Математика для поступающих в экономические и другие вузы. Подготовка к Единому государственному экзамену и вступительным испытаниям
Учеб. пособие для вузов
Покупка
Тематика:
Математика. Высшая математика
Издательство:
ЮНИТИ-ДАНА
Год издания: 2017
Кол-во страниц: 695
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-238-01666-5
Артикул: 614587.03.99
Доступ онлайн
500 ₽
В корзину
Цель пособия — оказать помощь абитуриентам при подготовке к Единому государственному экзамену (ЕГЭ) и вступительным испытаниям по математике в экономические и другие вузы. В восьмое издание пособия включены около 20 новых тестов ЕГЭ (215 новых тестовых заданий). В части I пособия каждая глава содержит справочный материал и методические рекомендации, задачи с решениями и для самостоятельной работы. В части II приведены рекомендации по подготовке к ЕГЭ и вступительным испытаниям и более 280 тестов (с решениями около 100 тестовых заданий групп А, В, С) и заданий различной сложности, предлагавшихся на Едином государственном экзамене (2001—2008) и на вступительных испытаниях во ВЗФЭИ, МГУ, РЭА, ФА, ГУУ, МГИМО, МЭСИ, ГУ-ВШЭ за последние 10 лет (1999—2008). В приложениях даны Программа по математике для поступающих в вузы и содержание тестовых заданий ЕГЭ. Большое число задач (около 4300) и удачная структура пособия позволяют использовать его не только для контроля знаний, но и для обучения навыкам решения конкурсных задач.
Для абитуриентов, слушателей подготовительных отделений и курсов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
УДК 51(076.1)
ББК 22.1я727-1
К79
Авторы:
Н.Ш. Кремер (предисловие, гл. 1, 2 (§ 2.6), 3, 4, 5 (§ 5.10), 6—8, 10—17), О.Г. Константинова (гл. 5 (кроме § 5.10), М.Н. Фридман (гл. 2 (кроме § 2.6), 9)
Рецензент:
кафедра высшей математики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (зав. кафедрой проф. В.А. Никишкин)
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили, кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор, лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники
Кремер, Наум Шевелевич.
Математика для поступающих в экономические и другие К79 вузы. Подготовка к Единому государственному экзамену и вступительным испытаниям: учеб. пособие для вузов / [Н.Ш. Кремер, О.Г. Константинова, М.Н. Фридман]; под ред. Н.Ш. Кремера. — 8-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2017. — 695 с.
I. Константинова, Ольга Григорьевна.
II. Фридман, Мира Нисоновна.
ISBN 978-5-238-01666-5
Агентство CIP РГБ
Цель пособия — оказать помощь абитуриентам при подготовке к Единому государственному экзамену (ЕГЭ) и вступительным испытаниям по математике в экономические и другие вузы.
В восьмое издание пособия включены около 20 новых тестов ЕГЭ (215 новых тестовых заданий).
В части I пособия каждая глава содержит справочный материал и методические рекомендации, задачи с решениями и для самостоятельной работы. В части II приведены рекомендации по подготовке к ЕГЭ и вступительным испытаниям и более 280 тестов (с решениями около 100 тестовых заданий групп А, В, С) и заданий различной сложности, предлагавшихся на Едином государственном экзамене (2001—2008) и на вступительных испытаниях во ВЗФЭИ, МГУ, РЭА, ФА, ГУУ, МГИМО, МЭСИ, ГУ-ВШЭ за последние 10 лет (1999—2008). В приложениях даны Программа по математике для поступающих в вузы и содержание тестовых заданий ЕГЭ.
Большое число задач (около 4300) и удачная структура пособия позволяют использовать его не только для контроля знаний, но и для обучения навыкам решения конкурсных задач.
Для абитуриентов, слушателей подготовительных отделений и курсов.
ББК 22.1я727-1
ISBN 978-5-238-01666-5
© Н.Ш. Кремер, О.Г. Константинова, М.Н. Фридман, 1996, 1998, 2001, 2003, 2004, 2006, 2008, 2010
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 1996, 1998, 2001, 2003, 2004, 2006, 2008, 2010 Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания (ФЗ № 94-ФЗ от 21 июля 2005 г.)
© Оформление «ЮНИТИ-ДАНА», 2010
Издательство ЮНИТИ-ДАНА ЗОЛОТОЙ ФОНД РОССИЙСКИХ УЧЕБНИКОВ Учебный комплекс ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Под редакцией проф. Н.0. Кремера ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Высшая S математика экономистов Высшая математика Для экономистов Учебник Г1ра>ти*ум Н.0. Кремер 0 □ Учебный комплекс состоит из учебника и практикума по высшей математике и учебника (с кратким руководством к решению задач) по теории вероятностей и математической статистике. Основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач (в том числе экономических), приводимых с решениями и для самостоятельной работы. Приводятся примеры использования классических математических методов в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функций, производственные функции, модели динамики и т.п.) и вероятностных и математикостатистических методов в задачах массового обслуживания и моделях финансового рынка. Для студентов, бакалавров, магистров и аспирантов экономических специальностей и направлений, а также преподавателей вузов, научных сотрудников и экономистов.
Оглавление
Предисловие 9
Часть I. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА.
ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1. Арифметические вычисления
Преобразование алгебраических выражений 12
Формулы для справок 12
1.1. Арифметические вычисления 13
1.2. Преобразование рациональных выражений 15
1.3. Действия над радикалами 20
1.4. Действия над абсолютными величинами 25
1.5. Действия с дробными степенями 27
1.6. Задачи для самостоятельного решения 29
Глава 2. Алгебраические уравнения и системы уравнений 33
Форм улы для справок 33
2.1. Линейные уравнения 34
2.2. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним 35
2.3. Иррациональные уравнения 42
2.4. Системы алгебраических уравнений 47
2.5. Задачи для самостоятельного решения 50
2.6. Решение уравнений в целых числах 55
Глава 3. Задачи на составление уравнений 57
3.1. Задачи на пропорциональное деление 57
3.2. Задачи на проценты 58
3.3. Задачи на сплавы и смеси 61
3.4. Задачи на числа 63
3.5. Задачи на движение 64
3
3.6. Задачи на работу 65
3.7. Задачи на плановое и фактическое выполнение задания 67
3.8. Разные задачи 68
3.9. Задачи для самостоятельного решения 69
Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения 75
4.1. Показательные уравнения 75
4.2. Логарифмы 81
Формулы для справок 81
4.3. Логарифмические уравнения 85
4.4. Задачи для самостоятельного решения 91
Глава 5. Неравенства алгебраические 95
5.1. Линейные неравенства 95
5.2. Системы линейных неравенств 96
5.3. Дробно-рациональные неравенства 98
5.4. Квадратные неравенства 100
5.5. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины 103
5.6. Показательные и логарифмические неравенства 104
5.7. Иррациональные неравенства 107
5.8. Применение неравенств к исследованию уравнений и систем 111
5.9. Задачи для самостоятельного решения 113
5.10. Обобщенный метод интервалов 120
Глава 6. Преобразование тригонометрических выражений 125
Формулы для справок 125
6.1. Основные соотношения между
тригонометрическими функциями одного угла 128
6.2. Формулы приведения 130
6.3. Формулы сложения и кратных углов 132
6.4. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и обратное преобразование 139
6.5. Вычисление без помощи таблиц 142
6.6. Задачи для самостоятельного решения 143
4
Глава 7. Тригонометрические уравнения и неравенства 148
Формулы для справок 148
7.1. Обратные тригонометрические функции 149
7.2. Простейшие тригонометрические уравнения 152
7.3. Тригонометрические уравнения 155
7.4. Задачи для самостоятельного решения 167
7.5. Тригонометрические неравенства 170
Глава 8. Прогрессии. Соединения и бином Ньютона 174
8.1. Задачи на арифметическую прогрессию 174
Формулы для справок 174
8.2. Задачи на геометрическую прогрессию 175
Формулы для справок 175
8.3. Смешанные задачи на прогрессии 177
8.4. Соединения 178
Формулы для справок 178
8.5. Бином Ньютона 183
Формулы для справок 183
8.6. Задачи для самостоятельного решения 185
Глава 9. Планиметрия 190
Справочный материал 190
9.1. Треугольники 194
9.2. Окружность и круг 203
9.3. Четырехугольники 206
9.4. Задачи для самостоятельного решения 210
9.5. Разные задачи (с решениями) 218
Глава 10. Стереометрия 230
Справочный материал 230
10.1. Параллельность и перпендикулярность
прямых и плоскостей. Двугранные и многогранные углы 233
10.2. Многогранники 236
5
10.3. Круглые тела 240
10.4. Задачи с применением тригонометрии 242
10.5. Разные задачи 249
Глава 11. Производная и ее применение 256
Формулы для справок 256
11.1. Производная функции, ее геометрический и механический смысл 256
11.2. Применение производной 263
Глава 12. Задачи с параметрами 276
12.1. Решение уравнений, систем уравнений и неравенств с параметрами 276
12.2. Задачи с условиями 282
Глава 13. Функции и графики 291
13.1. Общие свойства функций 291
13.2. Основные приемы построения графиков функций 296
13.3. Графическое решение уравнений и систем 302
13.4. Построение усложненных графиков 304
Глава 14. Векторы и метод координат 307
Справочный материал 307
14.1. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов 309
14.2. Применение векторов и метода координат к решению геометрических задач 314
Глава 15. Первообразная и интеграл 321
Формулы для справок 321
15.1. Нахождение первообразной и интеграла 322
15.2. Вычисление площадей фигур с помощью интеграла 326
6
Часть II. ТЕСТЫ ЕГЭ И ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАНИЯ
Глава 16. Варианты заданий на вступительных испытаниях
(экзаменах, тестировании) по математике 332
16.1. Выполнение письменных экзаменационных работ на вступительных экзаменах по математике 332
16.2. Варианты письменных работ на вступительных экзаменах по математике 339
Всероссийский заочный финансово-экономический институт (ВЗФЭИ) 339
Варианты заданий 1-го уровня сложности для вступительных экзаменов во ВЗФЭИ (1999) 339
Варианты заданий 2-го уровня сложности для
вступительных экзаменов во ВЗФЭИ (1999—2009 гг.) 349
Варианты заданий 3-го уровня сложности для вступительных экзаменов во ВЗФЭИ (1999 г.) 372
16.3. Варианты заданий для вступительного испытания по математике во ВЗФЭИ 384
Варианты заданий 1-го уровня сложности для вступительного испытания по математике во
ВЗФЭИ (1999—2008 гг.) 384
Варианты заданий 2-го уровня сложности для вступительного испытания по математике во ВЗФЭИ (1999 г.) 390
Варианты заданий 3-го уровня сложности для вступительного испытания по математике во
ВЗФЭИ (1999 г.) 392
Дополнительные варианты заданий (номера задач пособия) для подготовки к вступительному испытанию по математике во ВЗФЭИ 394
16.4. Особенности формулировок заданий по математике при тестовом контроле 394
16.5. Варианты заданий по математике на вступительных экзаменах и тестировании в различных экономических вузах (1999—2008 гг.) 396
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова (экономический факультет) 396
Российская экономическая академия им. Г.В. Плеханова 416
7
Финансовая академия при Правительстве РФ 423
Государственный университет управления (ГУУ) 430
Московский государственный институт международных отношений (университет) МИД РФ 436 Московский государственный университет эко-
номики, статистики и информатики (МЭСИ) 454
Государственный университет — Высшая школа экономики 463
Глава 17. Единый государственный экзамен (ЕГЭ) 479
17.1. Тесты (контрольно-измерительные материалы) на ЕГЭ 482
17.2. Решение тестовых заданий группы А с выбором ответа 565
17.3. Тестовые задания группы В с кратким
ответом и их решения 573
17.4. Тестовые задания группы С с развернутым ответом и их решения 604
Приложения 649
Приложение 1. Программа по математике для поступающих в высшие учебные заведения 649
Приложение 2. Содержание блоков школьного курса математики, усвоение которых проверяется на едином госэкзамене 654
Приложение 3. Таблица перевода первичных баллов в тестовые баллы на едином госэкзамене по математике в 2007 и 2008 г. 656
Ответы 657
8
Предисловие Пособие предназначено для абитуриентов, слушателей подготовительных отделений и курсов, готовящихся к поступлению в экономические и другие вузы, в том числе для поступающих во Всероссийский заочный финансово-экономический институт (ВЗФЭИ) в г. Москве и его филиалы. Книга ориентирована на подготовку по математике: • к единому государственному экзамену (ЕГЭ) для абитуриентов любых вузов; • к вступительным испытаниям (в любой форме) абитуриентов вузов, в первую очередь, экономических; • к дополнительным вступительным испытаниям профильной направленности абитуриентов отдельных (экономических) вузов. Авторы предлагают абитуриентам пройти путь от решения простейших школьных задач к решению достаточно сложных конкурсных. Большое внимание уделяется выполнению «стандартных» преобразований и операций, «технике» решения типовых задач. Наряду с традиционным материалом в пособии рассмотрены наиболее трудные для абитуриентов разделы и темы из практики проведения единого государственного экзамена и вступительных испытаний в экономические вузы, но недостаточно полно рассматриваемые в школе (задачи с параметрами, примеры с абсолютными величинами, обратные тригонометрические функции, текстовые задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений и т.п.). Пособие состоит из двух частей. В части I приведен материал по всем учебным темам, выносимым на вступительные испытания по математике. При этом каждая глава пособия содержит справочный материал, методические рекомендации и задачи с решениями и для самостоятельной работы. В части II приведены тесты, предлагавшиеся на едином государственном экзамене, и задания различной сложности, предлагавшиеся на вступительных испытаниях (экзаменах, тестировании) для поступающих во Всероссийский заочный финансово-экономический институт, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (экономический факультет), Российскую экономическую академию им. Г.В. Плеханова, Финансовую академию при Правительстве Российской Федерации, Государст 9
венный университет управления, Московский государственный институт международных отношений (университет) МИД РФ, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, Государственный университет — Высшую школу экономики за последние 10 лет (1999—2008 гг.). В приложениях даны программа по математике для поступающих в высшие учебные заведения и содержание тестовых заданий на ЕГЭ. Структура учебного пособия в сочетании с большим количеством задач (около 4300) и вариантов заданий и тестов (более 280) для поступающих позволяет использовать пособие не только для контроля знаний, но и для обучения навыкам решения конкурсных задач. При подготовке пособия были использованы школьные учебники, различные сборники задач и справочники для поступающих в вузы, опубликованные варианты тестов (контрольноизмерительных материалов) ЕГЭ. Часть задач составлена авторами специально для пособия. Особое внимание в пособии уделено наиболее сложным заданиям ЕГЭ с выбором ответа, с кратким и развернутыми ответами из групп А, В и С, уяснению содержащихся в них идей и методов решения. В связи с этим к 26 полным вариантам ЕГЭ (2001— 2008 гг.) дополнительно приведены около 40 вариантов (по 5—11 заданий), составленных только из тестовых заданий каждой из групп А, В и С, из которых около 100 наиболее трудных заданий приводятся с решениями, остальные — с ответами. Представленный в пособии обширный дидактический материал поможет поступающим подготовиться к единому государственному экзамену и вступительным испытаниям в вузы различного уровня — от рядовых до элитарных, будет полезен учителям средних школ и преподавателям отделений довузовской подготовки. А помещенные в пособии тесты ЕГЭ и экзаменационные билеты ведущих вузов за продолжительный период времени позволят, в частности, абитуриентам осуществить детальную проработку экзаменационных материалов не только последних (перед поступлением в вуз), но и предыдущих лет, ибо в реальных заданиях на вступительных испытаниях (в любой форме) им могут встретиться те же идеи, подходы и методы решений, что и в приведенных тестах (заданиях) любого года. В восьмом и з д а н и и существенно увеличен материал, посвященный подготовке к ЕГЭ: добавлены около 20 новых тестов ЕГЭ (полных и неполных, включающих 215 новых тестовых заданий за 2007—2008 гг.). При этом сокращен ряд экзаменационных материалов отдельных вузов за прошлые годы. 10
Часть I.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА. ГЕОМЕТРИЯ
• Выражения и преобразования
• Уравнения и неравенства
• Функции
• Числа и вычисления
• Геометрические фигуры
Глава 1.
Арифметические вычисёе^я. Преобразова^е аёгебраических выраже^й
Формуёы дёя справок
Действия со степенями (а > 0, b > 0):
n an
(abc)n = anbncn. (1.1) 1 a 1 = ---. (1.2)
I b) bn
m-n
aman=am+n. (1.3) am = a. (1.4)
an
(am)n = amn (1.5) a0 = 1 . (1.6)
-n 1
a = ---. (1.7)
n
a
Действия с корнями и дробными степенями (a > 0, b > 0; m, n, p e N, m
> 1, n > 1)1:
nfabc = nfa П/b nc . (1.8) o| a n[a (1.9)
и n[b.
In/ m Ip_nl mp (1.10) np a mp = n am . (1.11)
a a = --- a a •
m~n^a ^na (1.12) 2p a~2 = lai • (1.12')
„пф'- _ nm (1.13) a-mn 1 (1.13')
U Y aO . = a mn '
Формулы сокращенного умножения:
(x±y)2=x2±2xy+y2. (1.14)
(x±y)3=x3±3x2y +3xy2±y3. (1.15)
x2-y2=(x-y)(x+y). (1.16)
x3-y3=(x-y)(x2 +xy+y2). (1.17)
x3+y3=(x+y)(x2 -xy+y2). (1.18)
¹ Запись n е N оз^ачает, что чисёо n пpи^aдёeжит множеству ^aтypaль^ыx чи-сеё.
12
Разложение квадратного трехчлена на множители: x² + px + q = (x - xi)(x - x₂), где x1 и x₂ — корни уравнения x² + px + q = 0;
ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x₂),
где x1 и x₂ — корни уравнения ax² + bx + c = 0.
(1.19)
(1.20)
Абсолютная величина действительного числа:
а,
-a
если а > 0, если а < 0.
(1.21)
1.1. Арифметические вычисления
( 3 3)
I 152- - 148- I • 0,3
HR < 4 8)
1.1. Вычислить: --------------.
0,2
Решение. Следует напомнить порядок действий: первыми осуществляются операции умножения и деления, затем — сложения и вычитания. Если нужно изменить порядок, то ставятся скобки. Таким образом, в нашем примере первой осуществляется операция вычитания, стоящая в скобках, а затем — действия в указанном порядке, т.е. сначала умножение, затем деление.
333 3 35
1) 152—148- = 4—. 2) 4— • 0,3 =-0,3 = 4,375 • 0,3 = 1,3125.
4 8 8 8 8
3) 1,3125 : 0,2 = 6,5625.
Ответ: 6,5625.
1.2. Вычислить:
( 2 , 1
I 4,5-1—-6,75 I-0,66...
I ³ ) 0,4166. - 0,72: 0,3 - 0,96
+ ч---------------+ —--7-------Т-²------
( 4 1 2 (
I 3,(3) - 0,3 + 0,(2) + — 1:2- I 0,2 - -М1,6
¹ 9⁾ 3 I ’ 40 I ’
Р е ш е н и е. Преобразуем имеющиеся в примере периодические десятичные дроби в обыкновенные. Напомним: чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо в числителе записать разность между числом, стоящим до второго периода, и числом, стоящим до первого периода, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколь
13
ко цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. Поэтому:
„ 6 - 0 6 2 . ... 33 -3 30 10
0,66...- 0,(6) 9 - 9 = 3 ; 3,(3) 9 = 9 = 3 ;
0,(2)=2^=9; 0,4166... . = 0,41(6) = 416 - 41 5
900 12
Выполним теперь указанные в примере действия:
2 9 5 45
1) 4,5-if = 9 ■ 5 = ; ■ = 7,5. 2) 7,5 - 6,75 = 0,75 .
3 2 3 6
..3 2
3) 0,75 ■ 0,66... = 2 . ±,
4 3 = у = 0,5. 4) 3,(3).0,3 = у.0,3 - 1.
2 11 1 11 4 15 5
5) 1 + 0,(2) = 1 + 9 = - . 6) + = = .
’ 9 9 9 3
7) 5 : 2-2 = 5:8 = 5 . 5 5 8
3 3 3 3 8 8) 0,5 : 8 = 10 ■ ? = 0,8.
9) А. 0 72 = ---. _72_ = 130 - 03. 10) 0,3 : 0,3 = 1.
9) 12 , 12 100
„. 3 2 3 5 1
11) 1 - 0,96 = 0,04 . 12) 0,2--=---= --- = ---
40 10 40 40 8
13) 1 -1,6 =1 ■16 = 0,2 . 14) 0,04 : 0,2 = 0,2 .
’ 8 , 8 10 ,
15) 0,8 + 0,2 = 1.
Ответ: 1.
Вычислить:
1725 -170—+ 3 —
6 3 12
0,8 • 0,25
1.4.
9 3 1
2159- - 208- + -
16 4 2
0,0001 : 0,005
1.5.
( 7 5 А 1
I 95 — - 93— I- 2-+ 0,373
I 30 18) 4
0,2
. 1.6.
( 5 7 А
I 49--46— I
I 24 20)
0,2
■ 21 + 0,6 3
14
1.7.
1.8.
0,666... + — 3
: 0,25
0,12333... : 0,0925
+ 12,5 ■ 0,64 .
[(7 - 6,35) : 6,5 + 9,8999...]- —
12,8
(1,2 : 36) + 115- : 0,251-
W) .11
: 0,125.
к
7
1.9.
13 9 А 9 53
4,625-------I : - + 2,5 : 1,25 : 6,75 : 1 —
18 26) 4 68
(1 А (5 7 А ,
I--0,375 I : 0,125 +1-----I : (0,358-1,4796 : 13,7)
12 ) L 6 12)
1.2. Преобразование рациональных выражений
При решении задач этого параграфа необходимо обратить внимание на правила действий со степенями (см. формулы (1.1)—(1.5)). Следует помнить, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении в степень — перемножаются.
Приведем несколько простых примеров с решениями, полученными с помощью формул (1.1)—(1.18).
1.10.
2a³b²c⁻¹
64a¹⁸b¹²c⁻⁶
d¹²
1.11. (3a⁻²b²c⁻³)(0,8 ab~⁻c⁴) = 2,4a⁻¹b⁻¹c .
1.12. (x ¹ y³z²) : (5x²y ²z ⁵) = 5x ³y⁵z⁷.
1.13. (a⁻² + b⁻³ )(a⁻² - b⁻³) = a⁻⁴ - b⁻⁶.
1 -i — z —2 —1\2 -4 — — 2 —1 I -2
1.14. (x - y ) = x - 2x y + y .
1.15. (x⁻³ - 2y² )³ = x⁻⁹ - 6x⁻⁶y² +12x⁻³y⁴ - 8y⁶.
1.16. (x⁻³ +8y⁶) = (x⁻¹ +2y²)(x⁻² - 2x⁻¹ y² +4y⁴) .
15
1.17. Разложить на множители:
90x²ⁿ⁻³ - 225x²ⁿ⁻¹.
P e ш e н и e. Выносим общий множитель: чисел 90 и 225 — число 45 и выражений x²ⁿ ³ и x²ⁿ ¹ — выражение x²ⁿ⁻³ (с наименьшим показателем степени).
Получим: 90x²ⁿ⁻³ - 225x²ⁿ⁻¹ = 45x²ⁿ⁻³(2 - 5x²).
Ответ: 45x²ⁿ⁻³(2 - 5x²).
1.18. Разложить на множители:
18a² - 27 ab + 14ac - 21bc.
P е ш е н и е. Используем способ группировки:
18a² - 27 ab + 14ac - 21bc = (18a² - 27ab) + (14ac - 21bc) =
= 9a (2a - 3b) + 7c (2a - 3b) = (2a - 3b)(9a + 7c).
Ответ: (2a — 3b)(9a + 7c).
1.19. Разложить на множители: a⁶ - b⁶.
P е ш е н и е.
a⁶ - b⁶ = (a³ )² - (b³ )² = (a³ - b³ )(a³ + b³) =
= (a - b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² - ab + b²).
Ответ: (a - b)(a + b)(a² + ab + b²)(a² -ab + b²).
1.20. Разложить на множители: c² - a² + 8ab² - 16b⁴.
P е ш е н и е. Группируя отдельно первый член и три последних члена, получим:
c² - a ² + 8 ab ² -16b ⁴ = c² - (a² -8 ab ² +16b ⁴ ) =
= c ² - (a - 4b ²)² = [c - (a - 4b ² )][c + (a - 4b ²)] .
Ответ: (c - a + 4b ² )(c + a - 4b²).
1.21. Разложить на множители: 4a ²c² - (a² + c² - b²)².
P е ш е н и е. Раскладываем выражение на множители как разность квадратов и после группировки членов в каждой скобке вновь применяем формулу разности квадратов:
4a²c² - (a² + c² - b²)² = [2ac - (a² + c² - b²)] x
x [2ac + (a² + c² - b²)] = [b² - (a - c)² ][(a + c)² - b² ] =
= [b - (a - c)][b + (a - c)][(a + c) - b][(a + c) + b].
Ответ: (a + c + b)(a + c - b)(b + a - c)(b - a + c).
16
Доступ онлайн
500 ₽
В корзину