Карманный справочник по математике



алгебра

Число — это некоторая абстрактная сущность для 
описания количества. Цифры — это знаки, используемые для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми 
распространенными являются арабские цифры, представляемые известными нам знаками от нуля (0) до 
девяти (9); менее распространены римские цифры, мы 
их можем иногда встретить на циферблате часов или в 
обозначении века (XX век).
Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10, которое образует единицу 2-го разряда, единицей 3-го разряда будет 100 = 102, вообще единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единицы предыдущего. 
Например, 362 = 3 ∙ 100 + 6 ∙ 10 + 2, или 362 = 3 ∙ 102 +  
+ 6 ∙ 101 + 2 ∙ 100.
Форма записи десятичного числа:
3173 = 3 ∙ 1000 + 1 ∙ 100 + 7 ∙ 10 + 3
Число, заданное в десятичной системе в общем виде, 
можно записать так:

abcd
a
b
c
d
=
⋅
+ ⋅
+ ⋅
+
⋅
10
10
10
10
3
2
1
0.

Стандартный вид числа — запись числа в следующем виде: a
n
⋅10 , где 1 < а < 10, n
N
∈
.
Приведение к стандартному виду:
317,3 = 3,173 ∙ 102; 0,  00003173 = 3,173 ∙ 10–5.

 

Числовые множества

Действительные числа (R) — числа, которые можно 
представить в виде бесконечной десятичной дроби.

рациональные числа (Q)
Можно представить в виде не
сократимой дроби m

n , где m — 

целое число, n — натуральное число.
Представляются в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби:

1
3
0 333
0 3
=
=
,
...
,( ).

иррациональные числа
Нельзя представить в виде 

дроби m

n , где m — целое чис
ло, n — натуральное число.
Представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: 

2
1 4142135
= ,
...

рациональные числа

Целые числа (Z)
Включают натуральные числа, числа, им противоположные, и число 0.

Дробные числа
Числа, состоящие из целого числа долей единицы.

Целое число (Z)

натуральные числа

(N)

{1;2;3;4...}.

число 0
Такое число, что любое 
число при сложении с 
ним не меняется

a + 0 = 0 + a = a.

Целые отрицатель
ные числа
Числа, противоположные натуральным

{...–3;–2;–1}.

N
Z
Q
R
⊂
⊂
⊂



Действия над действительными числами 

и их свойства
В области вещественных чисел сложение и умножение всегда выполнимы, и их результаты определены 
однозначно. Оба этих действия коммутативны и ассоциативны, а также имеет место дистрибутивность умножения относительно сложения.

a + b = b + a — коммутативность сложения;
(a + b) + с = a + (b + с) — ассоциативность сложения;
ab = ba — коммутативность умножения;
(ab)с = a(bс) — ассоциативность умножения;
a(b + с) = ab + aс — дистрибутивность умножения 
относительно сложения.
А также выполняются следующие тождества:

a + 0= a;     a · 1 = a;     a + (–a) = 0, 

где –a является противоположным числом для числа a.
В области действительных чисел деление также 
всегда выполнимо однозначно, за исключением деления на 0. Поэтому a/0 неопределимо!

Действия с целыми числами

Сложение. В области целых чисел сложение может 
быть определено  только следующим образом: если a и
b — положительные числа, то:

1) (–a) + (–b) = –(a + b) и

2) a
b
b
a

a
b
a
b

a
b

b
a
a
b

5A; 8

5A; 8

5A; 8

+ −
= − +
=

−
>

=

−
−
<




(
)

,
,

,
,

(
),
.

0


если

если

если

 

Например: 0 + (–2) = –2;
(–5) + (–47) = –5 – 47 = –(5 + 47) = –52;
86 + (–45) = 86 – 45 = 41;
– 74 + 37 = 37 – 74 = –(74 – 37) = –37.
Эти правила можно сформулировать так:
1) При сложении двух отрицательных чисел получается отрицательное число, модуль которого равен сумме модулей данных чисел.
2) При сложении положительного и отрицательного 
чисел получается число того знака, модуль которого 
больше, а модуль его равен разности модулей данных 
чисел.

Умножение. Так как имеет место дистрибутивность, 
то выполняются следующие правила: 
1) а ∙ 0  = 0 ∙ а = 0;
2) а ∙ (–b) = (–а) ∙ b = –аb;
3) (–а) ∙ (–b) = аb, 
где a и b – положительные числа.
Заметим, что при умножении положительного и отрицательного чисел получается отрицательное число, 
а при умножении  двух отрицательных чисел – положительное!
Например: –56 ∙ 2 = –112;  –7 ∙ (–6) = 42.
Полезна следующая схема (правила знаков при ум
ножении и делении):
+   ∙   +   =   +
+   ∙   –   =   –
–   ∙   +   =   –
–   ∙   –   =   +

+   :   +   =   +
+   :   –   =   –
–   :   +   =   –
–   :   –   =   +



Действия с рациональными числами

рациональными называются числа вида a

b

, где a и

b — целые числа, причём b ≠ 0. Число a называется 
числителем дроби, а b — знаменателем дроби. 

основное свойство дроби
При умножении числителя и знаменателя на одно и 
то же число (не равное нулю) значение дроби не меняется:
a
b

ac
bc
=
,

где b ≠ 0, с ≠ 0.

Например: 5

9

10
18

25
45
=
=
.

сложение (вычитание)
Определяется следующим образом:

a
b

c
b

a
c

b
+
=
+ ; a

b

c
b

a
c

b
−
=
− .

Складывать (вычитать) можно  только дроби с общим 
знаменателями, при этом получается дробь, у которой 
числитель равен сумме (разности) числителей этих дробей, а знаменатель остаётся прежним. 

Например: 3

7

2
7

5
7
+
=
; 3

7

2
7

1
7
−
=
.

 

А если дроби с разными знаменателями, то сначала 
надо привести дроби к общему знаменателю, а потом 
сложить (вычесть) их.
Общим знаменателем дробей является  наименьшее 
общее кратное (НОК) чисел, стоящих в знаменателях 
дробей.

a
b

c
d

a
c

bd
+
=
+ ;
a
b

c
d

a
c

bd
−
=
− .

НОК (а,b) — наименьшим общим кратным чисел a и

b является такое наименьшее целое число, которое делится как на число а, так и на число b. 
Привести дроби к общему знаменателю можно при 
помощи основного свойства дроби.

Например: 2

9

1
3

2
9

3
9

5
9
+
=
+
=
; 3
7

6
15

45
105

42
105

47
105
+
=
+
=
;

2
9

1
3

2
9

3
9

1
9
−
=
−
= − ; 3

7

6
15

45
105

42
105

3

105
−
=
−
=
.

Умножение
Определяется следующим образом:

a
b

c
d

ac
bd
⋅
=
.

Произведение двух дробей есть дробь, числитель 
которой равен произведению числителей этих дробей, 
а знаменатель — произведению знаменателей.



Например: 2

9

1
3

2 1
9 3

2
27

⋅
=
⋅
⋅

=
;
5
11 2
5
11

2
1

5 2
11 1

10
11
⋅ =
⋅
=
⋅
⋅
=
.

обратная дробь

Дробью, обратной дроби a

b  (если b ≠ 0, а ≠ 0), назы
вается дробь b

a . 

Например, для дроби 

1
2  обратной дробью является 

число 2, так как 2 = 2

1 ; а для дроби 7

9  обратной явля
ется дробь 9

7 .

Деление
Деление дроби на дробь сводится к умножению: частное от деления дроби на дробь равно произведению 
делимого на число, обратное делителю:

a
b

c
d

a
b

d
c

ad
bc
:
=
⋅
=
.

Например: 4

7

8
35

4
7

35
8

4 35
7 8

1 5
1 2

5
2
21

2
:
;
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=

6
23 12
6
23

1
12

6 1
23 12

1

23 2

1
46
:
.
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
.

В связи с дробями используются ещё три понятия: 
правильная дробь, неправильная дробь, смешанное 
число.
правильной дробью a

b

 (где a и b — положитель
ные числа) называется такая дробь, у которой a < b. 

Например, 2

3

. 

неправильной дробью a

b

 (где a и b — положитель
ные числа) называется такая дробь, у которой a  b. 

Например, 7

3.

Смешанным числом называют сумму целого поло
жительного числа и правильной дроби. Например, 51

3.

Десятичные дроби
Дроби, знаменатели которых являются степенями 
числа 10, называются конечными десятичными дробями. Они записываются двояко. 

Например, 3

10
0 3
= ,
 (читается «0 целых 3 десятых»); 

37
100
0 37
= ,
 (« 0 целых 37 сотых»);

7

1000
0 007
= ,
 («0 целых 7 тысячных»).