Математика. Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Элементы векторного анализа

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет
Т. А. Позднякова, А. Н. Ботвич
МАТЕМАТИКА
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Учебное пособие
Красноярск
СФУ
2018

УДК 517.556/.559(075.8) 
ББК 22.171я73
П472
Рецензенты: А. Н. Втюрин, доктор физико-математических наук, 
профессор, главный научный сотрудник ИФ СО РАН;
   В. Г. Подопригора, доктор технических наук, профессор, профессор 
кафедры математических методов и информационных технологий СФУ
Позднякова, Т. А.
П472
Математика. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Элементы векторного анализа : yчеб. пособие / Т. А. Позднякова, 
А. Н. Ботвич. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. – 113 c.
ISBN 978-5-7638-3920-3
Изложены основные вопросы теориии интегрального исчисления
функций многих переменных: методы вычисления двойных и тройных,
криволинейных и поверхностных интегралов. Рассмотрены геометрические, механические и физические приложения этих интегралов к решению конкретных задач. Освещены некоторые приложения теории
поля.
Предназначено для студентов энергетических и радиотехнических направлений и срециальностей 13.03.02 «Электроэнергетика и
электротехника», 11.05.01 «Радиотехнические системы и комплексы», 11.03.01 «Радиотехника», 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», 11.03.03 «Конструирование и технология
электронных средств», 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника»,
12.03.01 «Приборостроение», 27.03.05 «Инноватика», 25.05.03 «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования».
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru
УДК 517.556/.559(075.8) 
ББК 22.171я73
©
ISBN 978-5-7638-3920-3
Сибирский федеральный 
университет, 2018

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие посвящено интегральному исчислению функций многих переменных. Для студентов технических специальностей этот
раздел курса высшей математики является одним из наиболее сложных.
Цель предлагаемого учебного пособия — помочь студентам в самостоятельном освоении прикладных аспектов изучаемого раздела.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы и их геометрические, физические и механические приложения широко используются при
решении задач электротехники, радиотехники и др. Изучение интегрального
исчисления функций многих переменных, безусловно, необходимо для овладения методами математического анализа и, что особенно важно для будущих инженеров, навыками применения этих методов к решению конкретных
инженерных и технических задач.
Пособие состоит из восьми глав, в первых четырех главах изложены
основные элементы теории и приемы вычисления кратных, криволинейных
и поверхностных интегралов, приведены примеры решения типовых задач. В
пятой главе предложены задачи для самостоятельной работы (с ответами) и
задания для типового расчета. В шестой и седьмой главах представлены геометрические, механические и физические приложения интегралов к решению
конкретных задач геометрии и физики, приведено решение типовых задач, а
также задачи с ответами для самостоятельной работы студентов. Кроме того,
предложены задания для типового расчета и подробно рассмотрено решение
одного варианта расчета.
В восьмой главе изложены элементы теории поля, математический аппарат, который используется при изучении скалярных и векторных физических полей. В этой главе также представлены задачи с ответами, варианты
типового расчета с подробным решением одного варианта для закрепления
изученного материала.
Основные формулы и теоремы для лучшего их понимания сопровождаются комментариями и конкретными примерами, позволяющими подробно
раскрыть содержание вводимых понятий, физический смысл теорем и формул. Большое количество решенных и проиллюстрированных задач делает
это издание полезным как для самостоятельной работы, так и для практических занятий студентов в учебной аудитории.
Углубленное изучение материала может быть продолжено с использованием литературы, предложенной в библиографическом списке.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1.1. Прямоугольная декартова система координат
Пусть область D на плоскости такова, что прямые, параллельные осям
координат, пересекаются с контуром области D не более чем в двух точках.
Такая область называется правильной. Тогда двойной интеграл сводится к повторному по одной из формул:
f(x, y)dxdy=
f(x, y)dy
f(x, y)dy,
(1)



b

y2(x)

b

y2(x)

a
a
dx
D
y1(x)
y1(x)



dx=
f(x, y)dxdy=
f(x, y)dx
f(x, y)dx.
(2)



d

x2(y)

d

x2(y)

c
c
dy
D
x1(y)
x1(y)



dy=
Чтобы применить формулу (1), нужно выполнить следующие действия.
1. Спроектировать область D на ось Ox. Как видно из рис. 1, проекцией
будет отрезок [a, b].
Рис. 1
Рис. 2
2. Найти уравнения линий, которые ограничивают область D снизу и
сверху: y=y1(x), y=y2(x) соответственно.
3. Вычислить внутренний интеграл в правой части формулы (1), считая x постоянным и применяя формулу Ньютона — Лейбница. Полученный
результат является подынтегральной функцией внешнего интеграла.
4. Вычислить внешний интеграл.
При использовании формулы (2) действия аналогичны, причем пределы для внутреннего и внешнего интегралов находятся так, как показано
на рис. 2.
Замечание 1. Если область D более сложного вида, то прямыми
x=const или y=const ее следует разбить на области указанного вида (рис. 3),

затем применить свойство аддитивности интеграла
f(x, y)dxdy.
D=D1∪D2∪D3,

f(x, y)dxdy=

f(x, y)dxdy+

f(x, y)dxdy+

D
D1
D2
D3
Рис. 3
Рис. 4
f(x, y)dxdy=
f(x, y)dxdy+

Аналогичное разбиение (рис. 4) проводится и в случае, если какую-либо
кривую, определяющую верхний или нижний предел внутреннего интеграла,
нельзя задать одним уравнением

f(x, y)dxdy=

D
D2
D1
f(x, y)dy.
f(x, y)dy+
=
b

y3(x)

c

y2(x)

c
dx
a
dx
y1(x)
y1(x)
D
(x+2y)dxdy, если обП р и м е р 1. Вычислить двойной интеграл

ласть D ограничена линиями y=x2, y=0, x+y−2=0.
Решение.
Изобразим область интегрирования D (рис. 5). Она правильная в направлении
оси Ox. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (2)
(x+2y) dxdy=
(x+2y) dx=

1

2−y

0
dy
D
√y
2−y
Рис. 5
=
1

√y
=
0
dy
1
2x2+2yx


=
1

2(2−y)2+4y−2y2−1
2y−2y
3
2

dy=
1
0
1
6 + 8
6 + 7
5 = 29
20.
6(y−2)3+ 7
2y2−2· 1
3y3−4
0
=−1
=
1
2 · 1
4 −2
3 −4
5y
5
2




1.2. Полярная система координат
f(r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ.
(3)
В случаях, когда область интегрирования круг, кольцо или часть таковых или подынтегральная функция имеет вид f(x2+y2), легче вычислить
двойной интеграл в полярной системе координат. Тогда используется следующая формула замены переменных в двойном интеграле:

f(x, y) dxdy=

D
D
Чтобы свести интеграл в правой части (3)
Рис. 6
к повторному по переменным r и ϕ, необходимо
выполнить следующее:
1. Найти пределы изменения ϕ (рис. 6),
т. е. границы, в которых находятся значения полярного угла произвольной точки области D:
α≤ϕ≤β.
2.
Найти
уравнения
линий
r=r1(ϕ)
и r=r2(ϕ), которые ограничивают область D
и определяют пределы изменения полярного радиуса r точек области D
при произвольном фиксированном значении ϕ.
3. Применить формулу
f(r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ=
f(r cos ϕ, r sin ϕ) rdr.

β

r2(ϕ)

α
dϕ
D
r1(ϕ)
9−x2−y2 dxdy, где область интегрироD
П р и м е р 2. Вычислить

p
вания D — круг x2+y2≤9.
Решение. Перейдем к полярным координатам по формуле (3). Область
D в полярной системе координат определяется неравенствами 0≤ϕ≤2π,
0≤r≤3. Получаем

9−x2−y2 dxdy=

9−(r cos ϕ)2−(r sin ϕ)2 rdrdϕ=
D
D
p
p

2π

2π

=

3

3

2
9−r2 drdϕ=
9−r2 dr=−1
0
dϕ
0
dϕ
0
(9−r2)
1
2 d(9−r2)=
D
r
p
0
r
p
3
2π

2π

2
3
=−1
0
=−1

·27
2 ·

−2
0
dϕ
2
0
dϕ= 9 ϕ|2π
0 =18π.
3(9−r2)
3
2




1.3. Обобщенная полярная система координат
Если область интегрирования ограничеРис. 7
f(ar cos ϕ, br sin ϕ) rdrdϕ.
(4)
на эллипсом x2/a2 + y2/b2=1 (рис. 7), проще
вычислить двойной интеграл, перейдя к обобщенным координатам по формулам x=ar cos ϕ,
y=br sin ϕ (r≥0, 0≤ϕ≤2π). В обобщенной полярной системе координат эллипс имеет уравнение r=1. Формула замены переменных в обобщенных координатах имеет вид

f(x, y) dxdy=ab

D
D
1−x2/a2−y2/b2 dxdy по области D, огD
Для конкретной области D пределы изменения обобщенных полярных координат r и ϕ находятся из уравнения линий, ограничивающих эту область,
аналогично рассмотренным в случае полярной системы координат.
П р и м е р 3. Вычислить

p
раниченной эллипсом x2/a2+y2/b2=1.
Решение. Полагая x=arcos ϕ, y=brsin ϕ, по формуле (4) получаем

b2 dxdy=ab

b2
rdrdϕ=
1−x2
1−(ar cos ϕ)2
a2
−(br sin ϕ)2
r
r
a2 −y2
D
D
=ab
2π

1

2π

1

1−(r cos ϕ)2−(r sin ϕ)2 rdrdϕ=ab
1−r2 rdr=
0
dϕ
0
0
dϕ
0
p
p
1
2π

1

2π

2ab
2ab
3
=−1
0
=
0
dϕ
0
(1−r2)
1
2 d(1−r2)=−1
0
dϕ· 2(1−r2)
3
2





= 1
2π

3ab
3πab.
0
dϕ= 2

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
2.1. Прямоугольная декартова система координат
Пусть тело T (рис. 8) ограничено поверхностями z =z1(x, y) (снизу),
z =z2(x, y) (сверху) и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz. Тогда луч, проведенный через внутреннюю точку тела
(x0, y0, z0) параллельно оси Oz, пересекает его границу в двух точках с аппликатами z1(x0, y0) и z2(x0, y0). Такое тело называется правильным в направлении оси Oz.
Рис. 8
Рис. 9
f(x, y, z) dxdydz =
В этом случае тройной интеграл сводится к повторному:

T
dxdy
f(x, y, z)dz
f(x, y, z)dz,
(5)


z2(x,y)

=

z2(x,y)

Dxy
Dxy
z1(x,y)
z1(x,y)



dxdy=

где Dxy — проекция тела T на плоскость xOy.
Чтобы применить формулу (5), надо выполнить следующие действия:
1. Найти проекцию Dxy.
2. Найти уравнения поверхностей, ограничивающих тело T снизу и
сверху: z = z1(x, y) и z =z2(x, y) соответственно.
3. Вычислить внутренний интеграл, считая x и y постоянными и применяя формулу Ньютона — Лейбница.
4. Вычислить двойной интеграл по области Dxy.
Иногда удобнее проектировать тело T на плоскости xOz (рис. 9) или
yOz (рис. 10). В этих случаях применяются формулы
dxdz
f(x, y, z)dy,
(6)

f(x, y, z) dxdydz =

y2(x,z)

T
Dxz
y1(x,z)

f(x, y, z) dxdydz =

T
dydz
f(x, y, z) dx.
(7)
=

x2(y,z)

Dyz
x1(y,z)
Рис. 10
T
xdxdydz, где тело T ограничеП р и м е р 4. Вычислить интеграл

но поверхностями x/3+y/4+z/9=1, x=0, y=0, z =3.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 11). По3 + y
4 + z
9 =1,
z =3.
строим тело T. Все поверхности — плоскости.
Плоскость x/3+y/4+z/9=1 отсекает на осях
координат отрезки, равные 3, 4, 9 единицам
соответственно. Применим формулу (5). Для
этого выполним следующие действия:
1. Определим проекцию тела T на плоскость xOy. Область Dxy — треугольник AOB.
Найдем уравнение прямой AB. Для этого
необходимо решить систему уравнений
(x
Рис. 11
Решив данную систему, получим уравнение
прямой
AB:
4x + 3y=8,
а
также
координаты
точек
A
и
B:
A(2, 0), B(0, 8/3).
2. Уравнения поверхностей, ограничивающих тело T снизу и cверху:
z =3 и z =9 (1−x/3−y/4) соответственно.
3. Вычислим внутренний, а затем внешний интегралы:
9(1−x/3−y/4)
dxdy
xdxdy z
=

xdxdydz =

9(1−x/3−y/4)

3
xdz =

T
Dxy
Dxy
3







=

2

(8−4x)/3

4xy) dy=
x(9−3x−9
4y−3) dxdy=
0
dx
0
(6x−3x2−9
Dxy

(8−4x)/3
dx=
=
2

2

3.

6xy−3x2y−9
4 · 1
0
(2x3−8x2+8x) dx= 8
0
0
2y2x






2.2. Цилиндрическая система координат
Положение точки M(r, ϕ, z) в цилиндрической системе координат определяется полярными координатами r, ϕ проекции этой точки на плоскость
xOy и аппликатой z точки M (рис. 12), 0≤r<∞, 0≤ϕ≤2π, −∞<z <∞.
Формулы связи цилиндрической системы
координат с прямоугольной декaртовой имеют
вид
x=r cos ϕ, y=r sin ϕ, z =z.
(8)
Рис. 12
Т
y2dxdydz, если тело T
Тройные интегралы в цилиндрической системе координат вычисляются следующим образом:
1. Тройной интеграл сводится к двойному
по формулам (5)—(7).
2. Двойной интеграл вычисляем в полярной или обобщенной полярной системах координат.
П р и м е р 5. Вычислить тройной интеграл

ограничено поверхностями x2+y2=z2, x2+y2=6−z, z ≥0.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 13). Тело T ограничено сверху параболоидом x2 +y2=
=6−z с вершиной в точке (0, 0, 6), снизу — конусом x2 +y2=z2. Проекция тела T на плоскость
xOy ограничена проекцией линии пересечения
поверхностей:
(
x2+y2=6−z,
x2+y2=z2,
⇒6−z =z2, ⇒
(
z1=2,
z2=−3.
Рис. 13
По условию z ≥0, поэтому берем z =2. Область Dxy ограничена окружностью x2 + y2=4 с
центром в точке O(0, 0) и радиусом, равным 2.
Нижний и верхний пределы интегрирования по
z: z1=
p
x2+y2 и z2=6−x2−y2 соответственно.
Применим формулу (5): в двойном интеграле сделаем переход к полярной системе координат.