Занимательная математика. Производные и интегралы

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ  МАНГА

З А НИМ А Т Е Л Ь НА Я М А Т Е М А Т ИКА

ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ

М А Н Г А

Норико - начинающий репортёр. После обучения её направили 

в одно из отделений газеты «Асагакэ Таймс». Норико жаждет освещать в своих репортажах самые волнующие проблемы мировой 
политики и экономики, но хватит ли ей для этого опыта и знаний? 
Её непосредственный начальник, Сэки-сан, решил научить её анализировать происходящие в политике и экономике события, используя математику.

Читая эту книгу, вы вместе с Норико будете осваивать осно
вы дифференциального и интегрального исчисления и поймёте, 
что эти знания пригодятся не только для проведения сложных 
научных расчётов. Приводя примеры из реальной жизни, такие как 
вероятность событий, кривые спроса и предложения в экономике, 
загрязнение окружающей среды и даже плотность распределения 
спирта в стакане, автор показывает, что производные и интегралы помогают глубже разобраться в самых разных проблемах, 
возникающих в нашей жизни.

В ходе обучения вы узнаете:
 что такое производная и как с её помощью определять 

скорость изменения функции;

 как связаны между собой производная и интеграл;
 как интегрировать и дифференцировать сложные функции;
 что такое частные производные, и как с их помощью нахо
дить интегралы и производные функций нескольких переменных;

 как с помощью разложения в ряд Тейлора можно заменить 

трудную для анализа функцию степенным многочленом.

Книга будет полезна учащимся старших классов школ, студен
там вузов, а также всем, кто интересуется математикой и хочет, 

чтобы обучение было лёгким и увлекательным.

О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н А Я   М А Н Г А
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
МАНГА

ПРОИЗВОДНЫЕ
И ИНТЕГРАЛЫ

9 785970 601549

ISBN 978-5-97060-154-9

Интернет-магазин: www.dmkpress.com

Книга-почтой: orders@alians-kniga.ru

Оптовая продажа: “Альянс-книга“ 
(499)782-3889. books@alians-kniga.ru

Хироюки Кодзима
Син Тогами

Хироюки Кодзима

Син Тогами

Becom Co.

Занимательная математика
Производные и интегралы

Манга

О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н А Я  М А Н Г А

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ПРОИЗВОДНЫЕ
И ИНТЕГРАЛЫ

Хироюки Кодзима
Cин Тогами

Перевод

Анненковой Е. А.

Москва

Додэка, ДМК Пресс, 2015

УДК 517
ББК 22.161.6

К57
Кодзима, Хироюки.

К57
Занимательная математика. Производные и интегралы / Хироюки 

Кодзима (автор), Cин Тогами (худож.) ; пер. с англ. Анненковой Е. А. — 
М. : ДМК Пресс, 2015. — 240 с. : ил. — (Образовательная манга). — 
Доп. тит. л. яп. — ISBN 978-5-97060-154-9.
I. Тогами, Син.
II. Анненкова, Е. А., пер.

Норико — начинающий репортёр. После обучения её направили в одно из отделений газеты «Асагакэ Таймс». Норико жаждет освещать в своих репортажах самые 
волнующие проблемы мировой политики и экономики, но хватит ли ей для этого 
опыта и знаний? Её непосредственный начальник, Сэки-сан, решил научить её анализировать происходящие в политике и экономике события используя математику.
Читая эту книгу, вы вместе с Норико будете осваивать основы дифференциального и интегрального исчисления и поймёте, что эти знания пригодятся не только 
для проведения сложных научных расчётов. Приводя примеры из реальной жизни, 
такие как вероятность событий, кривые спроса и предложения в экономике, загрязнение окружающей среды и даже плотность распределения спирта в стакане, автор 
показывает, что производные и интегралы помогают глубже разобраться в самых 
разных проблемах, возникающих в нашей жизни.
В ходе обучения вы узнаете:
• что такое производная и как с её помощью определять скорость изменения 
функции;
• как связаны между собой производная и интеграл;
• как интегрировать и дифференцировать сложные функции;
• что такое частные производные, и как с их помощью находить интегралы и 
производные функций нескольких переменных;
• как с помощью разложения в ряд Тейлора можно заменить трудную для анализа функцию степенным многочленом.
Книга будет полезна учащимся старших классов школ, студентам вузов, а также 
всем, кто интересуется математикой и хочет, чтобы обучение было лёгким и увлекательным.

УДК 517
ББК 22.161.6

Все права защищены. Никакая часть этого издания не может быть воспроизведена в любой 
форме или любыми средствами, электронными или механическими, включая фотографирование, 
ксерокопирование или иные средства копирования или сохранения информации, без письменного 
разрешения издательства.
Книга «Занимательная математика. Производные и интегралы» Хироюки Кодзимы и Сина Тогами подготовлена и издана по договору с Ohmsha Ltd.

ISBN 978-4-274-06632-0 (яп.)                    Copyright © 2005 by Hiroyuki Kojima and Becom Co.
ISBN 978-5-94120-228-7 (Додэка)               © Перевод, Издательский дом «Додэка-XXI», 2011
ISBN 978-5-97060-107-5 (ДМК Пресс)      © Издание, ДМК Пресс, 2015

Есть некоторые вещи, подвластные только манге*.
Если вы открыли эту книгу, то вы принадлежите к одному из следующих типов людей:
Первые — те, кто просто любит мангу и думает: «Математические выкладки, описанные с помощью манги? Потрясающе!» Если вы принадлежите их числу, то немедленно отнесёте эту книгу на 
кассу — и не пожалеете. У этой манги очень привлекательные рисунки. И неудивительно: их нарисовал популярный художник манги Син Тогами, а сценарий написала Бэком Лтд. — компания, 
производящая настоящую мангу.
Вы можете возразить: «Манга, обучающая математике, не может быть интересной». На первый 
взгляд, это так. Когда в издательстве «Омша» (Ohmsha) меня попросили написать эту книгу, я почти отказался. Многие из так называемых «обучающих манг» разочаровывают. В них может быть 
огромное количество рисунков, но они не являются настоящей мангой. Но после того, как я увидел мангу «Омшы» (это была манга по статистике), я передумал. Её действительно  было приятно 
читать. Издатель сказал, что моя книга будет такой же, поэтому я принял его предложение. Я и 
раньше часто думал, что мог бы лучше преподавать математику, используя мангу, так что это была 
хорошая возможность проверить мою идею. Я гарантирую, что чем большим фанатом манги вы 
являетесь, тем больше вам понравится эта книга. Так чего же вы ждёте? Cейчас же yесите её на кассу и покупайте!
Второй тип людей — это те, кто взял эту книгу с мыслями: «Хоть математика и внушает мне ужас 
и/или у меня на неё аллергия, манга может помочь мне её понять.» Если вы из их числа, то эта книга для вас. Она не просто объясняет дифференциальное и интегральное исчисление с помощью 
манги, но и сам способ объяснения основательно отличается от используемого в традиционных 
учебниках. Во-первых, книга даёт представление о том, что именно делает дифференциальное и 
интегральное исчисление и для чего оно нужно. Пока вы этого не поймёте, вы не сможете его правильно использовать. Вы просто окажетесь в жалком положении зазубривания формул и правил. 
Эта книга объясняет все формулы, основанные на идее приближения первого порядка, помогая 
вам визуализировать значение формул и с лёгкостью их понять. Благодаря этому уникальному методу обучения вы можете быстро и легко перейти от дифференцирования к интегрированию. Более того, я позаимствовал оригинальный метод объяснения дифференцирования и интегрирования тригонометрических и показательных функций, который не описывается в обычных учебниках, — обычно это остаётся какой-то тарабарщиной для многих людей даже после многократных 
объяснений. Эта книга также идёт дальше, объясняя даже разложение в ряд Тейлора и определение частной производной. Наконец, я привлёк трёх постоянных потребителей исчисления: физику, статистику и экономику, чтобы они составили часть этой книги, предоставив множество примеров практического примененеия дифференциального и интегрального исчисления. Благодаря 
всем этим уловкам вы сможете воспринимать исчисление не как трудную науку, а как полезный 
инструмент.
Я опять же подчеркну: всё это стало возможным благодаря манге. Почему при чтении манги вы 
можете получить больше информации, чем при чтении романа? Потому что манга — это визуальные данные, представленные в виде комиксов. Исчисление — это ветвь математики, описывающая 
динамические явления. Таким образом, изучение дифференциального и интегрального исчисления с помощью манги является отличной идеей. Теперь переверните страницу и насладитесь красивой мангой по дифференцированию и интегрированию.
Хироюки Кодзима
Ноябрь 2005

* Манга — японские комиксы.

Предисловие

V

содержание

Пролог.
ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ.............................................................1

Глава.1.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМ ФУНКЦИИ!........................................ 15

1.1....Аппроксимация.функций..................................................... 16
1.2....Относительная.погрешность............................................. 27
1.3....Применение.производных................................................ 32
1.4....Вычисление.производной.................................................. 39
1.5....Упражнения.к.главе.1............................................................ 41

Глава.2.
ИЗУЧАЕМ ПРИЁМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ!..... 43

2.1....Производная.суммы.функций.......................................... 48
2.2....Производная.произведения.функций............................ 53
2.3....Дифференцирование.многочленов................................ 62
2.4....Нахождение.максимумов.и.минимумов....................... 64
2.5....Теорема.о.среднем.............................................................. 72
2.6....Производная.частного.от.деления.функций............... 74
2.7....Производная.сложной.функции...................................... 75
2.8....Производная.орбратной.функции................................... 75
2.9....Формулы.для.дифференцирования................................ 76
2.10...Упражнения.к.главе.2......................................................... 76

VI
Содержание

Глава.3.
ИНТЕГРИРУЕМ ФУНКЦИИ!................................................. 77

3.1....Найдём.концентрацию.спирта......................................... 82
3.2....Основная.теорема.интегрирования.................................. 91
3.3....Применение.формул.интегрирования.......................... 95
3.4....Применение.основной.теоремы.интегрирования.... 101
3.5....Сводка.по.основной.теореме.интегрирования........... 110
3.6....Упражнения.к.главе.3......................................................... 112

Глава.4.
ИЗУЧАЕМ ПРИЁМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ!.............. 113

4.1....Танцы.и.тригонометрические.функции....................... 114
4.2....Косинус.и.тень......................................................................120
4.3....Интегрирование.тригонометри.ческих.функций.......123
4.4....Показательная.и.логарифмическая.функции............129
4.5....Обобщение.показательной.и.логарифмической.

функций..................................................................................133

4.6....Свойства.показательной.и.логарифмической.

функций..................................................................................138

4.7....Другие.применения.основных.теорем.........................140
4.8....Упражнения.к.главе.4.........................................................142

Глава.5.
ИЗУЧАЕМ РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ТЕЙЛОРА!.........143

5.1....Асагакэ.Таймс..Главный.офис........................................144
5.2....Как.получить.разложение.в.ряд.Тейлора....................153
5.3....Разложение.различных.функций.в.ряд.Тейлора.......158
5.4....Что.даёт.Разложение.в.ряд.Тейлора..............................159
5.5....Упражнения.к.главе.5.........................................................176

VII
Содержание

Глава.6.
ИЗУЧАЕМ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ!..................177

6.1....Функции.нескольких.переменных..................................178
6.2....Линейные.функции.нескольких.переменных...........182
6.3....Частные.производные........................................................189
6.4....Полные.дифференциалы................................................195
6.5....Условия.существования.экстремумов...........................197
6.6....Применение.частных.производных.в.экономике....200
6.7....Частная.производная.сложной.функции..

Цепное.правило..................................................................204

6.8....Упражнения.к.главе.6.........................................................216

Эпилог.
ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕМАТИКА?..................................217

ПРИЛОЖЕНИЯ..........................................................................223

П.1....Решения.к.упражнениям...................................................224
П.2....Основные.формулы,.теоремы.и.функции................227
П.3....Алфавитный.перечень.....................................................230

VIII
Содержание

ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ
ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ
ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ

ПРОЛОГ
Пролог.

Что такое функция