Математическое моделирование в экономике и социологии труда. Методы, модели, задачи

 
В.В. Федосеев 
 
 
 
 
Математическое  
моделирование  
в экономике и социологии 
труда 
 
МЕТОДЫ  МОДЕЛИ  ЗАДАЧИ 
 
 
 
Рекомендовано Министерством образования 
Российской Федерации в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений 
 
Рекомендовано Учебно-методическим центром 
«Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся  
по специальностям 080104 «Экономика труда»,  
080116 «Математические методы в экономике» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва  
 
2017

ÓÄÊ 330.4(075.8)+[316.334.22:51](075.8)  
ÁÁÊ 60.561.23â631.0ÿ73-1+65â631.0ÿ73-1  
       Ô33 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
д-р техн. наук, проф. В.А. Колемаев 
(зав. кафедрой математики Государственной Академии управления); 
д-р экон. наук, проф. В.М. Симчера 
(директор НИИ статистики Росстата) 
 
 
Главный редактор издательства   
кандидат юридических наук, 
доктор экономических наук  Н.Д. Эриашвили 
 
 
Федосеев, Владилен Валентинович.  
Ф33     Математическое моделирование в экономике и социологии труда. Методы, модели, задачи: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по специальностям 080104 «Экономика труда», 080116 «Математические методы в экономике» / В.В. Федосеев. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 
—  167 с. 
2017.
 
 
 
ISBN 5-238-01114-8 
 
Àãåíòñòâî CIP ÐÃÁ 
 
 
 
 
Изложена система методов и моделей в области математического моделирования задач в экономике и социологии труда, включающая в себя 
оптимизационные модели, модели прогнозирования на основе временных рядов, балансовые модели, сетевые модели, эконометрические многофакторные модели, модели систем массового обслуживания, модели 
теории игр, модели распределения заработной платы и модели уровня 
жизни. Рассмотрение всех экономико-математических моделей сопровождается решением конкретных типовых задач экономики и социологии 
труда. Приведены вопросы для самоконтроля и упражнения для  самостоятельного решения. 
Для студентов, аспирантов, обучающихся по экономическим специальностям вузов, а также практических работников в области экономики 
и социологии труда. 
 
 
ÁÁÊ 60.561.23â631.0ÿ73-1+65â631.0ÿ73-1  
 
 
ISBN 5-238-01114-8 
        © ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2004, 2006 
 
 
 
         
 
 
 
        Воспроизведение всей книги или любой ее 
 
 
 
        части любыми средствами или в какой-либо 
 
 
 
        форме, в том числе в Интернет-сети, запрещается 
 
 
 
        без письменного разрешения издательства. 

Предисловие 
Данное учебное пособие относится к важной составляющей высшего экономического образования, связанной с применением методов 
математического моделирования, без которых немыслимо рассматривать задачи анализа и прогнозирования социально-экономических систем и процессов. В частности, в настоящее время подобные задачи невозможно решать без современных ПЭВМ с их широко развитым программным обеспечением, эффективное использование которых требует 
от экономиста знания экономико-математических и эконометрических 
методов и моделей, лежащих в основе современных специализированных и универсальных пакетов прикладных программ. 
В последнее время учебная литература по данной тематике пополнилась целым рядом учебников и учебных пособий, которые охватывают широкий спектр как общих проблем математического моделирования задач макро- и микроэкономики, так и проблем моделирования 
задач, относящихся к таким конкретным экономическим специальностям, как «Менеджмент», «Маркетинг», «Финансы и кредит», «Государственное и муниципальное управление» и другие; некоторые из этих 
учебных изданий приведены в библиографическом списке данного пособия. 
Вместе с тем по специальности «Экономика труда», которая некоторое время назад носила название «Экономика и социология труда», 
ощущается явный недостаток в обеспечении учебной литературой по 
вопросам математического и эконометрического моделирования типовых задач данной отрасли экономических знаний. Одной из основных 
особенностей задач экономики труда является большой вес социальной 
составляющей в них, и эта особенность недостаточно отражена в имеющихся учебных изданиях по экономико-математическому моделированию. Это определило необходимость подготовки данного учебного пособия. 
В главе 1 «Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем» раскрываются общие понятия системного 
анализа и моделирования в области экономики и социологии, дается 
описание этапов математического моделирования и прогнозирования 
экономических систем и процессов, приводится краткая классификация экономико-математических моделей. Отдельный параграф посвящен характеристике задач экономики и социологии труда как объекта 
математического моделирования. 
Многие задачи экономики труда при их моделировании сводятся к 
задачам оптимального программирования. В связи с этим глава 2 «Методы оптимизации и оптимальные модели в экономике труда» начинается 
с раскрытия общих понятий оптимального, в том числе линейного программирования, описанию графического (геометрического) и симплексного методов решения задач линейного программирования. Кроме того, в главе излагаются основы теории двойственности линейного 
 
3 

программирования и методы ее использования при анализе оптимальных решений. Особое внимание уделяется рассмотрению транспортной 
задачи, а также основных типов оптимизационных задач в экономике и 
социологии труда: задача о назначениях, задача о диете, задача об оптимизации численности персонала и др. 
Глава 3 «Математические методы анализа и прогнозирования трудовых показателей» посвящена рассмотрению методов экономического 
анализа и прогнозирования этих показателей на основе временных рядов, при этом особое внимание уделяется анализу сезонности в задачах 
управления трудовыми ресурсами. Кроме того, рассматрены вопросы 
использования многофакторных эконометрических моделей, включая 
производственные функции, в задачах экономики и социологии труда. 
В главе 4 «Балансовые модели анализа и планирования трудовых ресурсов» даются основные понятия балансовых методов в экономике, раскрывается содержание экономико-математической модели материального межотраслевого баланса и рассматриваются балансовые модели в 
задачах экономики труда, прежде всего модель межотраслевого баланса 
затрат труда. 
Глава 5 «Экономико-математические методы организации и нормирования труда» включает в себя краткое описание элементов теории массового обслуживания и теории игр. Рассматриваются конкретные задачи организации и нормирования труда, решаемые методами теории 
массового обслуживания и теории игр, а также вопросы применения в 
задачах организации труда сетевых методов и моделей. 
В главе 6 «Модели распределения заработной платы и методы моделирования уровня жизни» рассматривается применение логарифмически 
нормальной модели в задачах анализа и прогнозирования распределения заработной платы и распределения семей по среднедушевому доходу, дается краткое описание системы моделей уровня жизни. 
В конце каждой главы приведены вопросы для самоконтроля. Все 
изучаемые темы иллюстрируются примерами решения конкретных задач экономики и социологии труда, которые, как надеется автор, окажут существенную помощь читателям при изучении отдельных разделов 
данного учебного пособия. В конце учебного пособия предлагаются 
упражнения для самостоятельного решения. 
Автор будет признателен за все замечания и предложения по структуре и содержанию учебного пособия, которые следует направлять в 
адрес издательства ЮНИТИ-ДАНА. 
 
4 

Ãëàâà 1 
Основные понятия математического 
моделирования социальноэкономических систем 
1.1. Методы исследования и моделирования 
социально-экономических систем 
Основные понятия и определения 
Под социально-экономической системой понимается сложная 
вероятностная динамическая система, охватывающая процессы 
производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ. 
Социально-экономические системы относятся к классу кибернетических, т.е. управляемых, систем. Рассмотрим ряд основных понятий, связанных с такими системами и методами их исследования. 
Центральным понятием кибернетики является понятие «система». Единого определения данного понятия нет. Возможна следующая его формулировка. 
Системой называется комплекс взаимосвязанных элементов вместе с отношениями между элементами и между их атрибутами. 
Исследуемое множество элементов можно рассматривать как 
систему, если выявлены следующие ч е т ы р е  признака: 
1) целостность системы, т.е. принципиальная несводимость 
свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов; 
2) наличие цели и критерия исследования данного множества 
элементов; 
3) наличие более крупной, внешней по отношению к данной 
системы, называемой средой; 
4) возможность выделения в данной системе взаимосвязанных 
частей (подсистем). 
Основным методом исследования систем является метод моделирования, т.е. способ теоретического и практического действия, 
направленного на разработку и использование моделей. 
 
5 

При этом под моделью будем понимать образ реального объекта 
(процесса) в материальной форме или описанный знаковыми 
средствами на каком-либо языке, отражающий существенные 
свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в 
ходе исследования и управления. 
Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е. 
возможности изучения реального объекта не непосредственно, а 
через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта — 
его модели. В дальнейшем мы будем говорить только об экономико-математическом моделировании, т.е. описании социально-экономических систем знаковыми математическими средствами. 
Практическими задачами экономико-математического моделирования являются: 
• анализ экономических объектов и процессов; 
• экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов; 
• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии. 
Следует, однако, иметь в виду, что далеко не во всех случаях 
данные, полученные в результате экономико-математического моделирования, могут быть использованы непосредственно как готовые управленческие решения. Они скорее могут рассматриваться в 
качестве «консультирующих» средств. Прерогатива принятия управленческих решений всегда остается за человеком. Таким образом, 
экономико-математическое моделирование — лишь один из компонентов (пусть и очень важный) в человеко-машинных системах 
планирования и управления экономическими системами. 
Важнейшим понятием экономико-математического моделирования, как, впрочем, и всякого моделирования, является понятие 
адекватности модели, под которой понимается соответствие модели 
моделируемому объекту или процессу. Адекватность модели в какой-то мере условное понятие, поскольку полного соответствия 
модели реальному объекту быть не может, что, в частности, характерно и для экономико-математического моделирования. При моделировании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. Следует отметить, что проверка адекватности экономикоматематических моделей является весьма серьезной проблемой, тем 
более что эту проблему осложняет трудность измерения экономических величин. Однако без такой проверки применение результатов 
моделирования в управленческих решениях может не только оказаться малополезным, но и принести существенный вред. 
 
6 

Свойства социально-экономических систем 
Социально-экономические системы относятся, как правило, к 
сложным системам. Сложные экономические системы обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, 
иначе невозможно говорить об адекватности построенной экономико-математической модели. Важнейшими из этих свойств являются: 
1) эмерджентность как проявление в наиболее яркой форме 
свойства целостности системы, т.е. наличие у системы таких 
свойств, которые не присущи ни одному из составляющих систему 
элементов, взятому в отдельности, вне системы. Эмерджентность 
есть результат существующих между элементами системы синергических связей, которые обеспечивают увеличение общего эффекта до 
величины большей, чем сумма эффектов элементов системы, действующих независимо. Поэтому социально-экономические системы 
необходимо исследовать и моделировать в целом; 
2) массовый характер экономических явлений и процессов. Закономерности экономических процессов не обнаруживаются на 
основании небольшого числа наблюдений, поэтому моделирование 
в экономике должно опираться на массовые наблюдения; 
3) динамичность экономических процессов, заключающаяся в 
изменении параметров и структуры экономических систем под 
влиянием факторов внешней среды; 
4) случайность и неопределенность в развитии экономических 
явлений. Экономические явления и процессы носят в основном 
вероятностный характер, поэтому для их изучения необходимо применять экономико-математические модели на базе теории вероятностей и математической статистики; 
5) невозможность изолировать протекающие в экономических 
системах явления и процессы от окружающей среды, с тем чтобы 
наблюдать и исследовать их в чистом виде; 
6) активная реакция на появляющиеся новые факторы, способность социально-экономических систем к активным, не всегда 
предсказуемым действиям в зависимости от отношения системы к 
этим факторам, способам и методам их воздействия. 
1.2. Этапы экономико-математического 
моделирования и классификация 
экономико-математических моделей 
Этапы экономико-математического моделирования 
Процесс моделирования носит циклический характер, и в каждом цикле выделяется несколько этапов. Рассмотрим последова 
7 

тельность и содержание этапов экономико-математического моделирования. 
1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. 
На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта. 
2. Построение математической модели. Это этап формализации 
экономической проблемы, т.е. выражение ее в виде конкретных 
математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и 
др.). Процесс построения модели подразделяется, в свою очередь, 
на несколько стадий. Сначала определяется тип экономикоматематической модели, изучаются возможности ее применения в 
данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и формы связей. Для некоторых сложных объектов целесообразно построение нескольких разноаспектных моделей, при 
этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а 
другие стороны учитываются агрегированно и приближенно. Оправдано стремление построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего 
основных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая 
ситуация, когда формализация проблемы приводит к неизвестной 
ранее математической структуре. 
3. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства 
модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. 
При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли это 
решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом 
поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования. 
4. Подготовка исходной информации. В экономических задачах 
подготовка исходной информации чаще всего является наиболее 
трудоемким этапом моделирования, ведь дело не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. При этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и 
математической статистики для организации выборочных обследо 
8 

ваний, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других. 
5. Численное решение. Этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов, при этом значительные трудности обусловливаются большой размерностью экономических задач. Обычно 
расчеты на основе экономико-математической модели носят многовариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить 
благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. Численное 
решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно возможным. 
6. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе 
прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адекватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных (другими словами, должна быть произведена верификация 
и валидация модели). Применение численных результатов моделирования в экономике направлено на решение практических задач 
(анализ экономических объектов, экономическое прогнозирование 
развития хозяйственных и социальных процессов, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии). 
Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, могут иметь 
место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели 
может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или 
приводит к слишком сложной математической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки исходной информации. 
Классификация экономико-математических моделей 
Общепринятой системы классификации экономико-математических моделей в настоящее время не существует, однако можно выделить порядка десяти классификационных рубрик таких моделей. 
Рассмотрим некоторые из них. 
По с т е п е н и  а г р е г и р о в а н и я  о б ъ е к т о в  моделирования модели разделяются на макроэкономические и микроэкономические. Хотя между ними и не существует четкого разграничения, но к макроэкономическим относят модели, отражающие 
функционирование экономики как единого целого, в то время как 
 
9 

микроэкономические модели связаны, как правило, с такими 
звеньями экономики, как предприятия и фирмы. 
По п р е д н а з н а ч е н и ю, т.е. по цели создания и применения, выделяют: 
• балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования; 
• трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; 
• оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного или бесконечного числа 
вариантов производства, распределения или потребления; 
• имитационные модели, предназначенные для использования в 
процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов, и др. 
По т и п у  и н ф о р м а ц и и, используемой в модели, экономико-математические модели делятся на аналитические, построенные на априорной, т.е. известной до опыта, информации, и 
идентифицируемые, построенные на апостериорной информации. 
По у ч е т у  ф а к т о р а  в р е м е н и  модели подразделяются на статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, и динамические, описывающие экономические 
системы в развитии. 
По у ч е т у  ф а к т о р а  н е о п р е д е л е н н о с т и  модели распадаются на детерминированные, если в них результаты на 
выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и 
стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели 
определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайных 
факторов. 
Экономико-математические модели могут классифицироваться 
также 
по 
х а р а к т е р и с т и к е  
м а т е м а т и ч е с к и х  
о б ъ е к т о в, включенных в модель; другими словами, по типу 
математического аппарата, используемого в модели. С этой точки 
зрения могут быть выделены матричные модели, модели линейного и 
нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, 
модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования, модели теории игр и т.д.  
Если рассмотреть в качестве примера экономико-математическую модель межотраслевого баланса затрат труда, то с учетом 
приведенных выше классификационных признаков это макроэкономическая, аналитическая, балансовая, матричная детерминированная модель, при этом она может быть как статической, так и 
динамической. 
 
10