодулей X и Y в M, что
X ∩ Y = N.

1.2.1. Если N – существенный подмодуль модуля M, то для
каждого гомоморфизма f : X → M подмодуль f −1(N) существенен в X.

1.2.2. Если MA = ⊕i∈IMi и каждый модуль Mi – существенное расширение некоторого модуля Xi, то M – существенное
расширение модуля ⊕i∈IXi.

1.2.3. M – равномерный модуль ⇔ M – существенное
расширение любого своего ненулевого (циклического) подмодуля ⇔ M – существенное расширение равномерного модуля.

1.2.4. M – модуль с условием минимальности для прямых слагаемых ⇔ M – модуль с условием максимальности
для прямых слагаемых ⇔ кольцо End(M) не содержит беско

Предварительные сведения
9

нечного числа ненулевых ортогональных идемпотентов. При
этих условиях M – конечная прямая сумма неразложимых
модулей. В частности, если A – кольцо без бесконечных множеств ортогональных идемпотентов, то AA – модуль с условиями минимальности и максимальности для прямых слагаемых и модули AA, AA являются конечными прямыми суммами
неразложимых модулей.

1.3. Условия максимальности и минимальности. Модуль M называется н¨етеровым (артиновым), если M не содержит бесконечных строго возрастающих (убывающих) цепей
подмодулей. M – н¨етеров (артинов) модуль ⇔ каждое непустое подмножество подмодулей в M содержит хотя бы один
максимальный (минимальный) элемент. Модуль называется
полун¨етеровым, если каждый его ненулевой подфактор имеет
максимальный подмодуль. Модуль называется полуартиновым,
если каждый его ненулевой подфактор имеет простой подмодуль. Все подфакторы любого гомоморфного образа каждого н¨етерова (артинова, полун¨етерова, полуартинова) модуля являются н¨етеровыми (артиновыми, полун¨етеровыми, полуартиновыми) модулями. Полуартиновы Z-модули совпадают с
периодическими абелевыми группами.

Модуль M называется модулем (композиционной) длины n ∈
N, если либо M = 0 и тогда по определению n = 0, либо
Lat(M) содержит конечную цепь 0 = X0 ⊂ X1 ⊂ . . . Xn = M с
простыми фактормодулями Xi/Xi−1, i = 1, . . . , n. Такая цепь
называется композиционным рядом модуля M, причем в этом
случае M также называется модулем конечной длины.

Если X – подмножество правого (соотв. левого) модуля M
над кольцом A, то обозначим через rA(X) = r(X) правый аннулятор {a ∈ A | Xa = 0} (соотв. ℓA(X) = ℓ(X) левый аннулятор {a ∈ A | aX = 0}) подмножества X. Если X и Y
– подмножества правого (соотв. левого) модуля M над коль

Предварительные сведения

цом A, то обозначим (X . . Y ) = {a ∈ A | Xa ⊆ Y } (соотв.
(Y
.
. X) = {a ∈ A | aX ⊆ Y }).

Кольцо A называется кольцом с условием максимальности
(минимальности) для правых аннуляторов, если A не содержит
бесконечную строго возрастающую (строго убывающую) цепь
правых идеалов, являющихся правыми аннуляторами подмножеств в A.

1.3.1. Пусть существует такая цепь 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂
Mn−1 ⊂ Mn = M подмодулей модуля M, что Mi/Mi−1 – н¨етеровы (артиновы) модули при i = 1, . . . , n. Тогда M – н¨етеров
(артинов) модуль. В частности, любая конечная прямая сумма
н¨етеровых (артиновых) модулей – н¨етеров (артинов) модуль.

1.3.2. M – н¨етеров модуль в точности тогда, когда все подмодули в M конечнопорождены.

1.3.3. Теорема Жордана–Г¨ельдера. M – модуль конечной длины в точности тогда, когда M – артинов и н¨етеров
модуль. При этих условиях пусть

0 = X0 ⊆ X1 ⊆ . . . ⊆ Xn = M, 0 = Y0 ⊆ Y1 ⊆ . . . ⊆ Ym = M

– два композиционных ряда M, то

m = n, Xi/Xi−1 ∼= Yp(i)/Yp(i)−1, i = 1, . . . , n,

для некоторой перестановки p натуральных чисел 1, . . . , n.

1.3.4. Свойства аннуляторов и бэровские кольца.
Пусть X – подмножество кольца A. Тогда r(ℓ(r(X))) = r(X) и
ℓ(r(ℓ(X))) = ℓ(X). Кроме того, если A – подкольцо некоторого
кольца Q, то rA(X) = A ∩ rQ(X) и ℓA(X) = A ∩ ℓQ(X).

Кольцо A называется бэровским, если оно удовлетворяет
следующим эквивалентным условиям:

1) для каждого подмножества X ⊆ A найдется идемпотент
e ∈ A с условием r(X) = eA;

Предварительные сведения
11

2) для каждого подмножества Y ⊆ A найдется идемпотент
e ∈ A с условием ℓ(Y ) = Ae.

(Указание: достаточно доказать импликацию 1) ⇒ 2). Обозначим X = ℓ(Y ). Тогда X = ℓ(r(X)). По условию r(X) = eA для
некоторого идемпотента e ∈ A. Тогда X = ℓ(eA) = Ae.)

1.3.5. A – кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов ⇔ A – кольцо с условием минимальности для левых аннуляторов ⇔ A – подкольцо кольца с условием максимальности для правых аннуляторов ⇔ A – подкольцо кольца с
условием минимальности для левых аннуляторов ⇔ для любого ненулевого идемпотента e ∈ A кольцо eAe удовлетиворяет
условию максимальности для правых аннуляторов и условию
минимальности для левых аннуляторов, причем каждое подмножество X ⊆ eAe содержит такое конечное подмножество
X′ = {x1, . . . , xn}, что ℓeAe(X) = ℓ(X′) = ∩n
i=1ℓ(xi).

1.3.6. Каждый правый модуль над полуартиновым справа кольцом является полуартиновым модулем. Каждый ненулевой фактормодуль полуартинова модуля – существенное
расширение своего цоколя.

1.4. Конечномерные модули и размерность Голди.
Модуль называется конечномерным, если он не содержит бесконечных прямых сумм ненулевых подмодулей. Все равномерные модули конечномерны, каждый подпрямо неразложимый
(например, простой) модуль равномерен и ZZ – равномерный
модуль, не являющийся подпрямо неразложимым.

Если для модуля M существует такое n ∈ N, что M не
содержит прямую сумму из n + 1 ненулевых модулей и M
– существенное расширение прямой суммы n ненулевых равномерных модулей, то M называется модулем конечной равномерной размерности, а число n называется равномерной
размерностью или размерностью Голди модуля M и обозначается u. dim(M); в этом случае M – прямая сумма не более n