Высшая математика для экономистов

ЗОЛОТОЙ ФОНД РОССИЙСКИХ УЧЕБНИКОВ 
 
 
ВЫСШАЯ 
МАТЕМАТИКА  
ДЛЯ  
ЭКОНОМИСТОВ 
 
 
Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера 
 
 
Третье издание 
  
 
Рекомендовано Министерством образования  
Российской Федерации в качестве учебника  
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по экономическим специальностям 
 
Рекомендовано Учебно-методическим центром 
«Профессиональный учебник» в качестве учебника  
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по экономическим специальностям 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва  
 
2017

ÓÄÊ 51(075.8) 
ÁÁÊ 22.1ÿ73 
       Â93 
2017.
 
Всероссийский заочный финансово-экономический институт 
Ректор акад.  А.Н. Романов 
Председатель Научно-методического совета проф.  Д.М. Дайитбегов 
 
К о л л е к т и в  а в т о р о в :  
проф. Н.Ш. Кремер (предисловие, введение, гл. 2—7, 9, 13, 14, 16), 
доц. Б.А. Путко (гл. 8, 15), доц. И.М. Тришин (гл. 10—12),  
доц. М.Н. Фридман (гл. 1) 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
кафедра математики Финансовой Академии при Правительстве РФ  
(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. А.С. Солодовников) 
и д-р физ.-мат. наук, проф.  В.З. Партон 
 
Главный редактор издательства  Н.Д. Эриашвили, 
кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор, 
лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники 
 
Высшая математика для экономистов: учебник для 
В93  студентов вузов, обучающихся по экономическим спе 
циальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. 
 
Н.Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 
—  
479 с. — (Серия «Золотой фонд российских учебников») 
I. Кремер, Наум Шевелевич. 
 
ISBN 978-5-238-00991-9 
Агентство CIP РГБ 
 
Эта книга — не только учебник, но и краткое руководство к решению задач 
по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с 
необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для 
самостоятельной работы. Там, где это возможно, раскрывается экономический 
смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения высшей 
математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функций, производственные функции, модели динамики и т.п.). 
Для студентов и аспирантов экономических вузов, экономистов и лиц, занимающихся самообразованием. 
 
 
 
 
 
 
 
 
    ÁÁÊ 22.1ÿ73 
 
 
ISBN 978-5-238-00991-9 
 
 
© Коллектив авторов, 1997, 1998, 2006 
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 1997, 1998, 2006 
Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания (ФЗ № 94-ФЗ от 21 июля 2005 г.). 
Воспроизведение всей книги или любой ее части любыми средствами или в 
какой-либо форме, в том числе в интернет-сети, запрещается без письменного 
разрешения издательства. 

 ПРЕДИСЛОВИЕ 
В настоящее время ощущается острая нехватка учебников и учебных 
пособий по математическим дисциплинам, в частности по основам высшей математики. Особенно болезненно это отражается на студентах, 
обучающихся в вузе без отрыва от производства, для многих из которых 
учебник является основным источником учебной информации. Именно 
этим студентам в первую очередь адресована настоящая книга. 
Учебник написан в соответствии с требованиями государственных 
общеобразовательных стандартов в области математики для специалистов с высшим образованием по экономическим специальностям. 
Он соответствует Примерной программе дисциплины «Математика», 
утвержденной Минобразованием РФ, и включает следующие разделы: 
«Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии», «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное  исчисление и дифференциальные уравнения», «Ряды», «Функции нескольких переменных». 
При написании курса высшей математики для экономических вузов авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности. При введении основных понятий отдавалось предпочтение классическому подходу: так, например, 
понятие непрерывности функции рассматривается после понятия 
предела, определенный интеграл определяется как предел интегральной суммы и т.п. Всюду, где это возможно, даются геометрический и 
экономический смысл математических понятий (например, производной, интеграла и т.д.), приводятся математические формулировки ряда экономических законов (закона убывающей доходности, принципа 
убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска 
продукции), рассматриваются простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функции, производственные функции, модели экономической 
динамики и т.п.). Такие приложения рассчитаны на уровень подготовки студентов 1 курса и почти не требуют дополнительной (экономической) информации. 
Известно, что новый учебный материал усваивается студентами 
(особенно имеющими значительный перерыв и пробелы в довузовской математической подготовке) значительно легче, если он сопровождается достаточно большим числом иллюстрирующих его примеров. Поэтому авторами сделана попытка соединить в одной книге 
учебник и краткое руководство к решению задач. 
3

Такое построение книги потребовало сделать и изложение теоретического материала более кратким, отказаться без существенного ущерба от малозначащих, громоздких или повторяющихся 
по своим идеям доказательств утверждений, отличающихся от ранее проведенных лишь техническими деталями. Вместе с тем авторы стремились к более тщательной проработке ведущих понятий и доказательств положений курса. Для лучшего усвоения 
учебного материала приводятся учебные алгоритмы (схемы) решения определенного круга задач. 
Задачи с решениями (в том числе с экономическим содержанием) 
рассматриваются на протяжении всего изложения учебного материала. 
Более сложные, комплексные, а также дополнительные задачи с решениями приводятся в большинстве глав в последнем (или предпоследнем) параграфе «Решение задач». А задачи для самостоятельной работы даются в конце каждой главы в рубрике «Упражнения» (нумерация 
задач единая — начинается в основном тексте главы и продолжается в 
этой рубрике). Ответы задач приведены в конце книги. 
Во в т о р о е  и з д а н и е  включена новая глава «Комплексные числа», что, в частности, позволило более полно изложить раздел 
«Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения». В главу 
«Функции нескольких переменных» дополнительно включен параграф «Условный экстремум». Изложенный в нем метод множителей 
Лагранжа имеет важное значение в решении оптимизационных задач. 
Существенно расширен учебный материал глав 5, 7, 12, 15, 
касающийся простейших приложений высшей математики в экономике, в частности, рассмотрены элементы предельного анализа и 
модели экономической динамики.
В т р е т ь е м  и з д а н и и  исправлены замеченные опечатки и 
неточности.
Авторы выражают большую благодарность профессорам А.С. Солодовникову и В.З. Партону за рецензирование рукописи, а также 
студентке ВЗФЭИ М.Л. Лифшиц за помощь в выявлении опечаток 
первого издания. 
В книге знаком 
обозначается начало доказательства теоремы, 
знаком   — ее окончание;  знаком  — начало условия задачи, 
знаком  — окончание ее решения. 
4

 ВВЕДЕНИЕ 
Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в 
самом общем смысле. 
Академик А.Н. Колмогоров выделяет четыре периода развития 
математики1: зарождения математики, элементарной математики, математики переменных величин, современной математики. 
Понимание самостоятельного положения математики как особой 
науки стало возможным после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в VI—V вв. до 
нашей эры. Это было началом периода элементарной математики.
В течение этого периода математические исследования имеют 
дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, 
возникших в связи с самыми простыми запросами хозяйственной 
жизни. Вместе с тем уже происходит качественное совершенствование математики как науки. Из арифметики постепенно вырастает 
теория чисел. Создается алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии — геометрии Евклида — на два тысячелетия вперед сделалась 
образцом дедуктивного построения математической теории. 
В XVII в. запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С 
употребления переменных величин в аналитической геометрии и 
создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. 
На первый план выдвигается понятие функции, играющее в 
дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета 
изучения, как ранее понятие величины и числа. Изучение функции 
приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, 
производной, дифференциалу, интегралу. Создание аналитической 
геометрии позволило существенно расширить предмет изучения 
геометрии благодаря найденному универсальному способу перевода 
вопросов геометрии на язык алгебры и анализа — методу координат 
                                         
1 Колмогоров А. Н. Математика // Математический энциклопедический словарь. — 
М.: Советская энциклопедия, 1988. 
5

Р. Декарта. С другой стороны, открылась возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов. 
Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в. к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. 
Связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее 
тесной, приобретает теперь все более сложные формы. Новые теории 
возникают не только в результате запросов естествознания и техники, 
но также и вследствие внутренней потребности самой математики. 
Замечательным примером такой теории является «воображаемая» 
геометрия Н. Лобачевского. Развитие подобного рода исследований в 
математике XIX—XX вв. позволяет отнести ее к периоду современной 
математики.
Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во 
многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например исследование операций, теория игр, математическая экономика и др. 
В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые 
исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Примером применения аксиоматического подхода является 
евклидовая геометрия, в которой четко проведена идея получения 
основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным 
путем из небольшого числа аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной. 
Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства — строгие логические рассуждения. В силу 
объективной необходимости, указывает чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцев1,
логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют метод математики, 
без них математика немыслима. Следует отметить, что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для 
правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходима еще математическая интуиция, позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на 
ряде примеров, не проведением ряда экспериментов (что само по 
                                         
1 Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание. — М.: Наука, 1985. 
6

себе играет большую роль в математических исследованиях), а чисто логическим путем, по законам формальной логики.
Сказанное, естественно, не означает, что в предлагаемом курсе 
высшей математики мы должны использовать только «строгие» доказательства, сводя все к аксиомам. Такой задачи авторы не ставили 
потому, что это не только невозможно в рамках вузовского курса (а 
тем более краткого курса в экономическом вузе), но часто и нецелесообразно с методической точки зрения, так как в процессе изучения дисциплины в ограниченные сроки необходимо уделять большое внимание разъяснению математических понятий (в том числе и 
на интуитивном уровне), их геометрическому, физическому и экономическому смыслу, решению практических задач. 
В математике изучаются математические модели. Это могут быть 
как непосредственно математические модели реальных явлений, так 
и объекты (структуры) для изучения этих моделей. Одна и та же 
математическая модель может описывать свойства далеких друг от 
друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Так, 
одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распада радиоактивного вещества. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
В математике используются два вида умозаключений: дедукция и 
индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основании общих знаний для конкретного случая и наоборот — на основании частных случаев об общих суждениях. Принцип математической индукции гласит, что утверждение А(n), зависящее от натурального параметра n, считается доказанным, если доказано A(1) и для 
любого натурального числа n из предположения, что верно A(n),
доказано, что верно также A(n + 1).
При формулировке математических утверждений часто используются необходимые и достаточные условия. Пусть рассматривается 
какое-либо утверждение (положение) В в связи с некоторым утверждением (условием) А. Если из В следует А, т. е. В ⇒ А, то А называется необходимым условием для В, если же из А следует В, т. е. А ⇒В,
то А называется достаточным условием для В. Например, делимость 
числа на 2 — необходимое условие его делимости на 6 (делимость 
на 6 ⇒ делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 — достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 12 ⇒ делимость    
на 6). Если одновременно верны утверждения В ⇒А и А ⇒В, т.е. 
А ⇔В, то А называется необходимым и достаточным условием для В.
Например, для делимости числа на 6 необходимо и достаточно, чтобы 
оно делилось на 2 и 3, ибо «делимость на 2 и 3 ⇔ делимость на 6». 
Таким образом, необходимые условия — те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия — те, при выполнении которых это утверждение 
7

заведомо верно. Выражение «необходимо и достаточно», можно заменить равносильными выражениями «тогда и только тогда», «если 
и только если», «в том и только в том случае». Необходимые и достаточные условия обладают в математике большой познавательной 
ценностью.
Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для 
многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно 
четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом 
был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой 
деятельности.
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом 
общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного экономиста.
Основы высшей математики были разработаны в трудах выдающихся ученых: математика и механика Древней Греции Архимеда
(287—212 гг. до нашей эры); французского философа и математика 
Р. Декарта 
(1596—1650); 
английского 
физика 
и 
математика          
И. Ньютона (1643—1727); немецкого философа, математика и физика Г. Лейбница (1646—1716); математика, механика и физика      
Л. Эйлера (1707—1783); французского математика и механика           
Ж. Лагранжа (1736—1813); немецкого математика К. Гаусса (1777—
1855); французского математика О. Коши (1789—1857) и многих других крупнейших ученых. 
Большой вклад в развитие математики внесли выдающиеся русские математики — Н.И. Лобачевский (1792—1856), М.В. Остроградский (1801—1861), П.Л. Чебышев (1821—1894), А.А. Марков
(1856—1922), А.М. Ляпунов (1857—1918) и др.
Современная российская математическая школа занимает передовое место в мировой математической науке благодаря трудам знаменитых математиков: А.Д. Александрова, П.С. Александрова, 
В.И. Арнольда, С.Н. Бернштейна, Н.Н. Боголюбова, И.Н. Векуа, 
И.М. Виноградова, В.М. Глушкова, Л.В. Канторовича, М.В. Келдыша, А.Н. Колмогорова, М.А. Лаврентьева, Ю.В. Линника, 
А.И. Мальцева, П.С. Новикова, Ю.В. Прохорова, В.И. Смирнова, 
С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова и многих других.
8

Раздел Первый
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА   
С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ  
ГЕОМЕТРИИ 

Глава 1
 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 
1.1. Основные сведения о матрицах 
Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики — 
матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное значение для 
экономистов. Объясняется это тем, что  значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное — компактной матричной форме. 
Матрицей размера m
n
×
 называется прямоугольная таблица 
чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие 
матрицу, называются элементами матрицы. 
Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами 
латинского алфавита, например, А, В, С, ...,  а для обозначения 
элементов матрицы используются строчные буквы с двойной 
индексацией:
ij
a , где i  — номер строки, j — номер столбца. 
Например, матрица 
⎞
⎛
11
12
1
1
j
n
a
a
a
a
a
a
a
a
21
22
2
2
j
n
…
A
(1.1)
a
a
a
a
×
=
1
2
i
i
ij
in
m n
…
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
a
a
a
a
...
...
...
...
...................................
...
...
...................................
...
...
⎠
⎝
1
2
m
m
mj
mn
или, в сокращенной записи, А =(
)
ij
a
; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. 
Например,
2
5
8
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟.
2 3
A
× =
1
0
3
Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: [ ], 
.
Две матрицы A и B одного размера называются равными, если
они совпадают поэлементно, т.е. 
ij
a = ij
b   для любых i = 1, 2, ..., m;
j = 1, 2, ..., n.
10