Метод и искусство математического моделирования

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования

1

К.Э. Плохотников

МЕТОД И ИСКУССТВО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

Курс лекций

Москва

Издательство «ФЛИНТА» 

2017

2-е издание, стереотипное

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

2

УДК 519.8(042.4) 
ББК  22.12я73 
          П39 

Плохотников К.Э. 

П39
      Метод и искусство математического моделирования [Электронный  ресурс]:  
курс лекций / К.Э. Плохотников.  — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2017. —  519 с. 
ISBN 978-5-9765-1541-3 

В основу курса положены ответы на вопросы: что такое (математическая) модель? 
как она возможна? и некоторые другие вопросы. В курсе изложена общая методология
метода математического моделирования, а также ряд фактурных моделей из различных
областей научной деятельности. В курсе устанавливается соответствие методологических
детерминантов моделирования и конкретики затронутых предметных областей. В полной
мере формализовать процесс генерации моделей не удается. Математические модели, 
представленные в курсе можно поделить на два больших класса: модели из
естественнонаучных областей и общественных наук. К естественнонаучным относятся
модели: пространственных 
миграций 
планктонных 
организмов, 
морфогенеза, 
термогеометрической динамики конечного кристалла, электромагнитного коллектора, 
турбулентности, общей циркуляции атмосферы, дискретного пространства времени и
квантовой электродинамики. К математическим моделям общественных наук относятся: 
нормативная модель глобальной истории, модель политики с позиции силы, 
психофизическая модель.  

Для студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся в
естественнонаучных областях. Он также может оказаться полезным преподавателям в
таких областях, как моделирование, уравнения математической физики, вычислительные
методы, компьютерные науки, информационные технологии. 

УДК 519.8(042.4) 
ББК  22.12я73 

ISBN 978-5-9765-1541-3
© Плохотников К.Э., 2017 

© Издательство «ФЛИНТА», 2017 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
3

 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................. 7 

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР КУРСА ЛЕКЦИЙ “МЕТОД И ИСКУССТВО 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ” ...............................................................7 

Лекция №1 ............................................................................................................. 11 

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ..............................11 

§1. Историческая ретроспектива.................................................................................................................11 
§2. Формальное определение математического моделирования...........................................................14 
§3. Неформальное толкование математического моделирования ........................................................22 

Лекция №2 ............................................................................................................. 32 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МИГРАЦИЙ ПЛАНКТОННЫХ 
ОРГАНИЗМОВ.......................................................................................................................32 

§1. Введение .....................................................................................................................................................32 
§2. Динамика преследования-убегания для двух особей: одного хищника и одной жертвы ...........35 
§3. Кинетические уравнения и гидродинамическое приближение в описании биоценоза...............37 
§4. Преследование-убегание на примере двух видов ...............................................................................40 
§5. Преследование-убегание, диффузия и источники ..............................................................................47 
§6. “Энергетический” биоценоз....................................................................................................................54 
§7. Заключение................................................................................................................................................61 

Лекция №3 ............................................................................................................. 62 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МОРФОГЕНЕЗА ......62 

§1. Введение .....................................................................................................................................................62 
§2. Рост отдельной ткани...............................................................................................................................64 
§3. Баланс вещества в пределах растущей ткани.....................................................................................67 
§4. Одномерное приближение.......................................................................................................................68 
§5. Рост одномерной ткани. Вычислительный эксперимент .................................................................75 
§6. Моделирование роста трех связанных одномерных тканей.............................................................82 
§7. Заключение................................................................................................................................................88 

Лекция №4 ............................................................................................................. 89 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ КОНЕЧНОГО 
КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА .................................................................................89 

§1. Введение .....................................................................................................................................................89 
§2. Как возможен конечный кристалл при нулевой температуре? ......................................................91 
§3. Двухвременной формализм ....................................................................................................................97 
§4. Окрестность нулевой температуры ....................................................................................................103 
§5. Вычислительный эксперимент на примере моделирования реконструкции 
поверхности (100)Pt......................................................................................................................................107 
§6. Вычислительный эксперимент на примере моделирования реконструкции 
поверхности (100)W......................................................................................................................................116 
§6. Заключение..............................................................................................................................................129 

Лекция №5 ........................................................................................................... 131 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТОРА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ 
ЭНЕРГИИ..............................................................................................................................131 

§1. Введение ...................................................................................................................................................131 
§2. Постановка задачи..................................................................................................................................133 
§3. Приемник шума......................................................................................................................................135 
§4. Численное решение уравнений приемника шума............................................................................136 
§5. Коллектор электромагнитной энергии...............................................................................................141 
§6. Численное решение уравнений коллектора ......................................................................................142 
§7. Источники энергии, отличающиеся от белого шума.......................................................................146 
§8. Заключение..............................................................................................................................................149 

Лекция №6 ........................................................................................................... 151 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ 
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ........................................................................................................151 

§1. Введение ...................................................................................................................................................151 
§2. Исследование потенциала взаимодействия.......................................................................................156 
§3. Вывод и решение основного кинетического уравнения..................................................................161 
§4. Исследование вопроса об измеряемости.............................................................................................168 
§5. Пример расчета турбулентного течения жидкости в трубе............................................................174 
§6. Заключение..............................................................................................................................................182 

Лекция №7 ........................................................................................................... 184 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЩЕЙ ЦИРКУЛЯЦИИ АТМОСФЕРЫ...............................184 

§1. Введение ...................................................................................................................................................184 
§2. Вывод основных уравнений .................................................................................................................185 
§3. Трехмерная модель движения атмосферы.........................................................................................199 
§4. Меридиональная модель движения атмосферы...............................................................................211 
§5. Заключение..............................................................................................................................................225 

Лекция №8 ........................................................................................................... 227 

ДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ И КВАНТОВАЯ 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА .....................................................................................................227 

§1. Введение ...................................................................................................................................................227 
§2. Одномерные пространства ...................................................................................................................235 
§3. Многомерные пространства.................................................................................................................237 
§4. Скалярное вещественное поле.............................................................................................................243 
§5. Электромагнитное поле.........................................................................................................................249 
§6. Спинорное поле.......................................................................................................................................250 
§7. Взаимодействие электромагнитного и спинорного полей..............................................................253 
§8. Примеры расчета некоторых эффектов.............................................................................................256 
§9. Заключение..............................................................................................................................................262 

Лекция №9 ........................................................................................................... 264 

КОНЕЧНОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ И КВАНТОВАЯ 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА .....................................................................................................264 

§1. Введение ...................................................................................................................................................264 
§2. Различные примеры пространств.......................................................................................................266 
§3. Взаимодействие электромагнитного и спинорного полей..............................................................269 
§4. Одномерная модель................................................................................................................................272 
§5. Код поля-пространства-времени .........................................................................................................276 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
5

§6. Заключение..............................................................................................................................................278 

Лекция №10 ......................................................................................................... 281 

НОРМАТИВНАЯ МОДЕЛЬ ГЛОБАЛЬНОЙ ИСТОРИИ ..........................................281 

§1. Введение ...................................................................................................................................................281 
§2. Политические характеристики актора...............................................................................................285 
§3. Выбор доктрины.....................................................................................................................................291 
§4. Ресурсные ограничения.........................................................................................................................295 
§5. Моделирование истории........................................................................................................................297 
§6. Этика акторов .........................................................................................................................................302 
§7. Выбор........................................................................................................................................................310 
§8. Заключение..............................................................................................................................................317 

Лекция №11 ......................................................................................................... 319 

ПУТЬ СИЛЫ. РОЛЬ НАУКИ В ЭСХАТОЛОГИЧЕСКОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ........319 

§1. Введение ...................................................................................................................................................319 
§2. Что движет нами?...................................................................................................................................319 
§3. Что нам мешает осуществить Выбор?................................................................................................322 
§4. Что помогает нам в Пути? ....................................................................................................................323 
§5. Саркофаг ..................................................................................................................................................326 

Лекция №12 ......................................................................................................... 329 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИЛЫ В ГЛОБАЛЬНОЙ ПОЛИТИКЕ.............329 

§1. Введение ...................................................................................................................................................329 
§2. Параметризация выбора отдельного патома (геопатома) ..............................................................330 
§3. Струна силы отдельного патома .........................................................................................................333 
§4. Струна силы ансамбля патомов ..........................................................................................................342 
§5. Динамика струны силы ансамбля патомов.......................................................................................345 
§6. Заключение..............................................................................................................................................351 

Лекция №13 ......................................................................................................... 353 

ПСИФИЗИКА: К ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОПЕРАТОРА С 
УСТРОЙСТВОМ .................................................................................................................353 

§1. Предыстория и введение в модель ......................................................................................................353 
§2. Устройство. Предварительное определение......................................................................................361 
§3. Устройство. Завершающее определение ............................................................................................370 
§4. Псиатом ....................................................................................................................................................376 

Лекция №14 ......................................................................................................... 390 

ПСИФИЗИКА: К ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОПЕРАТОРА С 
УСТРОЙСТВОМ. II ............................................................................................................390 

§1. Оператор. Предварительное определение..........................................................................................390 
§2. Оператор. Завершающее определение................................................................................................404 
§3. Заключение..............................................................................................................................................430 

Лекция №15 ......................................................................................................... 435 

ПСИХОДИНАМИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ИСТОРИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА .............435 

§1. Введение ...................................................................................................................................................435 
§2. Властно-волевая инфраструктура политической конфигурации.................................................436 
§3. Сценарии максимизации силы в ансамбле патомов .......................................................................447 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
6

§4. Заключение..............................................................................................................................................451 

Лекция №16 ......................................................................................................... 454 

ОТ ПСИХОФИЗИКИ К ПСИ-ПАРАДИГМЕ. О ДЕМАРКАЦИОННОЙ ЛИНИИ 
МЕЖДУ НАУКОЙ И ПАРАНАУКОЙ............................................................................454 

§1. Введение ...................................................................................................................................................454 
§2. Психофизика............................................................................................................................................455 
§3. Пси-парадигма ........................................................................................................................................456 
§4. Паранаука ................................................................................................................................................458 
§5. Псифизика. Модель взаимодействия оператора с устройством....................................................460 
§6. Заключение..............................................................................................................................................465 

Лекция №17 ......................................................................................................... 467 

ОСНОВЫ ПСИХОРЕЗОНАНСНОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ: 
ПСИАТОМ, ПСИКНОПКА, ПСИКОМПЬЮТЕР........................................................467 

§1. Футурология человеко-компьютерных интерфейсов......................................................................467 
§2. Псикомпьютер.........................................................................................................................................477 
§3. Псикнопка................................................................................................................................................478 
§4. Псиатом. Первое материальное воплощение....................................................................................486 
§5. Псиатом. Второе материальное воплощение ....................................................................................497 
§6. Заключение..............................................................................................................................................508 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................................. 510 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
7

 

ВВЕДЕНИЕ 

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР КУРСА ЛЕКЦИЙ “МЕТОД И 
ИСКУССТВО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ” 

елью данного курса является развитие у студентов навыков и вкуса к методу математического моделирования. Наряду с вычислительным экспериментом, программированием и рядом других методов, математическое моделирование входит в число важнейших в арсенале современных информационных технологий получения нового знания. 
Одна из целей данного курса лекций состоит в том, чтобы на ряде примеров в деталях проследить за тем, как создается математическая модель, как 
она используется и как выносится вердикт о степени ее адекватности объекту 
исследования. Ставится также цель выделить те общие принципы, которые 
обычно лежат за фасадом фактурных особенностей генезиса конкретных математических моделей. Кроме того большое количество различных математических моделей в рамках некоторой предметной области и их несогласованность между собой представляет серьезное препятствие в развитии математического моделирования. Разрешение данной проблемы явилось еще одной целью данного курса. Представленный перечень целей нашел свое выражение в формулировке оригинальных определений математического моделирования и математической модели объекта исследования. Под искусством 
математического моделирования подразумеваются творческие, креативные 
способности субъекта-модельера. Формализация творческих способностей 
субъекта-модельера возможна лишь отчасти. За фасадом любой математической модели всегда находится субъект-создатель, преследующий свои, в основном властно-волевые потребности по овладению либо фрагментом природы, либо фрагментом социальной реальности. 
В курсе обсуждаются как естественнонаучные, так и модели, относимые к общественным дисциплинам. В этом одно из заметных отличий данного курса, т.к. дается сквозной, универсальный взгляд на ряд природных и социальных процессов. Аспект математического моделирования в части общественных наук несет еще одну важную нагрузку. Он нацелен на выявление и 
обсуждение тех разделов в науке, которые обладают наивысшим социальным 
приоритетом. 
Данный курс лекций является модернизацией прежних публикаций автора1. Модернизация затронула модели из области математической биологии, 
твердого тела и сплошной среды. Была также несколько модифицирована 

                                                            
1ПлохотниковК.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Методология и 
практика. ⎯ М.: Эдиториал УРСС, 2003. 282с.; Плохотников К.Э. Эсхатологическая стратегическая инициатива: Исторический, политический, психологический и математический комментарии. — М.: Изд-во МГУ, 
2001. 182с.; Плохотников К.Э. Нормативная модель глобальной истории. — М.: Изд-во МГУ, 1996.; Плохотников К.Э. Математическое моделирование. Экзистенциальный аспект. — М.: Изд-во МГУ, 1993. 224с. 

Ц 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
8

прежняя методология математического моделирования2,. Новая методология 
математического моделирования представлена в лекции №1. Кроме того в 
курс включены две новые лекции №16, №17. 
Приведем тематический обзор курса лекций. 
Лекция №1. Методология математического моделирования. Общее философско-методологическое введение. Системный подход. Анализ термина 
модель. Модель — сверхмодель, моделирование — сверхмоделирование. 

Лекция №2. Математическая биология. Цепочки кинетических уравнений на примере моделирования пространственных миграций планктонных 
организмов. Суточный ритм движения планктонных организмов. 

Лекция №3. Математическая 
биология. 
Модели 
типа 
“реакциядиффузия” на примере математического моделирования формообразования 
(другой термин — “морфогенез”) в биологии. Морфогенез, моделирование 
эмбрионального развития живых организмов. 

Лекция №4. Твердое тело. Метод молекулярной динамики на примере 
построения модели описания термогеометрической динамики конечного 
кристаллического образца. Проблема дальнего порядка. 

Лекция №5. Энергетика. Разработка математической модели коллектора некогерентной распределенной в пространстве электромагнитной энергии. 
Ректенная решетка. 

Лекция №6. Сплошная среда. Анализ уравнений сплошной среды с 
точки зрения их полноты в описания турбулентности.Моделирование турбулентного движения жидкости (газа) с помощью кинетического уравнения 
Больцмана. Уравнения гидродинамического типа для описания совместных 
течений, как ламинарных, так и турбулентных. 

Лекция №7. Сплошная среда. Синтез подходов Эйлера и Лагранжа на 
примере описания общей циркуляции атмосферы. Глобальная атмосферная 
циркуляция. 

Лекция №8. Теория поля.Квантовая электродинамика на примере моделирования дискретного пространства-времени в счетно-бесконечном варианте. Последовательный отказ от континуума в описании пространствавремени. 

Лекция №9. Теория поля. Продолжено исследование дискретного пространства-времени, когда число точек-событий исчерпывается конечным 
множеством. Строится аналог квантовой электродинамики в конечном дискретном пространстве-времени. Вводится понятие “code” комплекса “полепространство-время”. Аналитически исследуются простейшие одномерные 
модели. 

Лекция №10. Моделирование истории. Глобальная (гео)политическая 
система. Первое, элементарное толкование понятия свободы, ее исчисление. 

                                                            
2Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: методология и 
практика// Интеллектуальные системы. 2009. Т.13. Вып.1-4. С.5 — 32; Плохотников К.Э. Математическое 
моделирование и вычислительный эксперимент. Методология и практика. Научная конференция “Ломоносовские чтения”. Секция физики. 18-25 апреля 2003 г. Сборник расширенных тезисов докладов. ⎯ М.: Физический факультет МГУ, 2003. С.27 ⎯ 29. 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
9

Идентификация двух глобальных метаисторических целей ⎯царств свободы 
и необходимости. Моделирование истории, правое и левое в политике, традиция, инновация, прогресс. Актор ⎯ “действователь”, игрок, актер, лицо 
принимающее решение. Нравственный кодекс, категорический императив 
актора. Осознание выбора между царствами свободы и необходимости ⎯ 
второе, более глубокое толкование понятия свободы. Пространство и время 
акторов. Выбор из двух глобальных метаисторических целей во всей своей 
полноте ⎯ третье, высшее проявление свободы. Рациональный дискурс, иррациональная интуиция ⎯ методологические основы двух глобальных метаисторических целей. Метаэтика исхода выбора. 

Лекция №11. Политические детерминанты научной деятельности. Путь 
силы. Роль науки в эсхатологической перспективе. Эсхатология ⎯ религиозно-нравственное учение о конце истории. Силовая природа современной 
науки. Наука ⎯ нечто большее, чем знание, знание ⎯ нечто большее, чем 
сила. Религиозные детерминанты пути силы. Силовые детерминанты научной деятельности. Концепция “саркофага” ⎯ сумма экзистенциальных притязаний западной цивилизации. 

Лекция №12. Моделирование политики.К теории силы в глобальной 
политике. Ансамбль акторов с точки зрения их выбора из двух глобальных 
метаисторических целей. Целеполагающее единство ⎯ все, конечная цель ⎯ 
ничто. “Струна” силы отдельного актора и ансамбля акторов в целом. Построение уравнения силового поля в политике. Неограниченное наращивание 
силы ⎯ высшее проявление политики. 

Лекция №13. Психофизика.Псифизика: к теории взаимодействия оператора с устройством. Математическая модель. Рефлексивный механизм переотражения оператором объективной реальности. Воля, сила, власть и свобода 
— центральные экзистенциальные ингредиенты субъекта-оператора. Первое 
и второе определения понятия “устройство”. Определение элементарного 
оператора, названого псиатомом. 

Лекция №14. Психофизика. Первое и второе определения “оператора”. 
Взаимодействие оператора с устройством сводится к проблеме изучения власти. Исчисление власти. 

Лекция №15. Психофизика + политика. Актор истолковывается как 
оператор, взаимодействие которого с устройством сводится к проблеме изучения природы власти. Пример расчета на компьютере глобальной геополитической конфигурации на предмет анализа ситуации неограниченного наращивания силы в политике. Психофизический аспект исторической динамики. Реальна или номинальна такая политическая организация, как ООН? 

Лекция №16. Методология научной деятельности. От психофизики к 
пси-парадигме. О демаркационной линии между наукой и паранаукой. 

Лекция №17. Психорезонансные электронные устройства. Моделирование, проектирование, схемотехника. 
По материалам данного курса прочитаны спецкурсы: “Глобальное моделирование в истории и политике: научные и религиозные детерминанты”, 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
10

2001 г. на ф-те ВМ и К МГУ; “Метод и искусство математического моделирования”, 2002 — 2012 гг. на физическом факультете МГУ. Часть результатов, представленных в данном курсе лекций была поддержана двумя грантами РФФИ: “Законы коэволюции сложных систем и будущее человечества”, 
2001 — 2003 гг. (№ 01-06-80204); “Глобальное прогнозирование коэволюции 
многомерных структур: сценарии развития психо- и социосферы человечества”, 2004 — 2006 гг. (№04-06-80254).