Эконометрика и эконометрическое моделирование

ЭКОНОМЕТРИКА 

И ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ 

МОДЕЛИРОВАНИЕ

Л.О. БАБЕШКО   
М.Г. БИЧ   
И.В. ОРЛОВА

УЧЕБНИК

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК

ИНФРА-М

201УДК 330.43(075.8)
ББК 65в6я73
 
Б12

Бабешко Л.О.

Б12 
 
Эконометрика и эконометрическое моделирование : учебник / 

Л.О. Бабешко, М.Г. Бич, И.В. Орлова. – М. : Вузовский учебник : 
ИНФРА-М, 2019. – 385 с. : ил. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-9558-0576-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012928-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105542-7 (ИНФРА-М, online)

Учебник охватывает широкий круг вопросов, связанных с эконометри
ческим моделированием. Регрессионные модели являются стержнем эконометрического моделирования, поэтому вопросам их оценки, тестирования предпосылок, корректировки и верификации отводится значительное 
место. Включены различные аспекты моделей множественной регрессии: 
мультиколлинеарность, фиктивные переменные, лаговая структура переменных. Рассматриваются способы линеаризации и оценки нелинейных моделей. Приводится аппарат оценивания систем одновременных 
и внешне не связанных уравнений. Уделяется внимание моделям временных рядов. Включены подробные решения примеров в Excel и программной среде R. 

Соответствует требованиям Федерального государственного образова
тельного стандарта высшего образования последнего поколения.

Для студентов бакалавриата и магистратуры, обучающихся по направ
лению подготовки «Экономика», учебный план которого предусматривает дисциплины «Эконометрика», «Эконометрическое моделирование», 
«Эконометрические исследования».

УДК 330.43(075.8)

ББК 65в6я73

Р е ц е н з е н т ы:

Н.Б. Кобелев, д-р экон. наук, профессор, президент НП «Ремесленная палата 

России»;

Г.В. Росс, д-р экон. наук, д-р техн. наук, профессор, начальник отдела На
учно-исследовательского центра Московского технологического университета 

ISBN 978-5-9558-0576-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012928-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105542-7 (ИНФРА-М, online)

© Бабешко Л.О., Бич М.Г., 

Орлова И.В., 2018 

© Вузовский учебник, 2018

А в т о р ы:

Л.О. Бабешко, д-р экон. наук, профессор департамента анализа данных, 

принятия решений и фи нансовых технологий Финансового университета при 
Правительстве РФ (гл. 1–3, 5–8); 

М.Г. Бич, канд. техн. наук, доцент кафедры «Системный анализ в экономи
ке» Финансового уни верситета при Правительстве РФ (гл. 9, приложения 4, 5);  

И.В. Орлова, канд. экон. наук, профессор департамента анализа данных, 

принятия решений и фи нансовых технологий Финансового университета при 
Правительстве РФ (гл. 4, приложения 1–3)

Введение

Учебник является результатом многолетнего опыта преподавания авторами дисциплин эконометрического профиля — «Эконометрика», «Эконометрическое моделирование», «Эконометрические исследования» — в Финансовом университете при Правительстве РФ. Опыт преподавания нашел отражение в ранних, 
многократно переиздаваемых работах авторов. Основным мотивом 
написания данного учебника явилось желание включить в описание традиционных методов решения эконометрических задач их 
практическую реализацию в программной среде R, которая принадлежит к числу наиболее динамически развивающихся статистических программ.
Термин «эконометрика» (экономика и метрика) был введен 
норвежским ученым Рагнаром Фришем (первым лауреатом Нобелевской премии по экономике) в 1926 г. для обозначения нового 
направления в экономической науке, предназначенного для количественного анализа экономических процессов и явлений и базирующегося на синтетическом объединении экономической теории, 
экономико-математического моделирования, теории вероятностей, 
математической и социально-экономической статистики.
Основной задачей эконометрики является построение эконометрических моделей и их применение для оценки, анализа и прогнозирования экономических процессов. Построение эконометрических моделей выполняется в несколько этапов: спецификация 
модели (подробное описание объекта исследования); сбор статистической информации об объекте исследования; оценка параметров модели; верификация и проверка адекватности модели.
На первом этапе построения модели — спецификации (математической формализации экономических закономерностей) определяется список экономических переменных, описывающих данный 
объект, и устанавливается их взаимосвязь — вид зависимости эндогенных (зависимых) переменных от экзогенных (независимых, определенных вне модели) переменных. Например, из экономической 
теории известно, что инвестиции зависят от процентных ставок, 
потребление — от располагаемого дохода, совокупный спрос — 
от уровня цен, объем выпуска — от затрат труда и капитала и т.д. 
Эти зависимости являются не функциональными, а статистическими (регрессионными), так как всегда имеются причины, приводящие к отклонению эмпирической зависимости от теоретической: 
невключенные экзогенные переменные, ошибочный выбор зависимости между переменными модели, ошибки измерений.

Второй этап построения эконометрической модели связан 
со сбором статистических данных. При моделировании экономических процессов используются данные двух типов: пространственные данные (cross-sectional data) — набор данных по различным 
объектам за один и тот же момент времени — пространственный 
срез (объем выпуска, затраты капитала и труда по нескольким 
фирмам) и данные временных рядов (time-series data) — упорядоченный по времени набор данных по одному объекту (величина 
инвестиций фирмы за десять лет).
Оценка параметров эконометрической модели, выполняемая 
на третьем этапе по эмпирической информации, позволяет перейти 
от качественного описания экономических процессов к количественному. Для правильного выбора метода оценивания проводится 
проверка выполнения теоретических предпосылок модели. Построенная модель проверяется на адекватность (соответствие модели эмпирическим данным) методом ретроспективного прогнозирования.
Взаимосвязи между переменными модели часто близки к линейным. Поэтому первая глава посвящена моделям множественной 
линейной регрессии. Рассматриваются методы построения точечных и интервальных оценок параметров модели и эндогенной 
переменной. Приводятся статистики и тесты для оценки качества 
и проверки адекватности регрессионных моделей.
Во второй и третьей главах анализируются нарушения предпосылок Гаусса–Маркова. Обсуждаются причины, последствия, 
тесты на обнаружение и методы корректировки.
В четвертой главе рассматриваются признаки и последствия 
мультиколлинеарности. Большое внимание уделяется методам выявления и устранения мультиколлинеарности. Анализируется качество моделей, полученных на основе разных подходов к решению 
проблемы мультиколлинеарности.
Пятая глава посвящается вопросам моделирования влияния 
качественных признаков на эндогенную переменную регрессионной модели. Рассматриваются способы включения фиктивных 
переменных (используемых для формализации качественных признаков) в спецификацию модели, способы тестирования значимости качественных признаков, вопросы влияния сезонных факторов и структурных изменений на экономические процессы.
Многие экономические процессы не являются линейными 
по своей сути, поэтому их моделирование выполняется в рамках 
нелинейных регрессионных моделей. Шестая глава включает вопросы линеаризации нелинейных моделей, проблемы, связанные 
с линеаризацией, а также алгоритмы нелинейных методов оценивания регрессионных моделей.

При моделировании экономических процессов часто возникают ситуации, когда влияние одной экономической переменной 
на другую распределено во времени, т.е. эффект воздействия проявляется не сразу, а с некоторой задержкой. Например, инвестиции 
только с определенной задержкой во времени переходят в приращение основного капитала. Для отражения влияния фактора времени используются динамические регрессионные модели, которые 
традиционно подразделяются на модели с распределенными лагами (лаговую структуру имеют независимые переменные) и авторегрессионные модели (лаговую структуру имеют зависимые переменные).
В седьмой главе обсуждаются особенности оценивания динамических моделей, тестирования их предпосылок, выбора спецификаций.
В эконометрике выделяют три основных класса моделей для 
анализа и прогнозирования: регрессионные модели с одним уравнением, системы одновременных уравнений и модели временных 
рядов. Первому из перечисленных классов моделей посвящены 
главы с первой по седьмую.
Восьмая глава охватывает широкий круг вопросов, связанных 
с эконометрическими системами уравнений. Анализируются 
системы одновременных и системы внешне не связанных уравнений. Уделяется внимание проблеме идентификации и оценке 
структурных параметров моделей систем одновременных уравнений.
Особым видом моделей в эконометрике являются модели временных рядов, представленные в девятой главе: классические модели нестационарных и стационарных временных рядов, включая 
модель белого шума, условия стационарности временных рядов, 
графический и формальные тесты на стационарность временного 
ряда, способы генерации уровней ряда по теоретическим моделям, 
особенности автокорреляционных и частных автокорреляционных 
функций. На примерах демонстрируется проведение анализа, построение моделей временных рядов и прогнозирование.
Современные эконометрические исследования трудно представить без применения пакетов прикладных программ: STATA, 
Statistica, TSP, SPSS, Econometric Views и др. При выборе конкретного 
пакета учитывается специфика решаемой задачи, эффективность 
настройки алгоритмов обработки, издержки на покупку программ. 
Бесплатной альтернативой таких пакетов является свободно распространяемая программная среда R. Обладая кросс-платформенностью, широкой поддержкой научного сообщества и применением 
в практических исследованиях и работах, постоянным улучшением 

и расширением функциональных возможностей, активным сообществом разработчиков и пользователей, этот инструмент является 
наилучшим выбором для освоения и дальнейшего применения 
в повседневной деятельности.
После каждой главы приводятся примеры с подробным решением, программные коды в R и протоколы вычислений, вопросы 
для самоконтроля, задачи и упражнения.
Учебник адресован студентам бакалавриата и магистратуры, 
обучающимся по направлению «Экономика», учебный план которого включает дисциплины «Эконометрика», «Эконометрическое 
моделирование», «Эконометрические исследования».

Глава 1.

МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

1.1. ОцЕНкА пАРАМЕТРОВ МОдЕЛИ

МЕТОдОМ НАИМЕНьшИх кВАдРАТОВ

Спецификация регрессионной модели имеет следующую струк
туру:

(
)
Y
f X
=
+ ε, 
(1.1)

где Y — эндогенная (зависимая) переменная; X — экзогенная (независимая) переменная (регрессор);
(
)
f X
— детерминированная со
ставляющая эндогенной переменной (уравнение регрессии), полностью объясняемая значением экзогенной переменной; e — случайная составляющая эндогенной переменной (случайное возмущение), которая не может быть объяснена значением Х.

Зависимость между экономическими переменными типа (1.1)

называется регрессионной зависимостью, эконометрические модели
со спецификацией вида (1.1) — регрессионными моделями.

Если уравнение регрессии линейно — регрессионная модель на
зывается линейной регрессионной моделью, если уравнение регрессии
нелинейно — модель называется нелинейной регрессионной моделью.

В зависимости от количества регрессоров, входящих в специфи
кацию, регрессионные модели подразделяются на модели парной 
регрессии и множественной регрессии. В парной регрессионной модели эндогенная переменная зависит только от одного регрессора,
во множественной регрессионной модели — от двух и более регрессоров.

Предполагается, что между эндогенной переменной Y и k рег
рессорами существует линейная регрессионная зависимость

1
1
2
2

1

...
...

k

j
j
k
k
j
j

j

Y
X
X
X
X
X

=

= β
+ β
+
+ β
+
+ β
+ ε =
β
+ ε
∑
, (1.2)

где k — число параметров модели;
j
X — j-й регрессор;
j
β — j-й па
раметр модели,
1,...,
j
k
=
; ε– случайное возмущение. Модель

парной регрессии является частным случаем модели множественной регрессии.

В соответствии со спецификацией (1.2) выборочные данные

,
,
t
tj
Y X
, ...,
,
1
 
t
n
=
, ...,
1
j
k
=
удовлетворяют системе уравнений на
блюдений — схеме Гаусса–Маркова:

1

k

t
j
tj
t

j

Y
X

=

=
β
+ ε
∑
,
, ...,
1
t
n
=
, 
(1.3)

где n — объем выборки;
tY – значение эндогенной переменной в на
блюдении t;
tj
X — значение регрессора
j
X в наблюдении t;
tε – зна
чение случайного возмущения в наблюдении t, или:

...
...
;

...
...
;

...
...
.

1
1
11
2
12
1
1
1

2
1
21
2
22
2
2
2

1
1
2
2

j
j
k
k

j
j
k
k

n
n
n
j
nj
k
nk
n

Y
X
X
X
X

Y
X
X
X
X

Y
X
X
X
X

=
β
+ β
+
+ β
+
+ β
+
ε

=
β
+ β
+
+ β
+
+ β
+
ε

=
β
+ β
+
+ β
+
+ β
+
ε

Запишем схему Гаусса–Маркова (1.3) в матричной форме1:

Y
X
=
β + ε, 
(1.4)

где
(
,
, ...,
)
1
2

T

n
Y
Y Y
Y
=
— (
)1
n ×
— вектор-столбец значений эндо
генной переменной;
(
,
, ...,
)
1
2

T

k
β = β
β
β
— (
)1
k ×
— вектор-столбец

параметров модели;
(
,
, ...,
)
1
2

T

n
ε = ε
ε
ε
– (
)1
n ×
— вектор-столбец слу
чайных возмущений (ошибок).

11
1

1

k

n k

n
nk

X
X

X

X
X

×

= — детерминированная матрица регрессоров

полного ранга (
(
)
rank X
k
=
), т.е. векторы-столбцы
,
, ...,
, ...,
1
2
j
k
X
X
X
X

(столбцы матрицы Х) линейно независимы в векторном пространстве Rn. Через

1
11
21
1
1
1
1
T
T

n
n
X
X
X
X
I
=
=
=

,
(
,
,...,
)
( ,..., )

обозначен единичный вектор-столбец, который позволяет формализовать спецификацию модели со свободным членом и без него
в единообразной форме.

Относительно вектора случайных возмущений принимаются

следующие предпосылки — условия Гаусса–Маркова:

1
Значком «Т» обозначена операция транспонирования.

1) математическое ожидание вектора возмущений равно нулю

(первая предпосылка):

0
( )
E ε =
, 
(1.5)

т.е. случайное возмущение в среднем не оказывает влияния на эндогенную переменную;

2) автоковариационная матрица вектора возмущений имеет

структуру:

(
)

2

2

2

2

0
0
0

0
0
0

0
0
0

T

n
C
E
I
εε

σ

σ
=
εε
= σ ×
= σ
, 
(1.6)

где
n
I — единичная матрица размером n
n
×
;
( )
2
const
t
Var
σ
=
ε
=
—

дисперсия возмущения в наблюдении t не зависит от номера наблюдения (возмущение гомоскедастично — вторая предпосылка),
т.е. нет априорной причины, вызывающей большую или меньшую
ошибку; недиагональные элементы матрицы

Cov(et, es) = 0, при t ≠ s

(возмущение не автокоррелировано — третья предпосылка), т.е. отсутствует статистическая связь между случайными возмущениями
в различных наблюдениях;

3) стохастические регрессоры не коррелируют со случайным

возмущением (четвертая предпосылка):

{
}
0
,
jt
t
Cov X
ε
=
;

4) вектор случайных возмущений имеет нормальное распреде
ление

ε ~
0
( ,
)
N
Cεε . 
(1.7)

Модель, удовлетворяющая предпосылкам 1), 2), 4) называ
ется классической нормальной линейной регрессионной моделью
(classical normal linear regression model).

Определим числовые характеристики случайного вектора Y 

в рамках спецификации (1.4)—(1.6):

( )
(
)
(
)
( )
E Y
E X
E X
E
X
=
β + ε =
β +
ε =
β. 
(1.8)

Автоковариационная матрица вектора значений эндогенной пе
ременной равна

(
)
,
(
,
)
( , )
2

YY
n
C
Cov Y Y
Cov X
X
Cov
C
I
εε
=
=
β + ε
β + ε =
ε ε =
= σ
. (1.9)

Оценив по выборочным данным
,
,
t
tj
Y
X
, ...,
,
1
 
t
n
=
, ...,
1
j
k
=
,

вектор параметров
, можно вычислить оценку вектора значений

эндогенной переменной (как оценку математического ожидания
(1.8))1:

ˆ
ˆY
X
=
β. 
(1.10)

При выполнении предпосылок Гаусса–Маркова оценка пара
метров модели выполняется методом наименьших квадратов
(МНК). В качестве вектора МНК-оценок параметров ˆβ принимается вектор, минимизирующий сумму квадратов остатков (отклонений значений эндогенной переменной от их оценок,
ˆ

t
t
t
e
Y
Y
=
−
):

2
T

t
ESS
e
e e
=
=
∑
→ min, 
(1.11)

где

ˆ
ˆ
e
Y
Y
Y
X
=
−
=
−
β
(1.12)

— вектор остатков
( ,
, ...,
)
1
2

T

n
e
e
e
e
=
. Выразим критерий ESS через

вектор оценок параметров:

ESS =
T
e e =
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(
) (
)
(
)(
)
T
T
T
T
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
−
β
−
β =
− β
−
β =

ˆ
ˆ
ˆ
T
T
T
T
T
T
Y Y
X Y
Y X
X X
=
− β
−
β + β
β.

Результат дифференцирования критерия ESS по вектору оценок

параметров дает необходимые условия экстремума:

2
2
0
ˆ
,
ˆ

T
T

T

ESS
X X
X Y
∂
=
β −
=

∂β
(
)
0
ˆ
T
T
X
Y
X
X e
−
β =
=
. 
(1.13)

Система уравнений (1.13) называется системой нормальных урав
нений

1 
Значок ^ используется в данной главе для обозначения оценок (приближенных значений).

ˆ
T
T
X X
X Y
β =
. 
(1.14)

Из решения (1.14) находится МНК-оценка вектора параметров

модели

1
ˆ
(
)
T
T
X X
X Y
AY
−
β =
=
, 
(1.15)

где
1
(
)
T
T
A
X X
X
−
=
– детерминированная матрица, определяемая

через матрицу регрессоров. Одним из достоинств МНК является линейность МНК-оценок. Результат (1.15) подтверждает это свойство.

Вектор оценок параметров модели ˆβ — случайный вектор, его

основными числовыми характеристиками являются: вектор математических ожиданий1

{ }
{
}
{ }
{
}
ˆ

k
E
E AY
AE Y
AE X
A
X
I
β =
=
=
β + ε
=
×
× β =
× β = β  
(1.16)

и автоковариационная матрица (с учетом (1.9)):

{
}
{
}

{ }
(
)
{ }
(
)
{
}

ˆˆ
ˆ ˆ
,
,

T

C
Cov
Cov AY AY

E
AY
AE Y
AY
AE Y

ββ =
β β
=
=

=
−
−
=

{ }
(
)
{ }
(
)
{
}

T
T
E A Y
E Y
Y
E Y
A
=
−
−
=

{ }
(
)
{ }
(
)
{
}

T
T
AE
Y
E Y
Y
E Y
A
=
−
−
=

{
}
,
(
)
.
2
2
2
1
2
T
T
T
T

n
ACov Y Y
A
A
I A
AA
X X
Q
−
=
=
σ
= σ
= σ
= σ
 (1.17)

МНК получил широкое применение при оценивании экономет
рических моделей благодаря статистическим свойствам его оценок,
которые сформулированы в теореме Гаусса–Маркова.

Теорема Гаусса–Маркова

Пусть спецификация модели множественной регрессии опре
деляется выражением (1.4) и выполняются предпосылки Гаусса–
Маркова (1.5), (1.6). Тогда МНК-оценка параметров (1.15) является
наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой
в классе линейных (по Y) несмещенных оценок [9], [17].

1
Оценка βˆ , для которой Е{βˆ } = β, называется несмещенной.