Математика для поступающих в экономические и другие вузы. Подготовка к Единому государственному экзамену и вступительным испытаниям

ÓÄÊ 51(076.1) 
ÁÁÊ 22.1ÿ727-1 
       Ê79 
2017.
 
А в т о р ы: 
Н.Ш. Кремер (предисловие, гл. 1, 2 (§ 2.6), 3, 4, 5 (§ 5.10), 6—8, 10—17),  
О.Г. Константинова (гл. 5 (кроме § 5.10), М.Н. Фридман (гл. 2 (кроме § 2.6), 9) 
 
Р е ц е н з е н т: 
кафедра высшей математики Московского государственного университета  
экономики, статистики и информатики 
(зав. кафедрой проф. В.А. Никишкин) 
 
 
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили, 
кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор,  
лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники  
 
Кремер, Наум Шевелевич. 
Математика для поступающих в экономические и другие  
К79 
вузы. Подготовка к Единому государственному экзамену и 
вступительным испытаниям: учеб. пособие для вузов / 
[Н.Ш. Кремер, О.Г. Константинова, М.Н. Фридман]; под 
ред. Н.Ш. Кремера. — 8-е изд., перераб. и доп. — М.: 
ЮНИТИ-ДАНА, 
— 695 с. 
I. Константинова, Ольга Григорьевна. 
II. Фридман, Мира Нисоновна. 
 
ISBN 978-5-238-01666-5 
Агентство CIP РГБ 
 
Цель пособия — оказать помощь абитуриентам при подготовке к Единому государственному экзамену (ЕГЭ) и вступительным испытаниям по 
математике в экономические и другие вузы. 
В восьмое издание пособия включены около 20 новых тестов ЕГЭ (215 
новых тестовых заданий). 
В части I пособия каждая глава содержит справочный материал и методические рекомендации, задачи с решениями и для самостоятельной работы. В части II приведены рекомендации по подготовке к ЕГЭ и вступительным испытаниям и более 280 тестов (с решениями около 100 тестовых заданий групп А, В, С) и заданий различной сложности, предлагавшихся на 
Едином государственном экзамене (2001—2008) и на вступительных испытаниях во ВЗФЭИ, МГУ, РЭА, ФА, ГУУ, МГИМО, МЭСИ, ГУ-ВШЭ за последние 10 лет (1999—2008). В приложениях даны Программа по математике 
для поступающих в вузы и содержание тестовых заданий ЕГЭ. 
Большое число задач (около 4300) и удачная структура пособия позволяют использовать его не только для контроля знаний, но и для обучения 
навыкам решения конкурсных задач. 
Для абитуриентов, слушателей подготовительных отделений и курсов. 
 
ÁÁÊ 22.1ÿ727-1  
 
ISBN 978-5-238-01666-5 
 
© Н.Ш. Кремер, О.Г. Константинова, М.Н. Фридман, 1996, 1998, 2001, 2003, 2004, 
    2006, 2008, 2010 
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 1996, 1998, 2001, 2003, 2004, 2006, 2008, 2010 
Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания 
(ФЗ № 94-ФЗ от 21 июля 2005 г.) 
© Оформление «ЮНИТИ-ДАНА», 2010  

Издательство 
ЮНИТИ-ДАНА 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 
 
ЗОЛОТОЙ ФОНД РОССИЙСКИХ УЧЕБНИКОВ 
Учебный комплекс 
 
 
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА  
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ 
Под редакцией  
проф. Н.Ш. Кремера 
Н.Ш. Кремер 
 
 
 
Учебный	
омпле
с	состоит	из	чебниа	и	пратимаповысшейматематиеи	чебниа
(с	 
рат
им	 ру
оводством	 
	 решению	 задач)	 по	 теории вероятностей и математичесой
статистие.	Основные	положения	учебноо	материала	сопровождаются	большим	
оличеством	задач	(в	том	числе	э
ономичес
их),	приводимых	с	решениями	и	для	самостоятельной	работы.	Приводятся	примеры	использования	
лассичес
их	математичес
их	методов	в	э
ономи
е	(балансовые	модели,	предельный	анализ,	эластичность	фун
ций,	производственные	 фун
ции,	 модели	 динами
и	 и	 т.п.)	 и	 вероятностных	 и	 математи
остатистичес
их	методов	в	задачах	массовоо	обслуживания	и	моделях	финансовоо	рын
а.	
Для	 студентов,	 ба
алавров,	 маистров	 и	 аспирантов	 э
ономичес
их	 специальностей	 и	
направлений,	а	та
же	преподавателей	вузов,	научных	сотрудни
ов	и	э
ономистов.	
 
 

 
 
 
Оглавление 
 
 
 
Предисловие 
9 
 
Часть I. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА.  
           ГЕОМЕТРИЯ 
 
Глава 1. Арифметические вычисления  
   Преобразование алгебраических выражений 
12 
 
Формулы для справок 
12 
 
1.1. Арифметические вычисления 
13 
 
1.2. Преобразование рациональных выражений 
15 
 
1.3. Действия над радикалами 
20 
 
1.4. Действия над абсолютными величинами 
25 
 
1.5. Действия с дробными степенями 
27 
 
1.6. Задачи для самостоятельного решения 
29 
 
Глава 2. Алгебраические уравнения и системы уравнений 
33 
 
Формулы для справок 
33 
2.1. Линейные уравнения 
34 
2.2. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним 
35 
2.3. Иррациональные уравнения 
42 
2.4. Системы алгебраических уравнений 
47 
2.5. Задачи для самостоятельного решения 
50 
2.6. Решение уравнений в целых числах 
55 
 
Глава 3. Задачи на составление уравнений 
57 
 
3.1. Задачи на пропорциональное деление 
57 
 
3.2. Задачи на проценты 
58 
 
3.3. Задачи на сплавы и смеси 
61 
 
3.4. Задачи на числа 
63 
 
3.5. Задачи на движение 
64 
 
3

 
3.6. Задачи на работу 
65 
 
3.7. Задачи на плановое и фактическое выполнение задания 
67 
 
3.8. Разные задачи 
68 
 
3.9. Задачи для самостоятельного решения 
69 
 
Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения 
75 
 
4.1. Показательные уравнения 
75 
 
4.2. Логарифмы 
81 
 
Формулы для справок 
81 
 
4.3. Логарифмические уравнения 
85 
 
4.4. Задачи для самостоятельного решения 
91 
 
Глава 5. Неравенства алгебраические 
95 
 
5.1. Линейные неравенства 
95 
 
5.2. Системы линейных неравенств 
96 
 
5.3. Дробно-рациональные неравенства 
98 
 
5.4. Квадратные неравенства 
100 
 
5.5. Неравенства, содержащие неизвестное  
 
      под знаком абсолютной величины 
103 
 
5.6. Показательные и логарифмические неравенства 
104 
 
5.7. Иррациональные неравенства 
107 
 
5.8. Применение неравенств к исследованию  
 
      уравнений и систем 
111 
 
5.9. Задачи для самостоятельного решения 
113 
 
5.10. Обобщенный метод интервалов 
120 
 
Глава 6. Преобразование тригонометрических выражений 
125 
 
Формулы для справок 
125 
  
6.1. Основные соотношения между  
 
 
       тригонометрическими функциями одного угла 
128 
 
6.2. Формулы приведения 
130 
 
6.3. Формулы сложения и кратных углов 
132 
 
6.4. Преобразование суммы тригонометрических  
 
      функций в произведение и обратное преобразование 
139 
 
6.5. Вычисление без помощи таблиц 
142 
 
6.6. Задачи для самостоятельного решения 
143 
 
4

Глава 7. Тригонометрические уравнения и неравенства 
148 
 
Формулы для справок 
148 
 
7.1. Обратные тригонометрические функции 
149 
 
7.2. Простейшие тригонометрические уравнения 
152 
 
7.3. Тригонометрические уравнения 
155 
 
7.4. Задачи для самостоятельного решения 
167 
 
7.5. Тригонометрические неравенства 
170 
 
Глава 8. Прогрессии. Соединения и бином Ньютона 
174 
 
8.1. Задачи на арифметическую прогрессию 
174 
 
Формулы для справок 
174 
 
8.2. Задачи на геометрическую прогрессию 
175 
Формулы для справок 
175 
 
8.3. Смешанные задачи на прогрессии 
177 
 
8.4. Соединения 
178 
 
Формулы для справок 
178 
 
8.5. Бином Ньютона 
183 
Формулы для справок 
183 
 
8.6. Задачи для самостоятельного решения 
185 
 
Глава 9. Планиметрия 
190 
 
Справочный материал 
190 
 
9.1. Треугольники 
194 
 
9.2. Окружность и круг 
203 
 
9.3. Четырехугольники 
206 
 
9.4. Задачи для самостоятельного решения 
210 
 
9.5. Разные задачи (с решениями) 
218 
 
Глава 10. Стереометрия 
230 
 
Справочный материал 
230 
 
10.1. Параллельность и перпендикулярность  
 
        прямых и плоскостей. Двугранные и многогранные 
 углы  
233 
 
10.2. Многогранники 
236 
 
5

 
10.3. Круглые тела 
240 
 
10.4. Задачи с применением тригонометрии 
242 
  
10.5. Разные задачи 
249 
 
Глава 11. Производная и ее применение 
256 
 
Формулы для справок 
256 
 
11.1. Производная функции, ее геометрический 
 и механический смысл 
256 
 
11.2. Применение производной 
263 
 
Глава 12. Задачи с параметрами 
276 
 
12.1. Решение уравнений, систем уравнений и  
 
        неравенств с параметрами 
276 
 
12.2. Задачи с условиями 
282 
 
Глава 13. Функции и графики 
291 
 
13.1. Общие свойства функций 
291 
 
13.2. Основные приемы построения графиков функций 
296 
 
13.3. Графическое решение уравнений и систем 
302 
 
13.4. Построение усложненных графиков 
304 
 
Глава 14. Векторы и метод координат 
307 
 
Справочный материал 
307 
 
14.1. Линейные операции над векторами. 
 
       Скалярное произведение векторов 
309 
 
14.2. Применение векторов и метода координат  
 
        к решению геометрических задач 
314 
 
Глава 15. Первообразная и интеграл 
321 
 
Формулы для справок 
321 
 
15.1. Нахождение первообразной и интеграла 
322 
 
15.2. Вычисление площадей фигур с помощью интеграла 
326 
 
 
 
 
6

Часть II. ТЕСТЫ ЕГЭ И ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ  
             ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАНИЯ 
Глава 16. Варианты заданий на вступительных испытаниях  
       (экзаменах, тестировании) по математике 
332 
 
16.1. Выполнение письменных экзаменационных  
 
 
 работ на вступительных экзаменах  
 
        по математике 
332 
 
16.2. Варианты письменных работ на вступительных  
 
       экзаменах по математике  
339 
 
       Всероссийский заочный финансово-экономический 
институт (ВЗФЭИ) 
339 
Варианты заданий 1-го уровня сложности для 
вступительных экзаменов во ВЗФЭИ (1999) 
339 
Варианты заданий 2-го уровня сложности для 
вступительных экзаменов во ВЗФЭИ (1999—2009 гг.) 
349 
Варианты заданий 3-го уровня сложности для 
вступительных экзаменов во ВЗФЭИ (1999 г.) 
372 
 
16.3. Варианты заданий для вступительного испытания  
 по математике во ВЗФЭИ 
384 
Варианты заданий 1-го уровня сложности  
для вступительного испытания по математике во 
ВЗФЭИ (1999—2008 гг.) 
384 
Варианты заданий 2-го уровня сложности для 
вступительного испытания по математике во 
ВЗФЭИ (1999 г.) 
390 
Варианты заданий 3-го уровня сложности  
для вступительного испытания по математике во 
ВЗФЭИ (1999 г.) 
392 
Дополнительные варианты заданий (номера  
задач пособия) для подготовки к вступительному  
испытанию по математике во ВЗФЭИ 
394 
 
16.4. Особенности формулировок заданий по математике 
 при тестовом контроле 
394 
 
16.5. Варианты заданий по математике  
 на вступительных экзаменах и тестировании  
 в различных экономических вузах (1999—2008 гг.) 
396 
Московский государственный университет  
им. М.В. Ломоносова (экономический факультет) 
396 
Российская экономическая академия  
им. Г.В. Плеханова 
416 
 
7

Финансовая академия при Правительстве РФ 
423 
Государственный университет управления (ГУУ) 
430 
Московский государственный институт  
международных отношений (университет) МИД РФ 
436 
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ) 
454 
Государственный университет — Высшая школа 
экономики 
463 
Глава 17. Единый государственный экзамен (ЕГЭ) 
479 
17.1. Тесты (контрольно-измерительные материалы) 
        на ЕГЭ 
482 
17.2. Решение тестовых заданий группы А с выбором ответа 
565 
17.3. Тестовые задания группы В с кратким 
        ответом и их решения 
573 
17.4. Тестовые задания группы С с развернутым 
       ответом и их решения 
604 
 
 
Приложения  
649 
Приложение 1. Программа по математике  
            для поступающих в высшие учебные заведения 
649 
Приложение 2. Содержание блоков школьного курса  
           математики, усвоение которых проверяется  
           на едином госэкзамене 
654 
Приложение 3. Таблица перевода первичных баллов  
           в тестовые баллы на едином госэкзамене  
           по математике в 2007 и 2008 г. 
656 
 
Ответы 
657 
 
8

 
 
Предисловие 



Пособие предназначено для абитуриентов, слушателей подготовительных отделений и курсов, готовящихся к поступлению в экономические и другие вузы, в том числе для поступающих во Всероссийский заочный финансово-экономический 
институт (ВЗФЭИ) в г. Москве и его филиалы. Книга ориентирована на подготовку по математике: 
• 
к единому государственному экзамену (ЕГЭ) для абитуриентов любых вузов; 
• 
к вступительным испытаниям (в любой форме) абитуриентов вузов, в первую очередь, экономических; 
• 
к дополнительным вступительным испытаниям профильной направленности абитуриентов отдельных (экономических) вузов. 
Авторы предлагают абитуриентам пройти путь от решения 
простейших школьных задач к решению достаточно сложных 
конкурсных. Большое внимание уделяется выполнению «стандартных» преобразований и операций, «технике» решения типовых задач. Наряду с традиционным материалом в пособии рассмотрены наиболее трудные для абитуриентов разделы и темы 
из практики проведения единого государственного экзамена и 
вступительных испытаний в экономические вузы, но недостаточно полно рассматриваемые в школе (задачи с параметрами, 
примеры с абсолютными величинами, обратные тригонометрические функции, текстовые задачи на отыскание наибольшего и 
наименьшего значений и т.п.). 
Пособие состоит из двух частей. В ч а с т и  I приведен материал по всем учебным темам, выносимым на вступительные испытания по математике. При этом каждая глава пособия содержит справочный материал, методические рекомендации и задачи 
с решениями и для самостоятельной работы.  
В ч а с т и  II приведены тесты, предлагавшиеся на едином государственном экзамене, и задания различной сложности, предлагавшиеся на вступительных испытаниях (экзаменах, тестировании) 
для поступающих во Всероссийский заочный финансово-эконо- 
мический институт, Московский государственный университет 
им. М.В. Ломоносова (экономический факультет), Российскую 
экономическую академию им. Г.В. Плеханова, Финансовую академию при Правительстве Российской Федерации, Государст 
9

венный университет управления, Московский государственный 
институт международных отношений (университет) МИД РФ, 
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, Государственный университет — Высшую школу экономики за последние 10 лет (1999—2008 гг.). 
В приложениях даны программа по математике для поступающих в высшие учебные заведения и содержание тестовых заданий 
на ЕГЭ. 
Структура учебного пособия в сочетании с большим количеством задач (около 4300) и вариантов заданий и тестов (более 
280) для поступающих позволяет использовать пособие не только для контроля знаний, но и для обучения навыкам решения 
конкурсных задач. 
При подготовке пособия были использованы школьные 
учебники, различные сборники задач и справочники для поступающих в вузы, опубликованные варианты тестов (контрольноизмерительных материалов) ЕГЭ. Часть задач составлена авторами специально для пособия. 
Особое внимание в пособии уделено наиболее сложным заданиям ЕГЭ с выбором ответа, с кратким и развернутыми ответами 
из групп А, В и С, уяснению содержащихся в них идей и методов 
решения. В связи с этим к 26 полным вариантам ЕГЭ (2001—
2008 гг.) дополнительно приведены около 40 вариантов (по 5—11 
заданий), составленных только из тестовых заданий каждой из 
групп А, В и С, из которых около 100 наиболее трудных заданий 
приводятся с решениями, остальные — с ответами. 
Представленный в пособии обширный дидактический материал 
поможет поступающим подготовиться к единому государственному 
экзамену и вступительным испытаниям в вузы различного уровня — 
от рядовых до элитарных, будет полезен учителям средних школ и 
преподавателям отделений довузовской подготовки. 
А помещенные в пособии тесты ЕГЭ и экзаменационные билеты ведущих вузов за продолжительный период времени позволят, в 
частности, абитуриентам осуществить детальную проработку экзаменационных материалов не только последних (перед поступлением 
в вуз), но и предыдущих лет, ибо в реальных заданиях на вступительных испытаниях (в любой форме) им могут встретиться те же 
идеи, подходы и методы решений, что и в приведенных тестах (заданиях) любого года. 
В в о с ь м о м  и з д а н и и   существенно увеличен материал, посвященный подготовке к ЕГЭ: добавлены около 20 новых 
тестов ЕГЭ (полных и неполных, включающих 215 новых тестовых заданий за 2007—2008 гг.). При этом сокращен ряд экзаменационных материалов отдельных вузов за прошлые годы.   
 
10