Введение в теорию функций действительной переменной

Ю.Н. Смолин





ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

          Учебное пособие

          2-е издание, стереотипное





Москва Издательство «ФЛИНТА» 2017

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.12я73
     С51


     Смолин Ю.Н.
С51        Введение в теорию функций действительной
    переменной [Электронный ресурс] : учеб. пособие. — 2-е изд., стер. — М. : Флинта, 2017. — 516 с.

    ISBN 978-5-9765-1483-6

       Предлагаемое учебное пособие написано по материалам лекций, в течение ряда лет читаемых автором в различных вузах. Содержит основные разделы теорий множеств, меры и интеграла. Пособие предназначено для первоначального знакомства с современной теорией функций действительной переменной, однако и искушенный читатель найдет в нем для себя что-то новое.
       Для понимания излагаемого материала достаточно знаний математического анализа и алгебры в объеме первых двух курсов математического факультета университета.
УДК 517.5(075.8)
ББК 22.12я73










ISBN 978-5-9765-1483-6

© Издательство «ФЛИНТА», 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

    Предисловие                                 6
    Глава 1. Основы теории множеств             8

      § 1.1. Операции с множествами             9
      §1.2.  Эквивалентность множеств. Счетные множества                        17
      § 1.3. Мощность множества                22
      § 1.4. Операции с мощностями             37
          Упражнения                           42
    Г лава 2. Упорядоченные множества          45

      §2.1.  Бинарные отношения                45
      § 2.2. Частично упорядоченные множества  50
      § 2.3. Линейно упорядоченные множества   57
      § 2.4. Вполне упорядоченные множества    69
      § 2.5. Порядковые числа                  82
      § 2.6. Теорема Цермело                   94
          Упражнения                          103
    Глава 3. Применения теоремы Цермело       107

      §3.1 . Несчетное множество наименьшей мощности                                107
      §3.2 . Кардинальные числа               115
      §3.3 . Базис Гамеля                     118
      §3.4 . Лемма Цорна                      122
          Упражнения                          127
    Г л а в а 4. Точечные множества           128

      §4.1.  Открытые и замкнутые множества   128
      §4.2.  Расстояние между множествами     137
          Упражнения                          141
    Глава 5. Теория меры                      143

      § 5.1. Кольца и полукольца множеств      143


3

      § 5.2. Общее понятие меры множества        153
      §5.3.  Продолжение меры, определенной на кольце с единицей                      174
      § 5.4. Продолжение меры, определенной
          на кольце без единицы                 194
      § 5.5. Мера Лебега                        204
      § 5.6. Меры Лебега-Стилтьеса              213
          Упражнения                            217
    Глава 6. Общий интеграл Лебега              220

      §6.1.  Измеримые функции                  220
      §6.2.  Интеграл Лебега на множестве конечной меры.                            244
      § 6.3. Предельный переход под знаком интеграла Лебега                          270
      § 6.4. Интеграл Лебега на множестве бесконечной меры                          285
      § 6.5. Интеграл Лебега на отрезке         286
      § 6.6. Теорема Фубини                     292
          Упражнения                            301
    Глава 7. Функции ограниченной вариации      304

      §7.1.  Монотонные функции                 304
      § 7.2. Функции ограниченной вариации общего вида                               321
      § 7.3. Непрерывные функции ограниченной вариации                     334
      § 7.4. Абсолютно непрерывные функции      339
      § 7.5. Неопределенный интеграл Лебега     352
      § 7.6. Дискретные функции                 367
      § 7.7. Сингулярные функции                375
      § 7.8. Интеграл Римана-Стилтьеса          387
          Упражнения                            416
    Глава 8. Теорема Радона-Никодима            421

      §8.1 . Основные виды мер                  421
      §8.2 . Заряды                             431
      §   8.3. Теорема Радона-Никодима          440
      §   8.4. Вычисление интеграла Лебега      447
          Упражнения                            457

4

    Глава 9. Интеграл Лебега-Стилтьеса          459

      §9.1 . Меры Лебега-Стилтьеса. Дополнение  459
      §9.2 . Интеграл Лебега-Стилтьеса          470
      §  9.3. Интеграл Римана-Стилтьеса. Дополнение 480
      §  9.4. Несимметричная теорема Фубини     499
Упражнения                           509
    Список литературы                           511
    Предметный указатель                        515


5

ПРЕДИСЛОВИЕ


    Читатель! Вы наверняка обратили внимание на то, что многие учебные пособия по математике начинаются с изложения основ теории множеств. И такое построение пособий, конечно, не случайно, поскольку математические объекты изучаются не как индивидуумы — каждый в отдельности, а как члены классов или совокупностей, зачастую содержащих бесчисленное множество элементов одного и того же типа; таковы, например, совокупности натуральных чисел, многочленов, прямых на плоскости и т.д.
    Не стала исключением и наша книга: ее первые четыре главы посвящены множествам. Однако нами намеренно включено в них гораздо больше материала, чем это требуется для изучения основ теории функций. Этим мы хотим помочь молодым преподавателям читать курс теории множеств, который в ряде университетов составляет отдельный предмет.
    В пятой главе изложены основы теории меры. Первый шаг на пути развития этой теории в 1898 году сделал Борель,¹ а в 1902 году Лебег² видоизменил его определение так, что оно стало применимо к более широкому классу множеств. В настоящее время существует несколько подходов к изложению теории меры. Мы в основном придерживаемся на этот счет точки зрения А.Н.Колмогорова [23].³
    Шестая глава посвящена интегралу, введенному Лебегом и прославившему его имя. Среди многочисленных путей изложения теории этого интеграла, мы, как и в предыдущей главе, следуем А.Н.Колмогорову.
    Седьмая глава отдана весьма важному классу функций ограниченной вариации и тесно связанному с ним обобще

   ¹ Эмиль Борель (1871 - 1956) — выдающийся французский математик и популяризатор науки.

   ²Анри Лебег (1875 - 1941) — знаменитый французский математик.

   ³ Андрей Николаевич Колмогоров (1903 - 1987) — выдающийся российский ученый и педагог. Один из основателей московской математической школы.

6

 нию интеграла Римана — интегралу Римана-Стилтьеса. Открытый Т. Стилтьесом¹ в конце 19 -го века и поначалу неоцененный, он приобрел новую жизнь в первой половине 20-го века в связи с развитием функционального анализа и появлением различных приложений, где этот интеграл стал широко использоваться. В этой же главе изучается и неопределенный интеграл Лебега, позволяющий установить весьма важные обобщения классических результатов Ньютона и Лейбница относительно связи операций дифференцирования и интегрирования.
    В восьмой главе рассматриваются основные типы мер и зарядов (в частности, абсолютно непрерывных) и описывающая последних теорема Радона-Никодима.
    В девятой, заключительной главе, изучается интеграл Лебега-Стилтьеса, находящий все больше применений в различных разделах как самой математики, так и во многих прикладных вопросах. Мы понимаем его как интеграл по заряду, порожденному некоторой (производящей) функцией ограниченной вариации. При этом стремимся, чтобы его свойства, что особенно важно для прикладников, были выражены через эту функцию. Здесь же приводим и некоторые свойства повторных интегралов, в частности, теоремы об изменении порядка интегрирований, играющих большую роль в функциональном анализе (при построении сопряженных операторов), а также при вычислении кратных интегралов.
    Таким образом, пособие состоит из девяти глав. Все они разбиты на параграфы, в каждом из которых принята своя нумерация утверждений, определений и формул. Например, слова ”по теореме 2.6.3” означают, что речь идет о теореме 3 из шестого параграфа второй главы. При ссылках на материал внутри главы ее номер опускается. Конец доказательств помечен знаком □. В конце каждой главы помещены упражнения.
    Автор будет весьма признателен за все критические замечания, направленные на улучшение пособия.

Ю. Смолин

    ¹ Томас Иоаннес Стилтьес (1856 - 1894) — голландский математик.

7

ГЛАВА 1


ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ


    Теория множеств была создана трудами математиков 19-го века, поставивших своей целью разработку оснований математического анализа. Первые работы в этой области были посвящены числовым множествам и множествам функций, и только основатель теории множеств Г.Кантор¹ сделал решительный шаг, начав рассматривать произвольные множества.
    Идеи Кантора показались современникам настолько необычными, что буквально с момента появления теории множеств математики разделились на два лагеря, представители одного из которых на дух не переносили эту теорию (Л.Кронекер ² считал Кантора самым большим еретиком), а другие ее не менее энергично поддерживали (Д.Гильберт³ говорил, что никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором).
    Дискуссии по поводу теории множеств то затухали, то разгорались с новой силой. Так, важным подспорьем для сторонников Кантора явилась построенная в 1902 г. А.Лебегом теория меры. Не успокаивались и противники теории множеств, взяв на вооружение парадокс, открытый Б.Расселом ⁴ в 1903 г. Суть его состоит в следующем. Определим А как множество, элементами которого являются множества, не содержащие себя в качестве своего элемента. Тогда, если предположить, что А не принадлежит множеству Л, то, по определению, множество А принадлежит Л, и приходим к противоречию. Если же предположить, что Л принадлежит множеству Л, то, по определению, множество Л не принадлежит Л, и вновь возникает противоречие.


   ¹ Георг Кантор (1845 - 1918) — выдающийся немецкий математик.

   ²Леопольд Кронекер (1823 - 1891) — видный немецкий математик.

   ³ Давид Гильберт (1862 - 1943) — знаменитый немецкий математик.

   ⁴Бертран Рассел (1872 - 1970) — крупный английский философ, математик и общественный деятель.

8

    Споры поутихли, когда некоторые математики заключили отсюда, что при рассмотрении множеств нельзя безоговорочно полагаться на интуицию, а необходимо поставить теорию множеств на твердую почву, которой издревле считался аксиоматический подход (вначале принимается некоторая система аксиом, а затем на ее основе строго доказываются все положения теории). В результате в 1908 г. были опубликованы две очень интересные аксиоматические теории множеств, построенные независимо друг от друга Б.Расселом и Э.Цермело.¹ В дальнейшем многие ученые пересматривали и изменяли обе теории, но в основном они сохранились до наших дней [10].
    В настоящее время существуют несколько теорий множеств, основанных на той или иной системе аксиом и называемых формальными, и ’’наивная” теория множеств, излагаемая нами. Читателя же, заинтересованного в более глубоком освоении этой интересной и важной отрасли математики, мы отсылаем к списку литературы, помещенному в конце книги, и прежде всего к работе [27].




§ 1.1. Операции с множествами

    Множество — одно из важнейших первичных (не определяемых) понятий математики. Представление о множестве дает совокупность объектов произвольной природы (элементов множества), воспринимаемая как единое целое (например, множество студентов в аудитории, множество точек на плоскости, множество звезд во вселенной и т.д.).²
    Если множество содержит конечное число элементов, то оно называется конечным; в противном случае — бесконечным. Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0.
    Непустые множества будем обозначать прописными печатными латинскими буквами: Л, В,..., а их элементы — также латинскими буквами, но малыми. При необходимости указать, из каких элементов состоит множество, для

    ¹ Эрнст Цермело (1871 - 1953) - немецкий математик.

   ²Вместо слова ’’множество” будем также говорить ’’совокупность, класс, семейство” и др.

9

 его обозначения мы будем пользоваться выражениями вида {а, &,...}. Запись ”а € А” означает, что а является элементом множества А (элемент а принадлежит множеству А).
    Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. При этом пишут А = В. Если все элементы множества А являются одновременно и элементами множества В, то говорят, что множество А содержится в множестве В (является подмножеством множества В). Считают, что любое множество А является подмножеством самого себя и содержит 0 в качестве своего подмножества (так как отсутствуют элементы множества 0, не принадлежащие А). Отметим, что множество {0} имеет своим элементом пустое множество 0 и потому непусто.
    Множества А и 0 называются несобственными подмножествами множества А, а все остальные его подмножества — собственными. Запись А С В означает, что А является собственным подмножеством множества В (содержится в В). Если же А либо является собственным подмножеством множества В, либо совпадает с В, то пишут А С В. Знаки ” С ” и ” С ” называются включениями.
    С множествами можно производить алгебраические операции, напоминающие операции с целыми неотрицательными числами. Рассмотрим некоторые из них.
    Определение 1.1. Множество
               АА В = {х \ х Е A\J х Е В} называется суммой (объединением) множеств А и В, а операция ” U ” — их сложением.¹


     Пример 1. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {2, 3,4}. Тогда
AUB = {1,2,3,4}.


    ¹ Символы ” Л ” V ” читаются как ”и”, ”или” соответственно.
   Ниже на рисунках, называемых диаграммами Эйлера - Венна, результат применения рассматриваемой операции изображается в виде заштрихованной области.

10