Высшая математика для экономистов

ЗОЛОТОЙ ФОНД РОССИЙСКИХ УЧЕБНИКОВ


ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера

Третье издание

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям

Рекомендовано Учебно-методическим центром «Профессиональный учебник» в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям





юнити UNITY

Москва • 2017

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
     В93

Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Ректор акад. А.Н. Романов
Председатель Научно-методического совета проф. Д.М. Дайитбегов
Коллектив авторов:
проф. Н.Ш. Кремер (предисловие, введение, гл. 2—7, 9, 13, 14, 16), доц. Б.А. Путко (гл. 8, 15), доц. И.М. Тришин (гл. 10—12), доц. М.Н. Фридман (гл. 1)
Рецензенты:
кафедра математики Финансовой Академии при Правительстве РФ
(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. А.С. Солодовников) и д-р физ.-мат. наук, проф. В.З. Партон
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили, кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор, лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники

         Высшая математика для экономистов: учебник для В93 студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2017. -479 с. — (Серия «Золотой фонд российских учебников») I. Кремер, Наум Шевелевич.
         ISBN 978-5-238-00991-9
         Агентство CIP РГБ

         Эта книга — не только учебник, но и краткое руководство к решению задач по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для самостоятельной работы. Там, где это возможно, раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функций, производственные функции, модели динамики и т.п.).
         Для студентов и аспирантов экономических вузов, экономистов и лиц, занимающихся самообразованием.
ББК 22.1я73

ISBN 978-5-238-00991-9

© Коллектив авторов, 1997, 1998, 2006
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 1997, 1998, 2006
Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания (ФЗ № 94-ФЗ от 21 июля 2005 г.).
Воспроизведение всей книги или любой ее части любыми средствами или в какой-либо форме, в том числе в интернет-сети, запрещается без письменного разрешения издательства.

         ПРЕДИСЛОВИЕ


   В настоящее время ощущается острая нехватка учебников и учебных пособий по математическим дисциплинам, в частности по основам высшей математики. Особенно болезненно это отражается на студентах, обучающихся в вузе без отрыва от производства, для многих из которых учебник является основным источником учебной информации. Именно этим студентам в первую очередь адресована настоящая книга.
   Учебник написан в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математики для специалистов с высшим образованием по экономическим специальностям. Он соответствует Примерной программе дисциплины «Математика», утвержденной Минобразованием РФ, и включает следующие разделы: «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии», «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения», «Ряды», «Функции нескольких переменных».
   При написании курса высшей математики для экономических вузов авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности. При введении основных понятий отдавалось предпочтение классическому подходу: так, например, понятие непрерывности функции рассматривается после понятия предела, определенный интеграл определяется как предел интегральной суммы и т.п. Всюду, где это возможно, даются геометрический и экономический смысл математических понятий (например, производной, интеграла и т.д.), приводятся математические формулировки ряда экономических законов (закона убывающей доходности, принципа убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска продукции), рассматриваются простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функции, производственные функции, модели экономической динамики и т.п.). Такие приложения рассчитаны на уровень подготовки студентов 1 курса и почти не требуют дополнительной (экономической) информации.
   Известно, что новый учебный материал усваивается студентами (особенно имеющими значительный перерыв и пробелы в довузовской математической подготовке) значительно легче, если он сопровождается достаточно большим числом иллюстрирующих его примеров. Поэтому авторами сделана попытка соединить в одной книге учебник и краткое руководство к решению задач.

3

   Такое построение книги потребовало сделать и изложение теоретического материала более кратким, отказаться без существенного ущерба от малозначащих, громоздких или повторяющихся по своим идеям доказательств утверждений, отличающихся от ранее проведенных лишь техническими деталями. Вместе с тем авторы стремились к более тщательной проработке ведущих понятий и доказательств положений курса. Для лучшего усвоения учебного материала приводятся учебные алгоритмы (схемы) решения определенного круга задач.
   Задачи с решениями (в том числе с экономическим содержанием) рассматриваются на протяжении всего изложения учебного материала. Более сложные, комплексные, а также дополнительные задачи с решениями приводятся в большинстве глав в последнем (или предпоследнем) параграфе «Решение задач». А задачи для самостоятельной работы даются в конце каждой главы в рубрике «Упражнения» (нумерация задач единая — начинается в основном тексте главы и продолжается в этой рубрике). Ответы задач приведены в конце книги.
   Во второе издание включена новая глава «Комплексные числа», что, в частности, позволило более полно изложить раздел «Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения». В главу «Функции нескольких переменных» дополнительно включен параграф «Условный экстремум». Изложенный в нем метод множителей Лагранжа имеет важное значение в решении оптимизационных задач. Существенно расширен учебный материал глав 5, 7, 12, 15, касающийся простейших приложений высшей математики в экономике, в частности, рассмотрены элементы предельного анализа и модели экономической динамики.
   В третьем издании исправлены замеченные опечатки и неточности.
   Авторы выражают большую благодарность профессорам А.С. Солодовникову и В.З. Партону за рецензирование рукописи, а также студентке ВЗФЭИ М.Л. Лифшиц за помощь в выявлении опечаток первого издания.
   В книге знаком □ обозначается начало доказательства теоремы, знаком ■ — ее окончание; знаком ^ — начало условия задачи, знаком ► — окончание ее решения.

4

         ВВЕДЕНИЕ


    Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общем смысле.
    Академик А.Н. Колмогоров выделяет четыре периода развития математики¹: зарождения математики, элементарной математики, математики переменных величин, современной математики.
    Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в VI—V вв. до нашей эры. Это было началом периода элементарной математики.
    В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем уже происходит качественное совершенствование математики как науки. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создается алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии — геометрии Евклида — на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории.
    В XVII в. запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.
    На первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятие величины и числа. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. Создание аналитической геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря найденному универсальному способу перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа — методу координат

¹ Колмогоров А. Н. Математика // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988.

5

Р. Декарта. С другой стороны, открылась возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
    Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в. к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но также и вследствие внутренней потребности самой математики. Замечательным примером такой теории является «воображаемая» геометрия Н. Лобачевского. Развитие подобного рода исследований в математике XIX—XX вв. позволяет отнести ее к периоду современной математики.
    Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.
    В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Примером применения аксиоматического подхода является евклидовая геометрия, в которой четко проведена идея получения основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.
    Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства — строгие логические рассуждения. В силу объективной необходимости, указывает чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцев¹, логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют метод математики, без них математика немыслима. Следует отметить, что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходима еще математическая интуиция, позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов (что само по

¹ Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание. — М.: Наука, 1985.

6

себе играет большую роль в математических исследованиях), а чисто логическим путем, по законам формальной логики.
   Сказанное, естественно, не означает, что в предлагаемом курсе высшей математики мы должны использовать только «строгие» доказательства, сводя все к аксиомам. Такой задачи авторы не ставили потому, что это не только невозможно в рамках вузовского курса (а тем более краткого курса в экономическом вузе), но часто и нецелесообразно с методической точки зрения, так как в процессе изучения дисциплины в ограниченные сроки необходимо уделять большое внимание разъяснению математических понятий (в том числе и на интуитивном уровне), их геометрическому, физическому и экономическому смыслу, решению практических задач.
   В математике изучаются математические модели. Это могут быть как непосредственно математические модели реальных явлений, так и объекты (структуры) для изучения этих моделей. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распада радиоактивного вещества. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
   В математике используются два вида умозаключений: дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основании общих знаний для конкретного случая и наоборот — на основании частных случаев об общих суждениях. Принцип математической индукции гласит, что утверждение A(n), зависящее от натурального параметра n, считается доказанным, если доказано А( 1) и для любого натурального числа n из предположения, что верно A(n), доказано, что верно также A(n + 1).
   При формулировке математических утверждений часто используются необходимые и достаточные условия. Пусть рассматривается какое-либо утверждение (положение) В в связи с некоторым утверждением (условием) A. Если из В следует A, т. е. В ^ A, то A называется необходимым условием для В, если же из A следует В, т. е. A ^ В, то A называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 — необходимое условие его делимости на 6 (делимость на 6 ^ делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 — достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 12 ^ делимость на 6). Если одновременно верны утверждения В ^ A и A ^ В, т.е. A о В, то A называется необходимым и достаточным условием для В. Например, для делимости числа на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и 3, ибо «делимость на 2 и 3 о делимость на 6».
   Таким образом, необходимые условия — те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия — те, при выполнении которых это утверждение

7

заведомо верно. Выражение «необходимо и достаточно», можно заменить равносильными выражениями «тогда и только тогда», «если и только если», «в том и только в том случае». Необходимые и достаточные условия обладают в математике большой познавательной ценностью.
    Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
    Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного экономиста.
    Основы высшей математики были разработаны в трудах выдающихся ученых: математика и механика Древней Греции Архимеда (287—212 гг. до нашей эры); французского философа и математика Р. Декарта (1596—1650); английского физика и математика И. Ньютона (1643—1727); немецкого философа, математика и физика Г. Лейбница (1646—1716); математика, механика и физика Л. Эйлера (1707—1783); французского математика и механика Ж. Лагранжа (1736—1813); немецкого математика К. Гаусса (1777— 1855); французского математика О. Коши (1789—1857) и многих других крупнейших ученых.
    Большой вклад в развитие математики внесли выдающиеся русские математики — НИ. Лобачевский (1792—1856), М.В. Остроградский (1801—1861), ПЛ. Чебышев (1821—1894), А.А. Марков (1856—1922), А.М. Ляпунов (1857—1918) и др.
    Современная российская математическая школа занимает передовое место в мировой математической науке благодаря трудам знаменитых математиков: А.Д. Александрова, П.С. Александрова, В.И. Арнольда, С.Н. Бернштейна, Н.Н. Боголюбова, И.Н. Векуа, И.М. Виноградова, В.М. Глушкова, Л.В. Канторовича, М.В. Келдыша, А.Н. Колмогорова, М.А. Лаврентьева, Ю.В. Линника, А.И. Мальцева, П.С. Новикова, Ю.В. Прохорова, В.И. Смирнова, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова и многих других.

8

Раздел





                Первый





  ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
  С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
  ГЕОМЕТРИИ

Глава 1

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ


1.1. Основные сведения о матрицах
   Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное — компактной матричной форме.
   Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
   Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С, ..., а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: ay , где i — номер строки, j — номер столбца.
   Например, матрица

all a12 ■■■ al j ■■■ aln
a21 a22 ■■■ a2 j ■■■ a2n

A =                          (1.1)
mxn ail ai 2 ■■■ aij ■■■ ain      

Xaml am2 ■■■ amj ■■■ amn /

или, в сокращенной записи, А = (a,); i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. Например,
,   (1    0 - 3^1
A = I           I .
2x3  12   5     8j

   Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: [ ], || ||.
   Две матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. ay = by для любых i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

10