Интегральные преобразования

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Сибирский федеральный университет

И. А. Антипова, Е. Н. Михалкин, А. К. Цих

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ  
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Учебное пособие

Красноярск 
СФУ 
2018

УДК 517.44(07)
ББК 22.161.2я73
А721

Р е ц е н з е н т ы: 
Е. К. Лейнартас, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций СФУ;
В. А. Степаненко, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей и прикладной математики СФУ

Антипова, И. А.
А721
Интегральные преобразования : учеб. пособие / И. А. Антипова, 
Е. Н. Михалкин, А. К. Цих. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. – 
58 с.
ISBN 978-5-7638-4009-4

Рассмотрены основные интегральные преобразования: Фурье, Радона, Лапласа и Меллина. Впервые в учебной литературе изложены применения интегральных преобразований в томографии и теории алгебраических функций.
Предназначено для студентов магистратуры направления 01.04.01 «Математика» (профиль 01.04.01.01 «Комплексный анализ»). Может быть также полезной для студентов магистратуры направления 01.04.02 «Прикладная математика 
и информатика».

Электронный вариант издания см.:
УДК 517.44(07)
http://catalog.sfu-kras.ru
ББК 22.161.2я73

ISBN 978-5-7638-4009-4
© Сибирский федеральный
университет, 2018

Оглавление

Предисловие
4

Введение
5

Глава 1. Преобразования Фурье и Радона
6
1.1. Истоки понятия «преобразование Фурье» . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Представление функции интегралом Фурье . . . . . . . . . . .
8
1.3. Формулы обращения преобразования Фурье
. . . . . . . . . .
10
1.3.1.
Формулы обращения в классе L1 . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.2.
Многомерное преобразование Фурье . . . . . . . . . . .
12
1.3.3.
Теорема Пэли–Винера . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4. Теорема Котельникова–Шеннона . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5. Томограф. Преобразование Радона и его обращение . . . . . .
16
1.5.1.
Принцип действия томографа . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.5.2.
Преобразование Радона . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6. Задачи для самостоятельного решения
. . . . . . . . . . . . .
19

Глава 2. Преобразование Лапласа
21
2.1. Определение преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2. Формула обращения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3. Вычисление интеграла Меллина . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.4. Применения преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . .
29
2.5. Задачи для самостоятельного решения
. . . . . . . . . . . . .
32

Глава 3. Преобразование Меллина
34
3.1. Прямое преобразование Меллина
. . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2. Преобразование Меллина тэта-функции Якоби . . . . . . . . .
37
3.3. Обратное преобразование Меллина и теоремы обращения
. .
38
3.4. Многомерные преобразования Меллина . . . . . . . . . . . . .
42
3.5. Применения в теории алгебраических уравнений . . . . . . . .
44
3.6. Задачи для самостоятельного решения
. . . . . . . . . . . . .
48

Приложения
50

Заключение
55

Библиографический список
56

3

Предисловие

Настоящее пособие адресовано студентам магистратуры или бакалавриата, которые в некоторой степени уже знакомы с интегральным преобразованием Фурье из математического анализа и курса «Уравнения математической физики».
В главе 1 «Преобразования Фурье и Радона» сделан акцент на применение преобразования Фурье в теории передачи информации по каналу связи (спектральное представление сигнала, теорема Котельникова–Шеннона).
Идеология и стиль изложения указанных применений заимствованы из
учебников В.А. Зорича [7], [8]. Преобразование Радона относится к разделу
интегральной геометрии (не изучаемой в данном пособии), однако оно включено в главу 1 по причине его тесной связи с преобразованием Фурье. Кроме того, теорема об обращении преобразования Радона ярко демонстрирует
принцип действия компьютерного томографа, а также возможности применения интегральных преобразований в геодезии и других задачах естествознания.
В главе 2 «Преобразование Лапласа» освещены свойства этого преобразования (в частности, основы операционного исчисления), знание которых
необходимо для понимания возможных применений в теории дифференциальных уравнений, математической физике и электротехнике.
В третьей главе «Преобразование Меллина» акцент делается на многомерный случай, развитый в статьях авторов пособия. Строятся два класса
функций, которые переводятся друг в друга прямым и обратным преобразованиями Меллина. Эти классы определяются парой выпуклых областей,
одна из которых характеризует степенной порядок роста функции, а другая
– сектор ее аналитичности.
Ввиду ограниченности объема программы, в пособии изучается
небольшой круг свойств интегральных преобразований. Основное внимание
уделяется вопросам аналитических свойств с точки зрения комплексного
анализа. Мы не ставим главной целью обучить студентов навыкам вычислений оригинала сигнала по его изображению, как это обычно делается в
рамках технических наук. При этом, достаточно внимания уделяем теоретическим аспектам наиболее знаковых применений в теории передачи информации, томографии и теории алгебраических функций.
Авторы благодарны В.А. Степаненко и Т.И. Тайгиной за многочисленные замечания, несомненно улучшившие качество пособия.

Ноябрь 2018 г.
И.А. Антипова
Е.Н. Михалкин
А.К. Цих

4

Введение

Функциональные преобразования переводят одну функцию в другую.
Среди них особую роль играют те, которые реализуются посредством интегрирования. Их называют интегральными преобразованиями. Обычно интегральное преобразование определяется своим ядром — функцией K(x, y)
двух переменных или групп переменных x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , ym),
с помощью которого функции f(x) ставится в соответствие функция F(y)
в виде интеграла

F(y) =
X

K(x, y)f(x)dx,

где X — множество, на котором задана функция f(x).
История развития теории интегральных преобразований началась с
работ П.-С. Лапласа и Ж. Фурье. Одним из самых популярных интегральных преобразований в анализе является преобразование Фурье. Оно играет важную роль при обработке сигналов, т.е. в решениях проблем передачи информации. Аналогичными свойствами обладают и все родственные
ему интегральные преобразования (Лапласа, Меллина, Коши, а также более позднее преобразование Радона 1, лежащее в основе принципа действия
компьютерного томографа).
Известно, что большой вклад в популяризацию преобразования Лапласа внёс О. Хевисайд 2, в работах которого было развито так называемое
операционное исчисление, применяемое в математике, технических науках
и теории управления. Следует заметить, однако, что разработки Хевисайда
не всегда сопровождались строгими математическими обоснованиями.
Преобразование Меллина является мощным инструментом в теории
чисел и исследованиях специальных функций математической физики.
Это преобразование, например, переводит тэта-функцию Якоби в дзетафункцию Римана, тем самым, оно устанавливает мост между двумя направлениями математики. В середине прошлого столетия были сформированы
многомерные интегралы Меллина–Барнса, которые являются обратными
преобразованиями Меллина мероморфных функций, рационально конструируемых с помощью гамма-функции Эйлера. Такие интегралы представляют гипергеометрические функции – самый обширный класс среди всех
специальных функций. Преобразования Меллина применяются в асимптотическом анализе и задачах квантовой электродинамики. Кроме того, они
эффективно используются в исследовании решений алгебраических уравнений.

1И. Радон (1887 – 1956) – австрийский математик.

2О. Хевисайд (1850– 1925) — британский инженер.

5

Глава 1.

Преобразования Фурье и Радона

1.1. Истоки понятия «преобразование Фурье»

Спектр и гармонический анализ. Определение преобразования Фурье и интеграла
Фурье. Лит.: [7, гл. XVIII].

В середине XVIII века Д. Бернулли, Ж.Л. Даламбер и Л. Эйлер, изучая некоторые проблемы математической физики, оказались вовлечеными
в жаркие споры по поводу возможности представить более или менее произвольную 2π-периодическую функцию f в виде суммы тригонометрического
ряда. В 1822 году Фурье выразил уверенность в возможности такого представления в своей книге по аналитической теории теплоты. В результате с
именем Фурье стали связывать формулы для коэффициентов тригонометрического разложения заданной функции f в виде ее скалярного произведения с элементами ортогональной тригонометрической системы. Процедуру
сопоставления периодической функции f последовательности ее коэффициентов Фурье стали называть дискретным преобразованием Фурье. Переход
к непрерывному преобразованию Фурье основан на следующем наблюдении.
Рассмотрим T-периодическую функцию f(t), абсолютно интегрируемую на отрезке [−T/2, T/2], которую будем называть cигналом. Разложим
функцию f в тригонометрический ряд Фурье, полагая, что этот ряд сходится к ней самой. Обозначив через Ω = 2π

T величину, называемую частотой,
такой ряд запишется в виде

f(t) = a0

2 +

∞
k=1
ak cos kΩt + bk sin kΩt =

+∞
−∞
ckeikΩt,
(1.1)

где, если положить b0 = 0, коэффициенты ck в комплексной записи ряда
задаются формулами

ck = 1

2(ak − ibk), c−k = 1

2(ak + ibk), k = 0, 1, 2, . . . .

Эти выражения для ck получаются из представлений Эйлера для тригонометрических функций через показательные (экспоненты).
Разложение (1.1) периодической функции (сигнала) в сумму простых
гармонических колебаний – гармоническим анализом функции f, а числа

6