Финансовая математика

В.И. Малыхин 
 
 
 
ФИНАНСОВАЯ  
МАТЕМАТИКА 
 
 
Второе издание,  
переработанное и дополненное 
 
 
 
Рекомендовано Министерством образования 
Российской Федерации в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений 
 
Рекомендовано Учебно-методическим центром  
«Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия  
для студентов высших учебных заведений 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва • 
 
2017

2017.
ÓÄÊ 336:51(075.8) 
ÁÁÊ 65.26â6.ÿ73 
       Ì20 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
кафедра математики Московского государственного 
технологического университета «СТАНКИН» 
(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Н.Н. Холщевникова) 
канд. экон. наук, доц. Я.С. Мелкумов 
 
 
 
 
 
 
 
Главный редактор издательства  
доктор экономических наук  Н.Д. Эриашвили 
 
 
 
 
 
 
 
Ìàëûõèí Â.È. 
Ì20      Финансовая  математика:  Учеб. пособие  для вузов. — 
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 
 —  
237 с. 
ISBN 5-238-00559-8 
 
Рассмотрены вопросы финансовой математики в условиях определенности (наращенные и дисконтированные суммы, потоки платежей, ренты, 
кредитные расчеты, оценка инвестиционных проектов, финансовые расчеты на рынке ценных бумаг), а также в условиях неопределенности, в том 
числе теория оптимального портфеля, теоретико-вероятностные методы и 
финансовые риски. Даны вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельного решения и ответы к ним. 
Для студентов и преподавателей экономических и финансовых специальностей вузов. 
 
ÁÁÊ 65.26â6.ÿ73 
 
ISBN 5-238-00559-8 
      © В.И. Малыхин, 1999, 2003 
 
 
 
      © ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 1999, 2003. 
 
 
 
      Воспроизведение всей книги или любой ее 
 
 
 
      части запрещается без письменного  
 
 
 
      разрешения издательства 

Предисловие 
 
 
Есть ли такая наука — финансовая математика? Что она включает в себя, кроме элементарных подсчетов сложных процентов? 
После замечательных работ X. Марковица 1952 г. (Н.М. Markowitz) и 
Д. Тобина 1965 г. (D. Tobin), за которые их авторы позже получили 
Нобелевские премии, можно с уверенностью сказать, что такая 
наука есть. А после знакомства с книгой российского математика А.H. Ширяева «Основы стохастической финансовой математики» этот вывод станет еще увереннее. 
Любая наука интересна содержащимися в ней идеями. В финансовой математике такие идеи есть. Идеи Марковица и Тобина 
о строении оптимального портфеля ценных бумаг доступны даже 
домохозяйкам. Идея оптимального портфеля Марковица и Тобина 
очень проста. ПредположиМ, что Вы имеете 1 000 000 000 долл. 
(отчасти поэтому «Вы» написано с большой буквы!). Вы хотите 
купить на всю сумму ценные бумаги: облигации, акции и т.п. И 
конечно, Вы хотите, чтобы они приносили Вам некоторый доход, 
но излишне рисковать Вы не хотите. Теория Марковица и Тобина 
диктует изящное решение: структура рисковых ценных бумаг Вашего портфеля должна повторить структуру большого рынка этих 
бумаг! Если на большом рынке 1% всех рисковых бумаг по стоимости составляют акции и облигации «General Motors», то и в Вашем портфеле среди рисковых бумаг бумаги этой компании должны 
составить такую же долю! Инвестор может лишь варьировать долей 
безрисковых ценных бумаг в своем портфеле (больше таких бумаг — 
меньше доход и меньше риск, и наоборот). 
Безусловно, достойны внимания великолепные конструкции опционов, начисто уничтожающие риск. Наверное, как и выводы теории Марковица и Тобина, эти конструкции должны быть известны 
как можно более широкому кругу людей и не только финансистов.  
Конечно, нужно знать и трезвый вывод из всех этих финансовых нововведений: все они придуманы для того, чтобы извлекать 
прибыль на финансовом рынке, т.е. из остальных участников этого 
рынка. Давний вывод о том, что на финансовом рынке выигрывают 
лишь «акулы», лишь те, кто имеет больше денег, кто имеет больше 
информации, остается верным и на сегодняшний день. 
Понятно, что финансы являются лишь частью (очень важной, но 
все-таки частью) всей экономики. Настоящие лидеры экономики — 
это производители материальных ценностей и услуг: автомобилей, 
магнитофонов, компьютеров и т.п. Только там, в реальном секторе 
экономики, делаются «настоящие» деньги, и финансовая сфера, ка

кие бы цели она ни преследовала сама по себе, вынуждена заниматься обслуживанием этого сектора. 
В науке о финансах, как в никакой другой, важна оценка действующим лицом (инвестором, участником рынка и т.п.) дохода и 
риска финансовой операции. Но автор счел возможным в основной части книги ограничиться объективными показателями, вынеся 
субъективные в дополнения к обеим частям книги. 
При написании данного пособия автор руководствовался 
следующей установкой: пособие должно быть понятно и полезно 
студентам младших и средних курсов экономических вузов; автор 
хотел бы, чтобы оно оказалась полезным и преподавателям. Изложенный материал содержит все самое важное из финансовой 
математики и его достаточно для обычного семестрового курса 
(15—18 лекций и столько же практических занятий). Автор, не 
будучи финансистом, исходил из того, что финансовая математика — это всего лишь скелет науки о финансах, «нарастить мясо» 
на этом скелете — дело специальных кафедр. Важной целью было также желание продемонстрировать студентам полезность 
применения уже в основном изученной ими вузовской математики в других важных областях.  
В пособии приведено много примеров, иллюстрирующих 
изложение материала, в конце каждого параграфа даются вопросы и задачи. Задач вполне достаточно для организации 
практических занятий. 
Автором создан программный комплекс «Учебное рабочее место финансиста» («УРМ финансиста»), содержащий около 100 важнейших типичных задач по финансовой математике. Программы 
написаны на языке Паскаль 6. Этот УРМ использовался при 
написании данного пособия, главным образом при подборе примеров и задач. В некоторых задачах предлагается проверить расчеты, выполненные с помощью этого комплекса. 
Пособие делится на две части, части — на главы (лекции), главы — на параграфы. 
По финансовой математике издано немало книг (см. библиографический список в конце книги). Я благодарен авторам 
этих книг — по ним я знакомился с финансовой математикой, 
широко использовал материал этих книг без специального цитирования. Но за все недостатки данного пособия несу ответственность только я один. 
В. Малыхин 
 
 
4 

 
 
 
 
 
 
 
Часть  I 
ФИНАНСОВЫЕ РАСЧЕТЫ  
В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ 
Глава 1. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ  
               ДЕНЕЖНЫХ СУММ 
Глава 2. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ, РЕНТЫ 
Глава 3. КРЕДИТНЫЕ РАСЧЕТЫ 
Глава 4. АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 
Глава 5. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ДОХОДНОСТИ  
               ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ 
Глава 6. ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИНАНСОВЫХ  
               ИНСТРУМЕНТОВ  
 
 
ДОПОЛНЕНИЕ К ЧАСТИ I 
Глава 7. СИСТЕМА ПРЕДПОЧТЕНИЙ ИНДИВИДА  
                       И УЧЕТ ЕЕ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ФИНАНСОВЫХ  
                       ОПЕРАЦИЙ 
Глава 8. МОДЕЛИ ТОРГОВ 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
Финансовые расчеты в условиях определенности опираются на две аксиомы: 
1. Денежные суммы S(T) в момент Т и S(t) в момент t эквивалентны по ставке сравнения i, если  
 

.
1
t
T
i
t
S
T
S


 
 
2. Схемы финансовых расчетов могут быть признаны эквивалентными, и тогда они могут заменяться одна другой. 
В дальнейшем эти аксиомы будут наполнены конкретным содержанием. 
В гл. 1 изложена теория процентов — простых и сложных, в гл. 2 — 
потоки платежей, в основном рентных, затем излагаются разнообразные методы погашения займов (гл. 3), в гл. 4 — анализ инвестиционных процессов. Последние две главы посвящены расчету доходности как общих финансовых операций, так и конкретных 
финансовых инструментов. 
Для усвоения материала части I достаточно знания вузовского курса математического анализа и немного теории вероятностей. 
 

Глава 1 
НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ  
ДЕНЕЖНЫХ СУММ 
 
Денежные суммы изменяются во времени. Люди берут кредиты (ссуды) и сами ссужают деньги (например, кладут их в 
банк) в надежде улучшить в будущем свое материальное положение (или для других целей). При этом они имеют в виду 
какие-либо конкретные действия, например, они намереваются купить магазин и за счет прибыли от работы выплатить взятые взаймы деньги или накопить на машину и совершать приятные путешествия. Для того чтобы заинтересовать других людей 
ссудить необходимые деньги, им обязуются вернуть в будущем 
бóльшую сумму. Это и есть основание теории процента. 
1.1. Наращение простых процентов 
Основные термины — единичный промежуток начисления 
и ставка процента. Ставку процента обозначаем i. Фиксируем 
какую-нибудь сумму Р. При наращении простых процентов 
по ставке i каждая следующая сумма больше предыдущей на 
долю i от начальной суммы Р, т.е. на iP. К концу единичного 
промежутка начисления сумма Р возрастет на iP и станет 
Р1 = P + iP = P(l + i), к концу 2-го промежутка начисления 
эта сумма возрастет еще на iP и станет P2 = P1+ iP =  
= P(l + i) + iP = P(i + 2i) и т.д. К концу n-го промежутка 
начисления наращенная сумма станет Pn = P(1 + ni). Таким 
образом, последовательность наращенных сумм P, P1, …, Pn 
есть арифметическая прогрессия с начальным членом Р и 
разностью iP. 
Пример 1. Пусть P = 1000, i = 10%, т.е. как доля i = 0,1. Следовательно, наращенные по простым процентам суммы таковы: 
1000, 1000 + 0,1
 
á
 1000 = 1000 + 100 + 1100, 
 
  1100 + 100 = 1200, 1200 + 100 = 1300 
и т.д. 
Пример 2. Годовая ставка простых процентов равна 12,5%. Через сколько лет начальная сумма удвоится? 
Р е ш е н и е. Надо решить неравенство: (1 + 0,125•n)
 t  2, т.е. 
0,125 • 
 Получаем 
1/0,125. 
.
1
t
n
t
n
О т в е т: через 8 лет. 
Формула наращения простых процентов P = P(1 + ni), 
выведенная для целых положительных n, вполне может применяться и для нецелых t. 
 
7

Сумма Р, наращенная по ставке i простых процентов, через t промежутков начисления станет Pt = P (1 + ti). 
Разность наращенной 
Pk, Mk
Pk
P2
P1
P
M1
M2
Mk
T1
T2
Tk
T
Рис. 1.1 
суммы и начальной называется процентными деньгами. При наращении простых процентов процентные деньги растут в арифметической прогрессии. Графически это показано на 
рис. 1.1, где Р — начальная сумма, отрезки PkTk — 
наращенные суммы и отрезки PkMk — процентные 
деньги. 
1.2. Наращение сложных процентов 
При наращении сложных процентов по ставке i каждая 
следующая сумма возрастает на долю i от предыдущей. Таким 
образом, к концу единичного промежутка начисления сумма 
Р возрастет на долю i и станет P1 = P + iP = P (l + i) к концу 
2-го промежутка начисления эта сумма возрастет еще на долю i от P1 и станет Р2 = P1 + iP1 = P(1 + i) + iP (1 + i) =  
= P(1+ i)2 и т.д. К концу n-го промежутка начисления наращенная сумма станет Pn = P(1 + i)n. Таким образом, последовательность наращенных сумм P, P1, …, Pn есть геометрическая прогрессия с начальным членом P и знаменателем прогрессии (1+ i). 
Пример 3. Пусть Р = 1000, i =10%, т.е. как доля i = 0,1. Следовательно, наращенные по сложным процентам суммы таковы: 
1000, 1000 + 0,1•1000 = 1000 + 100 = 1100, 
1100 + 0,1•1100 = 1210, 1210 + 0,1•1210 = 1331,1 и т.д. 
Пример 4. Годовая ставка сложных процентов равна 8%. Через 
сколько лет начальная сумма удвоится? 
Р е ш е н и е. Надо решить неравенство: (1 + 0,08)n 
 2. Лоt
гарифмируем по основанию натуральных логарифмов и получаем 
n > ln (2)/ln (l,08). 
О т в е т: через 9 лет. 
Из этого примера видно, что вычисления со сложными 
процентами более сложные, чем с простыми. Для занятий по 
финансовой математике необходимо иметь хороший кальку 
8 

лятор (достаточно, чтобы можно было возводить любое положительное число в любую степень). 
Формула наращения сложных процентов Pn = P (l + i)n, 
выведенная для целых положительных n, может применяться 
и для нецелых t. 
Сумма Р, наращенная по ставке i сложных процентов, 
через t промежутков начисления станет Pt = P (l + i)t. 
Пример 5. 13 января в банк положили сумму 1000 д.е. до востребования под ставку 12% годовых сложных процентов. Какую сумму снимет вкладчик 1 сентября? 
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой наращения сложных 
процентов Pt = P(1 + i)t. Но как вычислить t? Надо признать, 
что однозначного ответа в этой ситуации нет. Изберем самый простой вариант: будем считать, что в году 360 дней, в квартале — 90, 
в одном месяце — 30 и т.д. (учтем, что в году есть несколько праздничных дней и т.д.). Тогда t = (3
 
0
 •
 7 + 17)/360 и искомая сумма 
есть 1074 д.е. 
При работе со сложными процентами иногда для приближенного оценивания полезно следующее правило. 
Правило 72. Если процентная ставка есть D, то удвоение капитала по такой ставке происходит примерно за 72/D лет. 
Например, согласно этому правилу при ставке 3% удвоение 
капитала происходит за 24 года. 
Это правило применяется для небольших ставок. 
В дальнейшем, если не указано, какие проценты используются, то имеются в виду сложные проценты. 
1.3. Сравнение силы роста простых  
               и сложных процентов 
При одной и той же ставке i наращение сложных процентов 
идет быстрее, чем простых процентов, при длине периода наращения более единичного и 
медленнее, если период наращения менее единичного. 
Для этого достаточно 
(1 + i)t
убедиться, что  
1 + ti
i
1
1
t
(1 + i)t > (1 + ti), если t > 1 
и (1 + i)t < (1 + ti), если 0 < t < 1. 
Графики функций (1+i)t 
и (1+ti) в зависимости от t 
показаны на рис. 1.2. 
Рис. 1.2
 
9

Пример 6. Пусть сумма 800 наращивается по ставке i = 8% простых и сложных процентов. Тогда наращенные суммы таковы: 
928 
992 
800 
800 
864 
864 
933,1 
1007,8 
Простые проценты  
Сложные проценты  
Промежутки начисления 
0 
1 
2 
3 
1.4. Мультиплицирующие  
               и дисконтирующие множители 
Для облегчения расчетов, особенно со сложными процентами, составлены таблицы мультиплицирующих множителей. 
Мультиплицирующий множитель показывает, во сколько 
раз возрастет за n лет сумма, положенная в банк под i процентов годовых: 
M(n, i) = (1 + i)n. 
Величина M(n, i) есть будущая стоимость одной денежной единицы — через п лет при ставке процента i. 
Так, М(5, 8) есть 1,469. Таблицы таких множителей имели большое значение для финансовых расчетов ранее, когда 
не было электронных калькуляторов. Но и сейчас во многих ситуациях такие таблицы весьма удобны. Ниже приведен фрагмент таблицы мультиплицирующих множителей 
M(n, i) для 2 < n < 11, 2 < i < 12. Таблица большого объема 
приведена в приложении 1. 
Мультиплицирующие множители 
i  
n 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
3 
1,093 1,125 1,158 1,191 1,225 1,260 1,295 1,331 1,368 
4 
1,126 1,170 1,216 1,262 1,311 1,360 1,412 1,464 1,518 
5 
1,159 1,217 1,276 1,338 1,403 1,469 1,539 1,611 1,685 
6 
1,194 1,265 1,340 1,419 1,501 1,587 1,677 1,772 1,870 
7 
1,230 1,316 1,407 1,504 1,606 1,714 1,828 1,949 2,076 
8 
1,267 1,369 1,477 1,594 1,718 1,851 1,993 2,144 2,305 
9 
1,305 1,423 1,551 1,689 1,838 1,999 2,172 2,358 2,558 
10 
1,344 1,480 1,629 1,791 1,967 2,159 2,367 2,594 2,839 
Для облегчения расчетов используются также таблицы дисконтирующих множителей. 
Дисконтирующий множитель показывает долю, которую 
составит начальная сумма, положенная в банк под i процентов годовых, от наращенной к концу n-го года: 






.
1
,
/
1
,
n
i
i
n
M
i
n
D


 
 
 
 
10