Алгебра и теория чисел

Ю.Н. Смолин







                АЛГЕБРА
                И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ





        Учебное пособие


5-е издание, стереотипное


Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов физико-математических факультетов высших педагогических учебных заведений








Москва Издательство «ФЛИНТА» 2017

УДК 511(075.8)
ББК 22.13я73
      С51







     Смолин Ю.Н.
С51     Алгебра и теория чисел [Электронный ресурс]: учеб. пособие /
     Ю.Н. Смолин. — 5-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2017. — 464 с.

          ISBN 978-5-9765-0050-1
          В учебном пособии рассматриваются системы линейных алгебраических уравнений, матрицы и их определители, конечномерные векторные пространства и действующие в них линейные операторы, основные алгебраические системы, теория чисел, многочлены и расширения полей. Заканчивается пособие разделом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и связанным с ним вопросом о построениях циркулем и линейкой.
          Для студентов математических специально стей высших учебных заведений.



УДК 511(075.8)
ББК 22.13я73
















ISBN 978-5-9765-0050-1

© Издательство «ФЛИНТА», 2017

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Со времени перехода педагогических вузов на объединенную программу курса алгебры и теории чисел прошло более 20 лет. Нельзя сказать, что за это время не появились написанные в соответствии с новой программой учебники и учебные пособия. Достаточно назвать ’’Алгебру и теорию чисел” В.Я.Куликова, одноименное двухтомное учебное пособие украинских математиков С.Т.Завале, В.Н.Костарчука и Б.И.Хацета, а также многочисленные^ пособия для студентов-заочников под общей редакцией Н.Я.Виленкина. Но, как это нередко бывает, при этом оказались утраченными многие достоинства, которыми обладали прежние учебники. Некоторые авторы, излагая материал .на достаточно высоком теоретическом уровне (что, безусловно, является их большой заслугой), в значительно меньшей степени заботятся о его доступности, о том, чтобы вызвать у читателя живой интерес к прочитанному; наконец, просто о его связи со школьной программой.
   Стремясь ни в коей мере не снизить достигнутый уровень, автор предлагаемого пособия в меру своих сил постарался устранить отмеченные недостатки.
   В основу пособия положен курс лекций, читаемых автором на протяжении ряда лет в Магнитогорском государственном педагогическом институте, теперь уже университете (МаГУ).
   В первой главе излагаются основы теории систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрение этого важного самого по себе вопроса позволяет одновременно подготовить студентов, с одной стороны, к изучению смежных дисциплин, а с другой, — к восприятию следующих, более сложных разделов программы.
   Во второй главе рассматриваются основные, уже давно ставшие классическими алгебраические системы: группы,


3

кольца, поля, векторные пространства. При этом наибольшее внимание уделяется группам.
    Это дает возможность следующий раздел — теорию чисел, традиционно читавшийся изолированно, органично вписать в общую канву излагаемого материала, сцементировать его с предыдущим и тем самым сделать возводимую постройку более прочной. Теории чисел посвящена третья глава.
    Четвертая глава отдана многочленам, и изложение ее мало отличается от традиционного (разве лишь по возможности четче дифференцированы понятия многочленов в алгебраическом и функциональном смыслах).
    В пятой главе внесены некоторые изменения в объективно трудный раздел, касающийся расширений числовых полей. На наш взгляд, это способствовало более ясному освещению важного и интересного для учителя вопроса о геометрических построениях циркулем и линейкой: его изложением завершается пособие.
    Для чтения книги нужны минимальные знания теории множеств и алгебры логики. Эти разделы целесообразно вынести в отдельный небольшой курс.
    В каждом параграфе книги принята своя нумерация утверждений, определений и формул. Запись ”по теореме 2.1.5”, например, означает, что речь идет о теореме 5 первого параграфа второй главы. При ссылках на материал внутри главы ее номер опускается. Конец доказательств утверждений, как правило, помечен знаком □.
    Появлению книги в большой степени содействовали ее научный редактор А.В.Изосов, ректорат Магнитогорского государственного университета, проф. В.П.Максимов, в свое время предоставивший автору компьютерную издательскую систему ТрХ, а также коллеги, в том числе молодые А.И.Седов и И.А.Морозов, оказавшие неоценимую Техническую помощь. Всем им автор искренне благодарен.
    Автор далек от мысли о том, что предлагаемое пособие лишено недостатков, и будет признателен за все критические замечания в свой адрес.


Автор

ГЛАВА I
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ


  В школе рассматривают системы двух и трех уравнений первой степени с двумя и тремя переменными (неизвестными) соответственно. Мы начинаем курс алгебры и теории чисел с изучения систем алгебраических уравнений первой степени с несколькими переменными итйи, как говорят, систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В отличие от элементарной алгебры будем изучать такие системы с произвольным числом уравнений и переменных, причем зачастую число уравнений не будет совпадать с числом переменных.
  Интерес к СЛАУ вызван, в частности, тем, что к ним сводится решение многих реальных задач, возникающих в прикладных науках и содержащих порой несколько миллионов уравнений. Конечно, без помощи ЭВМ решение подобных систем немыслимо, и в настоящее время для их решения существуют специальные программы.
  В этой главе рассмотрим методы решения различных СЛАУ, а заодно (и это не менее важно) познакомимся со многими основными понятиями алгебры.




§ 1. Метод Гаусса


   п.1. Основные понятия. В общем виде система m линейных алгебраических уравнений с п переменными хг,


5

х₂, . . ., хп записывается следующим образом:

          1^11^1 + <^12^2 + . . . + ttln^n — Ь1, а21^1 +-«22^2 + . . • + О>2пХп = Ь?^   (-Q
^ml^l Н" ^т2*^2 Н⁻ • • • “F ^тп^п — Ьт •
Числа aij (г — 1,2, ..,m; j — 1,2,... , п) называются коэффициентами при переменных Xj\ первый индекс (г) означает номер уравнения, второй (j) совпадает с индексом переменной Xj. Числа bi (i = 1,2,..., m) называются свободными членами.
   В дальнейшем увидим, что все излагаемое нами относительно СЛАУ (1) остается в силе и при замене чисел и bi объектами иной природы.

   1.1.    Определение. Решением СЛАУ (1) называется упорядоченный числовой набор (cq, а₂, • - ₇ <тп) такой, что уравнения (1) обращаются в верные равенства после подстановки в них «1, а₂,..., осп вместо ж₂,..., хп соответственно.
   СЛАУ в одних случаях может иметь решение (и даже бесконечное множество их), в других — не иметь вовсе.

   1.2.    Определение. Если СЛАУ имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной; в противном случае СЛАУ называется несовместной.

   1.3.    Определение. Две СЛАУ называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
   Введем понятие так называемых элементарных преобразований СЛАУ, которыми в дальнейшем будем постоянно' пользоваться.

   1.4.    Определение. Элементарными преобразованиями СЛАУ называются:
   а)    умножение обеих частей какого-либо ее уравнения на отличное от 0 число;
   б)    прибавление к обеим частям какого-либо ее уравнения соответствующих частей другого ее уравнения, умноженных на произвольное число;


6

   в)    исключение из нее уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом или присоединение к ней такого уравнения.

   1.5.     Лемма. Если одна С ЛАЗ получается из другой в результате конечного числа элементарных преобразований, то эти системы равносильны.
   Доказательство. Пусть дана СЛАЗ (1). Если умножить обе части одного из ее уравнений, например первого, на отличное от 0 число А, то получим СЛАЗ⁷

АацХ'1 + Аа₁₂.т₂ + . . . + Аа₁птп = <   «21^1 + «22^2 + - - - + С1₂пХп — Ь₂.

<       + «ₘ2^2 + . . . + атпхп = Ьт.

   Пусть СЛАЗ⁷ (1) совместна и (ад, а₂. . . . , ап) — ее произвольное решение. Подставляя его в соответствии с определением 1.1 в (1) и умножая обе части первого из образовавшихся верных равенств на А, получим т верных равенств                               ~

Апца! + Аа₁₂а₂ + .. . + Аа₁пап — Х^. a2i^i + а₂2<^₂ + . . . + а-пап ~ Ъ₂,

атглсч + «7712^2 + . . . + отпап ~ Ьт.

Подставим теперь числа ад, а₂,. . .,ап в С ЛАЗ⁷ (2) вместо Ж1, ж₂,. . . , хп соответственно. Получим равенства (3). и поскольку они верны, то, по определению 1.1, это означает, что упорядоченный набор чисел (ад, а₂, . . . ,ап) является решением СЛАЗ⁷ (2). Итак, любое решение СЛАЗ⁷ (1) является также и решением СЛАЗ⁷ (2).
   Обратно, если (ах, а₂,. . . , ап) -— произвольное решение СЛАЗ⁷ (2), то, подставляя его в эту систему и деля обе части первого из полученных верных равенств на А(А СП. придем к т верным равенствам                          ''

             «11^1 + «12^'2 + . . . + а₁пап — «21Оч + a₂₂a₂ + . . . + а₂пап — Ъ₂,

ami^i + nₘ₂a₂ + . . . + а.тпап — Ьга.


7

К этим же равенствам, очевидно, приводит и подстановка в СЛАУ (1) чисел аг, а₂, • • • , вместо соответствующих переменных a?i, ж₂,. • ., хп. Поэтому упорядоченный набор чисел (аг, а₂, • • • , есть решение СЛАУ (Г). Итак, любое решение СЛАУ (2) является также и решением СЛАУ (1).
   Ясно также, что если СЛАУ (1) несовместна, то несовместна и СЛАУ (2) и наоборот. Поэтому СЛАУ (Г) и (2) р авно сильны.
   Так же легко проверить, что однократное применение к СЛАУ (1) элементарного преобразования б) или в) приводит к равносильной ей СЛАУ.
   Наконец понятно, что если к СЛАУ (1) элементарные преобразования а) - в) будут применены несколько раз, то полученная при этом система вновь окажется равносильной исходной системе. □

   п.2. Метод Гаусса. Рассмотрим метод, наиболее пригодный для практического нахождения решений СЛАУ (1). Он называется методом последовательного исключения переменных или методом Гаусса.¹
   Пусть дана СЛАУ (1). Если все aij равны 0, а среди свободных членов bi есть отличные от 0, то такая система, очевидно, несовместна. Если же и все свободные члены равны 0, то решением такой системы будет являться любой набор п чисел.
   Рассмотрим теперь основной случай, когда в СЛАУ (1) среди коэффициентов имеются отличные от 0. Будем считать, что «ц ф 0; этого всегда можно добиться, соответствующим образом переставляя уравнения и столбцы системы и (при необходимости) меняя обозначения. Нетрудно показать, что полученная при этом СЛАУ будет равно сйльна данной.
   С помощью элементарных преобразований заменим систему (1) равносильной ей системой, в которой коэффициенты при переменной во всех уравнениях, начиная со второго, равны 0. Для этого обе части первого уравнения в (1) умножим на----и сложим с соответствующими ча                  «п
стями второго уравнения, затем обе части первого ура
    гКарл Фридрих Гаусс (1777 - 1855) -— великий немецкий математик.

8

внения системы (1), умноженные на--, сложим с соот&11
ветствующими частями третьего уравнения и т.д. В результате получим СЛАУ


ац%1 + «12^2 + «13Ж3 4- . . . + а₁пхп =
                  «22^2 + 4зЖз + • • • + с$хп = Ь^\
«32^2 + 4з^з + • • • + а^хп = Ъ^.       (4)

,        а{£х₂ + с^з’жз + . . . + с$хп = Ъ^.


   Будем считать, что в СЛАУ (4) нет уравнений, все коэффициенты левых частей которых равны 0, — такие уравнения мы исключили бы. если и их свободные члены были равны 0, а в противном случае уже доказали бы несовместность нашей системы (и работа была бы закончена). Предположим, что последнее не произошло. Тогда в (4) з < т, и можно считать, что а$ 0. К этому можно прийти, меняя (при необходимости) местами второе уравнение с тем из последующих, коэффициент при х₂ в котором отличен от 0. Если же коэффициенты при х₂ во всех

уравнениях, начиная со второго, оказались равными 0, то нужный результат можно получить, меняя местами второй столбец всей системы, определяемый переменной .х*2: с тем из последующих столбцов, определяемым переменной Xj, коэффициент при которой во втором уравнении отличен от 0, при этом, конечно, следует соответствующим образом переобозначить переменные и коэффициенты.
   Аналогично тому как это было сделано выше, преобразуем теперь СЛАУ (4) в равносильную ей систему, в которой уже коэффициенты при переменной х₂ во всех уравнениях, начиная с третьего, равны 0. Для этого прибавим к обеим частям третьего и каждого из последующих уравнении соответствующие части второго уравнения, умножен-ₐW а(П „(А '
ные соответственно на---------ттг,... .-Получим
                       «22 4V '


9

СЛАУ

+ «12^2 + «13^3 + • • • + (^1пхп ~ bi^ а22Х2 + #23^3 + • • • + 0>2пхп = Ь^\
<            Озз^з + .. . + а^хп — &з \   (5)


,               а$хз + . . . + хп = Ь^.

СЛАУ (5) содержит теперь t (t < 5) уравнений, так как некоторые из них оказались, возможно, исключенными. Если в левой части одного из уравнений СЛАУ (5) все коэффициенты оказались равными 0, а свободный член отличен от 0, то эта СЛАУ и, следовательно, СЛАУ (1) несовместны. Если это не произошло, то аналогичным преобразованиям подвергается часть СЛАУ (5), не содержащая первых двух уравнений, и т.д.
   Этот процесс последовательного исключения переменных остановится, когда либо придем к СЛАУ, хотя бы одно^ из уравнений которой имеет отличный от 0 свободный член, а все коэффициенты левой части равны 0, -— и в этом случае, очевидно, СЛАУ (1) будет несовместной: либо к СЛАУ

     аих1 + <^12^2 + ... + airxr + ... + ainxn ~ &i,
   <        а22Х^ + • • • + &2гхг + • • . + а^Хп — Ъ⁽₂\ (g)

   ₖ                а^~^хг + ... + а^~^хп =

где «и ф 0, а>22 7^ 0,... ,  ^0; г < п.
   Рассмотрим этот случай подробнее. Пусть г = п. Тогда СЛАУ (6) имеет вид

^11^1 + ^12^2 + • • • + О>1пхп = ^1, <           ^22 *^2 + . . . + ^2п Хп ~ Ь₂\

                               ипп     — ип •
Из последнего уравнения находим единственное удовлетворяющее ему значение ап переменной жп, подставляя которое в предпоследнее уравнение системы (7), найдем единственное удовлетворяющее этому уравнению значение oₙ_i

10