Основы начертательной геометрии и рабочего проектирования

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Сибирский федеральный университет

Л. И. Супрун, Е. Г. Супрун, Л. А. Устюгова

ОСНОВЫ  НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ  ГЕОМЕТРИИ  
И  РАБОЧЕГО  ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Учебное пособие 

Красноярск 
СФУ 
2018

УДК 514.181(07)+744(07)
ББК 22.151.3я73+30.11я73
С899

Р е ц е н з е н т ы: 
В. И. Царёв, доктор архитектуры, профессор кафедры «Градостроительство» СФУ;
Г. А. Мальцева, кандидат педагогических наук, доцент кафедры 
«Инженерная графика» СибГУ имени академика М. Ф. Решетнёва

Супрун, Л. И.
С899 
 
Основы начертательной геометрии и рабочего проектирования : учеб. пособие / Л. И. Супрун, Е. Г. Супрун, Л. А. Устюгова. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. – 194 с.

ISBN 978-5-7638-3937-1

Изложены общие и специальные разделы начертательной геометрии и черчения, применяемые в рабочем проектировании: конструирование геометрических моделей, позиционные задачи, метрические задачи, тени в ортогональных 
проекциях, перспектива и тени, проекции с числовыми отметками, строительное черчение. Приведены решения примеров и задач. Даны контрольные вопросы и задания.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 07.03.04 
«Градостроительство».

Электронный вариант издания см.: 
УДК 514.181(07)+744(07)

http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.151.3я73+30.11я73

ISBN 978-5-7638-3937-1 
© Сибирский федеральный
университет, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Условные обозначения и символы ..........................................................4
Введение .......................................................................................................5
1. Основы начертательной геометрии ...................................................6
1.1. Конструирование геометрических моделей .......................................6
1.2. Позиционные задачи .......................................................................... 40
1.3. Метрические задачи ........................................................................... 72

2. Основы рабочего проектирования .................................................. 89
2.1. Тени в ортогональных проекциях .................................................... 89
2.2. Линейная перспектива ..................................................................... 109
2.3. Проекции с числовыми отметками ................................................ 146
2.4. Строительное черчение ................................................................... 166

Заключение ............................................................................................. 187
Библиографический список ................................................................ 188
Предметный указатель ........................................................................ 190

УСЛОВНЫЕ  ОБОЗНАЧЕНИЯ  И  СИМВОЛЫ

Обозначения геометрических образов, символы их взаиморасположения и логических операций, составляющие геометрический язык 
начертательной геометрии, приняты следующие:
1. Точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита 
или цифрами: A, B, C, D,…,1, 2, 3, …;
линии – строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, e, f,…;
плоскости и поверхности – строчными и прописными буквами 
греческого алфавита: α, β, γ, ∑, … ;
углы – строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ, … .
2. Плоскость проекций обозначается буквой греческого алфавита 
π с добавлением индекса:
π1 – первая или фронтальная плоскость проекций;
π2 – вторая или горизонтальная плоскость проекций;
π3, π4, π5, … – дополнительные плоскости проекций.
3. Оси проекций – строчными буквами: х12, х13, х23, х34,… .
4. Оси в перспективе: х′, y′, z′.
5. Проекции на плоскостях:
π1 – A1, B1, …, 11, 21, …, a1, b1, …, α1, β1, ∑1, …;
π2 – A2, B2, …, 12, 22, …, a2, b2, …, α2, β2, ∑2, …;
π3 – A3, B3, …, 13, 23, …, a3, b3, …, α3, β3, ∑3, …;
π4 – A4, B4, …, 14, 24, …, a4, b4, …, α4, β4, ∑4, ….
6. Символы:
∈– принадлежность: A ∈ a – точка A принадлежит линии a;
∩ – пересечение: a ∩ b – линии a и b пересекаются;
= – результат: a1 ∩ b1 = С1 – a1 пересекают b1 в точке С1;
равенство: |AB| = |CD| – длина отрезка AB равна длине отрезка CD;
=>– следовательно: K ∈ m, K ∈ n => m ∩ n = K; 
≡ – тождественное равенство или совпадение: A1 ≡ B1 – проекции 
точек А и В совпадают;
^ – перпендикулярность: p ^ m;
|| – параллельность: с || d;
→ – соответствие: А2 → А1 – проекция А2 соответствует проекции А1.
/ – отрицание (наличие в символе смысла частицы «не»): A ∉ b – 
точка A не принадлежит линии b.

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия входит в группу общетехнических 
дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Она учит 
грамотно владеть выразительным языком чертежа, умению составлять и свободно читать чертежи. Изучение начертательной геометрии 
способствует развитию у студентов пространственных представлений 
и пространственного воображения – качеств, характеризующих высокий уровень инженерного мышления и необходимых для решения прикладных задач. Неоценима её роль в развитии аналитического и, как 
следствие, логического мышления. Это очень важно для воспитания 
творческих личностей.
Учебное пособие состоит из двух разделов. Раздел 1 «Основы 
начертательной геометрии» включает главы «Конструирование геометрических моделей», «Позиционные задачи», «Метрические задачи»; 
раздел 2 «Основы рабочего проектирования» – «Тени в ортогональных 
проекциях», «Перспектива и тени», «Проекции с числовыми отметками», «Строительное черчение».
В основу учебного пособия положен принцип четкого и краткого 
изложения учебного материала, иллюстрированного большим количеством примеров и сопровождаемого задачами, содержащими дополнительный материал.
 Материалы данного учебного пособия соответствуют перспективным требованиям обеспечения фундаментальной подготовки специалистов, работающих в области градостроительства. Они позволяют 
приобрести одну из ключевых профессиональных компетенций – «умение решать графическими методами многие важные теоретические 
и практические задачи».
В учебном пособии приведён библиографический список для 
желающих ознакомиться с другими вариантами изложения представленного материала. Пособие ни в коем случае не заменяет учебника 
и оставляет студентам возможность для самосовершенствования.

1. ОСНОВЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

1.1. Конструирование геометрических моделей

Активная деятельность человека связана с передачей и переработкой информации о явлениях внешнего мира. Причем одну и ту же информацию можно передать различными способами. Желая, например, 
определить форму и размеры проектируемого сооружения, можно использовать словесные объяснения, математические символы, рисунок, 
чертеж, макет. Если различные физические предметы или явления позволяют извлекать одну и ту же информацию, то говорят, что они моделируют друг друга. Каждый такой предмет является моделью других 
и наоборот. Например, азбуку Морзе можно считать однозначной моделью алфавита. Человек и имя, мысль и речь – примеры неоднозначных 
моделей.
В начертательной геометрии изучаются способы конструирования геометрических моделей, позволяющих передавать и обрабатывать 
геометрическую информацию.
Геометрическая информация – это сведения о форме, размерах 
и взаимном расположении геометрических образов. Геометрический 
образ – это точка, прямая, плоскость, поверхность.
Геометрическая модель должна быть однозначной и удобной в использовании.
Простейшая такая модель может быть получена методом линейного проецирования.

Операция линейного проецирования
Выберем в пространстве плоскость π и точку S, не принадлежащую π. Точку S назовем центром проецирования, а плоскость π – плоскостью проекций или плоским полем проекций (множество точек плоскости называется точечным или плоским полем). Центр S и плоскость 
π составляют аппарат проецирования.
Выбрав аппарат проецирования, можно построить проекцию любой точки А пространства. Для этого через S и А проводим луч и отмеча

1.1. Конструирование геометрических моделей

ем его пересечение с картиной: SA ∩ π = А′ (рис. 1.1). Луч SA называется 
проецирующим лучом, а точка А′ – проекцией точки А.
В зависимости от положения центра 
S относительно плоскости проекций различают следующие виды проецирования: 
центральное и параллельное.
Если центр S находится на конечном 
расстоянии, то проецирование называется 
центральным (рис. 1.1). При параллельном 
проецировании центр бесконечно удалён 
и все проецирующие лучи проходят параллельно друг другу.
Параллельное проецирование, в свою 
очередь, подразделяется на ортогональное и косоугольное.
Если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости π, то проецирование называется ортогональным (рис. 1.2, а).
Если проецирующие лучи проходят под острым углом к плоскости π, то проецирование называется косоугольным (рис. 1.2, б).

Поскольку проецирующими элементами являются прямые линии, 
то рассмотренное проецирование называется линейным.

Метод двух изображений
Имея аппарат линейного проецирования, состоящий из одного 
центра и одной плоскости проекций, нельзя построить однозначную 
модель точки пространства. В этом случае не возникает взаимно-одно
1 

1. ОСНОВЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 
 
 
 

 
 
Рис. 1.1 
 
 
 
 

 
 
а 
б 
 
Рис. 1.2 
 
 

Рис. 1.1

1 

1. ОСНОВЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 
 
 
 

 
 
Рис. 1.1 
 
 
 
 

 
 
а 
б 
 
Рис. 1.2 
 
 

а 
б

Рис. 1.2

1. Основы начертательной геометрии

значного соответствия между точкой пространства и её проекцией на 
плоскость π. Поэтому удвоим аппарат проецирования. Возьмем в пространстве две плоскости π1 и π2, расположенные под произвольным 
углом друг к другу, и два центра S1 и S2. Пусть проецирование на обе 
плоскости будет центральным (рис. 1.3).
Плоскость π1 будем называть первой плоскостью проекций (или 
первым полем проекций), π2 – второй плоскостью проекций (или вторым полем проекций). Линию пересечения плоскостей проекций назовем осью проекций. Обозначим ее х12 = π1 ∩ π2. Линию S1S2, соединяющую центры проецирования, назовем линией центров. Отметим точки 
пересечения ее с π1 и π2: S1S2 ∩ π1 = U1, S1S2 ∩ π2 = U2; U1 и U2 назовем 
исключенными точками.
S1, S2, π1, π2, U1, U2 составляют аппарат проецирования метода двух 
изображений. Возьмем произвольную точку А пространства и спроецируем ее из S1 и S2 на π1 и π2. Получим пару проекций А1 и А2. Докажем, 
что они определяют однозначную модель точки А.
Центры S1, S2 и проецируемая точка А определяют некоторую 
плоскость α. Она пересекает плоскости проекций π1 и π2 по прямым 
U1X = α ∩ π1 и U2X = α ∩ π2, где Х = α ∩ х12. Так как проецирующий луч 
S1A проходит через две точки, лежащие в плоскости α, то он весь лежит 
в этой плоскости. Поэтому точка пересечения его с плоскостью π1 обязательно попадет на прямую U1X, т. е. А1 ∈ U1X. По тем же самым соображениям проекция А2 должна попасть на U2X, т. е. А2 ∈ U2X. Точки А1 
и А2 будут единственными, поскольку прямая и плоскость пересекаются 
в одной точке. Таким образом, можно сказать, что произвольной точке А 
пространства поставлена в соответствие единственная пара проекций 
А1, А2: А → (А1, А2).
Справедливо и обратное утверждение. Представим, что имеем 
центры S1, S2, плоскости π1, π2 с исключенными точками U1, U2 и две 
проекции А1 ∈ U1X, A2 ∈ U2X. Докажем, что в этом случае можно восстановить единственную точку А пространства, являющуюся прообразом пары точек: А1 и А2.
Соединим А1 с S1 и А2 с S2. Эти прямые лежат в одной плоскости α, 
определенной треугольником U1XU2. Следовательно, они, пересекаясь, 
дают единственную точку А. Таким образом, (А1, А2) → А, что и требовалось доказать. На основании доказанного можно утверждать, что пара 

1.1. Конструирование геометрических моделей

(А1, А2), полученная рассмотренным методом двух изображений, задает 
однозначную модель точки А, не принадлежащей линии центров S1S2. 
Проекции А1 и А2 одной и той же точки А пространства будем в дальнейшем называть соответственными точками, а лучи U1X и U2X, на которых 
они лежат, – соответственными лучами.

В зависимости от взаимного расположения плоскостей проекций 
π1, π2 и центров проецирования S1, S2 возникают различные частные варианты метода двух изображений.

Метод ортогональных проекций (метод Монжа)
Пусть π1 ^ π2 и проецирование на обе плоскости ортогональное 
(рис. 1.4, а). В таком случае линия центров S1S2, будет бесконечно удалена, следовательно, бесконечно удаленными окажутся и исключенные 
точки U1 и U2. Определим их направление.
Так как S1A ^ π1 и S2A ^ π2, то проецирующая плоскость α перпендикулярна одновременно π1 и π2. Следовательно, линия пересечения этих 
плоскостей (ось проекций х12) перпендикулярна α. Поэтому U1X ^ x12 
и U2X ^ х12. Значит, исключенные точки U1 и U2 бесконечно удалены 

Рис. 1.3

1. Основы начертательной геометрии

в направлении, перпендикулярном х12. Полученная модель точки является пространственной. Для перехода к плоской модели мысленно удалим 
проецируемую точку А вместе с проецирующими лучами и повернем 
плоскость π2 вокруг оси х12 до совмещения с π1. Вследствие перпендикулярности лучей U1X и U2X к х12 исключенные точки U1 и U2 при совмещении совпадут. Модель примет вид, представленный на рис. 1.4, б. 
Здесь плоскости π1 и π2 условно показаны ограниченными. Но на плоской модели контуры плоскостей проекций не нужны. Их можно убрать. 
В результате получим чертеж, изображенный на рис. 1.4, в. 

Чертеж, полученный при совмещении плоских полей, называется 
эпюром.
Рассмотренный вариант построения модели впервые был предложен французским ученым Гаспаром Монжем и потому называется методом Монжа, а эпюр – эпюром Монжа.
Совпавшие лучи U1X и U2X, на которых располагаются соответственные точки А1 и А2, в дальнейшем будем называть линией связи.

Модель точки
Модель точки, построенная по методу двух изображений, является однозначной.

Рис. 1.4

а 
б 
в 

2 

 
 
Рис. 1.3 
 
 
 

 
 
а 
б 
в 
 
Рис. 1.4