Основы страховой математики

И.А. Корнилов 
 
 
ОСНОВЫ  
СТРАХОВОЙ  
МАТЕМАТИКИ 
 
 
 
 
 
Допущено Министерством образования  
Российской Федерации в качестве учебного пособия  
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по специальности 061700 «Статистика»  
 
Рекомендовано Учебно-методическим центром  
«Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия  
для студентов вузов, обучающихся по специальностям 
061700 «Статистика» и 060400 «Финансы и кредит» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва  
 
2017

ÓÄÊ 368:51(075.8) 
ÁÁÊ 65.271â6ÿ73 
       Ê66 
Р е ц е н з е н т ы: 
кафедра страхового дела  
Российской экономической академии им. Г.А. Плеханова 
(зав. кафедрой д-р экон. наук, проф.  В.И. Рябикин); 
д-р физ.-мат. наук, проф.  В.Н. Баскаков 
 
Главный редактор издательства  
доктор экономических наук  Н.Д. Эриашвили 
 
Корнилов И.А. 
К66      Îñíîâû ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ. —  
Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 
 — 400 ñ.  
2017.
ISBN 5-238-00592-Õ 
 
Рассмотрены основные задачи актуария страховой компании. Сформулированы вероятностно-статистические принципы решения этих задач. Приведены некоторые реальные задачи и на числовых примерах показаны методы 
выполнения актуарных расчетов. Проиллюстрированы основные положения 
страховой математики. Содержательная интерпретация полученных формальных результатов позволяет лучше понять мотивы поведения на страховом 
рынке. Представлены некоторые концептуальные проблемы страховой математики и изложены возможные подходы к их решению. Даны контрольные 
задания для самостоятельной подготовки, способствующие усвоению материала. 
Для студентов и аспирантов экономических специальностей вузов, изучающих страховое дело, сотрудников страховых компаний и бизнесменов, 
стремящихся расширить свое представление о страховании. 
 
ÁÁÊ 65.271â6ÿ73 
 
ISBN 5-238-00592-Õ 
       © И.А. Корнилов, 2004 
 
 
 
       © ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2004. 
 
 
 
       Воспроизведение всей книги или любой ее части  
 
 
 
       запрещается без письменного разрешения издательства 

ВВЕДЕНИЕ
В 1995—1996 учебном году в МЭСИ на факультете «Статистика» 
была создана специализация «Актуарий для банков, страховых компаний и фирм», по которой к январю 2003 г. на кафедре математической статистики и эконометрики обучение прошли 7 потоков (более 220 человек). Среди предметов, изучаемых студентами в рамках 
этой специализации, одну из ведущих позиций занимает курс «Основы актуарных расчетов». Цель данного предмета — дать студентам 
представление о принципах страховой математики и помочь им выработать навыки выполнения актуарных расчетов. 
В настоящее время в развитых странах литература, посвященная 
актуарным вопросам, насчитывает несколько тысяч наименований. 
На русском языке есть всего несколько книг, в которых рассмотрены общие принципы актуарных расчетов, и еще несколько книг по 
актуарным расчетам в страховании жизни (и пенсий). Поэтому автор надеется, что предлагаемая книга поможет хотя бы отчасти 
уменьшить дефицит литературы и будет способствовать проявлению 
интереса студентов (и аспирантов) к данному направлению. 
Составленные автором за 1996—2002 гг. учебно-методические 
материалы должны дать слушателям представление об основных 
направлениях работы актуария и познакомить будущих специалистов с основными задачами и методами их решения. Вместе с тем 
возникла необходимость объединения в одной книге материала по 
данному учебному курсу. Тем более, что за время преподавания 
данной дисциплины накоплен значительный опыт, позволивший 
скорректировать содержание и методику преподавания курса «Основы актуарных расчетов». Предлагаемая книга является объединением и обобщением шести ранее составленных автором книг по 
данному предмету и предназначена, прежде всего, для консолидации учебного курса. Кроме того, в книгу включены новые разделы. 
Первая часть ориентирована на полусеместровый курс, а вместе со 
второй частью они обеспечивают семестровый курс. В третью часть 
включены проблемные вопросы для курсовых и дипломных работ. 
Некоторые идеи могут представлять интерес и для аспирантов. 
В одном учебном курсе невозможно осветить все направления 
работы актуария. Поэтому конкретизируем круг рассмотренных за

дач. Основное внимание уделено расчету чисто рисковой премии, 
обеспечивающей эквивалентность обязательств сторон: страховщика и страхователя. Кроме этого, рассмотрена надбавка на безопасность, призванная компенсировать отклонения от среднего ущерба 
и тем самым обеспечить безубыточность страхования. Проиллюстрирована возможность повышения вероятности выживания страховщика с помощью резерва и перестрахования. 
В учебном курсе не рассматривается такой важный вопрос, как 
формирование нагрузки (на ведение дела, прибыль, превентивные 
мероприятия и т.д.), поскольку здесь большую роль играет специфика компании. Практически не затронуты проблемы обработки 
реальных страховых договоров и происшедших в них страховых случаев, а также данных официальной отчетности страховых организаций. Это объясняется отсутствием доступа к реальным данным. Кроме 
того, по мнению автора, перечисленные вопросы должны составить 
предмет самостоятельного учебного (специального) курса. 
В соответствии с концепцией данного курса предлагается следующая последовательность материала. Сначала формулируется принцип эквивалентности обязательств сторон, рассматриваются некоторые нюансы, указывается правило формирования единовременной рисковой премии, анализируется влияние нюансов в трактовке 
принципа эквивалентности на премию. Далее приведены элементарные задачи, доступные на интуитивном уровне и помогающие 
понять основные проблемы. 
Затем приводятся примеры вычисления единовременной рисковой премии для некоторых договоров (например, для комбинированного страхования). Изучив единовременную рисковую премию, 
можно переходить к рассмотрению периодической (рассроченной) 
рисковой премии и формулировать основные принципы такого перехода.
Далее исследуется риск страхователя. Рассматривается как фиксированный ущерб, так и распределенный по некоторому закону. 
Определяются характеристики риска. Это позволяет перейти к исследованию риска страховщика, учитывающего объем страховой ответственности, обусловленный договором, и на основе характеристик 
риска страховщика найти рисковую премию. 
Далее рассматривается страховой портфель, вводится понятие 
суммарного ущерба и определяются правила его оценки. Это позволяет сформулировать роль рисковой надбавки, определить относительную и абсолютную надбавку, указать правила для их вычисления и установить взаимосвязь между надбавкой, объемом портфеля 
и его надежностью. Вводится понятие степени риска и указываются 
направления его использования. Исследуется надбавка в комбини4

рованном договоре и процесс распределения суммарной рисковой 
надбавки между несколькими субпортфелями с различными рисками. 
Поскольку надбавка не всегда может обеспечить требуемую надежность, страховщик использует резервы и перестрахование. (В частности, проиллюстрированы различия подходов при фиксированном 
ущербе и распределенном. В первой ситуации можно опираться на 
число страховых случаев и надо округлять это значение до ближайшего большего целого числа, во второй — используется общий ущерб, 
результат не округляется.) 
Далее рассмотрены основные принципы выполнения актуарных расчетов при перестраховании и подходы к определению страховых резервов. Наконец, показаны возможности учета некоторых 
частных вопросов: франшизы, инфляции и т.д. Кроме того, можно 
инвестировать временно свободные средства и с помощью полученной прибыли повышать надежность и конкурентоспособность 
страховой компании. 
Разумеется, последние из перечисленных вопросов очень сложны, поэтому решения, принимаемые в страховой практике, часто 
сильно зависят от специфики страховщика. Из-за этого (а также 
из-за ограничений по времени и необходимости специального 
программного обеспечения) целый ряд вопросов и методов лишь 
обозначается в рамках данного курса, чтобы будущие специалисты, по крайней мере, ориентировались в этих проблемах. Разумеется, некоторые концептуальные вопросы, изложенные в книге, 
представляют интерес скорее для дипломников и аспирантов, поэтому их включение в программу учебной дисциплины не является обязательным. 
По нашему мнению, объединение учебного материала в одной 
книге позволяет получить хорошее представление о принципах выполнения актуарных расчетов. Семилетняя практика преподавания 
обеспечила соответствие уровня изложения материала и степени 
подготовки студентов, от которых требуется знание высшей математики в пределах традиционного вузовского курса. 
В процессе работы с немногочисленными источниками (как по 
именно актуарным проблемам, так и по содержательным вопросам 
страхования) автор столкнулся с неоднозначностью в использовании терминов, что можно объяснить сравнительной новизной актуарной темы в России. Причем эта неоднозначность в терминологии есть даже в сравнительно простых вопросах — определении 
ставок и премий. 
Например, в книге К. Бурроу «Основы страховой статистики» 
используются термины: «рисковая премия» (РП), которая обеспечивает эквивалентность обязательств сторон, «нетто-премия» (НП), 
 
5

включающая в себя рисковую надбавку для обеспечения безубыточности страхования, «брутто-премия» (БП) (или «страховой взнос»), 
содержащая, кроме нетто-премии, еще и нагрузку (на ведение дела 
и прибыль). Именно этот набор терминов и используется в данной 
книге (и учебном курсе). 
Однако, существуют и другие точки зрения. 
В книге В.В. Шахова «Страхование» (основной учебник по дан- 
ному направлению) используются те же термины (РП, НП, БП) 
(с. 112—113). В то же время при анализе имущественного страхования упоминаются лишь «нетто-ставка» и «брутто-ставка», причем 
первая трактуется как «основная часть тарифной ставки» (с. 131), 
«рисковая ставка» вообще не упоминается, для личного страхования 
эти вопросы не рассматриваются. 
В книге А.А. Гвозденко «Основы страхования» приводится структура страхового тарифа при страховании туристской деятельности, 
где «Брутто-ставка = Нетто-ставка + Дельта-надбавка» (с. 169), а на 
с. 179 говорится, что «брутто-ставка включает нетто-ставку и нагрузку». Этот же подход отражен в формуле (6.14) на с. 184. «Рисковая 
ставка» не упоминается. 
В «Словаре страховых терминов» также фигурируют лишь нетто-ставка и брутто-ставка. 
В книге Г.И. Фалина [33], посвященной страхованию жизни и 
пенсионных схем, нетто-премия обеспечивает эквивалентность обязательств сторон, а вместе с надбавкой образует брутто-премию. 
Той же точки зрения, основанной на специфике этого вида страхования, придерживается и Х. Гербер [5]. 
В документах Росстрахнадзора (например, в Методике по личному страхованию) фигурирует «брутто-ставка» и ее часть — «нетто-ставка», что соответствует Г.И. Фалину и Х. Герберу. 
В документах, посвященных страхованию «non-life», в неттоставке выделяется «основная часть нетто-ставки» (которая в данной 
книге (и у К. Бурроу) обозначалась, как «рисковая ставка») и «рисковая надбавка». 
Подобная ситуация — следствие незавершенности процесса формирования отечественной страховой (и, соответственно, актуарной) 
терминологии. Поэтому автор счел целесообразным уточнить некоторые использованные в учебнике термины. 
Ставка относится к одной единице страховой суммы. В отличие 
от этого, премия соответствует всей страховой сумме (и равна ставке, 
умноженной на сумму). 
Взнос (или страховой платеж) тождественен страховой премии 
(брутто-премии). 
Рисковая премия (в некоторых источниках — чисто рисковая премия) обеспечивает эквивалентность обязательств сторон. 
 
6

Надбавка рисковая (надбавка на безопасность) создается для выплат возмещения, незначительно превышающего среднее. 
Нагрузка предназначена для покрытия расходов на ведение дела, 
проведение мероприятий, снижающих риск, создание запасов, получение прибыли. 
В связи с этим структура страхового взноса (брутто-премии): 
Брутто-премия = Нетто-премия
 + Нагрузка;
 Нетто-премия = Рисковая премия + Рисковая надбавка.
В основном, расчеты приведены для премии, а не для ставки.
С точки зрения автора, этот подход более принципиален и универсален. 
Рекомендации по проведению  
практических занятий и организации
самостоятельной подготовки 
На первых двух-трех практических занятиях целесообразно напомнить некоторые сведения из теории вероятностей и математической статистики: найти математические ожидания и дисперсии закона Пуассона и экспоненциального распределения, найти оценки 
параметров этих законов с помощью метода максимального правдоподобия, выполнить процедуру свертки для этих распределений, 
построить производящую функцию (см. Приложение). 
На следующих занятиях начинается разбор собственно актуарных примеров. Преподаватель формулирует содержательную задачу, 
формализует ее, обсуждает с группой путь ее решения и вызывает к 
доске студента для реализации намеченного решения, результаты 
должны получить содержательную интерпретацию. 
В качестве задания для самостоятельной подготовки предлагается 
каждому студенту составить и решить свою аналогичную задачу. Целесообразно при этом подсказать, в каких пределах должны находиться 
значения исходных данных (чтобы избежать или по крайней мере 
уменьшить возможность получения абсурдных результатов). 
При контроле заданий следует оценивать не только формально 
выполненные вычисления, но и оригинальность сформулированной 
задачи, а также интерпретацию результатов. При обнаружении парадоксальных результатов в студенческих работах следует выяснить 
причину и довести эту информацию до сведения группы. 
Материал данной книги можно, в принципе, изложить за один 
семестр (еженедельно по одной лекции и одному практическому заданию), если сначала лектор вводит слушателей в проблему и указывает задачи, которые слушатели должны самостоятельно разобрать. 
 
7

При этом надо предупредить о наиболее важных и тонких моментах. Между лекцией и практическим занятием слушатели прорабатывают заданные примеры. На практическом занятии слушатели у 
доски решают предложенный преподавателем аналогичный пример 
(большинство таких примеров приведено в Приложении). После чего 
каждый из них дома составляет и решает свой аналогичный пример. 
Разумеется, разбору в аудитории подлежат только наиболее сложные и 
трудоемкие задачи. 
В течение семестра целесообразно провести одну—две аудиторные контрольные работы по лекционному (теоретическому) материалу. Для этого можно использовать приведенные в приложении 
тесты и контрольные вопросы. 
На последнем занятии возможна итоговая контрольная работа по усложненным задачам, в которых комбинируются две простые, ранее разобранные задачи, например, страхование дома от 
двух-трех причин при распределенном риске, страхование автомобиля одновременно от угона и от аварии с франшизой (при распределенном риске) и т.д. Такие же задачи можно вынести на экзамен, который лучше проводить письменно. Автор с благодарностью примет всю информацию по содержанию книги, ее структуре 
и методическим вопросам. 
Автор выражает благодарность рецензентам: д-ру экон. наук профессору В.И. Рябикину и д-ру физ.-мат. наук профессору В.Н. Баскакову, а также заведующему кафедрой Математической статистики и 
эконометрики МЭСИ д-ру экон. наук профессору В.С. Мхитаряну и
Вице-президенту ВСК канд. физ.-мат. наук В.В. Новикову за участие в 
обсуждении книги и ряд ценных замечаний и рекомендаций. 
 
8

i
ОСНОВНЫЕ
АКТУАРНЫЕ ПРИНЦИПЫ 
1. Профессия — актуарий.  (Введение  в  специальность) 
2. Примеры  элементарных  актуарных  задач 
3. Традиционные  задачи  оценки  риска  страховщика 
4. Актуарные  проблемы  при  распределенном  риске 
5. Вероятностно-статистическое  исследование  страхового  
портфеля
6. Особенности  имущественного  страхования 
 
9

ПРОФЕССИЯ — АКТУАРИЙ.  
(ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ)
1.1. Основные положения 
Для заключения страхового контракта необходимы т р и  у с -
л о в и я: 
x потенциальный клиент должен осознавать, что наступление 
страхового случая нанесет ему и его семье серьезный материальный урон; 
x он должен быть уверен, что при наличии договора страховая 
компания выполнит свои обязательства перед ним, и тем самым материальные потери будут компенсированы (полностью 
или в значительной мере); 
x клиент должен иметь материальные возможности для оплаты 
страховой защиты. 
Третье условие предполагает соответствие между объемом и качеством страховой защиты и платой за нее. При этом подразумевается, что процесс не детерминированный, а стохастический, и что 
существующий риск можно оценить количественно. То есть для 
определенного промежутка времени, для которого составляется договор, известны вероятность того, что страховой случай произойдет, 
и величина ущерба, возникшего в результате этого случая, которая 
подлежит возмещению. 
При более общем подходе следует говорить об известном законе распределения величины ущерба. А при переходе от индивидуального риска отдельного страхователя к коллективному риску 
совокупности страхователей (который интересует страховщика) необходима информация о законе распределения суммарного ущерба. 
Он определяется на основании распределения величины ущерба 
в одном страховом случае и распределения количества случаев в 
единицу времени. 
Естественно, нет смысла страховать невозможные или достоверные события, поэтому страхование возникает только для стохастических процессов, а не для детерминированных, с заранее известным 
результатом. 
Вероятностные характеристики исследуемого процесса определяются, как правило, на основании предыдущего опыта, т.е. стати 
10