Математические методы финансового анализа

 
Б.Т. Кузнецов 
 
 
 
 
 
Математические методы 
финансового анализа  
 
 
 
 
Рекомендовано Учебно-методическим центром 
«Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия   
для студентов вузов, обучающихся по специальностям 
061800 «Математические методы в экономике», 
060400 «Финансы и кредит»  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва  2017

2017.
ÓÄÊ 336.7(075.8) 
ÁÁÊ 65.26â631ÿ73-1 
       Ê89 
 
Рецензенты: 
д-р экон. наук, проф. Д.Т. Новиков 
(Академия народного хозяйства при Правительстве РФ); 
д-р экон. наук, проф. В.М. Аньшин 
(Российская экономическая академия им. Г.В. Плеханова) 
 
 
Главный редактор издательства  
кандидат юридических наук, 
доктор экономических наук  Н.Д. Эриашвили 
 
Кузнецов, Борис Тимофеевич. 
К89     Математические методы финансового анализа: учеб. 
пособие для студентов вузов, обучающихся по специальностям 061800 «Математические методы в экономике», 
060400 «Финансы и кредит» / Б.Т. Кузнецов. — Ì.: ÞÍÈÒÈÄÀÍÀ, 
 — 159 ñ.  
 
        ISBN 5-238-00977-1 
Агентство CIP РГБ 
 
 
Учебное пособие подготовлено в соответствии с Государственным  
образовательным стандартом высшего профессионального образования 
по специальностям 061800 «Математические методы в экономике», 
060400 «Финансы и кредит». 
Рассмотрены основные методы финансовых вычислений, применяемые при определении доходности коммерческих операций, а также практические приложения математических методов финансового анализа. 
Рассмотрение теоретических вопросов сопровождается большим количеством примеров и задач, позволяющих приобрести навыки самостоятельного проведения финансово-аналитических расчетов. 
Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических специальностей, а также практикующих финансистов. 
 
ÁÁÊ 65.26â631ÿ73-1 
 
ISBN 5-238-00977-1 
 
© Б.Т. Кузнецов, 2006 
 
 
 
 
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2006 
 
 
 
 
 
Воспроизведение всей книги или любой ее 
 
 
 
 
части любыми средствами или в какой-либо 
 
 
 
 
форме, в том числе в Интернет-сети,  
 
 
 
 
запрещается без письменного разрешения  
 
 
 
 
издательства 

От автора 
 
Основой развития современной экономики являются финансы. Деньги — это эквивалент труда, средств производства, 
товаров и услуг и других категорий экономических отношений. Качество работы любого предприятия оценивается на 
основе анализа его денежных потоков. Поэтому большое значение имеет умение проводить финансовый анализ различных операций. Знание математических методов финансового 
анализа необходимо специалистам, занятым в сфере финансов, учета, аудита и управления. Современный цивилизованный бизнесмен не сможет нормально работать, если не научится быстро рассчитывать результаты проводимых им финансовых операций. 
Математические методы финансового анализа — основа 
многих направлений деятельности специалистов экономики. 
Например, основой инвестиционного анализа является финансовый анализ. В настоящее время эффективность инвестиций определяется, как правило, на научной основе, фундамент которой составляют методы финансовых расчетов. 
Финансовый анализ операций — составная часть управленческого анализа, без которого невозможно управление современным предприятием независимо от его величины, организационно-правовой формы и сферы деятельности. 
При помощи математических методов финансового анализа решаются, в частности, следующие задачи: 
• рассчитывается значение доходности финансовых операций; 
• составляется план погашения задолженности; 
• определяются конечные финансовые результаты операции 
для каждой из участвующих в ней сторон; 
• анализируются взаимосвязи параметров операции или сделки и их влияние на конечный результат; 

• определяется качество инвестиционных проектов; 
• находятся параметры эквивалентного изменения условий 
сделки и т.д. 
В предлагаемом учебном пособии рассматриваются теоретические вопросы и методы использования теории финансовых расчетов при решении практических финансовых задач. 
Задачи для самостоятельного решения, которые приводятся в 
конце каждой главы, помогут читателю быстрее освоить основные методы финансово-аналитических расчетов.  
Учебное пособие написано на основе курсов лекций, читаемых автором в Российской экономической академии им. 
Г.В. Плеханова и ряде других высших учебных заведений  
г. Москвы, и предлагается для студентов, обучающихся по 
специальностям 061800 «Математические методы в экономике», 060400 «Финансы и кредит». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
Раздел I 
 
 
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ  
И МЕТОДЫ ФИНАНСОВЫХ  
ВЫЧИСЛЕНИЙ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1  
ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ 
• 
Принцип неравноценности денег во времени 
• 
Процентные ставки наращения 
• 
Дисконтирование 
• 
Учетные ставки 
• 
Определение срока ссуды финансовой операции 
• 
Определение доходности финансовой операции 
• 
Спотовые и форвардные процентные ставки 
1.1. Принцип неравноценности  
денег во времени 
Важнейшим фактором в анализе финансовых операций является принцип неравноценности денег во времени. Рубль, полученный 
сегодня, стоит больше рубля, который будет получен в будущем без 
учета инфляции. Поэтому в финансовых операциях фактор времени 
играет важнейшую роль [5]. Каждый из методов анализа, рассмотренных ниже, учитывает время как одно из важнейших условий. 
Если в настоящее время один рубль можно инвестировать под 
процент i  на заданный период (например, на год), то через этот 
период инвестор получит один рубль плюс процентные деньги 
(процент), т.е. сумму, равную 
i
+
1
.  
Проценты — это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме. 
Наращенная сумма ссуды — это первоначальная сумма плюс начисленные к концу срока ссуды проценты: 
 
,
I
P
S
+
=
 
(1.1) 
где S  — наращенная сумма ссуды;  
P  — первоначальная сумма ссуды;  
I  — начисленные к концу срока ссуды проценты.  

Единицей измерения процентов в России является рубль. 
 
Процентная ставка наращения — это отношение процентов за 
единицу времени (например, за год) к сумме долга.  

1. Процентные ставки 
 
7 
Процентная ставка — безразмерная величина. В финансовой 
документации процентная ставка записывается в виде математических процентов. Например, если отношение процентов за год к 
сумме долга равно 0,1, то в финансовой документации эта величина 
будет представлена как 10% годовых. 
Процентная ставка является также измерителем степени доходности любой финансовой операции. В этом случае процентная 
ставка называется доходностью. 
1.2. Процентные ставки наращения 
1.2.1. Простая процентная ставка наращения 
Простая процентная ставка наращения — ставка, при которой база начисления всегда остается постоянной. 
 
Проценты I  за весь срок ссуды вычисляются по формуле 
 
  
,
Pni
I =
 
(1.2) 
где n  
— срок ссуды (как правило, в годах);  
i  
— простая ставка наращения (как правило, годовая).  
В формулу (1.2) и во все формулы, приведенные ниже, процентную ставку следует подставлять в виде десятичной дроби.  
P  — первоначальная сумма ссуды, являющаяся базой начисления, 
не изменяется во времени. Подставив выражение для процентов 
(1.2) в (1.1), получим формулу простых процентов: 
 
(
)
ni
P
S
+
=
1
. 
(1.3) 
Ïðèìåð 1.1. Ссуда в размере 25 000 руб. выдана на срок 0,7 года 
под простые проценты 18% годовых.  
Определить проценты и наращенную сумму. 
Р е ш е н и е. Проценты I за весь срок ссуды вычислим по формуле 
(1.2): 
I = 25 000•0,7•0,18 = 3150 руб. 
Наращенная сумма в соответствии с (1.1) 
S = 25 000 + 3150 = 28 150 руб. 
 
Срок ссуды рассчитывается по формуле 
 
,
K
t
n =
 
(1.4) 
где   t 
— число дней ссуды; 
K   — временíàя база, или число дней в году.  

I. Основные понятия и методы финансовых вычислений 
 
8 
В зависимости от принятой на предприятии методики используют два типа временíûх баз [5]: К = 360 — обыкновенные проценты, К = 365 (366) — точные проценты. 
При расчете срока ссуды и начислении по простой процентной 
ставке наращения используются т р и  метода. 
1. Метод точных процентов с точным числом дней ссуды 
(365/365). Количество дней ссуды рассчитывается точно по календарю. Первый и последний дни ссуды принимаются за один.  
К = 365. Метод применяется центральными банками многих стран. 
2. Метод обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды 
(365/360). Количество дней ссуды рассчитывается точно по календарю. Первый и последний дни ссуды принимаются за один. К = 360. 
Метод применяется в ссудных операциях коммерческих банков. 
3. Метод обыкновенных процентов с приближенным числом дней 
ссуды (360/360). Количество дней в каждом месяце принимается 
равным 30. К = 360. Применяется при промежуточных расчетах. 
 
Ïðèìåð 1.2. Ссуда в размере 8 000 000 руб. выдана 28 января по 
15 июня включительно под простые проценты 22% годовых.  
Определить величину долга в конце срока тремя методами. 
Р е ш е н и е. 1. Рассчитаем величину долга методом точных процентов с точным числом дней ссуды (365/365): 
t = 4 + 28 + 31 + 30 + 31 + 15 – 1 = 138; 
n = 138/365 = 0,37808219; 
S = 8 000 000•(1 + 0,37808219•0,22) = 8 665 424,658 руб. 
2. Рассчитаем величину долга методом обыкновенных процентов с 
точным числом дней ссуды (365/360):  
n = 138/360 = 0,38333333; 
S = 8 000 000•(1 + 0,38333333•0,22) = 8 674 666,667 руб. 
3. Рассчитаем величину долга методом обыкновенных процентов с 
приближенным числом дней ссуды (360/360):  
t = 3 + 4•30 + 15 – 1 = 137; 
n = 137/360 = 0,38055555; 
S = 8 000 000•(1 + 0,38055555•0,22) = 8 669 777,778 руб. 
 
Простые процентные ставки наращения применяются, как правило, при анализе краткосрочных ссуд со сроком менее года. 
1.2.2. Сложная годовая  
процентная ставка наращения 
Сложная процентная ставка наращения — это ставка, при которой база начисления является переменной, т.е. проценты начисляются на проценты.  

1. Процентные ставки 
 
9 
Формулу сложных процентов можно получить следующим образом. Предположим, что мы имеем P  руб., которые можно инвестировать по процентной ставке наращения i . Через один год мы будем иметь 
(
)
i
P
+
1
 руб. Если повторить этот процесс, инвестировав 
всю сумму (
)
i
P
+
1
, то к концу второго периода будем иметь денежную сумму в размере 
(
)(
)
(
)2
1
1
1
i
P
i
i
P
+
=
+
+
. Продолжая процесс, видим, что показатель степени в формуле для наращенной суммы равен количеству периодов наращения. Положив количество периодов наращения равным n, получим формулу сложных процентов: 
 
(
)n
i
P
S
+
=
1
, 
(1.5) 
где    S 
— наращенная сумма; 
   P 
— первоначальный размер долга; 
   i 
— сложная ставка наращения; 
   n 
— число периодов (лет) наращения; 
(
)n
i
+
1
 — множитель наращения по сложным процентам. 
 
Ïðèìåð 1.3. Какой величины достигнет долг, равный 6000 руб., 
через 4 года при росте по сложной ставке наращения 18,5% годовых? 
Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (1.5) величина долга 
S =
(
)
831,09
 
11
0,185
1
6000
4 =
+
⋅
 руб. 
При наращении по сложным процентам наращенная сумма быстро растет при увеличении числа периодов (лет). В табл. 1.1 представлен множитель наращения в зависимости от числа лет для двух 
значений ставки. 
Таблица 1.1 
 
n, ëåò 
i = 10% 
i = 20% 
5 
1,610 
2,490 
10 
2,594 
6,192 
20 
6,727 
38,340 
50 
117,400 
9 100,400 
 
Формулу (1.5) используют и в том случае, когда срок для начисления процентов является дробным числом. 
 
Ïðèìåð 1.4. Какой величины достигнет долг, равный 8000 руб. 
через 4,6 года при росте по сложной ставке наращения 20% годовых? 
Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (1.5) величина долга 
S =
(
)
48
,
506
18
2
,
0
1
8000
6
,
4
 
=
+
⋅
 руб. 

I. Основные понятия и методы финансовых вычислений 
 
10 
Сложные процентные ставки наращения применяются, как правило, при анализе долгосрочных ссуд со сроком более года. 
1.2.3. Номинальная  
процентная ставка наращения 
Нередко в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц, квартал 
или другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются m раз в году.  
 
В контрактах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной [5].  
 
Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной процентной ставки при начислении процентов 
один раз в году. Если номинальную ставку обозначить через j, то 
проценты за один период начисляются по ставке 
m
j
, а количество 
начислений равно mn. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле 
mn
 
.
1
m
j
P
S
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
=
 
(1.6) 
Ïðèìåð 1.5. Какой величины достигнет долг, равный 15 000 руб., 
через 5,7 года при росте по сложной ставке 16,5% годовых при начислении процентов раз в году и помесячно? 
Р е ш е н и е. При расчете величины долга по сложной ставке наращения и начислении процентов раз в году используем формулу (1.5): 
S =
(
)
93
,
821
35
165
,
0
1
000
15
7
,
5
 
 
=
+
⋅
 руб. 
При расчете величины долга по сложной ставке и ежемесячном начислении процентов используем формулу (1.6): 
⋅
⎛+
⋅
165
,
0
1
000
15
 руб. 
⎞
⎜
⎜
⎝
7
,
5
12
 
 
=
⎟
⎟
⎠
S =
55
,
173
38
12
1.2.4. Сила роста 
Если в формуле (1.6), определяющей наращенную сумму при 
использовании номинальной процентной ставки наращения, периоды начисления процентов постоянно уменьшать, то количество 
этих периодов в году будет увеличиваться. В пределе при стремле