Количественные методы в экономических исследованиях

Количественные 
методы 
в экономических 
исследованиях 
Под редакцией  
доктора экономических наук, профессора М.В. Грачевой,   
доктора экономических наук, профессора Ю.Н. Черемных, 
кандидата экономических наук, доцента Е.А. Тумановой 
Второе издание,  
переработанное и дополненное 
Рекомендовано Министерством образования 
Российской Федерации в качестве учебника 
для студентов вузов, обучающихся по специальностям  
экономики и управления (080100) 
Рекомендовано Учебно-методическим центром  
«Профессиональный учебник» в качестве учебника 
для студентов вузов, обучающихся по специальностям  
экономики и управления (080100) 
————————————— 
Соответствует Федеральным государственным  
образовательным стандартам третьего поколения
Москва  2017

ÓÄÊ 330.43(075.8) 
ÁÁÊ 65â6ÿ73 
       Ê60 
Р е ц е н з е н т ы: 
д-р экон. наук, проф. К.В. Папенов 
(зав. кафедрой экономики природопользования экономического факультета 
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова) 
д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Гаврилец 
(зав. лабораторией «Математическая социология» ЦЭМИ РАН) 
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили, 
кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор, 
лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники 
2017.
Количественные методы в экономических исследованиях:  
К60  учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / Под ред. М.В. Грачевой, 
Ю.Н. Черемных, Е.А. Тумановой. — 2-е изд., перераб. и доп. — 
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 
 — 687 с. 
ISBN 978-5-238-02331-1 
Учебник посвящен решению экономических задач с помощью количественных методов. Изложен широкий круг проблем и методов классического математического анализа, линейной алгебры, математического 
программирования, теории игр, теории вероятностей, математической 
статистики, теории случайных процессов и нечетких множеств. Разнообразные примеры и задачи иллюстрируют применение рассмотренных 
методов. Представленные разделы относятся к циклу фундаментальных 
математических дисциплин, изучение которых является обязательным 
для подготовки специалистов в области экономики. 
Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических факультетов университетов и экономических вузов, экономистов, научных работников. 
ÁÁÊ 65â6ÿ73 
ISBN 978-5-238-02331-1 
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2004, 2013 
Принадлежит исключительное право на использование и распространение 
издания (ФЗ № 94-ФЗ от 21 июля 2005 г.).  
Воспроизведение всей книги или любой ее части любыми средствами или в 
какой-либо форме, в том числе в интернет-сети, запрещается без письменного 
разрешения издательства. 
© Оформление «ЮНИТИ-ДАНА», 2013 

50-șȓȠȖȬ ȘȎȢȓȒȞȩ 
ȚȎȠȓȚȎȠȖȥȓȟȘȖȣ ȚȓȠȜȒȜȐ ȎțȎșȖȕȎ  
ȋȘȜțȜȚȖȥȓȟȘȜȑȜ ȢȎȘȡșȪȠȓȠȎ  
ǺDZȁ ȖȚȓțȖ Ǻ.ǰ. ǹȜȚȜțȜȟȜȐȎ  
ȝȜȟȐȭȧȎȓȠȟȭ 
ǼȠ ȎȐȠȜȞȜȐ 
 
Учебник посвящен решению экономических задач с помощью количественных методов. Термин «количественный» означает, что речь идет о тех 
математических методах, которые применяются для описания и анализа 
вычисляемых (а не абстрактных) моделей экономики, решения которых 
могут быть доведены до конкретной числовой формы. Вычисляемые модели 
экономики отличаются от абстрактных тем, что параметры и экзогенные 
переменные первых (в отличие от вторых) формируются на базе реальных 
(или экспертных) данных. 
Абстрактные модели могут быть только теоретическими, вычисляемые — 
как прикладными, так и теоретическими. 
В учебнике изложен широкий круг проблем классического математического анализа, линейного и выпуклого программирования, теории игр, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов. 
Особое внимание уделено геометрическим иллюстрациям и экономическим приложениям. 
Элементы математического анализа, линейного и выпуклого программирования относят к циклу фундаментальных математических дисциплин, изучение которых обязательно для студентов экономических факультетов государственных университетов. Они интересны и сами по себе, так как являются 
основой математической культуры, необходимой современному экономисту, 
занимающемуся как теоретическими, так и прикладными проблемами.  
Материал, включенный авторами в главы 1—4, традиционный: элементы теории неявных функций, классические методы оптимизации, симплексный метод решения задач линейного программирования и его обоснование, теория двойственности, транспортная задача, выпуклое программирование и элементы теории штрафных функций. 
В главе 5, посвященной теории игр, излагается математическая сторона 
вопроса и обсуждаются экономические приложения. Рассмотрены основные вопросы теории матричных и биматричных игр: решения в чистых 
и смешанных стратегиях, теорема Неймана, связь с линейным программированием, равновесие по Нэшу, эффективность по Парето, широко используются геометрические методы. 
В главах 6—9, посвященных теории вероятностей и математической 
статистике, уделяется внимание специфике вероятностно-статистического 
способа рассуждений. 
Учебник направлен на формирование и развитие профессиональных компетенций в области прикладного экономического анализа.  
В результате изучения теоретической составляющей учебника студенты 
будут знать: 
x  постановку и  решение основных задач математического анализа, математического программирования и теории игр, вероятностностатистических методов и моделей; 
x  современные проблемы, подходы и методы статистического исследования экономических процессов. 

В результате освоения представленных в учебнике методов и моделей 
студенты будут уметь: 
x  формулировать и обосновывать выводы исследования, проведенного 
с помощью математических методов;  
x  интерпретировать решения, полученные с помощью рассматриваемых методов и моделей,  в терминах исходной содержательной (экономической) задачи. 
x  формулировать теоретико-игровую модель конфликтной ситуации; 
x  решать вероятностно-статистические задачи вычислительного и аналитического характера для экономических приложений;  
x  определить стабильность эконометрических оценок, проверив их состоятельность и эффективность;  проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения и прогнозировать результат принятого решения;  
После изучения представленных материалов студенты будут владеть: 
x  навыками логических построений; методологией математического анализа; 
x  навыками работы с функциями, описывающими экономические явления; основными методами исследования функций на экстремумы; 
x  приемами и способами  обработки экономической информации с помощью современных экономико-математических методов; 
x  методами нахождения и анализа оптимальных решений в задачах 
различного типа; 
x  навыками количественного анализа и  выбора наиболее эффективных 
из них для исследования экономических данных;  
x  методами разработки вариантов управленческих решений и обоснования их выбора с учетом проведенных аналитических расчетов и использования количественных методов анализа данных; 
x  навыками интерпретации результатов моделирования и формулировки качественных выводов на основе проведенных количественных расчетов. 
 
В учебнике изложены классические разделы математических курсов, которые авторы читают на Экономическом факультете Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова:  
 
глава 1 — д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных (п. 1.1—1.4) 
ст. препод. А.А. Любкин (п. 1.5) 
глава 2 — д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных (п. 2.1—2.5) 
ст. препод. А.А. Любкин (п. 2.6) 
глава 3 — канд. экон. наук, ассист. Я.А. Рощина (п. 3.1; 3.3.3) 
д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных (п. 3.2; 3.4) 
               канд. экон. наук, доц. В.Ф. Пахомов (п. 3.3.1; 3.3.2)  
канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.П. Оревков (п. 3.5)  
канд. экон. наук, доц. Б.Э. Слепак (п. 3.6) 
глава 4 — д-р физ.-мат. наук, проф. Е.Г. Белоусов 
глава 5 — канд. экон. наук, доц. А.Ю. Челноков (п. 5.1; 5,7; 5.8)  
              д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных (п. 5.2—5.6) 
глава 6 — канд. физ.-мат. наук, доц. Л.Н. Фадеева 
      канд. экон. наук, ассист. Я.А. Рощина 
глава 7 — канд. физ.-мат. наук, доц. Л.Н. Фадеева 
глава 8 — канд. экон. наук, доц. Е.Н. Лукаш 
глава 9 — д-р экон. наук, проф. М.В. Грачева 
 

I
ȋșȓȚȓțȠȩ
ȚȎȠȓȚȎȠȖȥȓȟȘȜȑȜ
ȎțȎșȖȕȎ
DZșȎȐȎ 1 
ȋșȓȚȓțȠȩ ȚȎȠȓȚȎȠȖȥȓȟȘȜȑȜ ȎțȎșȖȕȎ
DZșȎȐȎ 2 
ǸșȎȟȟȖȥȓȟȘȖȓ ȚȓȠȜȒȩ ȜȝȠȖȚȖȕȎȤȖȖ

ȋșȓȚȓțȠȩ ȚȎȠȓȚȎȠȖȥȓȟȘȜȑȜ
ȎțȎșȖȕȎ
1
1.1. ǼȟțȜȐȩ ȠȓȜȞȖȖ ȚțȜȔȓȟȠȐ
1.1.1. ǼȟțȜȐțȩȓ ȝȜțȭȠȖȭ ȠȓȜȞȖȖ ȚțȜȔȓȟȠȐ
Понятия «множество» и «элемент множества» относятся к начальным понятиям, которые строго не определяются, а поясняются 
примерами. 
Можно говорить о множестве жилых домов в поселке, множестве товаров данной партии, поступившей в магазин для продажи, о 
множестве точек данной прямой. «Под множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть 
связана в одно единое целое с помощью некоторого закона» 
(Г. Кантор, создатель теории бесконечных множеств). 
Предметы, составляющие множество, называются его элементами. Множества принято обозначать большими буквами (
,
M
A ,
B , …), а их элементы — малыми буквами ( m , a , b , …). То, что 
некоторый объект m  является элементом множества 
,
M  записывается «
M
m
» и читается « m  принадлежит М ». То, что объект z  не 
является элементом множества 
,
M  записывается как «
»
M
z 
 и читается « z  не принадлежит М ».
Если объекты m , n , p , q , … составляют множество 
,
M  то это 
записывается так: 
^
`
!
,
,
,
,
q
p
n
m
M  
.
Множество может быть задано в виде списка составляющих его 
элементов, т.е. путем перечисления его элементов. 
Список может быть как конечным (например, такой список 
^
`
4
3
2
1
,
,
,
m
m
m
m
), так и бесконечным:
а) множество студентов конкретной учебной группы (их фамилии действительно составляют список); 
б) множество всех пальто, сданных посетителями театра в гардероб (список таких пальто может быть составлен); 
в) множество цифр десятичной системы счисления 
^
`
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
 
M
;

1. ȋșȓȚȓțȠȩ ȚȎȠȓȚȎȠȖȥȓȟȘȜȑȜ ȎțȎșȖȕȎ Ȗ șȖțȓȗțȜȗ ȎșȑȓȏȞȩ
7
г) множество всех натуральных чисел от 1 до числа k включительно:  
^
`
k
k
,
,
2
,
1
!
 
N
;
д) множество всех натуральных чисел 
^
`
!
! ,
,
3
,
2
,
1
n
 
N
;
е) множество всех целых чисел 
    
^
`
!
,
2
,
2
,
1
,
1
,
0


 
Z
;
ж) множество всех рациональных чисел 
¿
¾
½
¯
®
-






 
"
,
2
2
,
2
2
,
1
3
,
1
3
,
3
1
,
3
1
,
1
2
,
1
2
,
2
1
,
2
1
,
1
,
1
,
0
Q
   (если при выписывании элементов набора Q появляются дроби (например, 
1
2
2

 

,
1
2
2  ), которые уже встречались ранее, то они либо вычеркиваются, либо на самом деле не выписываются); 
з) множество гусей (а не уток), плавающих в деревенском пруду. 
Замечание. Напомним, что рациональным числом r  называется 
число вида q
p  (т.е. 
q
p
r  
), где 
Z

p
,
N

q
. Множество всех рациональных чисел обозначается символом Q.
Дроби 
1
1
q
p
r  
,
2
2
q
p
r  
, где 
1
q
p  — несократимая дробь, а 
1
2
p
p
D
 
,
1
2
1
1
2
q
q
D
 
 (целое число D  не равно нулю), равны между собой и изображают одно и то же рациональное число. Поэтому далее под рациональным числом 
q
p
r  
 понимается только несократимая дробь. 
Список элементов множества Q (т.е. список всех рациональных 
чисел) можно составить следующим образом. 
Сначала выписываем множество всех натуральных чисел так, что 
каждое натуральное число имеет знаменатель, равный единице: 
"
"
,
1
,
,
1
3
,
1
2
,
1
1
n
.
Затем так, чтобы каждое натуральное число имело знаменатель, 
равный двум: 
"
"
,
2
,
,
2
3
,
2
2
,
2
1
n

I. ȋșȓȚȓțȠȩ ȚȎȠȓȚȎȠȖȥȓȟȘȜȑȜ ȎțȎșȖȕȎ
8
и т.д. Получим следующую таблицу (матрицу) с бесконечным числом 
строк и столбцов. 
n
"
"
n
"
"
n
.
"
"
3
3
5
3
4
3
3
3
2
3
1
2
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
1
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1






"
"
"
"
"
"
"
"
5
4
3
2
1
"
"
k
n
k
k
k
k
k
"
"
"
"
"
"
"
"
В этой таблице оставим только несократимые дроби, а все сократимые дроби уберем (например, вычеркнем). 
Очевидно, любой элемент новой таблицы есть положительное 
рациональное число. Наоборот, любое положительное рациональное число обязательно присутствует в новой таблице в виде несократимой дроби. 
Составим бесконечный список из элементов новой таблицы по 
следующей схеме: 
Поставив в этот список перед 
каждым 
положительным 
рациональным числом это же 
число со знаком минус и добавив 
нуль, получим полный список 
элементов множества Q:
¿
¾
½
¯
®
-



 
"
,
1
2
,
1
2
,
2
1
,
2
1
,
1
,
1
,
0
Q
,
т.е. полный список всех рациональных чисел. 
Множество, содержащее конечное число элементов, называется 
конечным, в противном случае — бесконечным. В примерах а—г приведены конечные множества, в примерах д—ж — бесконечные 
множества.
Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного 
элемента. Пустое множество обозначается символом « ‡ ».
Пусть A  и M  — два множества, и пусть все элементы множества A  являются элементами множества 
,
M  тогда множество A  называется подмножеством (или частью) множества 
,
M  что записывается так: 
M
A Ž
 и читается « A  включено в M ». В частности, если 
,
M
m 
 то ^ `
.
M
m Ž
 Множество M  является своим подмножеством: 

1. ȋșȓȚȓțȠȩ ȚȎȠȓȚȎȠȖȥȓȟȘȜȑȜ ȎțȎșȖȕȎ Ȗ șȖțȓȗțȜȗ ȎșȑȓȏȞȩ
9
.
M
M Ž
 Пустое множество ‡  и множество M  называются несобственными подмножествами множества 
,
M  все остальные подмножества множества M  называются собственными.
Множество всех подмножеств множества M  обозначается символом 2Ɇ. Символ 2Ɇ введен по аналогии с числом 2n всех подмножеств 
множества 
^
`
n
n
,
,
1 !
 
N
.
Множества A  и B  называются равными, если 
B
A Ž
 и 
A
B Ž
.
Равенство множеств обозначается так: 
.
B
A  
 Если 
M
B Ž
 и 
,
M
B z
 то 
используют следующую запись: 
.
M
B 
1.1.2. ǼȝȓȞȎȤȖȖ țȎȒ ȚțȜȔȓȟȠȐȎȚȖ
Объединением (суммой) множеств A  и B  называется множество C  (обозначаемое символом 
B
A *
), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A  и B
(рис. 1.1.1): 
^
`
B
x
A
x
x
B
A
C

›

 
 
)
def
(
*
.
B
A
B
A
C
‰
 
Символ « › » означает союз «или», который 
понимается 
в 
соединительноразделительном смысле. 
В общем случае объединение совокупности множеств 
i
A  (
I
i
, где I  — 
некоторое множество (конечное или бесконечное) индексов) есть множество C
(обозначаемое символом *
I
i
i
A

), состояРис. 1.1.1
щее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств  
A
B
i
A  (
I
i
).
Символ « ‰ » — это стилизованная буква U (от англ. union — 
союз, объединение). 
Пересечением двух множеств A  и B
называется множество C  (обозначаемое 
символом 
B
Aˆ
), состоящее из всех тех 
элементов, которые принадлежат каждому 
из множеств A  и B . Другими словами, 
пересечение множеств A  и B  — это общая часть этих множеств (рис. 1.1.2): 
B
A
C
ˆ
 
^
`
B
x
A
x
x
B
A
C

š

 
ˆ
 
)
def
(
.
Рис. 1.1.2
Символ « š » означает союз «и».